Доверительный интервал. Азбука медицинской статистики. Глава III. Выборки и доверительные интервалы

В предыдущих подразделах мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой а и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка а в значительной мере случайна и приближенная замена а на а может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а ,

в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка а. Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность р (например, р = 0,9, 0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью р можно считать практически достоверным, и найдем такое значение s, для которого

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а , будет ± s; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью а = 1 - р. Перепишем (14.3.1) в виде:

Равенство (14.3.2) означает, что с вероятностью р неизвестное значение параметра а попадает в интервал

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы неоднократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина а не случайна, зато случаен интервал / р. Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром а ; случайна вообще и длина интервала 2s, так как величина s вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину р не как вероятность «попадания» точки а в интервал / р, а как вероятность того, что случайный интервал / р накроет точку а (рис. 14.3.1).

Рис. 14.3.1

Вероятность р принято называть доверительной вероятностью , а интервал / р - доверительным интервалом . Границы интервала If. а х =а- s и а 2 = а + а называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью а = 1-р практически невозможным, то те значения параметра а, для которых а - а > s, нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых |а - а a t na 2 .

Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка а. Если бы нам был известен закон распределения величины а , задача нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение s, для которого

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки а зависит от закона распределения величины X и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра а).

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для s неизвестные параметры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов п (порядка 20...30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено п X, характеристики которой - математическое ожидание т и дисперсия D - неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

Требуется построить доверительный интервал / р, соответствующий доверительной вероятности р, для математического ожидания т величины X.

При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина т представляет собой сумму п независимых одинаково распределенных случайных величин X h и согласно центральной предельной теореме при достаточно большом п ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых (порядка 10...20) закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным. Будем исходить из того, что величина т распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно т и

(см. главу 13 подраздел 13.3). Предположим, что величина D нам известна и найдем такую величину Ер, для которой

Применяя формулу (6.3.5) главы 6, выразим вероятность в левой части (14.3.5) через нормальную функцию распределения

где - среднее квадратичное отклонение оценки т.

Из уравнения

находим значение Sp:

где arg Ф* (х) - функция, обратная Ф* (х), т.е. такое значение аргумента, при котором нормальная функция распределения равна х.

Дисперсия D, через которую выражена величина а 1П, нам в точности не известна; в качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой D (14.3.4) и положить приближенно:

Таким образом, приближенно решена задача построения доверительного интервала, который равен:

где gp определяется формулой (14.3.7).

Чтобы избежать при вычислении s p обратного интерполирования в таблицах функции Ф* (л), удобно составить специальную таблицу (табл. 14.3.1), где приводятся значения величины

в зависимости от р. Величина (р определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна р.

Через величину 7 р доверительный интервал выражается в виде:

Таблица 14.3.1

Пример 1. Проведено 20 опытов над величиной X; результаты приведены в табл. 14.3.2.

Таблица 14.3.2

Требуется найти оценку от для математического ожидания от величины X и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,8.

Решение. Имеем:

Выбрав за начало отсчета л: = 10, по третьей формуле (14.2.14) находим несмещенную оценку D :

По табл. 14.3,1 находим

Доверительные границы:

Доверительный интервал:

Значения параметра т, лежащие в этом интервале, являются совместимыми с опытными данными, приведенными в табл. 14.3.2.

Аналогичным способом может быть построен доверительный интервал и для дисперсии.

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X с неизвестными параметрами от и Л, и для дисперсии D получена несмещенная оценка:

Требуется приближенно построить доверительный интервал для дисперсии.

Из формулы (14.3.11) видно, что величина D представляет собой

сумму п случайных величин вида . Эти величины не являются

независимыми, так как в любую из них входит величина т, зависящая от всех остальных. Однако можно показать, что при увеличении п закон распределения их суммы тоже приближается к нормальному. Практически при п = 20...30 он уже может считаться нормальным.

Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона: математическое ожидание и дисперсию. Так как оценка D - несмещенная, то М[D] = D.

Вычисление дисперсии D D связано со сравнительно сложными выкладками, поэтому приведем ее выражение без вывода:

где ц 4 - четвертый центральный момент величины X.

Чтобы воспользоваться этим выражением, нужно подставить в него значения ц 4 и D (хотя бы приближенные). Вместо D можно воспользоваться его оценкой D . В принципе четвертый центральный момент тоже можно заменить его оценкой, например величиной вида:

но такая замена даст крайне невысокую точность, так как вообще при ограниченном числе опытов моменты высокого порядка определяются с большими ошибками. Однако на практике часто бывает, что вид закона распределения величины X известен заранее: неизвестны лишь его параметры. Тогда можно попытаться выразить ц 4 через D.

Возьмем наиболее часто встречающийся случай, когда величина X распределена по нормальному закону. Тогда ее четвертый центральный момент выражается через дисперсию (см. главу 6 подраздел 6.2);

и формула (14.3.12) дает или

Заменяя в (14.3.14) неизвестное D его оценкой D , получим: откуда

Момент ц 4 можно выразить через D также и в некоторых других случаях, когда распределение величины X не является нормальным, но вид его известен. Например, для закона равномерной плотности (см. главу 5) имеем:

где (а, Р) - интервал, на котором задан закон.

Следовательно,

По формуле (14.3.12) получим: откуда находим приближенно

В случаях, когда вид закона распределения величины 26 неизвестен, при ориентировочной оценке величины а /} рекомендуется все же пользоваться формулой (14.3.16), если нет специальных оснований считать, что этот закон сильно отличается от нормального (обладает заметным положительным или отрицательным эксцессом).

Если ориентировочное значение а /} тем или иным способом получено, то можно построить доверительный интервал для дисперсии аналогично тому, как мы строили его для математического ожидания:

где величина в зависимости от заданной вероятности р находится по табл. 14.3.1.

Пример 2. Найти приближенно 80%-й доверительный интервал для дисперсии случайной величины X в условиях примера 1, если известно, что величина X распределена по закону, близкому к нормальному.

Решение. Величина остается той же, что в табл. 14.3.1:

По формуле (14.3.16)

По формуле (14.3.18) находим доверительный интервал:

Соответствующий интервал значений среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,29).

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В предыдущем подразделе мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Здесь мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины X, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка а. Закон распределения оценки а в общем случае зависит от неизвестных параметров величины X. Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины а к какой-либо другой функции наблюденных значений Х п Х 2 , ..., X п. закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов и и от вида закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины X.

Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина

подчиняется так называемому закону распределения Стъюдента с п - 1 степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

где Г (х) - известная гамма-функция:

Доказано также, что случайная величина

имеет «распределение % 2 » с п - 1 степенями свободы (см. главу 7), плотность которого выражается формулой

Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров ти D .

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами тиО. Для этих параметров получены оценки

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности р.

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно т ; обозначим s p половину длины интервала. Величину s p нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины т к случайной величине Т, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства |m-w?|

на положительную величину: или, пользуясь обозначением (14.4.1),

Найдем такое число / р, что Величина / р найдется из условия

Из формулы (14.4.2) видно, что (1) - четная функция, поэтому (14.4.8) дает

Равенство (14.4.9) определяет величину / р в зависимости от р. Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

то величину / р можно найти обратным интерполированием в таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений / р. Такая таблица дается в приложении (табл. 5). В этой таблице приведены значения в зависимости от доверительной вероятности р и числа степеней свободы п - 1. Определив / р по табл. 5 и полагая

мы найдем половину ширины доверительного интервала / р и сам интервал

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной X, распределенной нормально с неизвестными параметрами т и о. Результаты опытов приведены в табл. 14.4.1.

Таблица 14.4.1

Найти оценку т для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал / р (т.е. интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,9).

Решение. Имеем:

По таблице 5 приложения для п - 1 = 4 и р = 0,9 находим откуда

Доверительный интервал будет

Пример 2. Для условий примера 1 подраздела 14.3, предполагая величину X распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице 5 приложения находим при п - 1 = 19ир =

0,8 / р =1,328; отсюда

Сравнивая с решением примера 1 подраздела 14.3 (е р = 0,072), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии. Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину D через величину V (14.4.3), имеющую распределение х 2 (14.4.4):

Зная закон распределения величины V, можно найти интервал / (1 , в который она попадает с заданной вероятностью р.

Закон распределения k n _ x {v) величины I 7 имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

Рис. 14.4.1

Возникает вопрос: как выбрать интервал / р? Если бы закон распределения величины V был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал /р симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон к п _ х (v) несимметричен. Условимся выбирать интервал /р так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны

Чтобы построить интервал / р с таким свойством, воспользуемся табл. 4 приложения: в ней приведены числа у} такие, что

для величины V, имеющей х 2 -распределение с г степенями свободы. В нашем случае г = п - 1. Зафиксируем г = п - 1 и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения х 2 - одно, отвечающее вероятности другое - вероятности Обозначим эти

значения у 2 и xl ? Интервал имеет у 2 , своим левым, а у ~ правым концом.

Теперь найдем по интервалу / р искомый доверительный интервал /|, для дисперсии с границами D, и D 2 , который накрывает точку D с вероятностью р:

Построим такой интервал / (, = (?> ь А), который накрывает точку D тогда и только тогда, когда величина V попадает в интервал / р. Покажем, что интервал

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства равносильны неравенствам

а эти неравенства выполняются с вероятностью р. Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 подраздела 14.3, если известно, что величинаX распределена нормально.

Решение. Имеем . По таблице 4 приложения

находим при г = п - 1 = 19

По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

Соответствующий интервал для среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,32). Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 подраздела 14.3 приближенным методом интервал (0,21; 0,29).

• На рисунке 14.3.1 рассматривается доверительный интервал, симметричный относительно а. Вообще, как мы увидим дальше, это необязательно.

Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.

Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.

Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.

С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.

На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.

Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:

хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - признак,

t - параметр из таблицы распределения Лапласа,

σ - квадратный корень дисперсии.

Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:

σ2 = х2ср - (хср)2, где

х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,

(хср)2 - квадрат данного признака.

Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

хср - выборочное среднее,

α - признак,

t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),

sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,

s - квадратный корень дисперсии.

Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.

Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.

Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.

Оценка доверительных интервалов

Цели обучения

Статистика рассматривает следующие две основные задачи :

У нас есть некоторая оценка, построенная на выборочных данных, и мы хотим сделать некоторое вероятностное утверждение относительно того, где находится истинное значение оцениваемого параметра.

У нас есть конкретная гипотеза, которую необходимо проверить на основе выборочных данных.

В данной теме мы рассматриваем первую задачу. Введем также определение доверительного интервала.

Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.

Изучив материал данной темы, Вы:

узнаете, что такое доверительный интервал оценки;

научитесь классифицировать статистические задачи;

освоите технику построения доверительных интервалов, как по статистическим формулам, так и с помощью программного инструментария;

научитесь определять необходимые размеры выборок для достижения определенных параметров точности статистических оценок.

Распределения выборочных характеристик

Т-распределение

Как обсуждали выше распределение случайной величины близко к стандартизованному нормальному распределению с параметрами 0 и 1. Поскольку нам не известна величина σ, мы заменяем ее на некоторую оценку s . Величина уже имеет другое распределение, а именно или Распределение Стьюдента , которое определяется параметром n -1 (число степеней свободы). Это распределение близко к нормальному распределению (чем больше n , тем распределения ближе).

На рис. 95
представлено распределение Стьюдента с 30 степенями свободы. Как видно, оно весьма близко к нормальному распределению.

Аналогично функциям для работы с нормальным распределением НОРМРАСП и НОРМОБР имеются функции для работы с t-распределением - СТЬЮДРАСП (TDIST) и СТЬЮДРАСПОБР (TINV) . Пример использования этих функций можно посмотреть в файле СТЬЮДРАСП.XLS (шаблон и решение ) и на рис. 96
.

Распределения других характеристик

Как мы уже знаем, для определения точности оценивания математического ожидания нам необходимо t-распределение. Для оценивания других параметров, например, дисперсии, требуются другие распределения. Два из них - это F-распределение и x 2 -распределение .

Доверительный интервал для среднего значения

Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.

Построение доверительного интервала для среднего значения происходит следующим образом :

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. Как это осуществить? (см. файл СЭНДВИЧ1.XLS (шаблон и решение ).

Решение

Для решения данной задачи можно воспользоваться . Результаты представлены на рис. 97
.

Доверительный интервал для суммарного значения

Иногда по выборочным данным требуется оценить не математическое ожидание, а общую сумму значений. Например, в ситуации с аудитором интерес может представлять оценка не средней величины счета, а суммы всех счетов.

Пусть N - общее количество элементов, n - размер выборки, T 3 - сумма значений в выборке, T" - оценка для суммы по всей совокупности, тогда , а доверительный интервал вычисляется по формуле , где s - оценка стандартного отклонения для выборки, - оценка среднего для выборки.

Пример

Допустим, некоторая налоговая служба хочет оценить размер суммарных налоговых возвратов для 10 000 налогоплательщиков. Налогоплательщик либо получает возврат, либо доплачивает налоги. Найдите 95%-й доверительный интервал для суммы возврата при условии, что размер выборки составляет 500 человек (см. файл СУММА ВОЗВРАТОВ.XLS (шаблон и решение ).

Решение

В StatPro нет специальной процедуры для этого случая, однако можно заметить, что границы можно получить из границ для среднего исходя из вышеприведенных формул (рис. 98
).

Доверительный интервал для пропорции

Пусть p - математическое ожидание доли клиентов, а р в - оценка этой доли, полученная по выборке размера n. Можно показать, что для достаточно больших распределение оценки будет близко к нормальному с математическим ожиданием p и стандартным отклонением . Стандартная ошибка оценки в данном случае выражается как , а доверительный интервал как .

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом выбрал 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложил им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемую долю клиентов, которые оценивают новый продукт не менее чем в 6 баллов (он ожидает, что именно эти клиенты и будут потребителями нового продукта).

Решение

Первоначально создаем новый столбец по признаку 1, если оценка клиента была больше 6 баллов и 0 иначе (см. файл СЭНДВИЧ2.XLS (шаблон и решение ).

Способ 1

Подсчитывая количество 1, оцениваем долю, а далее используем формулы.

Значение z кр берется из специальных таблиц нормального распределения (например, 1,96 для 95%-го доверительного интервала).

Используя данный подход и конкретные данные для построения 95%-го интервала, получим следующие результаты (рис. 99
). Критическое значение параметра z кр равно 1,96. Стандартная ошибка оценки - 0,077. Нижняя граница доверительного интервала - 0,475. Верхняя граница доверительного интервала - 0,775. Таким образом, менеджер вправе полагать с 95%-й долей уверенности, что процент клиентов, оценивших новый продукт на 6 баллов и выше, будет между 47,5 и 77,5.

Способ 2

Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно заметить, что доля в данном случае совпадает со средним значением столбца Тип . Далее применим StatPro/Statistical Inference/One-Sample Analysis для построения доверительного интервала среднего значения (оценки математического ожидания) для столбца Тип . Полученные в этом случае результат, будут весьма близок к результату 1-го способа (рис. 99).

Доверительный интервал для стандартного отклонения

В качестве оценки стандартного отклонения используется s (формула приведена в разделе 1). Функцией плотности распределения оценки s является функция хи-квадрат , которая, как и t-распределение, имеет n-1 степень свободы. Имеются специальные функции для работы с этим распределением ХИ2РАСП (CHIDIST) и ХИ2ОБР (CHIINV) .

Доверительный интервал в этом случае уже будет не симметричным. Условная схема границ представлена на рис. 100 .

Пример

Станок должен производить детали диаметром 10 см. Однако в силу различных обстоятельств происходят ошибки. Контролера по качеству волнуют два обстоятельства: во-первых, среднее значение должно равняться 10 см; во-вторых, даже в этом случае, если отклонения будут велики, то многие детали будут забракованы. Ежедневно он делает выборку из 50 деталей (см. файл КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА.XLS (шаблон и решение ). Какие выводы может дать такая выборка?

Решение

Построим 95%-й доверительные интервалы для среднего и для стандартного отклонения с помощью StatPro/Statistical Inference/ One-Sample Analysis (рис. 101
).

Далее, используя предположение о нормальном распределении диаметров, рассчитаем долю бракованных изделий, задавшись предельным отклонением 0,065. Используя возможности таблицы подстановки (случай двух параметров), построим зависимость доли брака от среднего значения и стандартного отклонения (рис. 102
).

Доверительный интервал для разности двух средних значений

Это одно из наиболее важных применений статистических методов. Примеры ситуаций.

Менеджер магазина одежды хотел бы знать, на сколько больше или меньше тратит в магазине средняя женщина-покупатель, чем мужчина.

Две авиакомпании летают аналогичными маршрутами. Организация-потребитель хотела бы сравнить разницу между среднеожидаемыми временами задержек рейсов по обеим авиакомпаниям.

Компания рассылает купоны на отдельные виды товаров в одном городе и не рассылает в другом. Менеджеры хотят сравнить средние объемы покупок этих товаров в ближайшие два месяца.

Автомобильный дилер часто имеет дело на презентациях с замужними парами. Чтобы понять их персональную реакцию на презентацию, пары часто опрашивают отдельно. Менеджер хочет оценить разницу в рейтингах указываемых мужчинами и женщинами.

Случай независимых выборок

Разность средних значений будет иметь t-распределение с n 1 + n 2 - 2 степенями свободы. Доверительный интервал для μ 1 - μ 2 выражается соотношением:

Данная задача допускает решение не только по вышеприведенным формулам, но и стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно применить

Доверительный интервал для разности между пропорциями

Пусть - математическое ожидание долей. Пусть - их выборочные оценки, построенные по выборкам размера n 1 и n 2 соответственно. Тогда является оценкой для разности . Следовательно, доверительный интервал этой разности выражается как:

Здесь z кр является значением, полученным из нормального распределения по специальным таблицам (например, 1,96 для 95%-й доверительного интервала).

Стандартная ошибка оценки выражается в данном случае соотношением:

.

Пример

Магазин, готовясь к большой распродаже, предпринял следующие маркетинговые исследования. Были выбраны 300 лучших покупателей, которые в свою очередь были случайным образом поделены на две группы по 150 членов в каждой. Всем из отобранных покупателей были разосланы приглашения для участия в распродаже, но только для членов первой группы был приложен купон, дающий право на скидку 5%. В ходе распродажи покупки всех 300 отобранных покупателей фиксировались. Каким образом менеджер может интерпретировать полученные результаты и сделать заключение об эффективности предоставления купонов? (см. файл КУПОНЫ.XLS (шаблон и решение )).

Решение

Для нашего конкретного случая из 150 покупателей, получивших купон на скидку, 55 сделали покупку на распродаже, а среди 150, не получивших купон, покупку сделали только 35 (рис. 103
). Тогда значения выборочных пропорций соответственно 0,3667 и 0,2333. А выборочная разность между ними равна соответственно 0,1333. Полагая доверительный интервал 95%-м, находим по таблице нормального распределения z кр = 1,96. Вычисление стандартной ошибки выборочной разности равно 0,0524. Окончательно получаем, что нижняя граница 95%-го доверительного интервала равна 0,0307, а верхняя граница 0,2359 соответственно. Полученные результаты можно интерпретировать таким образом, что на каждых 100 покупателей, получивших купон со скидкой, можно ожидать от 3 до 23 новых покупателей. Однако надо иметь в виду, что этот вывод сам по себе еще не означает эффективности применения купонов (поскольку, предоставляя скидку, мы теряем в прибыли!). Продемонстрируем это на конкретных данных. Предположим, что средний размер покупки равен 400 руб., из которых 50 руб. есть прибыль магазина. Тогда ожидаемая прибыль на 100 покупателях, не получивших купон, равна:

50 0,2333 100 = 1166,50 руб.

Аналогичные вычисления для 100 покупателей получивших купон, дают:

30 0,3667 100 = 1100,10 руб.

Уменьшение средней прибыли до 30 объясняется тем, что, используя скидку, покупатели, получившие купон, в среднем будут делать покупку на 380 руб.

Таким образом, итоговый вывод говорит о неэффективности использования таких купонов в данной конкретной ситуации.

Замечание. Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно свести данную задачу к задаче оценки разности двух средних способом, а далее применить StatPro/Statistical Inference/Two-Sample Analysis для построения доверительного интервала разности двух средних значений.

Управление длиной доверительного интервала

Длина доверительного интервала зависит от следующих условий :

непосредственно данных (стандартное отклонение);

уровня значимости;

размера выборки.

Размер выборки для оценки среднего значения

Сначала рассмотрим задачу в общем случае. Обозначим данное нам значение половины длины доверительного интервала за В (рис. 104
). Нам известно, что доверительный интервал для среднего значения некоторой случайной величины X выражается как , где . Полагая:

и выражая n , получим .

К сожалению, точное значение дисперсии случайной величины X нам не известно. Кроме этого, нам неизвестно и значение t кр , так как оно зависит от n через количество степеней свободы. В данной ситуации мы можем поступить следующим образом. Вместо дисперсии s используем какую-либо оценку дисперсии, по каким-либо имеющимся реализациям исследуемой случайной величины. Вместо значения t кр используем значение z кр для нормального распределения. Это вполне допустимо, поскольку функции плотности распределений для нормального и t-распределения очень близки (за исключением случая малых n ). Таким образом, искомая формула принимает вид:

.

Поскольку формула дает, вообще говоря, нецелочисленные результат, в качестве искомого размера выборки берется округление с избытком результата.

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать некоторое количество посетителей из тех, кто уже попробовал его, и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. При этом он хочет, чтобы половина ширины доверительного интервала не превышала 0,3. Какое количество посетителей ему необходимо опросить?

выглядит следующим образом:

Здесь р оц - оценка доли p , а В есть заданная половина длины доверительного интервала. Завышенное значение для n можно получить, используя значение р оц = 0,5. В этом случае длина доверительного интервала не будет превосходить заданного значения В при любом истинном значении p .

Пример

Пусть менеджер из предыдущего примера планирует оценить долю клиентов, отдавших предпочтение новому виду продукции. Он хочет построить 90%-й доверительный интервал, половина длины которого не превосходила бы 0,05. Сколько клиентов должно войти в случайную выборку?

Решение

В нашем случае значение z кр = 1,645. Поэтому искомое количество вычисляется как .

Если бы менеджер имел основания полагать, что искомое значение p составляет, например, примерно 0,3, то, подставляя это значение в вышеприведенную формулу, мы получили бы меньшее значение величины случайной выборки, а именно 228.

Формула для определения размеров случайной выборки в случае разности между двумя средними значениями записывается как:

.

Пример

Некоторая компьютерная компания имеет сервисный центр по обслуживанию клиентов. В последнее время увеличилось количество жалоб клиентов на плохое качество обслуживания. В сервисном центре в основном работают сотрудники двух типов: не имеющие большого опыта, но закончившие специальные подготовительные курсы, и имеющие большой практический опыт, но не закончившие специальных курсов. Компания хочет проанализировать нарекания клиентов за последние полгода и сравнить их средние количества, приходящиеся на каждую из двух групп сотрудников. Предполагается, что количества в выборках по обеим группам будут одинаковые. Какое количество сотрудников необходимо включить в выборку, чтобы получить 95%-й интервал с половиной длины не более 2?

Решение

Здесь σ оц есть оценка стандартного отклонения обеих случайных переменных в предположении, что они близки. Таким образом, в нашей задаче нам необходимо каким-то образом получить эту оценку. Это можно сделать, например, следующим образом. Просмотрев данные по нареканиям клиентов за последние полгода, менеджер может заметить, что на каждого сотрудника в основном приходится от 6 до 36 нареканий. Зная, что для нормального распределения практически все значения удалены от среднего значения не более чем на три стандартных отклонения, он может с определенным основанием полагать, что:

, откуда σ оц = 5.

Подставляя это значение в формулу, получаем .

Формула для определения размера случайной выборки в случае оценки разности между долями имеет вид:

Пример

Некоторая компания имеет две фабрики по производству аналогичной продукции. Менеджер компании хочет сравнить доли бракованной продукции на обеих фабриках. По имеющейся информации процент брака на обеих фабриках составляет от 3 до 5%. Предполагается построить 99%-й доверительный интервал с половиной длины не более 0,005 (или 0,5%). Какое количество изделий необходимо отобрать с каждой фабрики?

Решение

Здесь р 1оц и р 2оц являются оценками двух неизвестных долей брака на 1-й и 2-й фабрике. Если положить р 1оц = р 2оц = 0,5, то мы получим завышенное значение для n . Но поскольку в нашем случае мы имеем некоторую априорную информацию об этих долях, то мы берем верхнюю оценку этих долей, а именно 0,05. Получаем

Когда делается оценка некоторых параметров совокупности по выборочным данным, полезно дать не только точечную оценку параметра, но и указать доверительный интервал, который показывает, где может находиться точное значение оцениваемого параметра.

В данной главе мы также познакомились с количественными соотношениями, позволяющими строить такие интервалы для различных параметров; узнали способы управления длиной доверительного интервала.

Отметим также, что задачу оценки размеров выборки (задача планирования эксперимента) можно решить, используя стандартные средства StatPro , а именно StatPro/Statistical Inference/Sample Size Selection .

Построим в MS EXCEL доверительный интервал для оценки среднего значения распределения в случае известного значения дисперсии.

Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Формулировка задачи

Предположим, что из генеральной совокупности имеющей взята выборка размера n. Предполагается, что стандартное отклонение этого распределения известно. Необходимо на основании этой выборки оценить неизвестное среднее значение распределения (μ, ) и построить соответствующий двухсторонний доверительный интервал .

Точечная оценка

Как известно из , статистика (обозначим ее Х ср ) является несмещенной оценкой среднего этой генеральной совокупности и имеет распределение N(μ;σ 2 /n).

Примечание : Что делать, если требуется построить доверительный интервал в случае распределения, которое не является нормальным? В этом случае на помощь приходит , которая гласит, что при достаточно большом размере выборки n из распределения не являющемся нормальным , выборочное распределение статистики Х ср будет приблизительно соответствовать нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).

Итак, точечная оценка среднего значения распределения у нас есть – это среднее значение выборки , т.е. Х ср . Теперь займемся доверительным интервалом.

Построение доверительного интервала

Обычно, зная распределение и его параметры, мы можем вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного нами интервала. Сейчас поступим наоборот: найдем интервал, в который случайная величина попадет с заданной вероятностью. Например, из свойств нормального распределения известно, что с вероятностью 95%, случайная величина, распределенная по нормальному закону , попадет в интервал примерно +/- 2 от среднего значения (см. статью про ). Этот интервал, послужит нам прототипом для доверительного интервала .

Теперь разберемся,знаем ли мы распределение, чтобы вычислить этот интервал? Для ответа на вопрос мы должны указать форму распределения и его параметры.

Форму распределения мы знаем – это нормальное распределение (напомним, что речь идет о выборочном распределении статистики Х ср ).

Параметр μ нам неизвестен (его как раз нужно оценить с помощью доверительного интервала ), но у нас есть его оценка Х ср, вычисленная на основе выборки, которую можно использовать.

Второй параметр – стандартное отклонение выборочного среднего будем считать известным , он равен σ/√n.

Т.к. мы не знаем μ, то будем строить интервал +/- 2 стандартных отклонения не от среднего значения , а от известной его оценки Х ср . Т.е. при расчете доверительного интервала мы НЕ будем считать, что Х ср попадет в интервал +/- 2 стандартных отклонения от μ с вероятностью 95%, а будем считать, что интервал +/- 2 стандартных отклонения от Х ср с вероятностью 95% накроет μ – среднее генеральной совокупности, из которого взята выборка . Эти два утверждения эквивалентны, но второе утверждение нам позволяет построить доверительный интервал .

Кроме того, уточним интервал: случайная величина, распределенная по нормальному закону , с вероятностью 95% попадает в интервал +/- 1,960 стандартных отклонений, а не+/- 2 стандартных отклонения . Это можно рассчитать с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2) , см. файл примера Лист Интервал .

Теперь мы можем сформулировать вероятностное утверждение, которое послужит нам для формирования доверительного интервала :
«Вероятность того, что среднее генеральной совокупности находится от среднего выборки в пределах 1,960 «стандартных отклонений выборочного среднего» , равна 95%».

Значение вероятности, упомянутое в утверждении, имеет специальное название , который связан с уровнем значимости α (альфа) простым выражением уровень доверия =1 -α. В нашем случае уровень значимости α=1-0,95=0,05 .

Теперь на основе этого вероятностного утверждения запишем выражение для вычисления доверительного интервала :

где Z α/2 – стандартного нормального распределения (такое значение случайной величины z , что P (z >=Z α/2 )=α/2 ).

Примечание : Верхний α/2-квантиль определяет ширину доверительного интервала в стандартных отклонениях выборочного среднего. Верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения всегда больше 0, что очень удобно.

В нашем случае при α=0,05, верхний α/2-квантиль равен 1,960. Для других уровней значимости α (10%; 1%) верхний α/2-квантиль Z α/2 можно вычислить с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) или, если известен уровень доверия , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.доверия)/2) .

Обычно при построении доверительных интервалов для оценки среднего используют только верхний α /2-квантиль и не используют нижний α /2-квантиль . Это возможно потому, что стандартное нормальное распределение симметрично относительно оси х (плотность его распределения симметрична относительно среднего, т.е. 0 ). Поэтому, нет нужды вычислять нижний α/2-квантиль (его называют просто α/2-квантиль ), т.к. он равен верхнему α /2-квантилю со знаком минус.

Напомним, что, не смотря на форму распределения величины х, соответствующая случайная величина Х ср распределена приблизительно нормально N(μ;σ 2 /n) (см. статью про ). Следовательно, в общем случае, вышеуказанное выражение для доверительного интервала является лишь приближенным. Если величина х распределена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то выражение для доверительного интервала является точным.

Расчет доверительного интервала в MS EXCEL

Решим задачу.
Время отклика электронного компонента на входной сигнал является важной характеристикой устройства. Инженер хочет построить доверительный интервал для среднего времени отклика при уровне доверия 95%. Из предыдущего опыта инженер знает, что стандартное отклонение время отклика составляет 8 мсек. Известно, что для оценки времени отклика инженер сделал 25 измерений, среднее значение составило 78 мсек.

Решение : Инженер хочет знать время отклика электронного устройства, но он понимает, что время отклика является не фиксированной, а случайной величиной, которая имеет свое распределение. Так что, лучшее, на что он может рассчитывать, это определить параметры и форму этого распределения.

К сожалению, из условия задачи форма распределения времени отклика нам не известна (оно не обязательно должно быть нормальным ). , этого распределения также неизвестно. Известно только его стандартное отклонение σ=8. Поэтому, пока мы не можем посчитать вероятности и построить доверительный интервал .

Однако, не смотря на то, что мы не знаем распределение времени отдельного отклика , мы знаем, что согласно ЦПТ , выборочное распределение среднего времени отклика является приблизительно нормальным (будем считать, что условия ЦПТ выполняются, т.к. размер выборки достаточно велик (n=25)).

Более того, среднее этого распределения равно среднему значению распределения единичного отклика, т.е. μ. А стандартное отклонение этого распределения (σ/√n) можно вычислить по формуле =8/КОРЕНЬ(25) .

Также известно, что инженером была получена точечная оценка параметра μ равная 78 мсек (Х ср). Поэтому, теперь мы можем вычислять вероятности, т.к. нам известна форма распределения (нормальное ) и его параметры (Х ср и σ/√n).

Инженер хочет знать математическое ожидание μ распределения времени отклика. Как было сказано выше, это μ равно математическому ожиданию выборочного распределения среднего времени отклика . Если мы воспользуемся нормальным распределением N(Х ср; σ/√n), то искомое μ будет находиться в интервале +/-2*σ/√n с вероятностью примерно 95%.

Уровень значимости равен 1-0,95=0,05.

Наконец, найдем левую и правую границу доверительного интервала .
Левая граница: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)= 74,864
Правая граница: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=81,136

Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))
Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))

Ответ : доверительный интервал при уровне доверия 95% и σ =8 мсек равен 78+/-3,136 мсек.

В файле примера на листе Сигма известна создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала для произвольных выборок с заданным σ и уровнем значимости .

Функция ДОВЕРИТ.НОРМ()

Если значения выборки находятся в диапазоне B20:B79 , а уровень значимости равен 0,05; то формула MS EXCEL:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79))
вернет левую границу доверительного интервала .

Эту же границу можно вычислить с помощью формулы:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

Примечание : Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях MS EXCEL использовалась функция ДОВЕРИТ() .

Доверительные интервалы.

Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.

В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по сово­купности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.

Доверительный интервал для среднего арифметического : .

Здесь - выборочное среднее;

Средняя ошибка среднего арифметического;

s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

n

f = n -1 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для разности средних арифметических :

Здесь - разность выборочных средних;

- средняя ошибка разности средних арифметических;

s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;

n 1 ,n 2

Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для доли :

.

Здесь d – выборочная доля;

– средняя ошибка доли;

n – объём выборки (численность группы);

Доверительный интервал для разности долей :

Здесь - разность выборочных долей;

– средняя ошибка разности средних арифметических;

n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);

Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).

Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.

При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:

Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.

Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.

По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.

Примеры:

Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.

d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.

Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.

В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.

Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.

Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.

Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).

Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.

Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.

Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.

Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.

Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.

Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.

ЛИТЕРАТУРА.

Гланц С. – Глава 6,7.

Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.

Сидоренко Е. В. – с.32-33.

Вопросы для самопроверки студентов.

1. Что такое мощность критерия?

2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?

3. Способы расчёта мощности.

6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?

7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?

Задачи.