Реферат: Квадратные уравнения и уравнения высших порядков. История развития квадратных уравнений

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения. Отсюда уравнение: (10+х)(10 -х) =96 или же: 100 - х2 =96 х2 - 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1) "> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)

Квадратные уравнения у ал – Хорезми. 1) «Квадраты равны корнями» , т. е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу» , т. е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу» , т. е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням» , т. е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу» , т. е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам» , т. е. bx + с = ах2.

Квадратные уравнения в Европе ХIII ХVII вв. х2 +bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета. «Если В + D, умноженное на А - А 2, равно ВD, то А равно В и равно D» . На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т. е. х2 - (а + b)х + аb = 0, то х1 = а, х2 = b.

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10 х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10 х - 24 = х2 + 12 х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10 х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6 х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6 х в следующем виде: х2 + 6 х = х2 + 2 х 3. полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6 х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6 х - 7 = х2 + 2 х 3 + 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4 а и последовательно имеем: 4 а 2 х2 + 4 аbх + 4 ас = 0, ((2 ах)2 + 2 ах b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p а) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 0 и p= 8 > 0. б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски» . Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

Пример. Решим уравнение 2 х2 – 11 х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11 у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у1 = 5 у2 = 6 х1 = 5/2 x 2 = 6/2 Ответ: 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), т. е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

Пример 1) Решим графически уравнение х2 - 3 х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3 х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3 х + 4. Прямую у = 3 х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. нахождения корней квадратного циркуля и линейки (рис. 5). уравнения Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC, откуда OC = OB OD/ OA= х1 х2/ 1 = c/a. ах2 + bх + с = 0 с помощью

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. z 2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 11): Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Примеры. 1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8, 0 и z 2 = 1, 0 (рис. 12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0, 5. 3) Для уравнения z 2 - 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t, получим уравнение t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0, 6 и t 2 = 4, 4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3, 0 и z 2 = 5 t 2 = 22, 0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений. Примеры. 1) Решим уравнение х2 + 10 х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис. 15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

у2 + 6 у - 16 = 0. Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6 у = 16, или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у2 + 6 у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6 у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис. 16).

Из истории квадратных уравнений .

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать , что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 + х = , х 2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным , однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры , однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны , то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

(10+x)(10-x) =96,

или же

100 -x 2 = 96.

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел , то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме

ах 2 + b х = с, а > 0

В уравнении коэффициенты , кроме а , могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 3.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

x 2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

x 2 - б4х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

в) Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. 
   «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх.
2. 
   «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с.
3. 
   «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4. 
   «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх.
5. 
   «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с.
6. 
   «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2 .

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений , пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми , как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя , от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

г) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой , и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х 2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета , однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера , решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения , составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI-Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения , в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI-XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения , была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения , его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Исследовательская работа

На тему

«Способы решения квадратных уравнений »

Выполнила:
группа 8 «Г » класса

Руководитель работы:
Беньковская Мария Михайловна

Цели и задачи проекта.

1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн.
2. Подчеркнуть, что математиков отличает нестандартное мышление. А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение!
3. Показать, что сама попытка решения квадратных уравнений содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
4. Научиться работать с различными источниками информации.
5. Продолжить исследовательскую работу по математике

Этапы исследования

1. История возникновения квадратных уравнений.

2. Определение квадратного уравнения и его виды.

3. Решение квадратных уравнений, используя формулу дискриминанта.

4. Франсуа Виет и его теорема.

5. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.

6. Практическая направленность.

Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешал проблем.

(Чосер, английский поэт, средние века.)

этап. История возникновения квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени, ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать ещё около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает, по существу, с современными, однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта содержится систематический ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемые при помощи составления уравнений различных степеней, однако в ней нет систематического изложения алгебры.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономических трактатах «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индейским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Для аль-Хорезми, незнавшего отрицательных чисел, члены каждого уравнения слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений, при решении неполного квадратного уравнения аль-Хорезми, как и все ученые до XVII века, не учитывает нулевого решения.

Трактат аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объёмистый труд отличается полнотой и ясностью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические приёмы решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII и частично XVIII веков.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, не только положительные, но и отрицательные корни. Лишь в XVII веке, благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

ОКАЗЫВАЕТСЯ :

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач – ОЛИМПИАДЫ.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11

Министерство образования и науки РТ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Усадская средняя общеобразовательная школа

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Исследовательская работа:

«История возникновения квадратных уравнений »

Выполнила: Андреева Екатерина,

ученица 8Б класса

Научный руководитель:

Пожарская Татьяна Леонидовна,

учитель математики

Введение

Кто хочет ограничиться настоящим

без знания прошлого,

тот никогда его не поймет.

Г.В. Лейбниц

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место, но ни один из видов уравнений не нашел столь широкого применения, как квадратные уравнения.

Уравнение второй степени или квадратные уравнения, люди умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до нашей эры. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. И в настоящее время многие задачи алгебры, геометрии, физики так же решаются с помощью квадратных уравнений. Решая их, люди находят ответы на различные вопросы науки и техники.

Цель данного исследования - изучить историю возникновения квадратных уравнений.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить научную литературу по теме.
2. Проследить историю возникновения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: история возникновения квадратных уравнений.

Актуальность темы :

1. Решением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю возникновения квадратных уравнений.
2. В школьных учебниках нет информации об истории возникновения квадратных уравнений.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой.
2. Наблюдение, сравнение, анализ.

Научная ценность работы, на мой взгляд, заключается в том, что данный материал может быть интересен школьникам, увлекающимся математикой, и учителям на факультативных занятиях.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

В Древнем Вавилоне необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х 2 - х = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

«Площадь, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям, решение которых сводится к решению квадратного уравнения, имеющему положительный корень.

В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т. д

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Он был одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Полагают, что он жил в III в.н.э. Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения из арифметики Диофанта:

1. 12x 2 +x = 1
2. 630x 2 +73x=6.

Еще в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук.

Наибольших успехов Индийские ученые достигли в области математики . Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греков.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +bх=с, а>0.

Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования
в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

« Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая,

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствуют о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче уравнение

Бхаскара пишет под видом х 2 - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляют к обеим частям 32 2 ,получая затем:

х 2 -64х+32 2 =-768+1024,

х 1 =16, х 2 =48.

Квадратные уравнения в Китае (1 тысячелетие до н.э.).

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII--XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н. э. Китай был завоёван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. К сожалению, «истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном (Ши Хуанди) не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов.

«Математика в девяти книгах» - это первое математическое сочинение из ряда классических в древнем Китае, замечательный памятник древнего Китая времени династии Ранней Хань (206г. до н.э. - 7 г. н. э.). В этом сочинении содержится разнообразный и богатый по содержанию математический материал, в том числе и квадратные уравнения.

Китайская задача: «Имеется водоём со стороной 10 чи. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

(х+1) 2 =х 2 +5 2 ,

х 2 +2х+1= х 2 +25,

Ответ:12чи; 13чи.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

«Я составил краткую книгу об исчислении алгебры и алмукабалы, заключающую в себе простые и сложные вопросы арифметики, ибо это необходимо людям.» Ал-Хорезми Мухаммед бен-Муса.

Ал-Хорезми (Узбекистан) известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала»), от названия которой произошло слово «алгебра». Этот трактат является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

В теоретической части своего трактата ал-Хорезми даёт Классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть их видов:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх. (пример:)

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с.(пример:)

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с. (пример:)

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх. (пример:)

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2 . (пример:)

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: « Раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень».

Знаменитое уравнение Аль-Хорезми: «Квадрат и десять корней равны 39». x 2 + 10x = 39 (IX век) . В своем трактате он пишет: «Правило таково: раздвой число корней, получится в этой задаче пять. Прибавь это к тридцатидевяти, будет шестьдесят четыре. Извлеки из этого корень, будет восемь, и вычти из этого половину числа корней, т.е. пять, останется три: это и будет корень квадрата, который ты искал»

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду x 2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Заключение.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Квадратные уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.

Литература

1. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.
2. Березкина Э.И. Математика древнего Китая - М.: Наука, 1980
3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся

7-9 кл. сред.шк. - М.: Просвещение, 1990

1. Глейзер Г. И. История математики в школе VII - VIII кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982.

Из истории квадратных уравнений Автор: обучающаяся 9 «А» класса Радченко Светлана Руководитель: Алабугина И.А. учитель математики МБОУ “CОШ №5 г.Гурьевска” Кемеровской области Предметная область презентации: математика Выполнена в помощь учителю Всего 20 слайдов Содержание Введение…………………………………………………………………………3 Из истории возникновения квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………………….4 Квадратные уравнения в Индии………………………………………………...5 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми…………………………………………6 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………….....7 Квадратные уравнения в Европе Xll – XVll вв.………………………………...8 3. Квадратные уравнения в наши дни…………………………………………….10 Методика изучения квадратных уравнений……………………………………11 10 способов решения квадратных уравнений………………………………….12 Алгоритм решения неполных квадратных уравнений…………………………13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения…………………………..14 Решение приведенных квадратных уравнений…………………………………15 4.Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач…………………………………………………………………………………….16 5.Заключение. …………………………………………………………………………18 1. 2. 6.Список используемой литературы…………………………………………….19 2 Введение Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский 3 Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они широко применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Квадратные уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится много времени школьного курса математики. В основном квадратные уравнения служат конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений, в том числе квадратных. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники. Из истории возникновения квадратных уравнений Древний Вавилон: уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Например, в Древнем Вавилоне, решали такие квадратные уравнения: 4 Индия Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии "Ариабхаттиам", написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:ax2+bx=c; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме «a» могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. 5 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми: В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т.е. ах2 = bх.; «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с; «Корни равны числу», т. е. ах = с; «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх; «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с; «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. 6 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения: Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в. н.э. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. 7 Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.: Итальянский математик Леонард Фибоначчи разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. Михаэлем Штифелем. 8 Франсуа Виет Французский математик Ф. Виет (1540-1603), ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. 9 Квадратные уравнения в наши дни Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обуславливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных уравнений 10 Методика изучения квадратных уравнений С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. 11 10 способов решения квадратных уравнений: Разложение левой части уравнения на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Решение уравнений способом «переброски» Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Графическое решение квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 12 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Геометрический способ решения квадратных уравнений. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений 1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0; 2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = 3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее х2.= В случае, когда - < 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня. 13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное. Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0. 1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; 14 Решение приведенных квадратных уравнений Теорема Ф.Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Теорема обратная теореме Виета: Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (*), то x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0. 15 Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач Бхаскара (1114-1185) - крупнейший индийский математик и астроном XII века. Возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне. Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» - алгебре, «Голадхайя» - сферике, «Гранхаганита» - теории планетных движений. Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя. 16 Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары: Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. 17 Заключение Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь. Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид. Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Изучая литературу и Интернет ресурсы, связанные с историей развития квадратных уравнений, я спрашивала себя: «Что же двигало ученых, живших в такое непростое время, заниматься наукой, даже под угрозой смерти?» Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума, которая является ключом к развитию науки. Вопросы о сущности Мира, о месте человека в этом мире не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным, разумным. Понять себя, свое место в мире люди стремились во все времена. Загляните и Вы в себя, может, страдает Ваша природная любознательность, потому что Вы уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – 18 примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Задумайтесь: каков я для окружающих меня близких людей? Но самое главное – как я сам к себе отношусь, достоин ли уважения? Подумайте об этом… Список литературы 1. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002. 2. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М., 1985. 3. Ю.Н.Макарычев “Алгебра 8 класс”, М, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Спасибо за внимание 20