Il volume di una figura limitata da linee. Lezione “Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito

Il volume di un corpo di rivoluzione può essere calcolato utilizzando la formula:

Nella formula il numero deve essere presente prima dell'integrale. Così è successo: tutto ciò che ruota nella vita è collegato a questa costante.

Penso che sia facile indovinare come impostare i limiti di integrazione “a” e “essere” dal disegno completato.

Funzione... cos'è questa funzione? Diamo un'occhiata al disegno. La figura piana è delimitata in alto dal grafico della parabola. Questa è la funzione implicita nella formula.

Nelle attività pratiche, a volte può essere posizionata una figura piatta sotto l'asse. Ciò non cambia nulla: la funzione nella formula è al quadrato: , quindi il volume di un corpo di rivoluzione è sempre non negativo, il che è molto logico.

Calcoliamo il volume di un corpo di rotazione utilizzando questa formula:

Come ho già notato, l'integrale risulta quasi sempre semplice, l'importante è stare attenti.

Risposta:

Nella tua risposta, devi indicare la dimensione: unità cubiche. Cioè nel nostro corpo di rotazione ci sono circa 3,35 “cubi”. Perché cubico unità? Perché la formulazione più universale. Potrebbero esserci centimetri cubi, potrebbero esserci metri cubi, potrebbero esserci chilometri cubi, ecc., ecco quanti omini verdi la tua immaginazione può mettere in un disco volante.

Esempio 2

Trova il volume di un corpo formato dalla rotazione attorno all'asse di una figura delimitata dalle linee , ,

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Consideriamo due problemi più complessi, che spesso si incontrano anche nella pratica.

Esempio 3

Calcola il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse della figura delimitata dalle linee , , e

Soluzione: Rappresentiamo nel disegno una figura piatta delimitata dalle linee , , , , senza dimenticare che l'equazione definisce l'asse:

La figura desiderata è ombreggiata in blu. Quando ruota attorno al proprio asse, risulta essere una ciambella surreale con quattro angoli.

Calcoliamo il volume del corpo di rotazione come differenza di volume dei corpi.

Per prima cosa, osserviamo la figura cerchiata in rosso. Quando ruota attorno ad un asse si ottiene un tronco di cono. Indichiamo il volume di questo tronco di cono con .

Considera la figura cerchiata in verde. Se ruoti questa figura attorno all'asse, otterrai anche un tronco di cono, solo leggermente più piccolo. Indichiamo il suo volume con .

E, ovviamente, la differenza di volume è esattamente il volume della nostra “ciambella”.

Usiamo la formula standard per trovare il volume di un corpo di rotazione:

1) La figura cerchiata in rosso è delimitata superiormente da una retta, quindi:

2) La figura cerchiata in verde è delimitata superiormente da una linea retta, quindi:

3) Volume del corpo di rivoluzione desiderato:

Risposta:

È curioso che in questo caso la soluzione possa essere verificata utilizzando la formula scolastica per il calcolo del volume di un tronco di cono.

La decisione stessa è spesso scritta più breve, qualcosa del genere:

Ora prendiamoci un po’ di riposo e vi parliamo delle illusioni geometriche.

Le persone spesso hanno illusioni associate ai volumi, che sono state notate da Perelman (non quello) nel libro Geometria divertente. Guarda la figura piatta nel problema risolto: sembra avere un'area piccola e il volume del corpo di rivoluzione è poco più di 50 unità cubiche, il che sembra troppo grande. A proposito, la persona media beve l'equivalente di una stanza di 18 metri quadrati di liquido in tutta la sua vita, il che, al contrario, sembra un volume troppo piccolo.

In generale, il sistema educativo in URSS era davvero il migliore. Lo stesso libro di Perelman, scritto da lui nel 1950, sviluppa molto bene, come diceva l'umorista, il pensiero e insegna a cercare soluzioni originali e non standard ai problemi. Recentemente ho riletto alcuni capitoli con molto interesse, lo consiglio, è accessibile anche agli umanisti. No, non c’è bisogno di sorridere se ti ho offerto del tempo libero, l’erudizione e gli ampi orizzonti nella comunicazione sono una gran cosa.

Dopo una digressione lirica, è opportuno risolvere un compito creativo:

Esempio 4

Calcola il volume di un corpo formato dalla rotazione attorno all'asse di una figura piana delimitata dalle linee , , dove .

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Tieni presente che nella banda succedono tutte cose, in altre parole vengono dati limiti di integrazione praticamente già pronti. Prova anche a disegnare correttamente i grafici delle funzioni trigonometriche; se l'argomento è diviso per due: allora i grafici vengono allungati due volte lungo l'asse. Prova a trovare almeno 3-4 punti secondo le tavole trigonometriche e completare più accuratamente il disegno. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. A proposito, il compito può essere risolto razionalmente e non molto razionalmente.

Calcolo del volume di un corpo formato dalla rotazione
figura piatta attorno ad un asse

Il secondo paragrafo sarà ancora più interessante del primo. Anche il compito di calcolare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse delle ordinate è un ospite abbastanza comune nel lavoro di prova. Lungo il percorso verrà considerato problema di trovare l'area di una figura il secondo metodo è l'integrazione lungo l'asse, questo ti consentirà non solo di migliorare le tue capacità, ma ti insegnerà anche a trovare il percorso di soluzione più redditizio. C'è anche un significato di vita pratica in questo! Come ha ricordato con un sorriso la mia insegnante di metodi di insegnamento della matematica, molti laureati l'hanno ringraziata con le parole: "La tua materia ci ha aiutato molto, ora siamo manager efficaci e gestiamo in modo ottimale il personale". Cogliendo l'occasione, le esprimo anche la mia grande gratitudine, soprattutto perché utilizzo le conoscenze acquisite per lo scopo previsto =).

Esempio 5

Data una figura piatta delimitata dalle linee , , .

1) Trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee.
2) Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse una figura piatta delimitata da queste linee.

Attenzione! Anche se vuoi leggere solo il secondo punto, prima Necessariamente leggi il primo!

Soluzione: Il compito è composto da due parti. Cominciamo con il quadrato.

1) Facciamo un disegno:

È facile vedere che la funzione specifica il ramo superiore della parabola e la funzione specifica il ramo inferiore della parabola. Davanti a noi c’è una banale parabola che “giace su un lato”.

La figura desiderata, di cui si deve trovare l'area, è ombreggiata in blu.

Come trovare l'area di una figura? Può essere trovato nel modo “solito”, di cui si è parlato in classe Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura. Inoltre l’area della figura si trova come somma delle aree:
- sul segmento ;
- sul segmento.

Ecco perché:

Perché la solita soluzione è sbagliata in questo caso? Innanzitutto, abbiamo due integrali. In secondo luogo, gli integrali sono radici, e le radici negli integrali non sono un dono, e inoltre si può confondersi nel sostituire i limiti dell'integrazione. In effetti, gli integrali, ovviamente, non sono killer, ma in pratica tutto può essere molto più triste, ho semplicemente selezionato funzioni “migliori” per il problema.

Esiste una soluzione più razionale: consiste nel passare alle funzioni inverse e nell'integrare lungo l'asse.

Come arrivare alle funzioni inverse? In parole povere, devi esprimere la “x” tramite la “y”. Per prima cosa, diamo un'occhiata alla parabola:

Questo basta, ma facciamo in modo che la stessa funzione possa essere derivata dal ramo inferiore:

È più facile con una linea retta:

Ora guarda l'asse: inclina periodicamente la testa verso destra di 90 gradi come spieghi (non è uno scherzo!). La figura di cui abbiamo bisogno si trova sul segmento indicato dalla linea tratteggiata rossa. In questo caso, sul segmento la linea retta si trova sopra la parabola, il che significa che l'area della figura dovrebbe essere trovata utilizzando la formula che ti è già familiare: . Cosa è cambiato nella formula? Solo una lettera e niente più.

! Nota: è necessario impostare i limiti di integrazione lungo l'asse rigorosamente dal basso verso l'alto!

Trovare l'area:

Sul segmento, quindi:

Tieni presente come ho effettuato l'integrazione, questo è il modo più razionale, e nel prossimo paragrafo dell'attività sarà chiaro il motivo.

Per i lettori che dubitano della correttezza dell'integrazione, troverò i derivati:

Si ottiene la funzione integranda originale, il che significa che l'integrazione è stata eseguita correttamente.

Risposta:

2) Calcoliamo il volume del corpo formato dalla rotazione di questa figura attorno all'asse.

Ridisegnerò il disegno con un design leggermente diverso:

Quindi, la figura ombreggiata in blu ruota attorno all'asse. Il risultato è una “farfalla sospesa” che ruota attorno al proprio asse.

Per trovare il volume di un corpo di rotazione, integreremo lungo l'asse. Per prima cosa dobbiamo passare alle funzioni inverse. Ciò è già stato fatto e descritto in dettaglio nel paragrafo precedente.

Ora incliniamo di nuovo la testa a destra e studiamo la nostra figura. Ovviamente il volume di un corpo in rotazione va trovato come differenza di volumi.

Ruotiamo la figura cerchiata in rosso attorno all'asse, ottenendo un tronco di cono. Indichiamo questo volume con .

Ruotiamo la figura cerchiata in verde attorno all'asse e la denotiamo con il volume del corpo di rotazione risultante.

Il volume della nostra farfalla è uguale alla differenza di volume.

Usiamo la formula per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

Qual è la differenza rispetto alla formula del paragrafo precedente? Solo nella lettera.

Ma il vantaggio dell’integrazione, di cui ho parlato recentemente, è molto più facile da trovare , invece di elevare prima l'integrando alla 4a potenza.

Risposta:

Tuttavia, non una farfalla malaticcia.

Nota che se la stessa figura piatta viene ruotata attorno all'asse, otterrai un corpo di rotazione completamente diverso, con un volume diverso, naturalmente.

Esempio 6

Data una figura piana delimitata da linee e da un asse.

1) Vai alle funzioni inverse e trova l'area di una figura piana delimitata da queste linee integrando sulla variabile.
2) Calcolare il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse una figura piana delimitata da queste linee.

Utilizzo degli integrali per trovare i volumi dei corpi di rivoluzione

L'utilità pratica della matematica è dovuta al fatto che senza

La conoscenza matematica specifica rende difficile comprendere i principi del dispositivo e l'uso della tecnologia moderna. Ogni persona nella sua vita deve eseguire calcoli piuttosto complessi, utilizzare attrezzature di uso comune, trovare le formule necessarie nei libri di consultazione e creare semplici algoritmi per risolvere i problemi. Nella società moderna, sempre più specialità che richiedono un alto livello di istruzione sono associate all'applicazione diretta della matematica. Pertanto, la matematica diventa una materia professionalmente significativa per uno studente. Il ruolo principale spetta alla matematica nella formazione del pensiero algoritmico; sviluppa la capacità di agire secondo un dato algoritmo e di costruire nuovi algoritmi.

Mentre studiano l'argomento dell'utilizzo dell'integrale per calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione, suggerisco agli studenti delle classi facoltative di considerare l'argomento: "Volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali". Di seguito sono riportate le raccomandazioni metodologiche per considerare questo argomento:

1. Area di una figura piatta.

Dal corso di algebra sappiamo che problemi di carattere pratico hanno portato al concetto di integrale definito..gif" width="88" Height="51">.jpg" width="526" Height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" larghezza="127" altezza="25 src=">.

Per trovare il volume di un corpo di rotazione formato dalla rotazione di un trapezio curvilineo attorno all'asse del Bue, delimitato da una linea spezzata y=f(x), dall'asse del Bue, dalle rette x=a e x=b, calcoliamo utilizzando la formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" larghezza="352" altezza="283 src=">Y

3.Volume del cilindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" larghezza="85" altezza="51">..gif" larghezza="13" altezza="25">..jpg" width="401" Height="355">Il cono si ottiene ruotando il triangolo rettangolo ABC (C = 90) attorno all'asse del Bue su cui giace la gamba AC.

Il segmento AB si trova sulla linea retta y=kx+c, dove https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" Height="41 src=">.

Sia a=0, b=H (H è l'altezza del cono), quindi Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" Height="23 src= ">.

5.Volume di un tronco di cono.

Un tronco di cono può essere ottenuto ruotando un trapezio rettangolare ABCD (CDOx) attorno all'asse del Bue.

Il segmento AB giace sulla retta y=kx+c, dove , c=r.

Poiché la retta passa per il punto A (0;r).

Pertanto, la linea retta assomiglia a https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" Height="291 src=">

Sia a=0, b=H (H è l'altezza del tronco di cono), quindi https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" Height="17 src ="> = .

6. Volume della palla.

La palla può essere ottenuta ruotando un cerchio con centro (0;0) attorno all'asse del Bue. Il semicerchio situato sopra l'asse del Bue è dato dall'equazione

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" larghezza="13" altezza="16 src=">x R.

Definizione 3. Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare una figura piana attorno ad un asse che non interseca la figura e giace sullo stesso piano con essa.

L'asse di rotazione può intersecare la figura se è l'asse di simmetria della figura.

Teorema 2.
, asse
e segmenti diritti
E

ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rotazione risultante può essere calcolato utilizzando la formula

(2)

Prova. Per un tale corpo, la sezione trasversale con l'ascissa è un cerchio di raggio
, Significa
e la formula (1) fornisce il risultato richiesto.

Se la figura è limitata dai grafici di due funzioni continue
E
e segmenti di linea
E
, E
E
, quindi ruotando attorno all'asse x otteniamo un corpo il cui volume

Esempio 3. Calcolare il volume di un toro ottenuto ruotando una circonferenza delimitata da un cerchio

attorno all'asse delle ascisse.

R decisione. Il cerchio indicato è delimitato inferiormente dal grafico della funzione
, e dall'alto –
. La differenza dei quadrati di queste funzioni:

Volume richiesto

(il grafico dell'integrando è il semicerchio superiore, quindi l'integrale scritto sopra è l'area del semicerchio).

Esempio 4. Segmento parabolico con base
e altezza , ruota attorno alla base. Calcolare il volume del corpo risultante (“limone” di Cavalieri).

R decisione. Posizioneremo la parabola come mostrato in figura. Quindi la sua equazione
, E
. Troviamo il valore del parametro :
. Quindi, il volume richiesto:

Teorema 3. Sia un trapezio curvilineo delimitato dal grafico di una funzione continua non negativa
, asse
e segmenti diritti
E
, E
, ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rotazione risultante può essere trovato con la formula

(3)

L'idea della prova. Dividiamo il segmento
punti

, in parti e tracciare linee rette
. L'intero trapezio verrà scomposto in strisce, che possono essere considerate approssimativamente rettangoli con una base
e altezza
.

Tagliamo il cilindro risultante ruotando tale rettangolo lungo la sua generatrice e lo spieghiamo. Otteniamo un “quasi” parallelepipedo di dimensioni:
,
E
. Il suo volume
. Quindi, per il volume di un corpo di rivoluzione avremo l'uguaglianza approssimativa

Per ottenere l'uguaglianza esatta bisogna arrivare al limite a
. La somma scritta sopra è la somma integrale della funzione
, quindi, al limite si ottiene l'integrale dalla formula (3). Il teorema è stato dimostrato.

Nota 1. Nei Teoremi 2 e 3 la condizione
può essere omesso: la formula (2) è generalmente insensibile al segno
, e nella formula (3) è sufficiente
sostituito da
.

Esempio 5. Segmento parabolico (base
, altezza ) ruota intorno all'altezza. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Posizioniamo la parabola come mostrato in figura. E sebbene l'asse di rotazione intersechi la figura, esso - l'asse - è l'asse di simmetria. Pertanto, dobbiamo considerare solo la metà destra del segmento. Equazione della parabola
, E
, Significa
. Per il volume abbiamo:

Nota 2. Se il confine curvilineo di un trapezio curvilineo è dato da equazioni parametriche
,
,
E
,
quindi puoi utilizzare le formule (2) e (3) con la sostituzione SU
E
SU
quando cambia T da
Prima .

Esempio 6. La figura è limitata dal primo arco della cicloide
,
,
e l'asse x. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando questa figura attorno a: 1) asse
; 2) assi
.

Soluzione. 1) Formula generale
Nel nostro caso:

2) Formula generale
Per la nostra figura:

Invitiamo gli studenti a svolgere tutti i calcoli da soli.

Nota 3. Sia un settore curvo delimitato da una linea continua
e raggi
,

, ruota attorno ad un asse polare. Il volume del corpo risultante può essere calcolato utilizzando la formula.

Esempio 7. Parte di una figura delimitata da una cardioide
, che giace fuori dal cerchio
, ruota attorno ad un asse polare. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Entrambe le linee, e quindi la figura che delimitano, sono simmetriche rispetto all'asse polare. Pertanto, è necessario considerare solo quella parte per la quale
. Le curve si intersecano a
E

A
. Inoltre, la figura può essere considerata come la differenza di due settori, e quindi il volume può essere calcolato come la differenza di due integrali. Abbiamo:

Compiti per una decisione indipendente.

1. Un segmento circolare la cui base
, altezza , ruota attorno alla base. Trova il volume del corpo di rotazione.

2. Trova il volume di un paraboloide di rivoluzione la cui base , e l'altezza è .

3. Figura delimitata da un astroide
,
ruota attorno all'asse delle ascisse. Trova il volume del corpo risultante.

4. Figura delimitata da linee
E
ruota attorno all'asse x. Trova il volume del corpo di rotazione.

Argomento: “Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito”

Tipo di lezione: combinato.

Lo scopo della lezione: imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali.

Compiti:

consolidare la capacità di identificare i trapezi curvilinei da una serie di figure geometriche e sviluppare l'abilità di calcolare le aree dei trapezi curvilinei;

conoscere il concetto di figura tridimensionale;

imparare a calcolare i volumi dei corpi di rotazione;

promuovere lo sviluppo del pensiero logico, del discorso matematico competente, dell'accuratezza nella costruzione dei disegni;

coltivare l'interesse per la materia, nell'operare con concetti e immagini matematiche, coltivare volontà, indipendenza e perseveranza nel raggiungimento del risultato finale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Un saluto dal gruppo. Comunicare agli studenti gli obiettivi della lezione.

Vorrei iniziare la lezione di oggi con una parabola. “C'era una volta un uomo saggio che sapeva tutto. Un uomo voleva dimostrare che il saggio non sa tutto. Tenendo una farfalla tra le mani, chiese: "Dimmi, saggio, quale farfalla è nelle mie mani: viva o morta?" E pensa: “Se lo dice il vivo, la ammazzo; se lo dice il morto, la libero”. Il saggio, dopo aver riflettuto, rispose: “Tutto è nelle tue mani”.

Pertanto, lavoriamo fruttuosamente oggi, acquisiamo un nuovo bagaglio di conoscenze e applicheremo le competenze e le abilità acquisite nella vita futura e nelle attività pratiche: “Tutto è nelle tue mani”.

II. Ripetizione di materiale precedentemente studiato.

Ricordiamo i punti principali del materiale precedentemente studiato. Per fare ciò, completiamo l'attività "Elimina la parola in più".

(Gli studenti dicono una parola in più.)

Giusto "Differenziale". Prova a nominare le parole rimanenti con una parola comune. (Calcolo integrale.)

Ricordiamo le fasi principali e i concetti associati al calcolo integrale.

Esercizio. Recuperare le lacune. (Lo studente esce e scrive le parole richieste con un pennarello.)

Lavora sui quaderni.

La formula di Newton-Leibniz fu derivata dal fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e dal filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716). E questo non sorprende, perché la matematica è la lingua parlata dalla natura stessa.

Consideriamo come questa formula viene utilizzata per risolvere problemi pratici.

Esempio 1: Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: Costruiamo grafici di funzioni sul piano delle coordinate . Selezioniamo l'area della figura che deve essere trovata.

III. Imparare nuovo materiale.

Presta attenzione allo schermo. Cosa è mostrato nella prima immagine? (La figura mostra una figura piatta.)

Cosa è mostrato nella seconda immagine? Questa cifra è piatta? (La figura mostra una figura tridimensionale.)

Nello spazio, sulla terra e nella vita di tutti i giorni incontriamo non solo figure piane, ma anche tridimensionali, ma come possiamo calcolare il volume di tali corpi? Ad esempio: il volume di un pianeta, di una cometa, di un meteorite, ecc.

Le persone pensano al volume sia quando costruiscono case sia quando versano l'acqua da una nave all'altra. Dovevano emergere regole e tecniche per il calcolo dei volumi; quanto fossero precise e giustificate è un’altra questione.

L'anno 1612 fu molto fruttuoso per gli abitanti della città austriaca di Linz, dove visse il famoso astronomo Giovanni Keplero, soprattutto per l'uva. La gente preparava le botti di vino e voleva sapere come determinarne praticamente il volume.

Pertanto, le opere considerate di Keplero segnarono l'inizio di un intero flusso di ricerca che culminò nell'ultimo quarto del XVII secolo. design nelle opere di I. Newton e G.V. Leibniz del calcolo differenziale e integrale. Da quel momento in poi la matematica delle variabili assunse un posto di primo piano nel sistema della conoscenza matematica.

Oggi tu ed io ci impegneremo in tali attività pratiche, quindi,

L'argomento della nostra lezione: "Calcolo dei volumi dei corpi di rotazione utilizzando un integrale definito".

Imparerai la definizione di corpo di rivoluzione completando il seguente compito.

"Labirinto".

Esercizio. Trova una via d'uscita dalla situazione confusa e scrivi la definizione.

IVCalcolo dei volumi.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare il volume di un particolare corpo, in particolare un corpo di rivoluzione.

Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvo attorno alla sua base (Fig. 1, 2)

Il volume di un corpo di rivoluzione viene calcolato utilizzando una delle formule:

1. attorno all'asse del OX.

2. , se la rotazione di un trapezio curvo attorno all'asse dell'amplificatore operazionale.

Gli studenti scrivono le formule di base su un quaderno.

L'insegnante spiega le soluzioni agli esempi alla lavagna.

1. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ordinate di un trapezio curvilineo delimitato da linee: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluzione.

Risposta: 1163 cm3.

2. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio parabolico attorno all'asse x y = , x = 4, y = 0.

Soluzione.

V. Simulatore di matematica.

2. Viene chiamato l'insieme di tutte le derivate di una data funzione

A) un integrale indefinito,

B) funzione,

B) differenziazione.

7. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo delimitato da linee:

D/Z. Consolidare nuovo materiale

Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione del petalo attorno all'asse x y = x2, y2 = x.

Costruiamo i grafici della funzione. y = x2, y2 = x. Trasformiamo il grafico y2 = x nella forma y = .

Abbiamo V = V1 - V2 Calcoliamo il volume di ciascuna funzione:

Conclusione:

L'integrale definito è una base certa per lo studio della matematica, che fornisce un contributo insostituibile alla risoluzione dei problemi pratici.

Il tema “Integrale” dimostra chiaramente la connessione tra matematica e fisica, biologia, economia e tecnologia.

Lo sviluppo della scienza moderna è impensabile senza l’uso dell’integrale. A questo proposito, è necessario iniziare a studiarlo nel quadro dell'istruzione specializzata secondaria!

VI. Classificazione.(Con commento.)

Il grande Omar Khayyam: matematico, poeta, filosofo. Ci incoraggia a essere padroni del nostro destino. Ascoltiamo un estratto dal suo lavoro:

Dici che questa vita è un momento.
Apprezzalo, trai ispirazione da esso.
Man mano che lo spendi, così passerà.
Non dimenticare: lei è la tua creazione.

Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione utilizzando un integrale definito?

Oltretutto trovare l'area di una figura piana utilizzando un integrale definito l'applicazione più importante dell'argomento è calcolo del volume di un corpo di rotazione. Il materiale è semplice, ma il lettore deve essere preparato: deve essere in grado di risolvere integrali indefiniti complessità media e applicare la formula di Newton-Leibniz integrale definito . Come per il problema della ricerca dell'area, sono necessarie abilità di disegno sicure: questa è quasi la cosa più importante (poiché gli integrali stessi saranno spesso facili). Puoi padroneggiare tecniche di creazione di grafici competenti e veloci con l'aiuto di materiale metodologico . Ma, in effetti, dell'importanza dei disegni ho già parlato più volte in classe. .

In generale, ci sono molte applicazioni interessanti nel calcolo integrale; utilizzando un integrale definito, puoi calcolare l'area di una figura, il volume di un corpo di rotazione, la lunghezza di un arco, l'area della superficie di un corpo e molto altro ancora. Quindi sarà divertente, per favore resta ottimista!

Immagina una figura piatta sul piano delle coordinate. Introdotto? ... chissà chi ha presentato cosa... =))) Abbiamo già trovato la sua area. Ma, inoltre, questa figura può anche essere ruotata e ruotata in due modi:

– attorno all'asse x; – attorno all'asse delle ordinate.

Questo articolo esaminerà entrambi i casi. Il secondo metodo di rotazione è particolarmente interessante; causa maggiori difficoltà, ma in realtà la soluzione è quasi la stessa della rotazione più comune attorno all'asse x. Come bonus tornerò a problema di trovare l'area di una figura e ti dirò come trovare l'area nel secondo modo: lungo l'asse. Non è tanto un vantaggio in quanto il materiale si adatta bene all’argomento.

Cominciamo con il tipo di rotazione più popolare.

Esempio 1

Calcola il volume di un corpo ottenuto ruotando attorno ad un asse una figura delimitata da linee.

Soluzione: Come nel problema di trovare l'area, la soluzione inizia con il disegno di una figura piatta. Cioè, su un piano è necessario costruire una figura delimitata da linee, e non dimenticare che l'equazione definisce l'asse. Come completare un disegno in modo più efficiente e rapido può essere trovato nelle pagine Grafici e proprietà delle funzioni elementari E Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura . Questo è un promemoria cinese, e su questo punto non mi dilungherò ulteriormente.

Il disegno qui è abbastanza semplice:

La figura piatta desiderata è ombreggiata in blu; è quella che ruota attorno all'asse. Come risultato della rotazione, il risultato è un disco volante leggermente ovoidale simmetrico rispetto all'asse. In effetti, il corpo ha un nome matematico, ma sono troppo pigro per cercare nel libro di consultazione, quindi andiamo avanti.

Come calcolare il volume di un corpo di rotazione?

Il volume di un corpo di rivoluzione può essere calcolato utilizzando la formula:

Nella formula il numero deve essere presente prima dell'integrale. Così è successo: tutto ciò che ruota nella vita è collegato a questa costante.

Penso che sia facile indovinare come impostare i limiti di integrazione “a” e “essere” dal disegno completato.

Funzione... cos'è questa funzione? Diamo un'occhiata al disegno. La figura piatta è delimitata dal grafico della parabola in alto. Questa è la funzione implicita nella formula.

Nelle attività pratiche, a volte può essere posizionata una figura piatta sotto l'asse. Ciò non cambia nulla: la funzione nella formula è al quadrato: quindi il volume di un corpo di rivoluzione è sempre non negativo, il che è molto logico.

Calcoliamo il volume di un corpo di rotazione utilizzando questa formula:

Come ho già notato, l'integrale risulta quasi sempre semplice, l'importante è stare attenti.

Risposta:

Nella tua risposta, devi indicare la dimensione: unità cubiche. Cioè nel nostro corpo di rotazione ci sono circa 3,35 “cubi”. Perché cubico unità? Perché la formulazione più universale. Potrebbero esserci centimetri cubi, potrebbero esserci metri cubi, potrebbero esserci chilometri cubi, ecc., ecco quanti omini verdi la tua immaginazione può mettere in un disco volante.

Esempio 2

Trova il volume di un corpo formato dalla rotazione attorno all'asse di una figura delimitata da linee,

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Consideriamo due problemi più complessi, che spesso si incontrano anche nella pratica.

Esempio 3

Calcola il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse della figura delimitata dalle linee ,, e

Soluzione: Rappresentiamo nel disegno una figura piatta delimitata dalle linee ,,,, senza dimenticare che l'equazione definisce l'asse:

La figura desiderata è ombreggiata in blu. Quando ruota attorno al proprio asse, risulta essere una ciambella surreale con quattro angoli.

Calcoliamo il volume del corpo di rotazione come differenza di volume dei corpi.

Per prima cosa, osserviamo la figura cerchiata in rosso. Quando ruota attorno ad un asse si ottiene un tronco di cono. Indichiamo il volume di questo tronco di cono con.

Considera la figura cerchiata in verde. Se ruoti questa figura attorno all'asse, otterrai anche un tronco di cono, solo leggermente più piccolo. Indichiamo il suo volume con.

E, ovviamente, la differenza di volume è esattamente il volume della nostra “ciambella”.

Usiamo la formula standard per trovare il volume di un corpo di rotazione:

1) La figura cerchiata in rosso è delimitata superiormente da una retta, quindi:

2) La figura cerchiata in verde è delimitata superiormente da una linea retta, quindi:

3) Volume del corpo di rivoluzione desiderato:

Risposta:

È curioso che in questo caso la soluzione possa essere verificata utilizzando la formula scolastica per il calcolo del volume di un tronco di cono.

La decisione stessa è spesso scritta più breve, qualcosa del genere:

Ora prendiamoci un po’ di riposo e vi parliamo delle illusioni geometriche.

Le persone spesso hanno illusioni associate ai volumi, che sono state notate da Perelman (non quello) nel libro Geometria divertente. Guarda la figura piatta nel problema risolto: sembra avere un'area piccola e il volume del corpo di rivoluzione è poco più di 50 unità cubiche, il che sembra troppo grande. A proposito, la persona media beve l'equivalente di una stanza di 18 metri quadrati di liquido in tutta la sua vita, il che, al contrario, sembra un volume troppo piccolo.

In generale, il sistema educativo in URSS era davvero il migliore. Lo stesso libro di Perelman, scritto da lui nel 1950, sviluppa molto bene, come diceva l'umorista, il pensiero e insegna a cercare soluzioni originali e non standard ai problemi. Recentemente ho riletto alcuni capitoli con molto interesse, lo consiglio, è accessibile anche agli umanisti. No, non c’è bisogno di sorridere se ti ho offerto del tempo libero, l’erudizione e gli ampi orizzonti nella comunicazione sono una gran cosa.

Dopo una digressione lirica, è opportuno risolvere un compito creativo:

Esempio 4

Calcola il volume di un corpo formato dalla rotazione attorno all'asse di una figura piana delimitata da linee,, dove.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Tieni presente che nella banda succedono tutte cose, in altre parole vengono dati limiti di integrazione praticamente già pronti. Prova anche a disegnare correttamente i grafici delle funzioni trigonometriche; se l'argomento è diviso per due: allora i grafici vengono allungati lungo l'asse due volte. Prova a trovare almeno 3-4 punti secondo le tavole trigonometriche e completare più accuratamente il disegno. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. A proposito, il compito può essere risolto razionalmente e non molto razionalmente.

Calcolo del volume di un corpo formato ruotando una figura piana attorno ad un asse

Il secondo paragrafo sarà ancora più interessante del primo. Anche il compito di calcolare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse delle ordinate è un ospite abbastanza comune nel lavoro di prova. Lungo il percorso verrà considerato problema di trovare l'area di una figura il secondo metodo è l'integrazione lungo l'asse, questo ti consentirà non solo di migliorare le tue capacità, ma ti insegnerà anche a trovare il percorso di soluzione più redditizio. C'è anche un significato di vita pratica in questo! Come ha ricordato con un sorriso la mia insegnante di metodi di insegnamento della matematica, molti laureati l'hanno ringraziata con le parole: "La tua materia ci ha aiutato molto, ora siamo manager efficaci e gestiamo in modo ottimale il personale". Cogliendo l'occasione, le esprimo anche la mia grande gratitudine, soprattutto perché utilizzo le conoscenze acquisite per lo scopo previsto =).

Esempio 5

Data una figura piatta delimitata da linee ,,.

1) Trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee. 2) Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse una figura piatta delimitata da queste linee.

Attenzione! Anche se vuoi leggere solo il secondo punto, prima Necessariamente leggi il primo!

Soluzione: Il compito è composto da due parti. Cominciamo con il quadrato.

1) Facciamo un disegno:

È facile vedere che la funzione specifica il ramo superiore della parabola e la funzione specifica il ramo inferiore della parabola. Davanti a noi c’è una banale parabola che “giace su un lato”.

La figura desiderata, di cui si deve trovare l'area, è ombreggiata in blu.

Come trovare l'area di una figura? Può essere trovato nel modo “solito”, di cui si è parlato in classe Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura . Inoltre l’area della figura si trova come somma delle aree: – sul segmento ; - sul segmento.

Ecco perché:

Perché la solita soluzione è sbagliata in questo caso? Innanzitutto, abbiamo due integrali. In secondo luogo, gli integrali sono radici, e le radici negli integrali non sono un dono, e inoltre si può confondersi nel sostituire i limiti dell'integrazione. In effetti, gli integrali, ovviamente, non sono killer, ma in pratica tutto può essere molto più triste, ho semplicemente selezionato funzioni “migliori” per il problema.

Esiste una soluzione più razionale: consiste nel passare alle funzioni inverse e nell'integrare lungo l'asse.

Come arrivare alle funzioni inverse? In parole povere, devi esprimere la “x” tramite la “y”. Per prima cosa, diamo un'occhiata alla parabola:

Questo basta, ma facciamo in modo che la stessa funzione possa essere derivata dal ramo inferiore:

È più facile con una linea retta:

Ora guarda l'asse: inclina periodicamente la testa verso destra di 90 gradi come spieghi (non è uno scherzo!). La figura di cui abbiamo bisogno si trova sul segmento indicato dalla linea tratteggiata rossa. Inoltre, sul segmento la retta si trova sopra la parabola, il che significa che l'area della figura dovrebbe essere trovata utilizzando la formula che ti è già familiare: . Cosa è cambiato nella formula? Solo una lettera e niente più.

! Nota: è necessario impostare i limiti di integrazione lungo l'asserigorosamente dal basso verso l'alto !

Trovare l'area:

Sul segmento, quindi:

Tieni presente come ho effettuato l'integrazione, questo è il modo più razionale, e nel prossimo paragrafo dell'attività sarà chiaro il motivo.

Per i lettori che dubitano della correttezza dell'integrazione, troverò i derivati:

Si ottiene la funzione integranda originale, il che significa che l'integrazione è stata eseguita correttamente.

Risposta:

2) Calcoliamo il volume del corpo formato dalla rotazione di questa figura attorno all'asse.

Ridisegnerò il disegno con un design leggermente diverso:

Quindi, la figura ombreggiata in blu ruota attorno all'asse. Il risultato è una “farfalla sospesa” che ruota attorno al proprio asse.

Per trovare il volume di un corpo di rotazione, integreremo lungo l'asse. Per prima cosa dobbiamo passare alle funzioni inverse. Ciò è già stato fatto e descritto in dettaglio nel paragrafo precedente.

Ora incliniamo di nuovo la testa a destra e studiamo la nostra figura. Ovviamente il volume di un corpo in rotazione va trovato come differenza di volumi.

Ruotiamo la figura cerchiata in rosso attorno all'asse, ottenendo un tronco di cono. Indichiamo questo volume con.

Ruotiamo la figura cerchiata in verde attorno all'asse e indichiamo con il volume del corpo di rivoluzione risultante.

Il volume della nostra farfalla è uguale alla differenza di volume.

Usiamo la formula per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

Qual è la differenza rispetto alla formula del paragrafo precedente? Solo nella lettera.

Ma il vantaggio dell’integrazione, di cui ho parlato recentemente, è molto più facile da trovare , invece di elevare prima l'integrando alla 4a potenza.