Il primo limite notevole e le sue proprietà. Il secondo limite notevole: esempi di risultati, problemi e soluzioni dettagliate

Ora, con l’animo sereno, passiamo alle considerazioni limiti meravigliosi.
sembra .

Al posto della variabile x possono essere presenti diverse funzioni, l'importante è che tendano a 0.

È necessario calcolare il limite

Come puoi vedere, questo limite è molto simile al primo notevole, ma non è del tutto vero. In generale, se noti un peccato nel limite, dovresti immediatamente pensare se sia possibile utilizzare il primo limite notevole.

Secondo la nostra regola n. 1, sostituiamo zero invece di x:

Otteniamo incertezza.

Ora proviamo a organizzare noi stessi il primo meraviglioso limite. Per fare ciò, facciamo una semplice combinazione:

Quindi organizziamo numeratore e denominatore per evidenziare 7x. Ora il limite notevole familiare è già apparso. Si consiglia di evidenziarlo al momento di decidere:

Sostituiamo la soluzione al primo esempio notevole e otteniamo:

Semplificando la frazione:

Risposta: 7/3.

Come puoi vedere, tutto è molto semplice.

Sembra , dove e = 2,718281828... è un numero irrazionale.

Al posto della variabile x possono essere presenti diverse funzioni, l'importante è che tendano a .

È necessario calcolare il limite

Qui vediamo la presenza di un grado sotto il segno di un limite, il che significa che è possibile utilizzare un secondo limite notevole.

Come sempre, utilizzeremo la regola n. 1: sostituire x invece di:

Si vede che in x la base del grado è , e l’esponente è 4x > , cioè otteniamo un’incertezza della forma:

Usiamo il secondo meraviglioso limite per rivelare la nostra incertezza, ma prima dobbiamo organizzarla. Come puoi vedere, dobbiamo raggiungere la presenza nell'indicatore, per cui eleviamo la base alla potenza di 3x, e contemporaneamente alla potenza di 1/3x, in modo che l'espressione non cambi:

Non dimenticare di evidenziare il nostro meraviglioso limite:

Questo è quello che sono veramente limiti meravigliosi!
Se hai ancora domande a riguardo il primo e il secondo meraviglioso limite, quindi sentiti libero di chiedere loro nei commenti.
Risponderemo a tutti il ​​più possibile.

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Il primo limite notevole è la seguente uguaglianza:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Poiché per $\alpha\to(0)$ abbiamo $\sin\alpha\to(0)$, dicono che il primo limite notevole rivela un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. In generale, nella formula (1), al posto della variabile $\alpha$, qualsiasi espressione può essere posta sotto il segno del seno e al denominatore, purché siano soddisfatte due condizioni:

1. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore tendono contemporaneamente a zero, cioè c'è incertezza della forma $\frac(0)(0)$.
2. Le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore sono le stesse.

Spesso vengono utilizzati anche corollari dal primo limite notevole:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione)

Undici esempi sono risolti in questa pagina. L'esempio n. 1 è dedicato alla dimostrazione delle formule (2)-(4). Gli esempi n. 2, n. 3, n. 4 e n. 5 contengono soluzioni con commenti dettagliati. Gli esempi n. 6-10 contengono soluzioni praticamente senza commenti, perché negli esempi precedenti sono state fornite spiegazioni dettagliate. La soluzione utilizza alcune formule trigonometriche che è possibile trovare.

Faccio notare che la presenza di funzioni trigonometriche abbinata all'incertezza $\frac (0) (0)$ non significa necessariamente l'applicazione del primo limite notevole. A volte sono sufficienti semplici trasformazioni trigonometriche, ad esempio vedi.

Esempio n. 1

Dimostrare che $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Poiché $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, allora:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Poiché $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Quello:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Effettuiamo la modifica $\alpha=\sin(y)$. Poiché $\sin(0)=0$, dalla condizione $\alpha\to(0)$ si ottiene $y\to(0)$. Inoltre, esiste un intorno allo zero in cui $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, quindi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ è stata dimostrata.

c) Facciamo la sostituzione $\alpha=\tg(y)$. Poiché $\tg(0)=0$, le condizioni $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ sono equivalenti. Inoltre esiste un intorno dello zero in cui $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, quindi in base ai risultati del punto a), avremo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ è stata dimostrata.

Le uguaglianze a), b), c) vengono spesso utilizzate insieme al primo limite notevole.

Esempio n.2

Calcola il limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Poiché $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, cioè e sia il numeratore che il denominatore della frazione tendono contemporaneamente a zero, allora si tratta di un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$, cioè Fatto. Inoltre, è chiaro che le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore coincidono (cioè ed è soddisfatto):

Pertanto, entrambe le condizioni elencate all'inizio della pagina sono soddisfatte. Ne consegue che la formula è applicabile, vale a dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Risposta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esempio n.3

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac (0 )(0)$, cioè Fatto. Tuttavia le espressioni sotto il segno del seno e al denominatore non coincidono. Qui è necessario adattare l'espressione al denominatore alla forma desiderata. Abbiamo bisogno che l'espressione $9x$ sia al denominatore, quindi diventerà vera. In sostanza, ci manca un fattore di $9$ nel denominatore, che non è così difficile da inserire: basta moltiplicare l'espressione nel denominatore per $9$. Naturalmente, per compensare la moltiplicazione per $9$, dovrai dividere immediatamente per $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Ora le espressioni al denominatore e sotto il segno seno coincidono. Entrambe le condizioni per il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sono soddisfatte. Pertanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E questo significa che:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esempio n.4

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, qui abbiamo a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia la forma del primo limite notevole è violata. Un numeratore contenente $\sin(5x)$ richiede un denominatore di $5x$. In questa situazione, il modo più semplice è dividere il numeratore per $5x$ e moltiplicarlo immediatamente per $5x$. Inoltre, eseguiremo un'operazione simile con il denominatore, moltiplicando e dividendo $\tg(8x)$ per $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Riducendo di $x$ e portando la costante $\frac(5)(8)$ fuori dal segno limite, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Si noti che $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ soddisfa pienamente i requisiti per il primo limite notevole. Per trovare $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ è applicabile la seguente formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esempio n.5

Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ricorda che $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, allora abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, per applicare il primo limite notevole, è necessario eliminare il coseno al numeratore, passando ai seni (per applicare poi la formula) o alle tangenti (per applicare poi la formula). Ciò può essere fatto con la seguente trasformazione:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Torniamo al limite:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\destra) $$

La frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ è già vicina alla forma richiesta per il primo limite notevole. Lavoriamo un po' con la frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, adattandola al primo limite notevole (nota che le espressioni al numeratore e sotto il seno devono corrispondere):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\sinistra(\frac(\sin(5x))(5x)\destra)^2$$

Torniamo al limite in questione:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esempio n.6

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, allora abbiamo a che fare con l'incertezza $\frac(0)(0)$. Riveliamolo con l'aiuto del primo limite notevole. Per fare ciò, passiamo dai coseni ai seni. Poiché $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, allora:

$$1-\cos(6x)=2\sen^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sen^2(x).$$

Passando ai seni nel limite dato avremo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esempio n.7

Calcolare il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ soggetto a $\alpha\neq \beta$.

Spiegazioni dettagliate sono state fornite in precedenza, ma qui notiamo semplicemente che ancora una volta c'è l'incertezza $\frac(0)(0)$. Passiamo dai coseni ai seni utilizzando la formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Usando questa formula, otteniamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\destra)\cdot\sin\sinistra(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\destra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esempio n.8

Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Poiché $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, allora qui abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Analizziamolo come segue:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\destra)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\destra) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esempio n.9

Trova il limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Poiché $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, allora c'è incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene effettuare un cambio di variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile $\alpha \to 0$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=x-3$. Tuttavia, per comodità di ulteriori trasformazioni (questo vantaggio può essere visto nel corso della soluzione seguente), vale la pena effettuare la seguente sostituzione: $t=\frac(x-3)(2)$. Noto che in questo caso sono applicabili entrambe le sostituzioni, solo che la seconda sostituzione ti permetterà di lavorare meno con le frazioni. Da $x\to(3)$, allora $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Risposta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esempio n. 10

Trova il limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Ancora una volta abbiamo a che fare con l'incertezza $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, conviene effettuare un cambio di variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (notare che nelle formule la variabile è $\alpha\to(0)$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=\frac(\pi)(2)-x$. Poiché $x\to\frac(\pi)(2)$, allora $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\sinistra(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\destra)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esempio n. 11

Trova i limiti $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In questo caso non dobbiamo utilizzare il primo limite meraviglioso. Tieni presente che sia il primo che il secondo limite contengono solo funzioni e numeri trigonometrici. Spesso in esempi di questo tipo è possibile semplificare l'espressione posta sotto il segno limite. Inoltre, dopo la suddetta semplificazione e riduzione di alcuni fattori, l’incertezza scompare. Ho fatto questo esempio per un solo scopo: mostrare che la presenza di funzioni trigonometriche sotto il segno limite non significa necessariamente l'uso del primo limite notevole.

Poiché $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permettetemi di ricordarvi che $\cos\frac(\pi)(2)=0$), allora abbiamo che si occupa dell'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, ciò non significa che dovremo utilizzare il primo meraviglioso limite. Per rivelare l’incertezza è sufficiente tenere conto che $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Esiste una soluzione simile nel libro delle soluzioni di Demidovich (n. 475). Per quanto riguarda il secondo limite, come negli esempi precedenti di questa sezione, abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Perché sorge? Si verifica perché $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usiamo questi valori per trasformare le espressioni nel numeratore e nel denominatore. L'obiettivo delle nostre azioni è scrivere la somma al numeratore e al denominatore come prodotto. Tra l'altro, spesso all'interno di una tipologia simile conviene modificare una variabile, fatta in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (vedi ad esempio gli esempi n. 9 o n. 10 di questa pagina). Tuttavia, in questo esempio non ha senso sostituire, anche se, se lo si desidera, la sostituzione della variabile $t=x-\frac(2\pi)(3)$ non è difficile da implementare.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Come puoi vedere, non abbiamo dovuto applicare il primo meraviglioso limite. Naturalmente, puoi farlo se vuoi (vedi nota sotto), ma non è necessario.

Qual è la soluzione utilizzando il primo limite notevole? mostra nascondi

Utilizzando il primo limite notevole otteniamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ destra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)\cdot\sinistra(-\frac(1)(2)\destra)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Questo articolo: “Il Secondo Limite Notevole” è dedicato alla divulgazione entro i limiti delle incertezze della forma:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ e $ ^\infty $.

Inoltre, tali incertezze possono essere rivelate utilizzando il logaritmo della funzione esponenziale, ma questo è un altro metodo di soluzione, che verrà trattato in un altro articolo.

Formula e conseguenze

Formula il secondo limite notevole si scrive così: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \about 2.718 $$

Ne consegue dalla formula conseguenze, che sono molto comodi da usare per risolvere esempi con limiti: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( dove ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

È interessante notare che il secondo limite notevole non è sempre applicabile ad una funzione esponenziale, ma solo nei casi in cui la base tende all'unità. Per fare ciò, calcola prima mentalmente il limite della base, quindi trai conclusioni. Tutto questo sarà discusso in soluzioni di esempio.

Esempi di soluzioni

Diamo un'occhiata ad esempi di soluzioni utilizzando la formula diretta e le sue conseguenze. Analizzeremo anche i casi in cui la formula non è necessaria. È sufficiente scrivere solo una risposta pronta.

Esaminiamo i casi in cui il problema è simile al secondo limite notevole, ma può essere risolto senza di esso.

Nell'articolo: "Il secondo limite notevole: esempi di soluzioni" sono state analizzate la formula, le sue conseguenze e sono stati forniti i tipi comuni di problemi su questo argomento.

Trova limiti meravigliosiÈ difficile non solo per molti studenti del primo e del secondo anno che studiano la teoria dei limiti, ma anche per alcuni insegnanti.

Formula per il primo limite notevole

Conseguenze del primo limite notevole scriviamolo in formule
1. 2. 3. 4. Ma le stesse formule generali dei limiti notevoli non aiutano nessuno in un esame o in una prova. Il punto è che i compiti reali sono costruiti in modo tale che bisogna comunque arrivare alle formule scritte sopra. E la maggior parte degli studenti che saltano le lezioni, studiano questo corso in contumacia o hanno insegnanti che non sempre capiscono quello che stanno spiegando, non riescono a calcolare gli esempi più elementari fino a limiti notevoli. Dalle formule del primo limite notevole vediamo che con il loro aiuto è possibile studiare incertezze del tipo zero diviso zero per espressioni con funzioni trigonometriche. Consideriamo prima alcuni esempi del primo limite notevole, e poi studiamo il secondo limite notevole.

Esempio 1. Trova il limite della funzione sin(7*x)/(5*x)
Soluzione: come puoi vedere, la funzione sotto il limite è vicina al primo limite notevole, ma il limite della funzione stessa sicuramente non è uguale a uno. In questo tipo di compiti sui limiti, si dovrebbe selezionare al denominatore una variabile con lo stesso coefficiente di quello contenuto nella variabile sotto il seno. In questo caso dividi e moltiplica per 7

Per alcuni, tali dettagli sembreranno inutili, ma per la maggior parte degli studenti che hanno difficoltà con i limiti, li aiuteranno a comprendere meglio le regole e a padroneggiare il materiale teorico.
Inoltre, se esiste una forma inversa di una funzione, questo è anche il primo meraviglioso limite. E tutto perché il limite meraviglioso è uguale a uno

La stessa regola vale per le conseguenze del 1° limite notevole. Pertanto, se ti viene chiesto: “Qual è il primo limite notevole?” Dovresti rispondere senza esitazione che è un'unità.

Esempio 2. Trova il limite della funzione sin(6x)/tan(11x)
Soluzione: per comprendere il risultato finale, scriviamo la funzione nel modulo

Per applicare le regole del limite notevole, moltiplicare e dividere per fattori

Successivamente scriviamo il limite di un prodotto di funzioni tramite il prodotto di limiti

Senza formule complesse, abbiamo trovato il limite delle funzioni trigonometriche. Per padroneggiare formule semplici, prova a inventare e trovare il limite su 2 e 4, la formula per il corollario di 1 meraviglioso limite. Considereremo problemi più complessi.

Esempio 3: calcolare il limite (1-cos(x))/x^2
Soluzione: Quando si verifica per sostituzione, otteniamo un'incertezza pari a 0/0. Molte persone non sanno come ridurre un simile esempio a un limite notevole. Qui dovrebbe essere utilizzata la formula trigonometrica

In questo caso, il limite si trasformerà in una forma chiara

Siamo riusciti a ridurre la funzione al quadrato di un limite notevole.

Esempio 4. Trova il limite
Soluzione: durante la sostituzione, otteniamo la caratteristica familiare 0/0. Tuttavia, la variabile tende a Pi anziché a zero. Pertanto, per applicare il primo limite notevole, eseguiremo una modifica nella variabile x tale che la nuova variabile vada a zero. Per fare ciò, denotiamo il denominatore come una nuova variabile Pi-x=y

Pertanto, utilizzando la formula trigonometrica fornita nel compito precedente, l'esempio si riduce a 1 limite notevole.

Esempio 5: Calcola limite
Soluzione: Inizialmente non è chiaro come semplificare i limiti. Ma poiché esiste un esempio, deve esserci una risposta. Il fatto che la variabile vada all'unità dà, quando si sostituisce, una caratteristica della forma zero moltiplicato per infinito, quindi la tangente deve essere sostituita utilizzando la formula

Successivamente otteniamo l'incertezza richiesta 0/0. Successivamente, eseguiamo un cambio di variabili nel limite e utilizziamo la periodicità della cotangente

Le ultime sostituzioni ci permettono di utilizzare il Corollario 1 del limite notevole.

Il secondo limite notevole è uguale all'esponenziale

Questo è un classico che non è sempre facile da raggiungere nei problemi limite reali.
Nei calcoli ti serviranno i limiti sono conseguenze del secondo limite notevole:
1. 2. 3. 4.
Grazie al secondo limite notevole e alle sue conseguenze, è possibile esplorare incertezze come zero diviso zero, uno all'infinito e infinito diviso infinito, e anche nella stessa misura

Cominciamo con semplici esempi.

Esempio 6. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: applicare direttamente il 2° limite notevole non funzionerà. Innanzitutto, dovresti trasformare l'esponente in modo che assomigli all'inverso del termine tra parentesi

Questa è la tecnica per ridurre al 2° limite notevole e, in sostanza, dedurre la 2a formula per il corollario del limite.

Esempio 7. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: abbiamo compiti per la formula 3 del corollario 2 di un limite meraviglioso. Sostituendo zero si ottiene una singolarità della forma 0/0. Per elevare il limite a regola, giriamo il denominatore in modo che la variabile abbia lo stesso coefficiente del logaritmo

È anche facile da capire ed eseguire durante l'esame. Le difficoltà degli studenti nel calcolo dei limiti iniziano con i seguenti problemi.

Esempio 8. Calcolare il limite di una funzione[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Soluzione: abbiamo una singolarità di tipo 1 elevata all'infinito. Se non mi credi, puoi sostituire la “X” con infinito ovunque e assicurartene. Per costruire una regola, dividiamo il numeratore per il denominatore tra parentesi; per fare ciò, eseguiamo prima le manipolazioni

Sostituiamo l'espressione in limite e trasformiamola in 2 meravigliosi limiti

Il limite è pari alla potenza esponenziale di 10. Le costanti che sono termini con una variabile, sia tra parentesi che con un grado, non introducono alcun "tempo" - questo dovrebbe essere ricordato. E se i tuoi insegnanti ti chiedono: “Perché non converti l’indicatore?” (Per questo esempio in x-3), quindi dire che "Quando una variabile tende all'infinito, aggiungile anche 100 o sottrai 1000 e il limite rimarrà lo stesso di prima!"
Esiste un secondo modo per calcolare limiti di questo tipo. Ne parleremo nel prossimo compito.

Esempio 9. Trova il limite
Soluzione: ora eliminiamo la variabile nel numeratore e nel denominatore e trasformiamo una caratteristica in un'altra. Per ottenere il valore finale utilizziamo la formula del Corollario 2 del limite notevole

Esempio 10. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: non tutti riescono a trovare il limite indicato. Per aumentare il limite a 2, immagina che sin (3x) sia una variabile e devi trasformare l'esponente

Successivamente, scriviamo l'indicatore come potenza a potenza


Gli argomenti intermedi sono descritti tra parentesi. Come risultato dell'utilizzo del primo e del secondo limite notevole, abbiamo ottenuto l'esponenziale in cubo.

Esempio 11. Calcolare il limite di una funzione sin(2*x)/ln(3*x+1)
Soluzione: Abbiamo un'incertezza della forma 0/0. Inoltre, vediamo che la funzione dovrebbe essere convertita per utilizzare entrambi i meravigliosi limiti. Eseguiamo le precedenti trasformazioni matematiche

Inoltre, senza difficoltà, il limite assumerà il valore

Ecco quanto ti sentirai libero su compiti, test, moduli se impari a scrivere rapidamente le funzioni e a ridurle al primo o al secondo meraviglioso limite. Se hai difficoltà a memorizzare i metodi indicati per trovare i limiti, puoi sempre ordinare da noi un test sui limiti.
Per fare ciò, compila il modulo, fornisci i dati e allega un file con esempi. Abbiamo aiutato molti studenti: possiamo aiutare anche te!

Esistono diversi limiti notevoli, ma i più famosi sono il primo e il secondo limite notevole. La cosa notevole di questi limiti è che sono ampiamente utilizzati e con il loro aiuto si possono trovare altri limiti riscontrati in numerosi problemi. Questo è ciò che faremo nella parte pratica di questa lezione. Per risolvere i problemi riducendoli al primo o al secondo limite notevole, non è necessario rivelare le incertezze in essi contenute, poiché i valori di questi limiti sono stati dedotti da tempo da grandi matematici.

Il primo meraviglioso limiteè detto limite del rapporto tra il seno di un arco infinitesimo e l'arco stesso, espresso in radianti:

Passiamo alla risoluzione dei problemi al primo limite notevole. Nota: se sotto il segno limite c'è una funzione trigonometrica, questo è un segno quasi sicuro che tale espressione può essere ridotta al primo limite notevole.

Esempio 1. Trova il limite.

Soluzione. Invece la sostituzione X zero porta all’incertezza:

.

Il denominatore è il seno, quindi l'espressione può essere portata al primo limite notevole. Iniziamo la trasformazione:

.

Il denominatore è il seno di tre X, ma il numeratore ha solo una X, il che significa che devi inserire tre X nel numeratore. Per quello? Per introdurre 3 X = UN e ottieni l'espressione .

E arriviamo ad una variazione del primo limite notevole:

perché non importa quale lettera (variabile) in questa formula sta al posto di X.

Moltiplichiamo X per tre e dividiamo immediatamente:

.

In accordo con il primo limite notevole notato, sostituiamo l'espressione frazionaria:

Ora possiamo finalmente risolvere questo limite:

.

Esempio 2. Trova il limite.

Soluzione. La sostituzione diretta porta ancora una volta all’incertezza “zero diviso per zero”:

.

Per ottenere il primo limite notevole è necessario che la x sotto il segno seno al numeratore e solo la x al denominatore abbiano lo stesso coefficiente. Lascia che questo coefficiente sia uguale a 2. Per fare ciò, immagina il coefficiente corrente per x come di seguito, eseguendo operazioni con le frazioni, otteniamo:

.

Esempio 3. Trova il limite.

Soluzione. Sostituendo, otteniamo nuovamente l'incertezza “zero diviso zero”:

.

Probabilmente hai già capito che dall'espressione originale puoi ottenere il primo limite meraviglioso moltiplicato per il primo limite meraviglioso. Per fare ciò, scomponiamo i quadrati della x al numeratore e del seno al denominatore in fattori identici e, per ottenere gli stessi coefficienti per x e seno, dividiamo la x al numeratore per 3 e moltiplichiamo immediatamente per 3. Otteniamo:

.

Esempio 4. Trova il limite.

Soluzione. Ancora una volta otteniamo l’incertezza “zero diviso zero”:

.

Possiamo ottenere il rapporto tra i primi due limiti notevoli. Dividiamo sia il numeratore che il denominatore per x. Quindi, in modo che i coefficienti di seno e x coincidano, moltiplichiamo la x superiore per 2 e dividiamo immediatamente per 2, moltiplichiamo la x inferiore per 3 e dividiamo immediatamente per 3. Otteniamo:

Esempio 5. Trova il limite.

Soluzione. E ancora l’incertezza dello “zero diviso zero”:

Ricordiamo dalla trigonometria che la tangente è il rapporto tra seno e coseno e il coseno di zero è uguale a uno. Effettuiamo le trasformazioni e otteniamo:

.

Esempio 6. Trova il limite.

Soluzione. La funzione trigonometrica sotto il segno di limite suggerisce ancora l'uso del primo limite notevole. Lo rappresentiamo come il rapporto tra seno e coseno.