Massa effettiva di un elettrone in un cristallo e suo significato fisico. Massa effettiva di un elettrone in un cristallo Movimento di un elettrone in un campo periodico di un reticolo cristallino

F (legge di Newton), ma con E. m. m*, diversa dalla massa m dell'elettrone libero. Questa differenza riflette l'effetto della conduttività elettrica con il reticolo. Nel caso più semplice, E. m. è determinato dalla relazione:

Il concetto di emettitore è generalizzato ad altri tipi di eccitazioni (fononi, fotoni, eccitoni, ecc.). Se la dipendenza? (p) (legge di dispersione) è anisotropa, allora em. m. rappresenta (tensore delle masse efficaci inverse)

Dizionario enciclopedico fisico. - M.: Enciclopedia sovietica. . 1983 .

MASSA EFFETTIVA

Una quantità che ha la dimensione della massa e ne caratterizza la dinamica. proprietà quasiparticelle. Ad esempio il movimento elettrone di conduzione nel cristallo sotto l'influenza esterna forza F e le forze del cristallino. il reticolo in alcuni casi può essere descritto come il movimento di un elettrone libero, su cui agisce solo la forza F (Legge di Newton), ma con E. m. T, diverso dalla massa T 0 elettroni liberi. Questa differenza riflette l'elettrone di conduzione con il reticolo (vedi. Corpo solido, Teoria delle bande, Semiclassica).

Nel caso più semplice di dipendenza isotropa dell'energia dell'elettrone dal suo quasi-momento R E.m. è una quantità scalare determinata dalla relazione

Se dipendenza ( R) (legge di dispersione)isotropo, allora l'E.m. è un tensore. Componenti del tensore E.m. inverso.

Ciò significa che l'accelerazione di un elettrone in un cristallino il reticolo nel caso generale non è diretto parallelamente all'esterno. forza F . Può anche essere diretto in modo antiparallelo F , che corrisponde a negativo. valore di E. m. Per elettroni con negativo. Si è rivelato conveniente prendere in considerazione quasiparticelle-buchi carichi positivamente con em positivi.

Quando studiano i fenomeni galvanomagnetici, usano il cosiddetto. ciclotrone E.M. di elettroni e lacune:

Dove S- area della sezione trasversale isoenergetica. superfici ( R ) = piano cost perpendicolare al magnete. campo N.

Naib. metodi importanti per determinare l'EM degli elettroni di conduzione e delle lacune nei metalli e nei semiconduttori - ciclotrone, misurazione capacità termica elettronica e così via.

Per colpa di Interazione elettrone-fonone Elettroni E.M. che si spostano negli ioni cristallini. reticolo, viene rinormalizzato e max. La fem degli elettroni in (e nelle vicinanze) subisce rinormalizzazione capriate di superficie; elettroni con energia (w D-Frequenza Debye) L'E.M. non è praticamente rinormalizzata. Grazie a ciò, le formule che descrivono la termodinamica. e cinetico proprietà dei metalli alle basse temperature ( kT<< ), include l'E. m. rinormalizzato e le formule che descrivono le proprietà del metallo a kT>>, oltre che ottico proprietà per le frequenze w>>w D, - E. non rinormalizzato. m.

Il concetto di E.M. è generalizzato per altri tipi di quasiparticelle ( fononi, fotoni, eccitoni e così via.). In teoria liquido quantistico per quasiparticelle - fermioni con una legge di dispersione isotropa chiamata E. m. atteggiamento m=p 0 / tu 0 , Dove R 0 e u 0 - ass. valori di quantità di moto e velocità delle quasiparticelle in ass. temperature zero corrispondenti Energia di Fermi. Atomo liquido E.m. 3 Diverso da 3,08 M 0, dove T 0 - massa di un atomo libero di 3 He (vedi Elio liquido).

Illuminato. vedere sotto l'art. Quasiparticella. M. I. Kaganov.

Enciclopedia fisica. In 5 volumi. - M.: Enciclopedia sovietica. Redattore capo A. M. Prokhorov. 1988 .

Scopri cos'è la "MASSA EFFICACE" in altri dizionari:

Massa effettiva- il prodotto della lunghezza effettiva del campione per la sua area della sezione trasversale e la densità del materiale. Fonte: GOST 12119.0 98: Acciaio elettrico. Metodi per la determinazione delle proprietà magnetiche ed elettriche. Requisiti generali … Dizionario-libro di consultazione dei termini della documentazione normativa e tecnica

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Nella fisica dello stato solido, la massa effettiva di una particella è la massa dinamica che appare quando la particella si muove nel potenziale periodico del cristallo. Si può dimostrare che gli elettroni e le lacune in un cristallo reagiscono a un campo elettrico come questo... Wikipedia

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massa effettiva- efektyvioji masė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. vok di massa efficace. Massa effettiva, f; Wirksame Masse, f rus. massa effettiva, f pranc. massa efficace, f … Fizikos terminų žodynas

Una quantità che ha la dimensione della massa e caratterizza le proprietà dinamiche delle quasiparticelle (Vedi Quasiparticelle). Ad esempio, il movimento di un elettrone di conduzione (Vedi Elettrone di conduzione) in un cristallo sotto l'azione di una forza esterna F e di forze da ... ... Grande Enciclopedia Sovietica

I portatori di corrente sono le caratteristiche degli elettroni di conduzione e delle lacune nella teoria delle bande dei solidi, utilizzati per descrivere l'azione delle forze esterne su di essi. campo elettromagnetico. Ai vettori attuali, oltre a quelli esterni campi, validi anche interni. periodico campo di cristallo... ... Grande Dizionario Enciclopedico Politecnico

Una quantità che ha la dimensione della massa, caratterizzante la dinamica. proprietà delle quasiparticelle. Ad esempio, il movimento degli elettroni di conduzione in un cristallo sotto l'influenza di influenze esterne. la forza può essere descritta come il movimento di un elettrone libero, ma con E.M. diversa dalla massa... ... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

massa effettiva di un portatore di carica di un semiconduttore- massa effettiva del portatore di carica Una quantità che ha le dimensioni della massa e caratterizza il movimento del portatore di carica in un semiconduttore sotto l'influenza di un campo elettromagnetico esterno. [GOST 22622 77] Argomenti: materiali semiconduttori Sinonimi... ... Guida del traduttore tecnico

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Lo stato di un elettrone che si muove liberamente nello spazio, come è noto, può essere caratterizzato da energia E e quantità di moto p. In questo caso il rapporto tra energia e quantità di moto è dato dalla formula classica

D'altra parte, secondo de Broglie, un elettrone libero di massa m 0 che si muove con velocità corrisponde a un'onda, la cui lunghezza può essere determinata dalla relazione

dove h è la costante di Planck. Poiché il numero d'onda k è il numero di onde che si estendono su una lunghezza di 2p cm, è uguale a:

quindi la quantità di moto dell'elettrone libero

e la sua energia

dove h=h/2p è il quanto d'azione.

Per un elettrone che si muove in un campo periodico di un cristallo, possiamo introdurre la quantità p = hk, detta quasi-momento. In accordo con lo spettro discreto k, anche il quasi momento p è quantizzato. Secondo le disuguaglianze (25), in un reticolo cubico la quasi quantità di moto dovrebbe variare entro i limiti

Come segue dalla (25), nella banda energetica del cristallo ci sono N stati energetici, che corrispondono ai valori delle componenti quasi-momento

dove i = x, y, z e j = 1, 2, 3. Per un cristallo con un reticolo cubico semplice, secondo le relazioni (25) e (31), è sufficiente considerare la variazione delle componenti k i e p i entro i limiti

Questi valori del quasi-momento nel sistema di coordinate (p x, p y, p z) corrisponderanno ad una certa regione costruita attorno all'origine delle coordinate e contenente tutti i possibili stati diversi. Questa zona è chiamata la prima, o principale, zona di Brillouin. Per un cristallo con un reticolo cubico semplice, la prima zona di Brillouin è un cubo con un volume

Nel k-spazio, anche la prima zona Brillouin per un cristallo con un reticolo cubico semplice è un cubo il cui volume

La prima zona Brillouin può essere suddivisa in celle cubiche elementari dotate di volume

dove V = L 3 = a 3 N x N y N z = a 3 N è il volume del cristallo, e N = N x N y N z è il numero totale di celle unitarie nel cristallo.

Poiché il volume della prima zona Brillouin per un cristallo con un reticolo cubico semplice è uguale a (h/a) 3, e il volume della cella unitaria è h 3 /a 3 N, il numero di celle unitarie in essa contenute è N , cioè pari al numero di stati energetici nella zona. Ma nella banda energetica possono esserci 2N elettroni, quindi nella prima zona di Brillouin possono esserci 2N elettroni, e in ciascuna cella possono esserci solo due elettroni con spin diretti opposti.

La seconda e le successive zone Brillouin, corrispondenti alla seconda e alle successive zone energetiche, hanno una configurazione più complessa, ma il loro volume rimane costante. Contengono inoltre N celle elementari, ciascuna delle quali può essere associata ad una cella della prima zona che rappresenta uno stato equivalente.

Il riempimento degli stati quantistici della banda di valenza con gli elettroni è diverso per i metalli e per i semiconduttori. Nei metalli la banda è parzialmente riempita di elettroni oppure nella banda di valenza sono occupati tutti i possibili stati elettronici, ma questa banda si sovrappone ad una banda libera non occupata da elettroni. La presenza di stati liberi non occupati nella banda consente agli elettroni di muoversi al suo interno sotto l'influenza di un campo esterno e trasferire la carica elettrica. Pertanto, affinché la corrente elettrica possa fluire in un solido, devono esserci stati liberi nella banda di valenza. Nei semiconduttori il numero di stati possibili nella banda di valenza è pari al numero di elettroni di valenza degli atomi che formano il cristallo. In questo caso, alla temperatura di 0 K, tutti gli stati elettronici della zona sono occupati; ad ogni livello della zona ci sono due elettrodi con spin opposti. Pertanto, un campo elettrico esterno non può creare un movimento diretto di un tale insieme di elettroni, perché in una zona piena gli elettroni possono solo scambiarsi di posto. Pertanto, un tale cristallo non può condurre corrente; è un dielettrico.

Analizziamo lo spettro energetico dei cristalli formati da elementi del gruppo IV della tavola periodica, che hanno un reticolo cristallino di tipo diamante. Comprende carbonio (diamante), silicio, germanio e stagno grigio. La struttura elettronica di questi atomi è tale (vedi Fig. 1) che allo stato solido quattro elettroni di ciascun atomo prendono parte alla formazione di un legame covalente. Allo stesso tempo, come segue dalla Fig. 4, le zone formate dagli stati ns e np si sovrappongono, formando una zona comune con il numero di stati 8N. Quando la distanza interatomica diminuisce, questa banda si divide in due bande con 4N stati quantistici in ciascuna. La banda inferiore contiene 4N stati pieni di elettroni - questa è la banda di valenza, e la banda superiore ha 4N stati pieni di elettroni - questa è la banda di conduzione.

Troviamo la legge della variazione del quasi-momento e del vettore d'onda nel tempo, cioè la legge che descrive il movimento di un elettrone in un cristallo in presenza di un campo elettrico esterno.

Come noto dalla meccanica quantistica, il moto di un elettrone libero con un vettore d'onda k può essere descritto utilizzando un pacchetto d'onda, che è una sovrapposizione di onde piane con valori di k continuamente variabili entro 2Dk (da k--Dk a k+Dk). Il movimento di un pacchetto d'onde è caratterizzato da una velocità di gruppo, che è pari alla velocità di movimento di un punto qualsiasi del pacchetto, ad esempio la sua massima. La coordinata di questo massimo può essere trovata dalla condizione. Ne consegue che

cioè la velocità media di movimento di un elettrone libero x è uguale alla velocità di gruppo del pacchetto d'onde:

Se usiamo la relazione per l'energia E = hsh, la velocità media di un elettrone libero sarà determinata dall'espressione della forma

dove p = hk - impulso.

Il moto di un elettrone in un cristallo è descritto dalla funzione d'onda (16), che è determinata da un insieme di funzioni d'onda atomiche con diversi valori di k. Poiché, dove n = 0, 1, . . . , (N--l), e e, allora la funzione d'onda Ø può essere considerata come un insieme di onde piane per le quali k varia quasi continuamente. Per questo motivo il movimento di un elettrone in un cristallo può essere caratterizzato da un pacchetto d'onde composto da funzioni di Bloch. Pertanto l'espressione (40) sarà valida anche per la velocità media del movimento degli elettroni nel cristallo

o per caso 3D

dove p = hk è un quasi-momento.

Pertanto, la velocità media di un elettrone in un cristallo è determinata dalla derivata dell'energia rispetto al quasi-momento.

Consideriamo il caso in cui su un elettrone in un cristallo agisce una forza esterna F. Sia E(k) l'energia dell'elettrone nella zona in cui si muove con velocità v. Allora, secondo la legge di conservazione dell’energia, abbiamo per il moto unidimensionale:

quindi da un confronto delle uguaglianze (43) e (44) tenendo conto della (42)

Consideriamo ora come cambia la quantità di moto P di un elettrone in un cristallo in assenza di un campo esterno. In un cristallo con struttura ideale e campo strettamente periodico, l'elettrone si muove rimanendo allo stesso livello di banda. Poiché il quasi-momento dell'elettrone è costante, allora. Ma dal lato del campo reticolare, la forza F cr agisce sull'elettrone e determina la variazione della sua quantità di moto P, ad es.

Quindi, se la struttura del reticolo cristallino è ideale, allora nel campo periodico del reticolo l'elettrone si muove lungo l'intero cristallo, avendo una quasi quantità di moto costante e una velocità costante. Ciò significa che nel campo periodico del reticolo l'elettrone si muove senza accelerazione. In altre parole, in un campo reticolare strettamente periodico, un elettrone si muove come una particella libera, senza resistenza, senza dispersione. Se un cristallo con una struttura ideale viene posto in un campo esterno, allora, come segue dalla (45), il movimento dell'elettrone sarà simile al movimento di una particella libera sotto l'azione di una forza esterna F.

Sia un elettrone libero con massa m 0 immerso in un campo elettrico uniforme E. . e l'elettrone è soggetto ad una forza F=-eE, sotto l'influenza della quale acquista accelerazione

diretto allo stesso modo di una forza esterna.

Per un elettrone in un cristallo situato in un campo elettrico esterno, tenendo conto della (41) e della (45), possiamo scrivere:

Generalizzando la (48) per il caso tridimensionale, si ottiene:

In questo caso il vettore accelerazione a non coincide in direzione con il vettore forza F.

L'insieme delle quantità che collegano i vettori a e F è un tensore del secondo rango:

Poiché la dimensione del quasi-momento coincide con la dimensione dell'impulso, la dimensione delle componenti tensoriali è la dimensione della massa inversa, e la dimensione è la dimensione della massa. Pertanto, per analogia con la (47), per un elettrone libero, il tensore (50) è chiamato tensore di massa efficace inversa. Questo tensore è simmetrico rispetto alla diagonale principale, perché . Scegliendo il sistema di coordinate appropriato, puoi ridurre il tensore simmetrico alla forma diagonale:

Quindi il tensore inverso al tensore di massa efficace inverso sarà il tensore di massa efficace

Le quantità sono chiamate componenti del tensore di massa efficace. Per i cristalli con simmetria cubica, m 1 =m 2 =m 3 =m * e il tensore degenera in uno scalare. In questo caso le superfici isoenergetiche rappresentano sfere e sono descritte dall'equazione

e l'espressione per la massa efficace ha la forma

Quando l’elettrone è in prossimità del minimo energetico, cioè in prossimità del fondo della banda di conduzione,

e m*>0, (54)

quelli. gli elettroni si comportano come particelle cariche negativamente con massa effettiva positiva. In questo caso, secondo (48) e (53), otteniamo F=m * a e p=mv, cioè l'accelerazione è diretta nella direzione della forza esterna e la velocità coincide in direzione con la quasi- quantità di moto. Di conseguenza, sotto l'influenza di un campo elettrico esterno, il movimento di un elettrone situato nella parte inferiore della zona energetica di un cristallo cubico è simile al movimento di una particella libera la cui massa è m*. L'accelerazione di un elettrone in un cristallo è impartita solo da una forza esterna. L'effetto del campo reticolare si manifesta nel fatto che in presenza di una forza esterna, il movimento dell'elettrone è determinato non dalla sua massa ordinaria, ma da quella effettiva.

In prossimità del massimo energetico, cioè in prossimità della banda di valenza,

e la direzione di accelerazione dell'elettrone è opposta alla direzione della forza esterna che agisce su di esso ed è diretta lungo il campo. Un tale portatore di carica in prossimità della sommità della banda di valenza agisce come una particella con carica positiva e massa effettiva positiva ed è chiamato lacuna.

Ad esempio, consideriamo la struttura a bande del silicio. Poiché la banda di conduzione e la banda di valenza del silicio comprendono lo stato p (Fig. 4), per il quale viene rimossa la degenerazione nel cristallo, ciascuna di esse rappresenta una sovrapposizione di tre bande diverse. In Fig. 5 sono rappresentati da tre rami E(k). Questa dipendenza non è la stessa per diverse direzioni cristallografiche. Uno dei rami della banda di conduzione si trova significativamente più in basso degli altri. La posizione dell'energia minima assoluta determina il fondo della banda di conduzione. I minimi energetici sono anche chiamati valli. Il minimo assoluto della banda di conduzione nel silicio si trova nella direzione degli assi vicino al confine della zona di Brillouin. Pertanto il silicio ha sei minimi di energia equivalente, e quindi la prima zona di Brillouin ha sei superfici ellissoidali di energia costante, allungate lungo gli assi. I valori delle componenti del tensore di massa efficace dell'elettrone m 1 =m 2 =m t e m 3 =m l, dove m t e m l sono attraverso gli assi di simmetria e lungo l'asse di rotazione dell'ellissoide, e sono chiamati longitudinale e trasversale masse efficaci, rispettivamente. La distanza minima tra la parte inferiore della banda di conduzione e la parte superiore della banda di valenza è detta band gap. Nel silicio, gli estremi energetici degli elettroni e delle lacune si trovano in punti diversi nella zona di Brillouin. Anche la banda di valenza è composta da tre sottobande, per tutte i massimi si trovano al centro della zona di Brillouin k=0. Le superfici isoenergetiche sono superfici ondulate.

Fig.5

Figura 6. Dipendenza dalla temperatura della concentrazione di elettroni nel silicio ad una concentrazione donatrice di 10 15 cm -3.

La media su varie direzioni nello spazio k ci consente di sostituire la superficie ondulata con una sferica. In questo caso la massa effettiva è una quantità scalare e i fori dovrebbero essere di due tipi: pesanti e leggeri.

2.1. Movimento degli elettroni nel campo periodico di un cristallo.

Equazione di Schrödinger per il cristallo

Il primo capitolo ha discusso la descrizione quantomeccanica delle microparticelle libere o delle particelle situate in un campo di forza esterno. Tuttavia, i principali successi della meccanica quantistica sono associati allo studio dei sistemi di microparticelle interagenti (elettroni, nuclei, atomi, molecole) che compongono la materia. In questo capitolo applicheremo la meccanica quantistica per descrivere il comportamento degli elettroni nei solidi cristallini, considerando il cristallo come un sistema di microparticelle.

In generale, questo problema richiede la risoluzione dell'equazione di Schrödinger per un sistema di particelle (elettroni e nuclei) che formano un cristallo. In questa equazione è necessario tenere conto dell'energia cinetica di tutti gli elettroni e nuclei, dell'energia potenziale di interazione tra elettroni, nuclei tra loro ed elettroni con nuclei. È chiaro che in generale non è possibile risolvere una simile equazione, poiché contiene circa 10 22 variabili. Pertanto, i problemi relativi al comportamento degli elettroni in un cristallo vengono risolti sulla base di alcune ipotesi semplificative (approssimazioni), la cui validità è determinata dalle proprietà specifiche del cristallo. Consideriamo la principale di queste ipotesi.

Approssimazione adiabatica. In questa approssimazione si presuppone che gli elettroni si muovano nel campo stazionario nuclei. Per nuclei qui intendiamo i nuclei veri e propri degli atomi con tutti gli elettroni, esclusi quelli di valenza. La validità di questa ipotesi è determinata dal fatto che le velocità degli elettroni sono circa due ordini di grandezza maggiori delle velocità dei nuclei, quindi, per qualsiasi configurazione di nuclei, anche non in equilibrio, il corrispondente equilibrio elettronico avrà sempre il tempo di essere stabilito. In questa rappresentazione è escluso lo scambio di energia tra il sistema elettronico e quello nucleare, pertanto questa approssimazione è detta adiabatica. Naturalmente nell'approssimazione adiabatica non è possibile considerare fenomeni come la diffusione, la conduttività ionica, ecc., associati al movimento degli atomi o degli ioni.

Approssimazione a singolo elettrone. In questa approssimazione, invece dell'interazione di un dato elettrone con altri elettroni e nuclei, il suo movimento in un certo campo medio risultante dei restanti elettroni e nuclei viene considerato separatamente. Questo campo si chiama autocoerente. Nell'approssimazione a un elettrone, quindi, il problema si riduce a una descrizione indipendente di ciascun elettrone in un campo esterno medio con energia potenziale U(R). Tipo di funzione U(R) è determinato dalle proprietà di simmetria del cristallo. La proprietà principale di un campo autoconsistente è che ha lo stesso periodo del campo dei nuclei.

Pertanto, l'approssimazione adiabatica e con un elettrone porta al problema del movimento degli elettroni in un certo campo potenziale periodico avente un periodo pari alla costante del reticolo cristallino. L'equazione di Schrödinger in questo caso avrà la forma

. (2.1)

Qui sì(R) - funzione d'onda dell'elettrone, D - Operatore di Laplace, Me- massa dell'elettrone, E- energia di un elettrone in un cristallo.

Le due ipotesi seguenti sono legate all'impossibilità di determinare con precisione il tipo di funzione U(R). Pertanto, quando si descrivono le proprietà degli elettroni in un cristallo, vengono solitamente considerati due casi limite di interazione degli elettroni con il reticolo.

Approssimazione di accoppiamento debole. In questa approssimazione, gli elettroni in un cristallo sono considerati particelle quasi libere, il cui movimento è debolmente perturbato dal campo del reticolo cristallino. Questa ipotesi è applicabile quando l'energia potenziale di interazione di un elettrone con il reticolo è molto inferiore alla sua energia cinetica. Questo approccio è talvolta chiamato " avvicinamento di elettroni quasi liberi", permette di ottenere una soluzione ad alcuni problemi legati al comportamento degli elettroni di valenza nei metalli.

Nei semiconduttori è più accettabile analizzarne le proprietà fisiche avvicinandosi ad un accoppiamento forte. In questa approssimazione, lo stato di un elettrone in un cristallo differisce poco dal suo stato in un atomo isolato. L'approssimazione strettamente vincolante è applicabile quando l'energia potenziale di un elettrone è significativamente maggiore della sua energia cinetica.

La caratteristica delle approssimazioni di accoppiamento debole e forte è che entrambe portano a una proprietà fondamentale della distribuzione energetica degli elettroni in un cristallo: l’emergere di zone energetiche consentite e vietate.

2.2. Bande di energia nell'approssimazione dell'accoppiamento forte

Nonostante sia applicabile agli elettroni di livelli energetici profondi, illustra bene i principi generali della formazione di bande energetiche quando atomi isolati si avvicinano l'uno all'altro e la formazione di un reticolo cristallino da essi. Consideriamo qualitativamente l'immagine dell'emergere di bande energetiche usando l'esempio della formazione di un reticolo cristallino da atomi di sodio isolati. Struttura elettronica di Na 11 (1s 2 2s 2 2p 6 3s): ci sono un totale di 11 elettroni nell'atomo, due elettroni ciascuno ai livelli 1s e 2s, 6 elettroni al livello 2p, l'ultimo livello riempito nel sodio l'atomo è 3s, che contiene un elettrone di valenza. Poiché nell'approssimazione di legame forte si assume che lo stato di un elettrone in un cristallo differisca leggermente dal suo stato in un atomo isolato, nel valutare l'influenza del campo cristallino degli atomi vicini su questo stato, procederemo dall'energia struttura dell'atomo isolato. Nella fig. La Figura 2.1a mostra schematicamente i livelli energetici e la distribuzione degli elettroni su di essi per gli atomi di sodio situati a una distanza sufficientemente grande l'uno dall'altro in modo che le curve degli elettroni potenziali non si sovrappongano (l'interazione tra gli atomi è trascurabile). Gli stati degli elettroni in questo caso sono descritti dalle funzioni d'onda di un atomo isolato, i livelli energetici consentiti sono discreti e determinati da numeri quantici N, l, M- principale, orbitale, magnetico, rispettivamente. Ogni livello non degenere in energia può contenere due elettroni, tenendo conto dello spin, e ogni livello degenere nel numero quantico orbitale può contenere 2(2 l+1) elettroni.

Avviciniamo ora questi atomi ad una distanza pari al parametro del reticolo cristallino di sodio (Fig. 2.1b). Le interazioni con gli atomi vicini influenzeranno i livelli di energia atomica originali. Nell'approssimazione strettamente vincolante, si presuppone che l'energia potenziale di un elettrone in un cristallo U(R) può essere rappresentato dalla somma

, (2.2)

Dove Ua- energia potenziale di un elettrone in un atomo isolato; D U(R) è una correzione che tiene conto dell'influenza degli atomi vicini. Si assume che gli atomi vicini esercitino una debole perturbazione sugli atomi Ua( D U(R) << Ua). Trascuratezza dell'emendamento D U(R) porta all'equazione di Schrödinger per un atomo isolato.

Poiché in un cristallo ogni livello di un atomo isolato si ripete N volte, diventa N volte degenere. È noto che il campo elettrico rimuove la degenerazione e ogni livello di un atomo isolato è suddiviso in N livelli energetici ravvicinati (in termini di valori energetici). C'è qui un'analogia con gli oscillatori accoppiati. Se abbiamo due oscillatori completamente identici non collegati tra loro da alcuna interazione (pendoli matematici, circuiti oscillatori elettrici, ecc.), allora le frequenze delle loro oscillazioni naturali coincidono. L'interazione tra gli oscillatori porta alla suddivisione di una frequenza in due frequenze simili (a condizione che l'energia dell'interazione tra gli oscillatori sia molto inferiore all'energia delle oscillazioni naturali). Per N oscillatori interconnessi, otteniamo una banda di N frequenze ravvicinate. Un risultato simile si ottiene per un sistema di atomi interagenti. Il numero di livelli energetici in cui è suddiviso ciascun livello energetico di un atomo isolato è uguale al numero di atomi nel cristallo. L'entità della scissione è tanto maggiore quanto più forte è l'interazione tra gli atomi, ad es. minore è la distanza tra loro. Nella fig. 2.2 mostra una suddivisione schematicadue livelli energetici di un atomo sotto l'influenza dei campi degli atomi vicini. Il diagramma è mostrato per otto atomi.

Risolvere l'equazione di Schrödinger nell'approssimazione dell'accoppiamento stretto porta alla seguente espressione per l'energia dell'elettrone nel campo periodico di un reticolo cubico tridimensionale

, (2.3)

Qui C- qualche valore costante che può assumere valori positivi e negativi; UN- integrale di scambio, dipendente dalla sovrapposizione delle funzioni d'onda degli atomi; K X, K sì, K z- componenti del vettore d'onda dell'elettrone; UN- parametro del reticolo cristallino.

Valori estremi dell'energia degli elettroni E si svolgeranno alle cos anatra= ± 1 ( io = x, y, z) e determinare la larghezza della banda energetica formata dal livello diviso di un atomo isolato. Per un reticolo cubico semplice, la larghezza della banda di energia è D E= 12UN . La larghezza della banda energetica per i livelli più alti è maggiore, perché per questi stati degli elettroni le funzioni d'onda degli elettroni si sovrappongono più fortemente e, quindi, l'integrale di scambio è maggiore UN. Il centro della zona viene spostato rispetto alla posizione del livello energetico dell'atomo isolato dell'importo CON. La direzione dello spostamento dipende dal segno CON. Le zone energetiche sono generalmente separate da intervalli energetici D EG, chiamato aree vietate. A volte le zone energetiche possono sovrapporsi.

Contengono veri cristalli che misurano circa 1 cm 3~ 10 22 atomi. La larghezza della banda energetica è solitamente ~ 1 eV. In questo caso, la distanza tra i livelli nella zona è~ 10-22 eV. Di conseguenza, lo spettro degli elettroni all'interno della banda energetica può essere considerato quasi continuo.

2.3. Proprietà generali della funzione d'onda dell'elettrone in un potenziale periodico. Il teorema di Bloch

Per risolvere accuratamente il problema del movimento degli elettroni in un cristallo nell'approssimazione di un elettrone, è necessario risolvere l'equazione di Schrödinger della forma (2.1), dove il potenziale U(R) ha una periodicità del reticolo cristallino, cioè

, (2.3)

Qui R- qualsiasi vettore di un reticolo cristallino rettilineo.

La necessità di risolvere il problema della meccanica quantistica è dovuta al fatto che la lunghezza d'onda di de Broglie dell'elettrone coincide in ordine di grandezza con il periodo del potenziale U(~ 10-8 centimetri). È possibile ottenere alcune proprietà generali della funzione d'onda di un elettrone in un cristallo utilizzando solo la proprietà di periodicità del potenziale del campo cristallino, senza risolvere l'equazione di Schrödinger. Considereremo qui il caso idealizzato di un ipotetico cristallo con periodicità potenziale assolutamente ideale. Abbiamo ottenuto in precedenza una vista tipica del potenziale lungo una linea che collega una catena di atomi (caso unidimensionale) analizzando qualitativamente l'effetto dell'interazione degli atomi sullo spettro degli elettroni quando gli atomi isolati si avvicinano l'uno all'altro (Fig. 2.1b) . Definizione esatta della funzione U(R) è un compito molto difficile.

Le proprietà fondamentali della funzione d'onda dello stato stazionario sono determinate da Il teorema di Bloch: Le autofunzioni di un'equazione d'onda stazionaria con potenziale periodico hanno la forma del prodotto di una funzione d'onda piana e di una funzione con potenziale periodico:

. (2.4)

Indice K y della funzione d'onda indica che questa funzione dipende dal numero d'onda. L'aspetto dell'indice Nè dovuto al fatto che quandovalori fissi K la funzione d'onda non è la stessa per elettroni di diverse bande formate da livelli atomici, N spesso chiamato numero di zona. Moltiplicatore u N ,K (R) sono chiamati Quello di Bloch moltiplicatore . Tiene conto dell'influenza del campo cristallino e riflette il fatto che la probabilità di trovare un elettrone in una particolare regione del cristallo si ripete da cellula a cellula.

Una rappresentazione schematica delle funzioni d'onda elettroniche rappresentate nel teorema di Bloch è mostrata per il caso unidimensionale in Fig. 2.3. In alto (Fig. 2.3, a) viene presentato il potenziale U(X) lungo una catena di atomi. Di seguito (Fig. 2.3b) è riportato un esempio di autofunzione (la sua parte reale). Questa funzione è uguale al prodotto del moltiplicatore di Bloch tu(X), avente una periodicità reticolare (Fig. 2.3, c) e la funzione d'onda di un elettrone libero sotto forma di un'onda piana (Fig. 2.3, d), la cui lunghezza è determinata dal numero d'onda K. La rappresentazione della funzione d'onda nella forma (2.4) può essere fatta in vari modi. Mostriamolo per il caso unidimensionale. Secondo il teorema di Bloch, la funzione d’onda unidimensionale può essere scritta come:

. (2.5)

Moltiplichiamo e dividiamo il membro destro dell'uguaglianza (2.5) per la funzione, Dove

UN- parametro reticolare. Allora otteniamo

. (2.6)

Tra parentesi quadre della formula (2.6) c'è una funzione che soddisfa i requisiti del teorema di Bloch: è periodica con punto UN, Perché è uguale al prodotto di due funzioni periodiche con lo stesso periodo. Funzione descrive un'onda piana, ma con un vettore d'onda diverso, diverso per l'entità . Pertanto, lo stesso stato stazionario di un elettrone in un campo periodico cristallino può essere descritto come una funzione d'onda con numero d'onda K e la funzione d'onda con numero d'onda e un altro moltiplicatore di Bloch. Risultati simili si otterranno se K cambiare in base al valore , Dove N- qualsiasi numero intero.

Per una catena unidimensionale di atomi, la quantità coincide con la dimensione della prima zona di Brillouin nello spazio reciproco. Se ci limitiamo a considerare i numeri d’onda all’interno della prima zona di Brillouin, cioè nell'intervallo da Prima , quindi questo set K esaurirà tutti i valori del numero d'onda fisicamente diversi nel cristallo.

2.4. Modello Kronig-Penny

Il teorema di Bloch ci consente di risolvere analiticamente il problema di un elettrone in un campo periodico di un reticolo cristallino nell'approssimazione di accoppiamento debole sotto alcune ipotesi semplificatrici. La principale difficoltà nel risolvere l'equazione (2.1) è associata all'incapacità di scrivere accuratamente la forma della funzione U(R). Pertanto, spesso la dipendenza periodica della funzione U(R) vengono sostituiti da una funzione più semplice con esattamente lo stesso periodo. Il modello di Kronig-Penney si limita a considerare un problema unidimensionale in cui il potenziale periodico è sostituito da una catena di buche di potenziale rettangolari (Fig. 2.4). Larghezza di ogni fossa UN, sono separati tra loro da barriere potenziali rettangolari di altezza U 0 e larghezza B. Periodo di ripetizione dei box Con= UN+ B.

L'equazione stazionaria di Schrödinger avrà in questo caso la forma:

. (2.7)

L'origine del sistema di coordinate (punto X= 0) scegliamo in modo che coincida con il bordo sinistro del pozzo di potenziale, come mostrato in Fig. 2.4, b. Quindi la funzione potenziale

. (2.8)

Secondo il teorema di Bloch, la funzione d'onda dell'elettronesì(X) può essere rappresentato nella forma

. (2.9)

Indici N E K omesso per facilitare la registrazione. Funzione tu(X) (moltiplicatore di Bloch) ha un puntoC

Sostituendo la (2.9) nell'equazione (2.7), otteniamo un'equazione differenziale per il moltiplicatore di Bloch

(2.10a)

per gli elettroni situati all'interno delle buche potenziali, e

(2.10b)

per gli elettroni situati al di fuori delle buche di potenziale. In queste equazioni E k - energia cinetica dell'elettrone

La soluzione generale dell'equazione (2.10a) per gli elettroni all'interno delle buche di potenziale può essere scritta nella forma

, (2.11a)

dove un - qualche parametro che può essere trovato sostituendo la soluzione nella forma (2.11a) nell'equazione originale (2.10a). Questa sostituzione produce il seguente valoreUN:

Nella zona esterna ai pozzi di potenziale, purché l'altezza della barriera di potenziale U 0 sopra l'energia totale degli elettroni E, la soluzione dell'equazione (2.10b) ha la forma

, (2.11b)

Dove

.

Permanente UN, B, C E D nelle formule (2.11a) e (2.11b) si ricavano, come di consueto, dalle condizioni al contorno. Le condizioni al contorno richiedono che la funzione tu(X) e la sua derivata prima nei punti di potenziali salti, cioè sulle pareti dei pozzi potenziali, erano continue. Questi requisiti portano al seguente sistema di equazioni:

(2.12)

Sistema di equazioni (2.12) dopo aver sostituito le funzioni al suo interno E , secondo le uguaglianze (2.10a) e (2.10b), si trasforma in un sistema di equazioni algebriche lineari omogenee in cui i coefficienti sono sconosciuti UN, B, C E D. Il determinante di questo sistema sarà uguale a zero (solo in questa condizione un sistema di equazioni lineari omogenee ha soluzioni diverse da zero) se è soddisfatta la seguente uguaglianza:

. (2.13)

L'espressione (2.13) può essere significativamente semplificata se assumiamo che l'ampiezza della barriera tenda a zero , e la sua altezza va all'infinito , ma in modo tale che il prodotto U0b rimasto costante . In queste condizioni, l’espressione (2.13) si trasforma nella forma:

, (2.14)

Dove

.

Perché il UN- parametro determinato dall'energia E elettrone e Kè il vettore d'onda dell'elettrone, allora l'espressione (2.14) rappresenta la dipendenza E(k), cioè la relazione di dispersione di un elettrone in un reticolo cristallino. Questa relazione di dispersione può essere scritta esplicitamente risolvendo l'equazione (2.14) perUNcon un valore di parametro fisso P.

2.5. Zone energetiche nel modello Kronig-Penney

Troviamo in forma esplicita la relazione di dispersione di un elettrone in un campo cristallino periodico. Esaminando l'espressione (2.14) troviamo che il numero d'onda k può essere reale solo a condizione che i valori del membro sinistro di questa uguaglianza siano compresi tra -1 e +1. Dipendenza del membro sinistro dell'equazione (2.14) da UN per parametro P= 2 è mostrato in Fig. 2.5. Le aree ombreggiate corrispondono ai valori dei parametri vietati UN e, quindi, l'energia dell'elettrone nel cristallo. Questo risultato è stato ottenuto solo sulla base del teorema di Bloch, la cui condizione di applicabilità è l'unico requisito per la periodicità del potenziale nell'equazione stazionaria di Schrödinger per un elettrone in un cristallo. Così, la presenza di un potenziale periodico porta alla comparsa di intervalli per l'energia degli elettroni per i quali non esiste una soluzione d'onda corrispondente ai valori reali del numero d'onda degli elettroni. Il risultato di ciò è un'alternanza di bande energetiche consentite e proibite per l'elettrone nel cristallo.

Nella fig. La Figura 2.6 mostra la relazione di dispersione dell'energia di un elettrone in un cristallo. È chiaro che la dipendenza E(k) subisce discontinuità nei punti in cui eccetera.

Se il parametro P = 0 , secondo l'uguaglianza (2.14) E

L'ultima uguaglianza corrisponde alla relazione di dispersione per un elettrone libero. Nella fig. 2.6 questa relazione di dispersione è rappresentata da una linea tratteggiata.

Poiché, come sottolineato sopra, tutti i valori del numero d'onda fisicamente distinguibili si trovano all'interno della prima zona di Brillouin, che nel caso unidimensionale è limitata all'intervallo dei valori del numero d'onda da Prima , è opportuno passare dalla rappresentazione di zone di Brillouin estese (Fig. 2.6) alla rappresentazione di zone di Brillouin ridotte (Fig. 2.7). Funzioni d'onda corrispondenti al reale K, può essere costruito solo per regioni ombreggiate di energia elettronica. Queste regioni rappresentano zone energetiche consentite, che sono separate l'una dall'altra da zone (lacune) di energie proibite.

Limite P ® ¥ fornisce una serie discreta di livelli

che coincidono con i risultati ottenuti nel primo capitolo per una particella in una buca di potenziale rettangolare unidimensionale (vedi equazione (1.34)). L'energia degli elettroni in un campo periodico di un cristallo subisce una discontinuità ai confini delle zone di Brillouin , per cui . La natura fisica delle rotture è correlata a

riflessione delle onde degli elettroni dai piani atomici di un reticolo cristallino. Infatti, dato il fatto che , una condizione in cui si verifica una discontinuità della funzione E(k), può essere scritto come , che coincide con la condizione di Wulf-Bragg ad un angolo di incidenza delle onde di 90°.

2.6. Riempimento delle bande energetiche con elettroni.

Metalli, dielettrici e semiconduttori

I solidi sono suddivisi in metalli, dielettrici e semiconduttori principalmente in base alla loro conduttività elettrica. Per i metalli tipici questo valore è 10 8 ...10 6 (Ohm m) -1 . Nei dielettrici, la conduttività elettrica è trascurabile: S< 10 -8 (Ом m) -1 . Per buoni dielettrici la conducibilità elettrica specifica raggiunge 10 -11 (Ohm m) -1 . I solidi con conduttività elettrica intermedia sono classificati come semiconduttori. Si scopre che differenze così grandi nelle proprietà elettriche dei solidi sono associate alla struttura e al grado di riempimento delle bande energetiche in questi corpi con gli elettroni.

Nonostante il fatto che le bande energetiche siano quasi continue, sono costituite da un numero molto ampio ma finito di livelli energetici. Il numero di questi livelli è determinato dal numero di atomi N combinati in un cristallo e dal numero quantico orbitale l:

(2.15)

In ciascuna zona energetica, secondo il principio di Pauli, non più di 2(2 l+ 1) elettroni - due con spin opposti ad ogni livello. Anche il numero di elettroni in un cristallo è finito e dipende dal numero di atomi N e dal numero di elettroni nell'atomo. Poiché gli elettroni tendono ad occupare livelli energetici con l'energia più bassa, le zone energetiche inferiori nel cristallo sono completamente piene e quelle più alte sono parzialmente riempite o completamente vuote.

Una zona parzialmente riempita si forma, ad esempio, vicino a un cristallo di sodio. Questo elemento ha riempito completamente i livelli 1s, 2s e 2p, che contengono un totale di 10 elettroni. In un cristallo di Na anche le bande 1s, 2s e 2p corrispondenti saranno completamente riempite. L'undicesimo elettrone di valenza nell'atomo di Na si trova al livello 3s, che può ospitare 2 elettroni. Di conseguenza, la banda 3s del sodio cristallino sarà riempita solo per metà. La struttura a bande del Na è mostrata in Fig. 2.8a. Le bande piene di elettroni e parte della banda 3s sono ombreggiate. E g - gap di banda.

Spesso una zona parzialmente riempita risulta dalla sovrapposizione di una zona completamente riempita con una successiva completamente vuota. Un esempio di tale struttura a bande è mostrato in Fig. 2.8b per il berillio, in cui le bande piene 2s e 2p libere si sovrappongono.

Un grande gruppo è costituito da cristalli in cui zone completamente vuote si trovano sopra zone completamente piene e la larghezza della banda proibita varia da diverse decine di elettronvolt a diversi elettronvolt. Esempi tipici di questo gruppo di cristalli sono mostrati in Fig. 2.8, c, d. Questi sono il carbonio nella modificazione del diamante e il silicio.

La struttura delle bande energetiche di un cristallo ha un'influenza decisiva sul valore della sua conduttività elettrica. Poiché la corrente elettrica è il movimento direzionale delle cariche (nei metalli - elettroni), la comparsa della corrente elettrica è associata ad un aumento della quantità di moto degli elettroni lungo la direzione della forza che agisce su di essa. Insieme alla quantità di moto dell'elettrone, cambia il suo vettore d'onda. Poiché l'energia e il vettore d'onda di un elettrone sono due quantità correlate, il cui rapporto è determinato dalla relazione di dispersione, un aumento del numero d'onda deve necessariamente essere accompagnato da un aumento dell'energia dell'elettrone. Non è difficile stimare quale sia l'aumento di energia dell'elettrone dovuto alla sua accelerazione in un campo elettrico, provocando una corrente elettrica nei conduttori. Se l'intensità del campo elettrico è 10 4 V/m, allora ad una distanza pari al percorso libero medio di un elettrone in un cristallo, che solitamente è ~10 -8 m, l'elettrone acquisisce un'energia di circa 10 -4 eV. È chiaro che questi valori energetici consentono ad un elettrone di spostarsi da un livello all'altro solo all'interno di una banda energetica. Per una transizione tra bande è necessaria un'energia maggiore del band gap E g, che, come accennato in precedenza, è 0,1 ... 10 eV.

Queste considerazioni portano alla conclusione che affinché i corpi presentino un'elevata conduttività è necessario che il loro spettro energetico contenga zone parzialmente riempite. Gli elettroni che hanno aumentato la loro energia sotto l'influenza di un campo elettrico esterno possono spostarsi ai livelli liberi di queste zone (Fig. 2.9). Pertanto, i corpi con zone energetiche parzialmente riempite lo sono conduttori. Le zone parzialmente riempite hanno tutto metalli.

Consideriamo ora i cristalli la cui banda energetica superiore è completamente piena di elettroni (Fig. 2.8, c, d). Un campo elettrico esterno non è in grado di modificare la natura del movimento degli elettroni, poiché non è in grado di sollevare gli elettroni nella zona libera sovrastante. All'interno della stessa zona completamente riempita, che non contiene un solo livello libero, può solo causare una riorganizzazione degli elettroni, il che non viola la simmetria della loro distribuzione di velocità. Ciò non porta alla generazione di corrente elettrica in tali cristalli.

Pertanto, i solidi con bande energetiche completamente piene di elettroni lo sono non conduttori. In base al loro gap di banda, i non conduttori vengono suddivisi in dielettrici E semiconduttori.

I dielettrici includono corpi che hanno un intervallo di banda relativamente ampio. Per dielettrici tipici, E g > 3 eV. Quindi, per il diamante E g = 5,2 eV; per il nitruro di boro E g = 4,6 eV; per Al 2 O 3 E g = 7 eV.

I semiconduttori tipici hanno un gap di banda inferiore a 3 eV. Ad esempio, per il germanio E g = 0,66 eV; per il silicio E g = 1,12 eV; per antimoniuro di indio E g = 0,17 eV.

Viene chiamata la zona riempita superiore di semiconduttori e dielettrici banda di valenza, viene chiamata la zona franca che la segue zona di conduzione. Nei metalli, la banda parzialmente riempita è chiamata sia banda di valenza che banda di conduzione.

2.7. Massa effettiva di un elettrone in un cristallo e suo significato fisico

Le peculiarità del movimento degli elettroni in un cristallo sono determinate dalla loro interazione con il reticolo cristallino. Si scopre che il movimento di un singolo elettrone in un cristallo può essere descritto dalla stessa equazione di una particella libera, cioè sotto forma della seconda legge di Newton, che tiene conto solo delle forze esterne al cristallo.

Consideriamo il movimento di un elettrone in un cristallo sotto l'influenza di un campo elettrico esterno. Un campo elettrico esterno porta ad un aumento della velocità dell'elettrone e, di conseguenza, della sua energia. Poiché un elettrone in un cristallo è una microparticella descritta da una funzione d'onda, l'energia dell'elettrone dipende dal suo vettore d'onda. Il rapporto tra queste due caratteristiche di un elettrone in un cristallo è determinato dal rapporto di dispersione, che a sua volta dipende dalla struttura delle bande energetiche. Pertanto, quando si calcola il movimento di un elettrone in un cristallo, è necessario procedere dalla legge di dispersione.

Un elettrone libero è descritto da un'onda di De Broglie monocromatica e l'elettrone in questo stato non è localizzato da nessuna parte. In un cristallo bisogna confrontare un elettrone gruppo Onde di de Broglie con frequenze diverse w e vettori d'onda K. Il centro di un tale gruppo di onde si muove nello spazio con velocità di gruppo

Questa velocità di gruppo corrisponde alla velocità del movimento degli elettroni nel cristallo.

Risolveremo il problema del moto degli elettroni per il caso unidimensionale. Aumento dell'energia degli elettroni dE sotto l'influenza di una forza esterna F pari al lavoro elementare dA, che viene realizzato da una forza esterna in un periodo di tempo infinitesimale dt:

(2.16)

Considerandolo per un elettrone come una microparticella , abbiamo la seguente espressione per la velocità di gruppo

Sostituendo l'espressione risultante per la velocità di gruppo nella formula (2.16), otteniamo

Da qui

Estendendo questo risultato al caso tridimensionale, otteniamo l'uguaglianza vettoriale

(2.17)

Come si può vedere da questa uguaglianza, la quantità ћ Kinfatti un elettrone in un cristallo cambia nel tempo sotto l'influenza di una forza esterna esattamente allo stesso modo della quantità di moto di una particella nella meccanica classica Nonostante questo, ћ Knon può essere identificato con la quantità di moto di un elettrone in un cristallo, poiché le componenti del vettore K definito fino ai termini costanti della forma (Qui UN- parametro del reticolo cristallino, N i =1, 2, 3, ...). Tuttavia, nella prima zona di Brillouin ћ Kha tutte le proprietà di un impulso. Per questo motivo, il valore ћ Kchiamato quasi-impulso elettrone in un cristallo.

Calcoliamo ora l'accelerazione UN, acquisito da un elettrone sotto l'influenza di una forza esterna F. Limitiamoci, come nel caso precedente, ad un problema unidimensionale. Poi

Nel calcolare l'accelerazione si è tenuto conto del fatto che l'energia dell'elettrone è una funzione del tempo. Considerando ciò, otteniamo

(2.18)

Confrontando l’espressione (2.18) con la seconda legge di Newton, vediamo che l’elettrone

in un cristallo si muove sotto l'influenza di una forza esterna nello stesso modo in cui un elettrone libero si muoverebbe sotto l'influenza della stessa forza se avesse massa

(2.19)

Misurare M* chiamata massa effettiva di un elettrone in un cristallo .

A rigor di termini, la massa effettiva di un elettrone non ha nulla a che fare con la massa di un elettrone libero. Sembra che lo sia caratteristica del sistema elettronico nel cristallo nel suo complesso. Introducendo il concetto di massa effettiva, abbiamo paragonato a un vero elettrone in un cristallo, legato dalle interazioni con il reticolo cristallino e altri elettroni, una certa nuova "microparticella" libera che ha solo due parametri fisici di un vero elettrone: la sua carica e la sua rotazione. . Tutti gli altri parametri: quasi-momento, massa effettiva, energia cinetica, ecc. - determinato dalle proprietà del reticolo cristallino. Questa particella viene spesso chiamata quasi-elettrone , elettrone-quasiparticella , portatore di carica negativa O portatore di carica di tipo n per sottolineare la sua differenza da un elettrone reale.

Le caratteristiche della massa effettiva dell'elettrone sono associate al tipo di rapporto di dispersione dell'elettrone nel cristallo (Fig. 2.10). Per gli elettroni situati nella parte inferiore della banda energetica, la relazione di dispersione può essere descritta approssimativamente dalla legge parabolica

Derivata seconda , quindi, la massa efficace è positiva. Tali elettroni si comportano in un campo elettrico esterno come elettroni liberi: vengono accelerati sotto l'influenza di un campo elettrico esterno. La differenza tra tali elettroni e quelli liberi è che la loro massa effettiva può differire significativamente dalla massa di un elettrone libero. Per molti metalli in cui la concentrazione di elettroni in una zona parzialmente riempita è bassa e si trovano vicino al fondo, gli elettroni di conduzione si comportano in modo simile. Se inoltre questi elettroni sono debolmente legati al cristallo, allora la loro massa effettiva differisce leggermente dalla massa a riposo di un elettrone reale.

Per gli elettroni situati al vertice della banda energetica (Fig. 2.10), la relazione di dispersione può essere approssimativamente descritta da una parabola della forma

e la massa effettiva è una quantità negativa. Questo comportamento della massa effettiva di un elettrone è spiegato dal fatto che durante il suo movimento in un cristallo non ha solo l'energia cinetica del movimento traslazionale E k, ma anche l'energia potenziale della sua interazione con il reticolo cristallino U. Quindi parte del lavoro UN la forza esterna può trasformarsi in energia cinetica e modificarla in modo significativoDE a, l'altra parte - in potenzialeDU:

Se, quando un elettrone si muove, non solo l’intero lavoro di una forza esterna, ma anche parte dell’energia cinetica a disposizione dell’elettrone viene convertita in energia potenziale (DE a < 0 ), la sua velocità diminuirà. In questo caso l’elettrone si comporta come una particella con massa effettiva negativa. Nel caso in cui tutto il lavoro di una forza esterna viene convertito in energia potenziale (DEk = 0), allora non c'è aumento di energia cinetica e velocità. Un elettrone si comporta come una particella con una massa effettiva infinitamente grande.Un elettrone ha una massa effettiva infinitamente grande nei punti di flesso della curva di dispersione, mostrati in Fig. 2.10 sono indicati da linee tratteggiate. La dipendenza della massa effettiva di un elettrone dal suo numero d'onda è mostrata schematicamente in Fig. 2.11.

2.8. Semiconduttori proprietari. Il concetto di buchi

Dalla struttura delle bande energetiche dei semiconduttori ne consegue che allo zero assoluto non conducono corrente elettrica. Il loro riscaldamento porta al fatto che alcuni elettroni nella banda di valenza acquisiscono energia sufficiente per il loro passaggio alla banda di conduzione, a seguito della quale appare una notevole conduttività elettrica. All’aumentare della temperatura aumenta il numero di elettroni nella banda di conduzione e, contemporaneamente, aumenta la conduttività elettrica del semiconduttore. L'eccitazione termica degli elettroni di conduzione è illustrata in Fig. 2.12. E s E E contro denotano rispettivamente la parte inferiore della banda di conduzione e la parte superiore della banda di valenza. Oltre alla temperatura, l'eccitazione degli elettroni di conduzione può avvenire anche sotto l'influenza di altri fattori che possono conferire agli elettroni l'energia sufficiente per il loro passaggio alla banda di conduzione. Questi fattori possono essere l’esposizione alla luce, le radiazioni ionizzanti, ecc.

Il meccanismo per la comparsa della conduttività elettrica nei cristalli semiconduttori discusso sopra è valido per materiali assolutamente puri che non contengono impurità che influenzano la conduttività elettrica. Tali semiconduttori sono chiamati Proprio e la loro conduttività elettrica propria conduttività elettrica. I semiconduttori intrinseci includono cristalli di elementi chimici puri come germanio (Ge), silicio (Si), selenio (Se), tellurio (Te), ecc., nonché alcuni composti chimici: arseniuro di gallio (GaAs), arseniuro di indio (InAs ), antimoniuro di indio (InSb), carburo di silicio (SiC) e molti altri.
La sezione 2.8 mostra che gli elettroni situati nella parte superiore della banda energetica hanno una massa effettiva negativa. Sono questi elettroni, situati nella parte superiore della banda di valenza, che si spostano nella banda di conduzione e partecipano alla conduttività elettrica del semiconduttore. Ogni elettrone che è passato nella banda di conduzione corrisponde a uno stato non occupato (vacante) nella banda di valenza, chiamato bucato condizione. Gli stati dei fori sono mostrati in Fig. 2.12 con cerchi luminosi. La presenza di posti vacanti nella banda di valenza consente agli elettroni di questa banda di cambiare il loro stato energetico sotto l'influenza di un campo elettrico esterno. Consideriamo questo processo in modo più dettagliato usando l'esempio di un cristallo in cui è presente uno stato vacante. In assenza di campo elettrico, questo stato sarà nella parte superiore della zona, perché gli elettroni tendono a localizzarsi ai livelli con l'energia più bassa (figura 2.13a). Gli stati occupati dagli elettroni sono mostrati in Fig. 2.13 punti e si trovano sulla curva di dispersione che descrive la dipendenza dell'energia dell'elettrone dalla componente del vettore d'ondaK X . Nella parte superiore della banda energetica, questa curva è approssimativamente descritta da una parabola. Se un campo elettrico esterno viene applicato a un semiconduttore E(per chiarezza, sia diretto lungo la direzione positiva dell'asse X, riso. 2.13,b), quindi per ciascun elettrone X-componente del vettore d'onda kx riceverà contemporaneamente un incremento negativo. Questa conclusione segue dall’equazione del moto, che è la stessa per ogni elettrone:

. (2.20)

Di conseguenza, gli elettroni della banda di valenza si sposteranno nella direzione indicata dalla freccia in Fig. 2.13, b. Lo stato vacante come risultato di questo movimento di elettroni si sposterà prima al punto E, e poi - al punto D eccetera. Pertanto, il movimento sequenziale degli elettroni attraverso i livelli energetici sotto l'influenza di un campo elettrico è equivalente al movimento di uno stato vacante. Viene chiamato uno stato quantistico non occupato da un elettrone nella banda energetica buco . Il vettore d'onda totale degli elettroni in una banda di energia completamente riempita è uguale a zero, poiché la curva di dispersione è simmetrica rispetto al punto K= 0 e ciascun elettrone con un vettore d'onda K ci sarà sempre un elettrone con un vettore d'onda di segno opposto- K. Se da uno stato con un vettore d'onda K Se l'elettrone viene rimosso, il vettore d'onda totale del sistema diventa uguale a- K e . Pertanto, al foro dovrebbe essere assegnato un vettore d'onda

. (2.21)

Tenendo conto della (2.20) e della (2.21), l'equazione del moto del foro avrà la forma

. (2.22)

Questa è l'equazione del moto positivo carica in un campo elettrico. Poiché il foro si muove lungo la direzione della forza che agisce su di esso, è opportuno assegnare questa particella positivo massa effettiva, pari in valore assoluto alla massa effettiva negativa dell'elettrone uscito dallo stato vacante al vertice della banda di valenza.

Calcoliamo la corrente creata dagli elettroni di una banda energetica completamente piena. Contributo alla densità di corrente da parte di un elettrone che si muove velocemente v j è uguale

La corrente di tutti gli elettroni nella banda di valenza è uguale alla somma delle correnti dei singoli elettroni:

La somma viene eseguita su tutti gli stati occupati dagli elettroni. Poiché le curve di dispersione sono simmetriche, per ogni elettrone con velocità diversa da zero nella direzione positiva ci sarà sempre un elettrone con uguale valore assoluto, ma velocità diretta in modo opposto. Di conseguenza, la corrente creata dagli elettroni di una zona completamente riempita sarà pari a zero.

Se tutti gli stati sono occupati nella banda di valenza tranne uno, caratterizzato dal vettore d'onda ks e velocità contro s(Fig. 2.13d), la densità di corrente totale in questo caso può essere rappresentata nella seguente forma:

.

Questa formula tiene conto che il primo termine, a causa della simmetria degli stati elettronici, è uguale a zero.

Pertanto, il movimento degli elettroni nella banda di valenza, in cui è presente uno stato vacante, equivale al movimento di una particella con una massa effettiva positiva e una carica elettrica positiva posta in questo stato.

2.9. Semiconduttori con impurità

I veri cristalli semiconduttori contengono sempre, anche se in piccole quantità, difetti e impurità, alcune delle quali hanno un effetto significativo sulla loro conduttività elettrica. Ad esempio, l'aggiunta di boro al silicio nella quantità di un atomo per 10 5 atomi di silicio aumenta la sua conduttività elettrica a temperatura ambiente di 1000 volte. Vengono chiamati semiconduttori contenenti impurità che influenzano in modo significativo la sua conduttività elettrica semiconduttori impuri e la loro conduttività elettrica - conduttività elettrica delle impurità.

Consideriamo il meccanismo della conduttività delle impurità usando l'esempio di un cristallo di silicio semiconduttore con atomi di fosforo impuri. In un cristallo chimicamente puro, quattro elettroni di valenza del silicio formano legami covalenti accoppiati con i loro quattro vicini più prossimi (Fig. 2.14a). Un atomo di fosforo impuro sostituisce uno degli atomi di silicio in un sito del reticolo cristallino. L'atomo di fosforo ha cinque elettroni di valenza, quattro dei quali mantengono i legami con gli atomi di silicio vicini, e il quinto rimane libero (figura 2.14b). Questo elettrone in eccesso può spostarsi nella banda di conduzione del silicio e “partecipare” alla creazione di una corrente elettrica. Vengono chiamate impurità che forniscono elettroni aggiuntivi alla banda di conduzione impurità donatrici e semiconduttori con tali impurità - semiconduttori donatori O semiconduttori di tipo n. Le impurità donatrici più comuni nei cristalli di silicio e germanio sono gli atomi del quinto gruppo della tavola periodica degli elementi di D.I. Mendeleev: fosforo (P), arsenico (As), antimonio (Sb), bismuto (Bi). Viene chiamata l'energia che deve essere spesa per trasferire un elettrone da un atomo donatore di impurità alla banda di conduzione energia legante dell’impurità donatrice. L'energia di legame di un'impurezza donatrice può essere stimata da un modello semplice simile al modello di Bohr dell'atomo di idrogeno. Secondo questo modello, un elettrone di impurità si muove in un'orbita circolare nel campo di forza di Coulomb dello ione fosforo, simile a un elettrone nel campo del nucleo di un atomo di idrogeno. La differenza è che il campo dello ione impurità è indebolito dalle proprietà dielettriche del cristallo semiconduttore. Questa influenza viene presa in considerazione dalla costante dielettrica del mezzo, che per i semiconduttori tipici è 5 ... 2000. È inoltre necessario tenere conto del fatto che la massa effettiva di un elettrone in un cristallo differisce dalla massa di un elettrone libero. Per le stime quantitative utilizzeremo i risultati ottenuti nella teoria di Bohr per l'atomo di idrogeno. L'energia di legame di un elettrone in un atomo di idrogeno è . Tenendo conto della costante dielettrica del semiconduttoreee sostituendo la massa dell'elettrone libero M alla sua massa effettiva nel cristallo M*, otteniamo la seguente espressione per l'energia di ionizzazione dell'impurezza donatrice:

. (2.23)

L'energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno libero è 13,6 eV. Secondo la formula (2.23), questo valore deve essere moltiplicato per il coefficiente , per ottenere il valore E d. In silicio e = 11,7; M*/M » 0,2. Di conseguenza otteniamo E d »0,02 eV.

Il valore sperimentale dell'energia di ionizzazione del fosforo nel silicio è 0,044 eV. Altre impurità donatrici nel silicio e nel germanio hanno energie di ionizzazione dello stesso ordine di grandezza (vedi tabella).

Tavolo

Impurità	Energia di ionizzazione, eV
	Germanio	Silicio
Donatori
	0,0120	0,044
	0,0127	0,049
	0,0096	0,039
		0,069
Accettatori
	0,0104	0,045
	0,0102	0,057
	0,0108	0,065
	0,0112	0,16

Dal punto di vista della teoria delle bande, un atomo di fosforo impuro corrisponde a un livello energetico locale situato nella banda proibita del silicio per la quantità E d sotto la parte inferiore della banda di conduzione (Fig. 2.14, c). Poiché questi livelli sono localizzati vicino agli atomi di impurità, sono rappresentati come linee tratteggiate nel diagramma delle bande.

Gli atomi di impurità degli elementi del terzo gruppo del sistema periodico di elementi, come B, Al, Ga, In, si comportano diversamente. Ad esempio, la sostituzione di un atomo di Si in un reticolo di silicio con un atomo di boro fa sì che uno dei legami rimanga vuoto. Questo legame può essere ripristinato se l'atomo di boro “prende” un elettrone dalla banda di valenza del silicio, formando (Fig. 2.15, a) un buco in esso. Nel diagramma delle bande, ciò corrisponde alla comparsa di livelli di impurità locali nella banda proibita del silicio vicino alla parte superiore della banda di valenza. Questo livello è libero; gli elettroni della banda di valenza del silicio possono spostarsi verso di esso. I fori formati nella banda di valenza sono portatori di corrente elettrica in questo tipo di semiconduttori con impurità.

Vengono chiamate impurità che catturano gli elettroni dalla banda di valenza dei semiconduttori impurità accettrici, e i livelli energetici di queste impurità lo sono livelli di accettore. La differenza tra l'energia del livello accettore e l'energia del tetto della banda di conduzione E si chiama a energia di attivazione dell'impurezza accettore. Vengono chiamati semiconduttori contenenti impurità accettrici semiconduttori accettori O semiconduttori di tipo p. Sono spesso chiamati semiconduttori a foro.

MASSA EFFETTIVA

Una quantità che ha la dimensione della massa, caratterizzante la dinamica. santo delle quasiparticelle. Ad esempio, il movimento di un elettrone di conduzione in un cristallo sotto l'influenza di influenze esterne. forze F e forze dalla crista. reticolo (vedi CORPO SOLIDO, TEORIA DELLE BANDE) in alcuni casi può essere descritto come il movimento di un elettrone libero, sul quale agisce solo la forza F (legge di Newton), ma con em.m. m*, diversa dalla massa m dell'e-mail gratuita Questa differenza riflette l'effetto della conduttività elettrica con il reticolo. Nel caso più semplice, E. m. è determinato dalla relazione:

Dove? - energia, p - quasi-momento dell'elettrone di conduttività.

Il concetto di emettitore è generalizzato ad altri tipi di eccitazioni (fononi, fotoni, eccitoni, ecc.). Se la dipendenza? (p) (legge di dispersione) è anisotropa, allora em. m. è un tensore (tensore delle masse efficaci inverse)

Ciò significa che l'accelerazione dell'elettrone nel reticolo generalmente non è diretta parallelamente a quella esterna. forza F. Può anche essere diretta in modo antiparallelo a F, che corrisponde a negativa. il valore di E. m. St. el-nov con neg. E. m. sono così diversi dai ch-ts ordinari sv-v che si è rivelato conveniente introdurre in considerazione ipotesi fittizie. carica h-tsy - buchi con put. E.m.

Quando studiano i fenomeni galvanomagnetici, usano il cosiddetto. Elettroni e lacune del ciclotrone E.M.:

dove S è l'area della sezione trasversale isoenergetica. superficie?(p)=piano cost perpendicolare al magnete. I metodi più importanti per determinare l'energia elettrica degli elettroni e delle lacune di conduttività sono la risonanza ciclotronica, la misurazione della capacità termica elettronica, ecc.

Nella teoria del liquido quantistico per quasiparticelle - fermioni con una legge di dispersione isotropa, si chiama E.M. atteggiamento:

dove p0 e v0 sono assoluti. valori di quantità di moto e velocità delle quasiparticelle in ass. temperature zero corrispondenti all'energia di Fermi. Em. di un atomo di 3He liquido m*=3,08 m0, dove m0 è la massa di un atomo di 3He libero (vedi ELIO LIQUIDO).

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). La massa effettiva di un elettrone in un cristallo, in generale, è diversa dalla massa di un elettrone nel vuoto.

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MASSA NEGATIVA [Notizie su scienza e tecnologia]

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FAQ: Come scegliere una stufa a combustione lunga per riscaldare un ambiente da 100 a 150 metri cubi?

Sottotitoli

Nell'edizione di oggi: gli scienziati hanno sviluppato un dispositivo che estrae l'acqua dall'aria secca e i fisici statunitensi hanno creato una sostanza con una massa effettiva negativa. Salute eterna a tutti! Con te Alexander Smirnov, La verità corretta e Notizie su scienza e tecnologia. Il problema dell'accesso all'acqua sta diventando sempre più acuto per la Terra: secondo le stime delle Nazioni Unite, entro il 2025 interesserà oltre il 14% degli abitanti del nostro pianeta. Oggi esistono molti metodi per desalinizzare l'acqua di mare, ma queste tecnologie presentano due inconvenienti principali: sono molto costose e consumano energia, oppure i sistemi di purificazione si intasano rapidamente e diventano inutilizzabili. Pertanto, questa tecnologia diventa economicamente irrealizzabile. Cosa fare? Gli scienziati americani del Massachusetts Institute of Technology e dell'Università della California a Berkeley hanno ideato un dispositivo in grado di estrarre l'acqua direttamente dall'aria. Il prototipo creato dagli scienziati funziona anche in condizioni desertiche e potrebbe eventualmente fornire alle famiglie l'acqua potabile pulita di cui hanno bisogno, estraendo l'umidità dall'atmosfera circostante. Non puoi spremere il succo da una roccia, ma puoi estrarre l'acqua da un cielo desertico, grazie a un nuovo dispositivo che utilizza la luce solare per aspirare vapore acqueo dall'aria, anche in condizioni di bassa umidità. Il dispositivo era chiamato mietitrice a energia solare. Funziona con pannelli solari. Il dispositivo può fornire acqua con un'umidità relativa del 20%. Durante la creazione del dispositivo sono stati utilizzati composti organometallici (MOC). Sono materiali polimerici complessi, simili nella struttura ai nidi d'ape e hanno porosità e resistenza molto elevate. Oggi vengono utilizzati per creare filtri in grado di catturare anidride carbonica o idrogeno e trattenere enormi quantità di questi gas. Nel caso di questo xArvester è stato utilizzato MOS con zirconio e acido adipico, che legava la sfera d'acqua. Questa struttura è stata ridotta in polvere. Funziona in un modo estremamente primitivo: la "sabbia" composta da particelle MOF assorbe l'acqua dall'aria e la luce e il calore del Sole, diretti verso di esso da un sistema di specchi, costringono il vapore acqueo a lasciarli e a condensarsi in una nave collegato a questo dispositivo di desalinizzazione. La struttura reticolare del polimero intrappola le molecole di vapore acqueo nell'aria e la luce solare che entra attraverso la finestra riscalda il MOF e dirige l'umidità associata al condensatore, che ha la temperatura dell'aria esterna. È lui che alla fine trasforma il vapore in acqua liquida, che gocciola nel collettore. Un dispositivo del genere, contenente un chilogrammo di MOF, può produrre circa tre litri di acqua in mezza giornata, anche da aria abbastanza secca con un'umidità del 20-30%. In linea di principio, questo è sufficiente per fornire a una persona la quantità necessaria di acqua potabile per un giorno. Vale la pena notare che l'installazione ha ancora spazio per crescere. Innanzitutto, lo zirconio costa 150 dollari al chilogrammo, il che rende i dispositivi per la raccolta dell’acqua troppo costosi per essere prodotti in serie e venduti a un prezzo modesto. Tuttavia, gli scienziati affermano di aver già progettato con successo un apparato per la raccolta dell'acqua in cui lo zirconio viene sostituito da alluminio 100 volte più economico. Ciò potrebbe rendere i futuri raccoglitori d’acqua adatti non solo a placare la sete delle persone nelle zone aride, ma forse anche a fornire acqua agli agricoltori nel deserto. Questo lavoro propone un nuovo modo per raccogliere l’acqua dall’aria che non richiede un’elevata umidità relativa ed è molto più efficiente dal punto di vista energetico rispetto ad altre tecnologie esistenti. Il team prevede di migliorare la mietitrice in modo che possa aspirare molta più aria e produrre più acqua. Il prototipo da loro creato assorbe solo il 20% del proprio peso in acqua, ma teoricamente questa cifra può essere aumentata fino al 40%. I fisici renderanno il dispositivo anche più efficiente in condizioni di alta e bassa umidità. Gli scienziati volevano dimostrare che se una persona fosse rimasta bloccata da qualche parte nel deserto, avrebbe potuto sopravvivere con l'aiuto di questo dispositivo. Una persona ha bisogno di circa una lattina di acqua cola al giorno. Con questo sistema si monta in meno di un'ora. Puoi anche ottenere acqua dall’aria utilizzando turbine eoliche e impianti di filtraggio a terra. Ma a differenza di quanto sviluppato dagli scienziati americani, questi sistemi producono acqua attraverso la formazione di condensa, quindi sono inefficaci nei climi aridi. Ottimo affare. Se può essere portato alla produzione industriale, ciò risolverà il problema dell'acqua potabile non solo nei luoghi aridi della Terra, ma anche su Marte, ovviamente, se viene preservata nei resti della sua atmosfera. Ma il dispositivo in sé è eccellente, il che rende effettivamente acqua e denaro dall'aria. E se lo allestite venerdì sera in qualche bar, potete preparare un cocktail. Se solo un dispositivo del genere potesse imparare a procurarsi il cibo... In ogni caso, congratulazioni agli scienziati e stiamo aspettando che vengano consegnati ad Aliexpress. Immagina un oggetto: una penna, un telefono, una gomma. Ora premi mentalmente il dito su di esso. Se premi abbastanza forte, l'oggetto si sposterà nella direzione della pressione applicata. Secondo la fisica newtoniana, l'accelerazione di un corpo nella direzione coincide con la forza ad esso applicata ed è inversamente proporzionale alla massa. Tuttavia, nel microcosmo questa legge non sempre si applica. Gli scienziati della Washington State University hanno annunciato di essere in grado di creare una sostanza con massa negativa. Nella fisica teorica, massa negativa è il concetto di un'ipotetica sostanza la cui massa ha il valore opposto alla massa di una sostanza normale (così come una carica elettrica può essere positiva e negativa). Ad esempio, −2 kg. Una sostanza del genere, se esistesse, violerebbe una o più condizioni energetiche e mostrerebbe alcune strane proprietà. Secondo alcune teorie speculative, la materia con massa negativa può essere utilizzata per creare wormhole nello spazio-tempo. Sembra fantascienza assoluta, ma ora un gruppo di fisici della Washington State University, dell'Università di Washington, dell'Università OIST (Okinawa, Giappone) e dell'Università di Shanghai è riuscito a produrre una sostanza che presenta alcune delle proprietà dell'ipotetica massa negativa Materiale. Ad esempio, se spingi questa sostanza, accelererà non nella direzione della forza applicata, ma nella direzione opposta. Cioè, accelera nella direzione opposta. Per creare una sostanza con le proprietà di una massa negativa, gli scienziati hanno preparato un condensato di Bose-Einstein. In questo stato, le particelle si muovono estremamente lentamente e gli effetti quantistici cominciano ad apparire a livello macroscopico. Cioè, secondo i principi della meccanica quantistica, le particelle iniziano a comportarsi come onde. Ad esempio, si sincronizzano tra loro e scorrono attraverso i capillari senza attrito, cioè senza perdita di energia, l'effetto della cosiddetta superfluidità. Nel nostro caso, gli sperimentatori hanno posizionato il condensato risultante in un campo che lo conteneva. Le particelle sono state rallentate da un laser e hanno aspettato che le più energiche lasciassero il volume, raffreddando ulteriormente il materiale. In una “tazza” del diametro di circa 100 micron, la microgocciolina si comportava come una normale sostanza con massa positiva. Se il sigillo del recipiente venisse rotto, gli atomi di rubidio si separerebbero in direzioni diverse, poiché gli atomi centrali spingerebbero fuori gli atomi più esterni e accelererebbero nella direzione della forza applicata. Per creare una massa effettiva negativa, i fisici hanno utilizzato un altro set di laser, che ha cambiato la rotazione di alcuni atomi, mentre le particelle di condensa, dopo aver superato la barriera energetica, hanno lasciato la “tazza” nella direzione opposta. Pertanto, i fisici sono stati in grado di soddisfare matematicamente la condizione della seconda legge di Newton: un corpo su cui agisce una forza acquisisce accelerazione nella direzione verso questa forza e non nella direzione opposta, come al solito, cioè si comporta come se avessimo a che fare con una massa negativa. È vero, questa legge in sé non si applica nel mondo quantistico, e i partecipanti all'esperimento nel loro articolo scrivono di massa effettiva negativa, che non è proprio la stessa cosa. Tuttavia, l'esperimento e i suoi risultati forniscono le basi per pensare all'universo e alla materia in esso contenuta. Le teorie fisiche non vedono nulla di impossibile nell'esistenza delle masse negative e cercano addirittura di usarle per spiegare alcuni aspetti del mondo visibile, in particolare eventi che accadono nelle profondità dei buchi neri o delle stelle di neutroni. In generale, è difficile persino comprendere la definizione di massa negativa. Probabilmente perché stiamo parlando di massa effettiva, infatti, un parametro virtuale. Le particelle stesse sono ordinarie, ma gli scienziati hanno creato le condizioni in cui queste particelle diventano particelle con massa negativa. Come un prestito con tasso negativo. Si chiama deposito. E poi c’è la massa sociale negativa. Se hai freddo e vuoi un abbraccio, ti mandano nella direzione opposta. Tuttavia, spero che questa ricerca avvicini gli scienziati alla creazione di un limite gravitazionale. Grazie a tutti per la visione! Alexander Smirnov era con voi, Correct Truth e Science and Technology News. Non dimenticare di mettere mi piace a questo cinema, iscriviti al canale e condividi il video con i tuoi amici. Lechaim, boiardi!

Definizione

La massa effettiva è determinata per analogia con la seconda legge di Newton F → = m a → . (\displaystyle (\vec (F))=m(\vec (a)).) Usando la meccanica quantistica, si può dimostrare che per un elettrone in un campo elettrico esterno E → (\displaystyle (\vec (E)))

a → = q ℏ 2 ⋅ d 2 ε d k 2 E → , (\displaystyle (\vec (a))=((q) \over (\hbar ^(2)))\cdot ((d^(2) \varepsilon ) \over (dk^(2)))(\vec (E)),)

Dove a → (\displaystyle (\vec (a)))- accelerazione, Q- carica delle particelle, ℏ (\displaystyle \hbar )è la costante di Planck ridotta, è il vettore d'onda, che è determinato dalla quantità di moto come k → = p → / ℏ , (\displaystyle (\vec (k))=(\vec (p))/\hbar ,) energia delle particelle ε (k) (\displaystyle \varepsilon (k)) legati al vettore d'onda k (\displaystyle k) legge di dispersione. In presenza di un campo elettrico, sull’elettrone agisce una forza F → = q E → . (\displaystyle (\vec (F))=q(\vec (E)).). Da ciò possiamo ottenere un'espressione per la massa effettiva m∗ : (\displaystyle m^(*):)

m ∗ = ℏ 2 ⋅ [ d 2 ε d K 2 ] - 1 . (\displaystyle m^(*)=\hbar ^(2)\cdot \left[((d^(2)\varepsilon ) \over (dk^(2)))\right]^(-1.)

Per una particella libera, la legge di dispersione è quadratica, e quindi la massa effettiva è costante e uguale alla massa a riposo. In un cristallo la situazione è più complicata e la legge di dispersione è diversa da quella quadratica. In questo caso il concetto di massa può essere utilizzato solo in prossimità degli estremi della curva della legge di dispersione, dove tale funzione può essere approssimata da una parabola e, quindi, la massa efficace non dipende dall'energia.

La massa efficace dipende dalla direzione del cristallo ed è, in generale, un tensore.

Tensore di massa efficace- un termine della fisica dello stato solido che caratterizza la natura complessa massa effettiva quasiparticelle (elettroni, lacune) in un solido. La natura tensoriale della massa effettiva è illustrata dal fatto che in un reticolo cristallino un elettrone si muove non come una particella con massa a riposo, ma come una quasiparticella la cui massa dipende dalla direzione del movimento rispetto agli assi cristallografici del cristallo. La massa efficace viene introdotta quando esiste una legge di dispersione parabolica, altrimenti la massa comincia a dipendere dall'energia. A questo proposito, è possibile massa effettiva negativa.

Per definizione la massa efficace si ricava dalla legge di dispersione ε = ε (k →) (\displaystyle \varepsilon =\varepsilon ((\vec (k))))

m io j - 1 = 1 ℏ 2 K ∂ ε ∂ K δ io j + 1 ℏ 2 (∂ 2 ε ∂ K 2 - 1 K ∂ ε ∂ K) k io K j K 2 , (1) (\displaystyle m_(ij)^(-1 )=(\frac (1)(\hbar ^(2)k))(\frac (\partial \varepsilon )(\partial k))\delta _(ij)+(\frac (1)(\hbar ^ (2)))\left((\frac (\partial ^(2)\varepsilon )(\partial k^(2)))-(\frac (1)(k))(\frac (\partial \varepsilon )(\partial k))\right)(\frac (k_(i)k_(j))(k^(2))),\qquad (1))

Dove k → (\displaystyle (\vec (k)))- vettore d'onda, δ io j (\displaystyle \delta _(ij))-simbolo Kronecker, ℏ (\displaystyle \hbar )- Costante di Planck.

Massa effettiva per alcuni semiconduttori

La tabella seguente mostra la massa effettiva di elettroni e lacune per i semiconduttori: sostanze semplici del gruppo IV e composti binari