Развертка поверхности. Способы построения разверток. Построение развертки конуса Общие понятия о развертывании поверхностей

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
4. Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Основными размерами конусного перехода круглого сечения (рис. 129) являются: D-диаметр нижнего основания; d-диаметр верхнего основания; h - высота перехода и угол раскрытия перехода, который образуется от пересечения боковых граней бокового вида-яерехода при их продолжении.

Рис. 129. Развертка полного и усеченного конусов

Угол раскрытия в переходах принимается равным 25-35°, если нет особых указаний на чертежах.

При угле раскрытия 25-35° высота перехода приблизительно равна 2 (D-d).

Переходы с круглого на круглое сечение бывают с доступной и недоступной вершинами. В первом случае боковые грани бокового вида перехода при их продолжении пересекаются в пределах листа, во вторсим случае - за его пределами.

Изготовление перехода с круглого на круглое сечение начинается с построения развертки и раскроя отдельных элементов перехода.

Рассмотрим приемы построения развертки конусных переходов, представляющих собой усеченный конус.

Полный конус - тело, изображенное на рис. 129,а, с диаметром основания D и вершиной О.

Если прокатать конус на плоскости вокруг вершин О, то получится след, который и будет разверткой конуса. Длина дуги, составляющей след окружности основания конуса с диаметром D, равна к D, а радиус размером R равен длине боковой образующей конуса 1.

Развертка прямого перехода с доступной вершиной. Если срезать конус параллельно основанию, то получим усеченный конус (рис. 129,б).

Чтобы вычертить развертку усеченного конуса, строим его боковой вид (АБВГ на рис. 129,в) по заданному для данного примера диаметру нижнего основания D = 320 мм, верхнего основания d = 145 мм и высоте h = 270 мм.

Для построения развертки продолжаем линии АГ и БВ до их пересечения в точке О (рис. 129,в). Если построение сделано правильно, то точка О обязательно должна расположиться на осевой линии.

Ставим циркуль в точку О и проводим две дуги: одну через точку А и другую через точку Г; от произвольной точки В 1 на нижней дуге откладываем длину окружности основания конуса, которую определяем умножением диаметра D на 3,14. Точки В 1 и Н соединяем с вершиной О. Фигура Д 1 В 1 НН 1 будет разверткой усеченного конуса. К полученной развертке прибавляем припуски на фальцы, как показано на рисунке.

Указанный выше способ построения развертки усеченного конуса возможен при условии, если боковые образующие АГ и БВ при их продолжении пересекаются на доступном расстоянии от основания конуса, т. е. при доступной вершине конуса.

Развертка прямого перехода с недоступной вершиной. Если диаметр верхней окружности конуса по размеру мало отличается от диаметра нижней окружности, то прямые АГ и БВ в пределах картины не пересекутся. В таких случаях для вычерчивания развертки прибегают к приближенным построениям.

Одним из наиболее простых способов приближенного построения развертки перехода с малой конусностью является способ Л. А. Лаптопа.

Построим для примера развертку перехода с высотой h = 750 мм, диаметром нижнего основания D = 570 мм и диаметром верхнего основания d = 450 мм. Для определения высоты развертки I чертим боковой вид перехода по заданным размерам, как показано на рис. 130,а. Длина I боковой образующей бокового вида перехода и будет высотой развертки. Построение развертки этого перехода по способу Л. А. Лапшова (рис. 130,б) производится следующим образом.

Рис. 130. Развертка перехода круглого сечения по способу Л. А. Лапшова

Сначала определяем приблизительные размеры развертки, чтобы, можно было при вычерчивании развертки правильно расположить ее на листах кровельной стали с целью уменьшения отходов и экономии материалов. Для этого вычисляем ширину развертки перехода у нижнего и верхнего основания.

Ширина развертки у нижнего основания равна 3.14 х D = 3,14 х 570 = 1 790 мм, ширина развертки у верхнего основания равна 3.14 х d = 3,14 х 450 =1 413 мм.

Так как ширина развертки больше длины листа (1 420 мм), а высота больше ширины листа (710 мм), то картина для перехода по длине и ширине будет составляться из листа с надставками.

Полная ширина картины с припусками на фальцы (одинарный замыкающий шириной 10 мм и промежуточный двойной шириной 13 мм) будет равна 1 790 + 25 + 43=1 858 мм.

Для построения развертки на картине проводим ось О-О" на расстоянии приблизительно 930 мм от края (1 858:2). На расстоянии 20 мм от нижней кромки листа откладываем высоту развертки /, размер которой берем с бокового вида, и находим точки Л и Б, как показано на рис. 130,б. Точки А и Б будут крайними точками оси развертки перехода. От точки Б влево на перпендикулярной к ней линии откладываем отрезок, равный 0,2 (D - d), находим точку В и соединяем ее прямой с точкой А. В нашем примере этот отрезок равен 0,2 (570 - 450) = 24 мм. Эта величина составляет поправку на точность разметай и определена практическим путем. Из точек А и В проводим влево перпендикулярные линии и на них откладываем величины 3.14 х d / 8 и 3.14 х D / 8, т. е. 1/8 часть развертки. Получаем точки 3, З 1 которые соединяем прямой. Таким же образом строим еще три раза влево по 1/8 части развертки перехода и получаем левую половину развертки перехода.

Кривые, образующие верхнюю и нижнюю дуги развертки, строим прй помощи угольника и линейки, как показано на рис. 130,б.

К полученным кривым прибавляем ширину отбортовки на фланцы и линию раскроя разрезаем ножницами

Затем перегибаем отрезанную часть материала на правую сторону развертки по шаблону (на рисунке заштриховано) и отрезаем лишний материал. К полученной развертке прибавляем припуск на продольный замыкающий фальц.

Развертка косого перехода круглого сечения. Косым переходом называется такой, у которого центры верхнего и нижнего оснований лежат на разных осях в одной или двух плоскостях. Расстояние между этими осями называется смещением центров.

Косые переходы круглого сечения применяются для соединения круглого приемного отверстия вентилятора с воздуховодами круглого сечения, если центры их лежат на разных осях.

Развертка косого перехода круглого сечения, поверхность которого представляет собой боковую поверхность усеченного конуса, выполняется методом делений всей поверхности косого перехода на вспомогательные треугольники.

Пусть нам требуется построить развертку косого перехода высотой H = 400 мм; диаметр нижнего основания D = 600 мм; диаметр верхнего основания d = 280 мм; смещение центров в одной плоскости / = 300 мм.

Строим боковой вид косого перехода (рис. 131,а). Для этого откладываем линию АБ = 600 мм. Из центра этой линии - нижнего основания конуса - проводим ось O 1 -О 1 и откладываем на ней высоту H = 400 мм. Из верхней точки высоты Н проводим горизонтальную линию и откладываем на ней влево размер смещения - 300 мм, находим центр О - верхнего основания. Из центра О откладываем влево и вправо по 140 мм - половину диаметра верхнего основания - и находим крайние точки В и Г. Соединяем прямыми линиями точки А и В, Б и Г и получаем боковой вид косого перехода АВГБ.

Рис. 131. Развертка косого перехода круглого сечения"со смещением центров верхнего и нижнего оснований в одной плоскости

Для построения развертки половины перехода разбиваем его поверхность на ряд вспомогательных треугольников.

Для этого делим большую и малую полуокружности, каждую на 6 равных частей, и точки деления малой полуокружности обозначаем цифрами 1", 3", 5", 7", 9", 11" и 13", а точки деления большой полуокружности - цифрами 1", 3", 5", 7", 9",11" и 13",

Соединяя точки 1"-1", 1"-3", 3"-3", 3"-5" и т. д., получаем линии 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6 1 , 7 1 , 8 1 , 9 1 , 10 1 , 11 1 , 12 1 и 13 1 , которые и делят боковую поверхность половины перехода на вспомогательные треугольники, по трем сторонам которых - 1"-1", 1"-3" И 3"-1" и т.д. - можно построить развертку этих треугольников.

В этих треугольниках истинными величинами на плане являются только стороны 1"-3", 3"-5", 1"-3", 3"-5" и т. д.

Стороны треугольников, обозначенные на плане линиями под цифрами 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 и т. д., не являются истинными величинами, а потому изображаются на плане в сокращенном виде (проекции).

Истинными же величинами этих сторон будут являться гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен высоте перехода Н, а другой катет - размерам линий 1 1 , 2 1 , З 1 , 4 1 , 5 1 и т. д. (рис. 131,е).

Для определения истинных величин этих линий строим ряд прямоугольных треугольников с катетом а-б, равным Н, и катетами б - 1 1 , б - 2 1 , б - 3 1 , б - 4 1 т. д., равными лйниям 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 и т. д. В этих треугольниках (рис. 131,в) и находим длины гипотенуз 1, 2, 3, 4 и т. д.

Чтобы не затемнить построение, размеры линий с нечетными цифрами 1 1 , 3 1 , 5 1 и т. д. откладываем по одной стороне катета б-а, а с четными цифрами 2 1 , 4 1 и т. д. - по другой стороне катета б-а.

Построение развертки половины косого перехода производим следующим образом (рис. 131,г).

Проводим осевую линию О-О и на ней откладываем линию 1"-1", равную гипотенузе 1. Из точки 1" радиусом, равным 1"-3", проводим циркулем засечку, а из точки 1" радиусом, равным гипотенузе 2, проводим циркулем другую засечку и находим точку 3". Треугольник 1" 1" 3" и будет первым треугольником развертки. Точно так же к нему пристраивается второй треугольник по сторонам 1"-3" и гипотенузе 3. Остальные треугольники строятся таким же способом. Полученные точки 1", 3", 5" и т. Д., а также точки 1", 3", 5" и т. д. соединяют плавными кривыми, как показано на рисунке.

К полученному контуру развертки половины косого перехода прибавляют припуски на фальцы и фланцы.

По данному шаблону развертки выкраивают вторую симметричную половину развертки.

Развертка косого перехода со смещением центров верхнего и нижнего оснований в двух плоскостях. Пусть нам требуется построить развертку косого перехода, имеющего смещение центров в горизонтальной плоскости е = 300 мм и смещение центров в вертикальной плоскости е 1 = 150 мм; диаметр нижнего основания D = 700 мм; диаметр верхнего основания d = 400 мм; высота Н = 400 мм.

Строим боковой вид, как было описано выше (рис. 132,а).

Рис. 132. Боковой вид и план косого перехода круглого сечения со смещением центров верхнего и нижнего оснований в двух плоскостях

Для построения плана (рис. 132,б) поступаем следующим образом.

Строим прямоугольник с горизонтальной стороной, равной 300 мм (смещению е), и вертикальной стороной, равной 150 мм (смещению e 1). Горизонтальную сторону прямоугольника располагаем между осями верхнего и нижнего оснований, как показано на рис. 132,б.

Центры верхнего и нижнего оснований косого перехода со смещением в двух плоскостях будут расположены в вершинах противоположных углов прямоугольника по диагонали. Проводим на этой диагонали ось О-О и на ней строим план половины косого перехода. Разбивка плана на отдельные треугольники и построение развертки выполняется так же, как и для косого перехода со смещением в одной плоскости.

После изготовления переходов на них ставят фланцы, как было указано выше.

Цель лекции: изучение свойств развертки и способов построения разверток многогранников и поверхностей вращения

· Развертка поверхностей. Общие понятия.

· Способы построения разверток: методы триангуляции, нормального сечения и раскатки.

· Построение разверток гранных поверхностей и поверхностей вращения.

Развертка поверхностей. Общие понятия

Развертка

плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Развертку можно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся , а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Основные свойства развертки

1 Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; 2 Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; 3 Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; 4 Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; 5 Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

Методы триангуляции, нормального сечения и раскатки

Построение разверток гранных поверхностей и поверхностей вращения

а) Развертка поверхности многогранника.

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью.

Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.

Метод триангуляции

Пример 1. Развертка пирамиды (рисунок 13.1).

При построении развертки пирамиды применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих.

Рисунок 13.1. Пирамида и её развертка

Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания. Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рисунок 13.2):

Рисунок 13.2. Определение истинной величины

основания и ребер пирамиды

Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. Примером первой точки на рисунках служит точка К 0 и К ÎSАD , а иллюстрацией второго случая являются точки М 0 и М 0 * . Для определения точки К 0 на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ (метод замены плоскостей проекций) и SК (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S 0 М 0 и, наконец, точки К 0 .

Рисунок 13.3. Построение развертки пирамиды

Способ нормального сечения

В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину.

Пример 2. Развертка призмы (рисунок 13.4).

Пересекая призму вспомогательной плоскостью α , перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1 , 2 , 3 , а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

В дальнейшем строям отрезок 1 0 -1 0 * , равный периметру нормального сечения. Через точки 1 0 , 2 0 , 3 0 и 1 0 * проводят прямые, перпендикулярные 1 0 -1 0 * , на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 1 0 , отложены отрезки 1 0 D 0 =1 4 D 4 и 1 0 А 0 =1 4 А 4 .. Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание.

Способ раскатки

Пример 3. Развертка призмы, частный случай, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину (рисунок 13.5).

Развертка боковой поверхности такой призмы осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций.

Рисунок 13.4. Развертка призмы способом нормального сечения

Рисунок 13.5. Развертка призмы способом раскатки

Затем новую проекцию призмы вращают вокруг ребра С 4 F 4 до тех пор пока грань ACDF не станет параллельной плоскости П 4 .

При этом положение ребра С 4 F 4 остается неизменным, а точки принадлежащие ребру AD перемещаются по окружностям, радиус которых определяется натуральной величиной отрезков AC и DF (так как основания призмы параллельны П 1 то на эту плоскость проекций они проецируются без искажения, т.е. R =A 1 C 1 =D 1 F 1 ), расположенных в плоскостях, перпендикулярных ребру С 4 F 4 .

Таким образом, траектории движения точек A и D на плоскость П 4 проецируются в прямые, перпендикулярные ребру С 4 F 4 .

Когда грань ACDF станет параллельна плоскости П 4 , она проецируется на неё без искажения т.е. вершины A и D окажутся удаленными от неподвижных вершин C и F на расстояние, равное натуральной величине отрезков AC и DF . Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки A 4 и D 4 дугой радиуса R =A 1 C 1 =D 1 F 1 , можно получить искомое положение точек развертки A 0 и D 0 .

Следующую грань АBDE вращают вокруг ребра AD . На перпендикулярах, по которым перемещаются точки B 4 и E 4 делают засечки из точек A 0 и D 0 дугой радиуса R =A 1 B 1 =D 1 E 1 . Аналогично строится развертка последней боковой грани призмы.

Процесс последовательного нахождения граней призмы вращением вокруг ребер можно представить как раскатку призмы на плоскость параллельную П 4 и проходящую через ребро С 4 F 4 .

Построение на развертке точки К , принадлежащей боковой грани АBDE, ясно из рисунка. Предварительно через эту точку по грани провели прямую NМ , параллельную боковым ребрам, которая затем построена на развертке.

б) Развертка цилиндрической поверхности.

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму (рисунок 13.6). Чем больше углов в призме, тем точнее развертка (при n → призма преобразуется в цилиндр).

в) Развертка конической поверхности

Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду (рисунок 13.6).

Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l , а центральный угол φ =360 о r / l , где r – радиус окружности основания конуса.

Рисунок 13.6. Развертка цилиндрической поверхности

Рисунок 13.7. Развертка конической поверхности

Контрольные вопросы

1 Что называют разверткой поверхности?

2 Какие поверхности называют развертывающимися и какие – неразвертывающимися?

3 Укажите основные свойства разверток

4 Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра.

5 Какие способы построения разверток многогранников вы знаете?

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью. Естественно, что замкнутая поверхность не может быть совмещена с плоскостью без разрывов. Предварительно поверхность разрезают по некоторым линиям, а затем совмещают ее с плоскостью. Построение разверток поверхностей представляет большой практический интерес при конструировании различных сооружений и изделий из листового материала. На развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями. Для построения развертки поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом.

Уже в самых первых сочинениях по начертательной геометрии хорошо отработаны алгоритмы построения точных разверток цилиндра, конуса и торса геликоида (открытой винтовой поверхности). Под разверткой поверхности понимается совмещение части (отсека) поверхности с плоскостью. Часть цилиндра разрезается одной из образующих и совмещается с плоскостью. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра изображается в виде прямоугольника высотой l и длиной πd , где l – длина образующей цилиндрической поверхности, d – диаметр основания цилиндра (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Развертка прямого кругового цилиндра

Кроме прямых линий изгиба и кручения на развертке можно провести множество других прямых линий, которым на поверхности соответствуют геодезические линии, определяющие кратчайшие расстояния между точками поверхности. На цилиндрической и конической поверхности геодезической линией является винтовая линия.

Разверткой прямого кругового конуса является сектор круга с радиусом l и углом φ , равным или 2π∙cosβ , где l – длина образующей, d – диаметр основания конуса (рис. 5.20). Конус и цилиндр рассматриваются как частный случай поверхности с ребром возврата, когда ребро возврата вырождается в конечную и бесконечно-удаленную точку. Коническая поверхность также имеет две полы, лежащие с разных сторон от вершины конуса.

Рис. 5.20. Развертка прямого кругового конуса

На рис. 5. 21 приведен пример построения развертки одной полы геликоида, ограниченного ребром возврата (гелисой – цилиндрической винтовой линией с диаметром d ), горизонтальными плоскостями с расстоянием между нимиравным h (высотой h) . Поверхность разрезается по ребру возврата и одной из образующих и совмещается с плоскостью. Винтовая линия на развертке преобразуется в дугу окружности с радиусом ρ и углом φ . Длина дуги окружности равна длине винтовой линии (L=π d/ cosβ ). Величину радиуса ρ определим из равенства 2 π ρ φ/360°= π d/ cosβ . Откуда ρ = d 180°/ cosβ∙φ . Образующие геликоида параллельны образующим направляющего конуса, отсюда сумма углов между образующими геликоида равна сумме углов между направляющими конуса (φ = 2π∙cosβ ). Если вместо φ подставить его значение, то получим ρ = d / 2cosβ 2 .

Поверхностью с ребром возврата имеет две полы, лежащие с разных сторон от точек касания. Если ребром возврата является плоская кривая линия, то поверхность превращается в плоскость.

На линейчатых поверхностях общего вида можно выделить линии сжатия (горло однополостного гиперболоида, линия сужения косой плоскости, стрикционные линии цилиндроида и т.п.), на которых пересекаются близлежащие образующие поверхности. Линии сжатия являются аналогом ребра возврата, с той лишь разницей, что образующие не касаются линии сжатия, а пересекают её под каким-либо углом. Поверхности цилиндрические, конические и с ребром возврата можно получить из плоскости развертки с помощью деформации изгиба. Линейчатые поверхности общего вида получаются из плоскости развертки с помощью деформации кручения и изгиба. Отметим также, что из плоскости развертки можно с помощью изгиба получить поверхность только теоретически, а практически наличие деформаций сжатия и растяжения неизбежно, так как не существует изделий без толщины.

Рис. 5. 21. Развертка эвольвентного (открытого) геликоида

Развертка поверхности отсека прямого закрытого геликоида с шагом Н и диаметром цилиндрической винтовой линии d представляет собой неполное кольцо (рис. 5.22). Шаг винтовой поверхности разворачивается в длину дуги окружности диаметром d 1 , Тогда, Н = π d 1 ∙ φ/360° . Определим величину угла φ из полученной зависимости: φ = Н ∙360°/π d 1 .Винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D . Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360° . D = d + d 1 . Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d + d 1) ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = πd360°/cosβ(d + d 1) . Величина диаметра d 1 можетопределена из сравнения формул для определения угла φ : d 1 = Нd cosβ/(π 2 d – Нcosβ) или d 1 = d sinβ/(π –sinβ) .

Рис. 5.22. Развертка прямого закрытого геликоида

Развертка поверхности отсека кольцевого закрытого геликоида с шагом Н и диаметрами внутренней и наружной цилиндрических винтовых линий d и d ׳ также представляет собой неполное кольцо (см. рис. 5.22). Внутренняя винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром d ׳.Тогда, L ׳ = πd/cosβ = π d ׳ ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = d360°/cosβ d ׳. Наружная винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D . Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360° . D = (d – d ׳) + d 1 . Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d – d ׳+ d 1) ∙ φ/360° . Определим величину угла φ , φ = d360°/cosβ(d – d ׳+ d 1) .

Разверткой поверхности отсека косого закрытого геликоида является закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Разверткой поверхности отсека однополостного гиперболоида вращения является также закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Горло поверхности разворачивается в дугу окружности внутренней дуги окружности, а основание однополостного гиперболоида разворачивается в дугу окружности внешней дуги окружности. Для построения развертки линейчатой поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом. Развертка линейчатой поверхности строится для одной полы ограниченной части поверхности. Разделение поверхности на полы происходит по линии сжатия.

Если неизвестна закономерность перехода от поверхности к развертке, то строится приближенная развертка. Для этого поверхность заменяется вписанной или описанной многогранной поверхностью и строится ее развертка. Если поверхность разбивается на множество треугольников, то способ называется триангуляцией. Построение развертки связано с определением натуральной величины каждой грани. Рассмотренные на предыдущих лекциях метрические задачи являются составной частью построения развертки. Построение разверток – это комплексная метрическая задача, в которой важно рационально организовать графические построения, чтобы добиться точности и быстроты построения.

Для усеченного цилиндра и конуса, также для наклонных цилиндрических и конических поверхностей и других поверхностей строят приближенные развертки, так как недостаточно исследованы вопросы построения разверток: необходимо установить геометрическую проекционную связь между поверхностями и их развертками.

Рассмотрим пример построения развертки призмы методом раскатки и методом нормального сечения. Разрежем призму по ребру АА ׳ и будем вращать ее грани вокруг ребер до совмещения с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро АА ׳ . Точки В , В ׳ , С и С ׳ при вращении перемещаются в плоскостях, перпендикулярных к ребрам (рис.5.23). От точки А 2 проведем дугу радиусом А 1 В 1 до пересечения с перпендикуляром из В 2 к А 2 А 2 ׳ и получим В о . Аналогично получаем остальные точки. Пристроим нижнее и верхнее основания и получим полную развертку призмы. Рассечем призму плоскостью α , перпендикулярной к ребрам, и определим натуральную величину сечения А"В"С" ׳ , например совместив его с π 1 . Нормальное сечение разворачивается в прямую линию А о В о С о .

С 2 ׳

Рис. 5.23. Развертка наклонной призмы

На практике для неразрывающихся нелинейчатых поверхностей также строят развертки, для этого их аппроксимируют развертывающимися поверхностями (разбивают их на части, которые заменяют плоскостями или развертываемыми поверхностями, т.е. вписывают или описывают вокруг них несколько цилиндрических, конических или других поверхностей), а затем строят для них развертки. Полученная развертка всей поверхности является условной, так как состоит из множества отдельных плоских фигур, для получения поверхности их необходимо склеивать между собой и отдельные участки подвергать сжатию и растяжению. Чем больше число разбиений, тем меньше кусочки, на которые распадается поверхность. Это принципиальное отличие условной развертки от приближенной.