Dipendenza proporzionale diretta. Applicazione pratica della dipendenza proporzionale diretta e inversa

I. Quantità direttamente proporzionali.

Lasciamo il valore sì dipende dalla dimensione X. Se quando aumenta X diverse volte la dimensione A aumenta della stessa quantità, quindi tali valori X E A sono detti direttamente proporzionali.

Esempi.

1 . La quantità di merce acquistata e il prezzo di acquisto (con un prezzo fisso per un'unità di merce - 1 pezzo o 1 kg, ecc.) Quante volte più beni sono stati acquistati, più volte sono stati pagati.

2 . La distanza percorsa e il tempo trascorso su di essa (a velocità costante). Quante volte più lungo è il percorso, quante volte più tempo ci vorrà per completarlo.

3 . Il volume di un corpo e la sua massa. ( Se un'anguria è 2 volte più grande di un'altra, la sua massa sarà 2 volte più grande)

II. Proprietà di proporzionalità diretta delle quantità.

Se due quantità sono direttamente proporzionali, il rapporto tra due valori arbitrariamente presi della prima quantità è uguale al rapporto tra due valori corrispondenti della seconda quantità.

Compito 1. Per la marmellata di lamponi abbiamo preso 12 chilogrammi lamponi e 8 chilogrammi Sahara. Di quanto zucchero avrai bisogno se lo prendessi? 9 chilogrammi lamponi?

Soluzione.

Ragioniamo così: sia necessario xkg zucchero per 9 chilogrammi lamponi La massa dei lamponi e la massa dello zucchero sono quantità direttamente proporzionali: quante volte ci sono meno lamponi, tante volte è necessario meno zucchero. Pertanto, il rapporto tra lamponi presi (in peso) ( 12:9 ) sarà uguale al rapporto di zucchero assunto ( 8:x). Otteniamo la proporzione:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Risposta: SU 9 chilogrammi i lamponi devono essere presi 6 chilogrammi Sahara.

La soluzione del problema Potrebbe essere fatto in questo modo:

Lascia stare 9 chilogrammi i lamponi devono essere presi xkg Sahara.

(Le frecce nella figura sono dirette in una direzione e su o giù non hanno importanza. Significato: quante volte il numero 12 più numero 9 , lo stesso numero di volte 8 più numero X, cioè c'è una relazione diretta qui).

Risposta: SU 9 chilogrammi Devo prendere dei lamponi 6 chilogrammi Sahara.

Compito 2. Auto per 3 ore percorso la distanza 264 km. Quanto tempo impiegherà a viaggiare? 440 km, se guida alla stessa velocità?

Soluzione.

Lasciamo perdere x ore l'auto coprirà la distanza 440 km.

Risposta: passerà la macchina 440 km in 5 ore.

Esempio

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8, ecc.

Fattore di proporzionalità

Viene chiamata una relazione costante di quantità proporzionali fattore di proporzionalità. Il coefficiente di proporzionalità mostra quante unità di una quantità sono per unità di un'altra.

Proporzionalità diretta

Proporzionalità diretta- dipendenza funzionale, in cui una certa quantità dipende da un'altra quantità in modo tale che il loro rapporto rimane costante. In altre parole, queste variabili cambiano proporzionalmente, in parti uguali, ovvero se l'argomento cambia due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione.

Matematicamente, la proporzionalità diretta è scritta come una formula:

F(X) = UNX,UN = CoNST

Proporzionalità inversa

Proporzionalità inversa- questa è una dipendenza funzionale, in cui un aumento del valore indipendente (argomento) provoca una diminuzione proporzionale del valore dipendente (funzione).

Matematicamente, la proporzionalità inversa è scritta come una formula:

Proprietà della funzione:

Fonti

Fondazione Wikimedia. 2010.

Tipi di dipendenza

Diamo un'occhiata alla ricarica della batteria. Come prima quantità, prendiamo il tempo necessario per caricare. Il secondo valore è il tempo in cui funzionerà dopo la ricarica. Più a lungo carichi la batteria, più a lungo durerà. Il processo continuerà finché la batteria non sarà completamente carica.

Dipendenza del tempo di funzionamento della batteria dal tempo in cui viene caricata

Nota 1

Questa dipendenza si chiama Dritto:

All'aumentare di un valore, aumenta anche il secondo. Al diminuire di un valore, diminuisce anche il secondo valore.

Diamo un'occhiata a un altro esempio.

Più libri legge uno studente, meno errori commetterà nel dettato. Oppure più si sale in montagna, più bassa sarà la pressione atmosferica.

Nota 2

Questa dipendenza si chiama inversione:

All'aumentare di un valore, il secondo diminuisce. Al diminuire di un valore, il secondo valore aumenta.

Quindi, nel caso dipendenza diretta entrambe le quantità cambiano allo stesso modo (entrambe aumentano o diminuiscono), e nel caso relazione inversa– opposto (uno aumenta e l’altro diminuisce, o viceversa).

Determinazione delle dipendenze tra quantità

Esempio 1

Il tempo necessario per visitare un amico è di $ 20 $ minuti. Se la velocità (primo valore) aumenta di $2$ volte, scopriremo come cambia il tempo (secondo valore) che verrà impiegato nel percorso verso un amico.

Ovviamente, il tempo diminuirà di $2$ volte.

Nota 3

Questa dipendenza si chiama proporzionale:

Il numero di volte in cui cambia una quantità, il numero di volte in cui cambia la seconda quantità.

Esempio 2

Per 2$ di pane nel negozio devi pagare 80 rubli. Se devi acquistare pagnotte di pane da 4$ (la quantità di pane aumenta di 2$ volte), quante volte in più dovrai pagare?

Ovviamente, anche il costo aumenterà di $ 2 volte. Abbiamo un esempio di dipendenza proporzionale.

In entrambi gli esempi sono state considerate le dipendenze proporzionali. Ma nell'esempio del pane, le quantità cambiano in una direzione, quindi la dipendenza è Dritto. E nell’esempio di andare a casa di un amico, la relazione tra velocità e tempo lo è inversione. Quindi c'è rapporto direttamente proporzionale E rapporto inversamente proporzionale.

Proporzionalità diretta

Consideriamo quantità proporzionali di $ 2 $: il numero di pagnotte di pane e il loro costo. Supponiamo che le pagnotte da 2$ costino 80$ rubli. Se il numero dei panini aumenta di 4$ (panini da 8$), il loro costo totale sarà di 320$ rubli.

Il rapporto tra il numero di panini: $\frac(8)(2)=4$.

Rapporto costo panino: $\frac(320)(80)=$4.

Come puoi vedere, queste relazioni sono uguali tra loro:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definizione 1

Si chiama l'uguaglianza di due rapporti proporzione.

Con una dipendenza direttamente proporzionale, si ottiene una relazione quando la variazione della prima e della seconda quantità coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definizione 2

Le due quantità vengono chiamate direttamente proporzionale, se quando uno di essi cambia (aumenta o diminuisce), anche l'altro valore cambia (rispettivamente aumenta o diminuisce) della stessa quantità.

Esempio 3

L'auto ha percorso $180$ km in $2$ ore. Trova il tempo durante il quale coprirà $2$ volte la distanza alla stessa velocità.

Soluzione.

Il tempo è direttamente proporzionale alla distanza:

$t=\frac(S)(v)$.

Di quante volte aumenterà la distanza, a velocità costante, della stessa quantità aumenterà il tempo:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

L'auto ha percorso $180$ km in $2$ ore

L'auto percorrerà $180 \cdot 2=360$ km - in $x$ ore

Più l'auto viaggia, più tempo impiegherà. Di conseguenza, il rapporto tra le quantità è direttamente proporzionale.

Facciamo una proporzione:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Risposta: L'auto avrà bisogno di $ 4 $ ore.

Proporzionalità inversa

Definizione 3

Soluzione.

Il tempo è inversamente proporzionale alla velocità:

$t=\frac(S)(v)$.

Di quante volte aumenta la velocità, a parità di percorso, diminuisce il tempo della stessa quantità:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Scriviamo la condizione del problema sotto forma di tabella:

L'auto ha percorso 60$ km - in 6$ ore

L’auto percorrerà $120$ km – in $x$ ore

Più l'auto accelera, meno tempo impiegherà. Di conseguenza, il rapporto tra le quantità è inversamente proporzionale.

Facciamo una proporzione.

Perché la proporzionalità è inversa, la seconda relazione nella proporzione è invertita:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Risposta: L'auto avrà bisogno di $ 3 $ ore.

Completato da: Chepkasov Rodion

Studente di 6a elementare

MBOU "Scuola Secondaria N. 53"

Barnaul

Responsabile: Bulykina O.G.

insegnante di matematica

MBOU "Scuola Secondaria N. 53"

Barnaul

Introduzione. 1

Relazioni e proporzioni. 3

Relazioni proporzionali dirette e inverse. 4

Applicazione del proporzionale diretto e inverso 6

dipendenze nella risoluzione di vari problemi.

Conclusione. undici

Letteratura. 12

Introduzione.

La parola proporzione deriva dalla parola latina proporzione, che generalmente significa proporzionalità, allineamento delle parti (un certo rapporto tra le parti). Nell'antichità la dottrina delle proporzioni era tenuta in grande considerazione dai Pitagorici. Alle proporzioni associavano pensieri sull'ordine e la bellezza nella natura, sugli accordi consonanti nella musica e sull'armonia nell'universo. Chiamavano alcuni tipi di proporzioni musicali o armoniche.

Anche nei tempi antichi, l'uomo ha scoperto che tutti i fenomeni in natura sono collegati tra loro, che tutto è in continuo movimento, cambiamento e, quando espresso in numeri, rivela schemi sorprendenti.

I Pitagorici e i loro seguaci cercavano un'espressione numerica per ogni cosa nel mondo. Hanno scoperto; che le proporzioni matematiche sono alla base della musica (il rapporto tra la lunghezza della corda e l'altezza, il rapporto tra gli intervalli, il rapporto tra i suoni negli accordi che danno un suono armonico). I Pitagorici cercarono di dimostrare matematicamente l'idea dell'unità del mondo e sostenevano che la base dell'universo erano forme geometriche simmetriche. I Pitagorici cercavano una base matematica per la bellezza.

Seguendo i Pitagorici, lo scienziato medievale Agostino chiamò la bellezza “uguaglianza numerica”. Il filosofo scolastico Bonaventura scriveva: "Non c'è bellezza e piacere senza proporzionalità, e la proporzionalità esiste principalmente nei numeri. È necessario che tutto sia numerabile". Leonardo da Vinci scrisse sull’uso delle proporzioni nell’arte nel suo trattato sulla pittura: “Il pittore incarna nella forma della proporzione gli stessi modelli nascosti nella natura che lo scienziato conosce sotto forma della legge numerica”.

Le proporzioni venivano utilizzate per risolvere vari problemi sia nell'antichità che nel Medioevo. Alcuni tipi di problemi ora possono essere risolti facilmente e rapidamente utilizzando le proporzioni. Proporzioni e proporzionalità erano e sono usate non solo in matematica, ma anche in architettura e nell'arte. Proporzione in architettura e arte significa mantenere determinate relazioni tra le dimensioni delle diverse parti di un edificio, figura, scultura o altra opera d'arte. La proporzionalità in questi casi è una condizione per una costruzione e una rappresentazione corretta e bella

Nel mio lavoro ho cercato di considerare l'uso di rapporti proporzionali diretti e inversi in vari ambiti della vita, per tracciare il collegamento con le materie accademiche attraverso i compiti.

Relazioni e proporzioni.

Si chiama il quoziente di due numeri atteggiamento questi numeri.

L'atteggiamento mostra, quante volte il primo numero è maggiore del secondo o quale parte è il primo numero del secondo.

Compito.

Al negozio sono state portate 2,4 tonnellate di pere e 3,6 tonnellate di mele. Quale proporzione dei frutti portati sono pere?

Soluzione . Troviamo quanta frutta hanno portato: 2,4+3,6=6(t). Per trovare quale parte dei frutti portati sono pere, facciamo il rapporto 2,4:6=. La risposta può anche essere scritta come frazione decimale o come percentuale: = 0,4 = 40%.

Reciprocamente inverso chiamato numeri, i cui prodotti sono pari a 1. Pertanto la relazione è chiamata l'inverso della relazione.

Considera due rapporti uguali: 4,5:3 e 6:4. Mettiamo tra loro un segno uguale e otteniamo la proporzione: 4,5:3=6:4.

Proporzioneè l'uguaglianza di due relazioni: a : b =c :d oppure = , dove a e d sono termini estremi di proporzione, c e b – membri medi(tutti i termini della proporzione sono diversi da zero).

Proprietà fondamentale della proporzione:

nella proporzione corretta, il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.

Applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione, troviamo che nella proporzione corretta i termini estremi o i termini medi possono essere scambiati. Anche le proporzioni risultanti saranno corrette.

Usando la proprietà di base della proporzione, puoi trovare il suo termine sconosciuto se tutti gli altri termini sono noti.

Per trovare il termine estremo sconosciuto della proporzione, è necessario moltiplicare i termini medi e dividere per il termine estremo noto. x : b = c : d , x =

Per trovare il termine medio sconosciuto di una proporzione, devi moltiplicare i termini estremi e dividere per il termine medio noto. un: b =x: d, x = .

Relazioni proporzionali dirette e inverse.

I valori di due quantità diverse possono dipendere reciprocamente l'uno dall'altro. Quindi, l'area del quadrato dipende dalla lunghezza del suo lato e viceversa: la lunghezza del lato del quadrato dipende dalla sua area.

Due quantità si dicono proporzionali se, crescendo

(diminuire) uno più volte, l'altro aumenta (diminuisce) lo stesso numero di volte.

Se due quantità sono direttamente proporzionali, i rapporti dei valori corrispondenti di queste quantità sono uguali.

Esempio dipendenza proporzionale diretta .

Ad una stazione di servizio 2 litri di benzina pesano 1,6 kg. Quanto peseranno 5 litri di benzina?

Soluzione:

Il peso del cherosene è proporzionale al suo volume.

2 l - 1,6 kg

5 l - kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Risposta: 4kg.

Qui il rapporto peso/volume rimane invariato.

Due quantità si dicono inversamente proporzionali se, quando una di esse aumenta (diminuisce) più volte, l'altra diminuisce (aumenta) della stessa quantità.

Se le quantità sono inversamente proporzionali, il rapporto tra i valori di una quantità è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti di un'altra quantità.

P esempiorapporto inversamente proporzionale.

Due rettangoli hanno la stessa area. La lunghezza del primo rettangolo è 3,6 me la larghezza è 2,4 m. La lunghezza del secondo rettangolo è 4,8 m. Trova la larghezza del secondo rettangolo.

Soluzione:

1 rettangolo 3,6 m 2,4 m

2 rettangoli 4,8 mx m

3,6xm

4,8 metri 2,4 metri

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Risposta: 1,8 mt.

Come puoi vedere, i problemi che coinvolgono quantità proporzionali possono essere risolti utilizzando le proporzioni.

Non ogni due quantità sono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali. Ad esempio, l’altezza di un bambino aumenta all’aumentare della sua età, ma questi valori non sono proporzionali, poiché quando l’età raddoppia, l’altezza del bambino non raddoppia.

Applicazione pratica della dipendenza proporzionale diretta e inversa.

Compito n. 1

La biblioteca scolastica dispone di 210 libri di testo di matematica, ovvero il 15% dell'intera collezione della biblioteca. Quanti libri ci sono nella collezione della biblioteca?

Soluzione:

Libri di testo totali - ? - 100%

Matematici - 210 -15%

15% 210 accademico.

X = 100* 210 = 1400 libri di testo

100% x conto. 15

Risposta: 1400 libri di testo.

Problema n.2

Un ciclista percorre 75 km in 3 ore. Quanto tempo impiegherà un ciclista a percorrere 125 km alla stessa velocità?

Soluzione:

3 ore – 75 km

H – 125 km

Tempo e distanza sono quindi quantità direttamente proporzionali

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Risposta: tra 5 ore.

Problema n.3

8 tubi identici riempiono una piscina in 25 minuti. Quanti minuti ci vorranno per riempire una piscina con 10 tubi di questo tipo?

Soluzione:

8 pipe – 25 minuti

10 tubi - ? minuti

Il numero di tubi è inversamente proporzionale al tempo, quindi

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Risposta: tra 20 minuti.

Problema n.4

Una squadra di 8 lavoratori completa l'attività in 15 giorni. Quanti lavoratori possono completare l'attività in 10 giorni lavorando con la stessa produttività?

Soluzione:

8 giorni lavorativi – 15 giorni

Lavoratori - 10 giorni

Il numero dei lavoratori è inversamente proporzionale al numero dei giorni, quindi

x:8 = 15:10,

x=
,

x=12.

Risposta: 12 lavoratori.

Problema n.5

Da 5,6 kg di pomodori si ottengono 2 litri di salsa. Quanti litri di salsa si possono ottenere da 54 kg di pomodori?

Soluzione:

5,6 kg – 2 litri

54 chilogrammi - ? l

Il numero di chilogrammi di pomodori è quindi direttamente proporzionale alla quantità di sugo ottenuto

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Risposta: 19 litri.

Problema n.6

Per riscaldare l'edificio scolastico, il carbone è stato immagazzinato per 180 giorni al ritmo di consumo

0,6 tonnellate di carbone al giorno. Quanti giorni durerà questa fornitura se si spendono 0,5 tonnellate al giorno?

Soluzione:

Numero di giorni

Tasso di consumo

Il numero di giorni è quindi inversamente proporzionale al tasso di consumo di carbone

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Risposta: 216 giorni.

Problema n.7

Nel minerale di ferro, per ogni 7 parti di ferro ci sono 3 parti di impurità. Quante tonnellate di impurità ci sono nel minerale che contiene 73,5 tonnellate di ferro?

Soluzione:

Numero di parti

Peso

Ferro

73,5

Impurità

Il numero di parti è quindi direttamente proporzionale alla massa

7:73,5 = 3:x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Risposta: 31,5 t

Problema n.8

L'auto ha percorso 500 km, utilizzando 35 litri di benzina. Quanti litri di benzina saranno necessari per percorrere 420 km?

Soluzione:

Distanza, km

Benzina, l

La distanza è direttamente proporzionale al consumo di benzina, quindi

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Risposta: 29,4 l

Problema n.9

In 2 ore abbiamo catturato 12 carassi. Quante carassi verranno catturate in 3 ore?

Soluzione:

Il numero di carassi non dipende dal tempo. Queste quantità non sono né direttamente proporzionali né inversamente proporzionali.

Risposta: Non esiste una risposta.

Problema n. 10

Un'impresa mineraria deve acquistare 5 nuove macchine per una certa somma di denaro al prezzo di 12 mila rubli l'una. Quante di queste macchine può acquistare un'impresa se il prezzo di una macchina diventa di 15mila rubli?

Soluzione:

Numero di auto, pz.

Prezzo, migliaia di rubli

Il numero di auto è inversamente proporzionale al costo, quindi

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Risposta: 4 auto.

Problema n. 11

Nella città N sulla piazza P c'è un negozio il cui proprietario è così severo che per ritardo detrae 70 rubli dallo stipendio per 1 ritardo al giorno. Due ragazze, Yulia e Natasha, lavorano in un dipartimento. Il loro salario dipende dal numero di giorni lavorativi. Yulia ha ricevuto 4.100 rubli in 20 giorni e Natasha avrebbe dovuto riceverne di più in 21 giorni, ma è arrivata in ritardo per 3 giorni consecutivi. Quanti rubli riceverà Natasha?

Soluzione:

Giorni di lavoro

Stipendio, strofina.

Giulia

4100

Natascia

Lo stipendio è quindi direttamente proporzionale al numero di giorni lavorativi

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 strofinare. Natasha avrebbe dovuto riceverlo.

4305 – 3 * 70 = 4095 (sfregamento)

Risposta: Natasha riceverà 4095 rubli.

Problema n. 12

La distanza tra due città sulla mappa è 6 cm. Trova la distanza tra queste città sul terreno se la scala della mappa è 1: 250000.

Soluzione:

Indichiamo la distanza tra le città sul terreno con x (in centimetri) e troviamo il rapporto tra la lunghezza del segmento sulla mappa e la distanza sul terreno, che sarà uguale alla scala della mappa: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Risposta: 15 km.

Problema n. 13

4000 g di soluzione contengono 80 g di sale. Qual è la concentrazione di sale in questa soluzione?

Soluzione:

Peso, g

Concentrazione,%

Soluzione

4000

Sale

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Risposta: La concentrazione di sale è del 2%.

Problema n. 14

La banca concede un prestito al 10% annuo. Hai ricevuto un prestito di 50.000 rubli. Quanto restituire in banca in un anno?

Soluzione:

50.000 rubli.

100%

x strofinare.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rubli. è del 10%.

50.000 + 5.000=55.000 (sfregamento)

Risposta: tra un anno la banca recupererà 55.000 rubli.

Conclusione.

Come possiamo vedere dagli esempi forniti, le relazioni proporzionali dirette e inverse sono applicabili in vari ambiti della vita:

Economia,

Commercio,

Nella produzione e nell’industria,

Vita scolastica,

Cucinando,

Edilizia e architettura.

Gli sport,

Allevamento di animali,

Topografie,

fisici,

Chimica, ecc.

Nella lingua russa ci sono anche proverbi e detti che stabiliscono rapporti diretti e inversi:

Come ritorna, così risponderà.

Più alto è il ceppo, più alta è l'ombra.

Più persone, meno ossigeno.

Ed è pronto, ma stupido.

La matematica è una delle scienze più antiche; è nata sulla base dei bisogni e dei desideri dell'umanità. Avendo attraversato la storia della sua formazione fin dall'antica Grecia, rimane ancora rilevante e necessario nella vita quotidiana di ogni persona. Il concetto di proporzionalità diretta e inversa è noto fin dall'antichità, poiché erano le leggi delle proporzioni a motivare gli architetti durante qualsiasi costruzione o creazione di qualsiasi scultura.

La conoscenza delle proporzioni è ampiamente utilizzata in tutte le sfere della vita e dell'attività umana - non si può farne a meno quando si dipinge (paesaggi, nature morte, ritratti, ecc.), è diffusa anche tra architetti e ingegneri - in generale, è difficile immagina di creare qualcosa senza usare la conoscenza delle proporzioni e delle loro relazioni.

Letteratura.

Matematica-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev e altri.

Matematica-9, GIA-9, a cura di F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Matematica-6, materiali didattici, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Problemi di matematica per le classi 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Raccolta di problemi ed esempi nelle classi 5-6 di matematica, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. “Acquario” 1997