Пример нахождения коэффициента ранговой корреляции спирмена. Корреляции в дипломных работах по психологии
Коэффициент корреляции Пирсона
Коэффициентr- Пирсона применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успеваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной платы работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересующих его показателя у каждого члена выборки.
На величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление константы) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключением является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.
Применение корреляции Спирмена и Пирсона.
Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном.
На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной.
Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.
Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной.
Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.
Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи.
Коэффициенты корреляции Спирмена и τ- Кендалла (ранговые корреляции)
Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ- Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.
Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем - по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена.
Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.
Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений
Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ- Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи.
Коэффициенты корреляции были специально разработаны для численного определения силы и направления связи между двумя свойствами, измеренными в числовых шкалах (метрических или ранговых). Как уже упоминалось, максимальной силе связи соответствуют значения корреляции +1 (строгая прямая или прямо пропорциональная связь) и -1 (строгая обратная или обратно пропорциональная связь), отсутствию связи соответствует корреляция, равная нулю. Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной.
9. Параметрические методы сравнения данных
Параметрические методы сравнения применяются в том случае, если ваши переменные были измерены в метрической шкале.
Сравнение дисперсий 2- х выборок по критерию Фишера.
Данный метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии 2-х генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отличаются друг от друга. Ограничения метода - распределения признака в обеих выборках не должны отличаться от нормального.
Альтернативой сравнения дисперсий является критерий Ливена, для которого нет необходимости в проверке на нормальность распределения. Данный метод может применяться для проверки предположения о равенстве (гомогенности) дисперсий перед проверкой достоверности различия средних по критерию Стьюдента для независимых выборок разной численности.
Назначение рангового коэффициента корреляции
Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями {иерархиями) признаков.
Описание метода
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;
2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);
3) две групповые иерархии признаков;
4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.
Рассмотрим случай 1 (два признака). Здесь ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.
Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета r s необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет r s , тем ближе он будет к +1.
Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что вэтом случае r s , окажется близким к 0.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.
Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двумя переменным, тем ближе r s к -1.
Рассмотрим случай 2 (два индивидуальных профиля). Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг - признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF ), если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).
Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то иу другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.
Рассмотрим случай 3 (два групповых профиля). Здесь ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
Рассмотрим случай 4 (индивидуальный и групповой профили). Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого исреднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого - он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки п. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N - это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах.
Если абсолютная величина r s достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.
Гипотезы
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй - к трем остальным случаям.
Первый вариант гипотез
H 0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
H 0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.
Графическое представление метода ранговой корреляции
Чаще всего корреляционную связь представляют графически в виде облака точек или в виде линий, отражающих общую тенденцию размещения точек в пространстве двух осей: оси признака А и признака Б (см. Рис. 6.2).
Попробуем изобразить ранговую корреляцию в виде двух рядов ранжированных значений, которые попарно соединены линиями (Рис. 6.3). Если ранги по признаку А и по признаку Б совпадают, то между ними оказывается горизонтальная линия, если ранги не совпадают, то линия становится наклонной. Чем больше несовпадение рангов, тем более наклонной становится линия. Слева на Рис. 6.3 отображена максимально высокая положительная корреляция (r в =+1,0) - практически это "лестница". В центре отображена нулевая корреляция - плетенка с неправильными переплетениями. Все ранги здесь перепутаны. Справа отображена максимально высокая отрицательная корреляция (r s =-1,0) -паутина с правильным переплетением линий.
Рис. 6.3. Графическое представление ранговой корреляции:
а) высокая положительная корреляция;
б) нулевая корреляция;
в) высокая отрицательная корреляция
Ограничения коэффициента ранговой корреляции
1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений (Табл.XVI Приложения 1), а именно N ≤40.
2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r s при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на одинаковые ранги. Соответствующая формула дана в примере 4.
Пример 1 - корреляция между двумя признаками
Висследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера (Одерышев Б.С., Шамова Е.П., Сидоренко Е.В., Ларченко Н.Н., 1978), группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального и невербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?
Таблица 6.1
Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Количество ошибок |
Показатель вербального интеллекта |
Показатель невербального интеллекта |
|
Сначала попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и вербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
H 1 : Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически значимо отличается от нуля.
Далее нам необходимо проранжировать оба показателя, Приписывая меньшему значению меньший ранг, затем подсчитать разности между рангами, которые получил каждый испытуемый по двум переменным (признакам), и возвести эти разности в квадрат. Произведем все необходимые расчеты в таблице.
В Табл. 6.2 в первой колонке слева представлены значения по показателю количества ошибок; в следующей колонке - их ранги. В третьей колонке слева представлены значения по показателю вербального интеллекта; в следующем столбце - их ранги. В пятом слева представлены разности d между рангом по переменной А (количество ошибок) и переменной Б (вербальный интеллект). В последнем столбце представлены квадраты разностей - d 2 .
Таблица 6.2
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и вербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Б вербальный интеллект. |
d (ранг А - |
J 2 |
|||||||
|
Индивидуальные значения |
Индивидуальные значения | ||||||||||
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
где d - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
N - количество ранжируемых значений, в. данном случае количество испытуемых.
Рассчитаем эмпирическое значение r s:
Полученное эмпирическое значение г s близко к 0. И все же определим критические значения r s при N=10 по Табл. XVI Приложения 1:
Ответ: H 0 принимается. Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
Теперь попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и невербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта не отличается от 0.
H 1: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта статистически значимо отличается от 0.
Результаты ранжирования и сопоставления рангов представлены в Табл. 6.3.
Таблица 6.3
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Е невербальный интеллект |
d (ранг А - |
d 2 |
|||
|
Индивидуальные |
Индивидуальные | ||||||
|
значения |
значения | ||||||
Мы помним, что для определения значимости r s неважно, является ли он положительным или отрицательным, важна лишь его абсолютная величина. В данном случае:
r s
эмп Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между показателем
количества ошибок в тренировочной
сессии и уровнем невербального интеллекта
случайна, r s
не отличается от 0. Вместе
с тем, мы можем обратить внимание на
определенную тенденцию отрицательной
связи
между этими двумя переменными. Возможно,
мы смогли бы ее подтвердить на статистически
значимом уровне, если бы увеличили объем
выборки. Пример 2 - корреляция
между индивидуальными профилями
В исследовании,
посвященном проблемам ценностной
реориента-ции, выявлялись иерархии
терминальных ценностей по методике М.
Рокича у родителей и их взрослых детей
(Сидоренко Е.В., 1996). Ранги терминальных
ценностей, полученные при обследовании
пары мать-дочь (матери - 66 лет, дочери -
42 года) представлены в Табл. 6.4. Попытаемся
определить, как эти ценностные иерархии
коррелируют друг с другом. Таблица 6.4
Ранги терминальных
ценностей по списку М.Рокича в
индивидуальных иерархиях матери и
дочери Терминальные ценности Ранг ценностей в Ранг ценностей в d
2
иерархии матери иерархии дочери 1 Активная деятельная жизнь 2 Жизненная
мудрость 3 Здоровье 4 Интересная
работа 5 Красота
природы и искусство 7 Материально
обеспеченная жизнь 8 Наличие хороших и
верных друзей 9 Общественное
признание 10 Познание 11 Продуктивная
жнзнь 12 Развитие 13 Развлечения 14 Свобода 15 Счастливая семейная жизнь 16 Счастье
других 17 Творчество 18 Уверенность
в себе Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между иерархиями терминальных ценностей
матери и дочери не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значимо отличается от нуля. Поскольку
ранжирование ценностей предполагается
самой процедурой исследования, нам
остается лишь подсчитать разности между
рангами 18 ценностей в двух иерархиях.
В 3-м и 4-м столбцах Табл. 6.4 представлены
разности d
и
квадраты этих разностей d
2
.
Определяем
эмпирическое значение r s
по формуле: где d
-
разности между рангами по каждой из
переменных, в данном случае по каждой
из терминальных ценностей; N
-
количество переменных, образующих
иерархию, в данном случае количество
ценностей. Для данного примера: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения: Ответ:
H 0
отвергается.
Принимается H 1 .
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значима (р<0,01) и является положительной. По данным Табл.
6.4 мы можем определить, что основные
расхождения приходятся на ценности
"Счастливая семейная жизнь",
"Общественное признание" и
"Здоровье", ранги остальных ценностей
достаточно близки. Пример 3 - корреляция
между двумя групповыми иерархиями
Джозеф
Вольпе в книге, написанной совместно с
сыном (Wolpe
J.,
Wolpe
D.,
1981) приводит упорядоченный перечень из
наиболее часто встречающихся у
современного человека "бесполезных",
по его обозначению, страхов, которые
не несут сигнального значения и лишь
мешают полноценно жить и действовать.
В отечественном исследовании, проведенном
М.Э. Раховой (1994) 32 испытуемых должны
были по 10-балльной шкале оценить,
насколько актуальным для них является
тот или иной вид страха из перечня
Вольпе 3 .
Обследованная выборка состояла из
студентов Гидрометеорологического и
Педагогического институтов
Санкт-Петербурга: 15 юношей и 17 девушек
в возрасте от 17 до 28 лет, средний возраст
23 года. Данные, полученные
по 10-балльной шкале, были усреднены по
32 испытуемым, и средние проранжированы.
В Табл. 6.5 представлены ранговые
показатели, полученные Дж. Вольпе и М.
Э. Раховой. Совпадают ли ранговые
последовательности 20 видов страха? Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между упорядоченными перечнями видов
страха в американской и отечественных
выборках не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между упорядоченными
перечнями видов страха в американской
и отечественной выборках статистически
значимо отличается от нуля. Все расчеты,
связанные с вычислением и возведением
в квадрат разностей между рангами разных
видов страха в двух выборках, представлены
в Табл. 6.5. Таблица 6.5
Расчет
d
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена при сопоставлении упорядоченных
перечней видов страха в американской
и отечественной выборках Виды страха Ранг в американской выборке Ранг в российской Страх
публичного выступления Страх
полета Страх
совершить ошибку Страх
неудачи Страх
неодобрения Страх
отвержения Страх
злых люден Страх
одиночества Страх
крови Страх
открытых ран Страх
дантиста Страх
уколов Страх
прохождения тестов Страх
полиции ^милиции) Страх
высоты Страх
собак Страх
пауков Страх
искалеченных людей Страх
больниц Страх
темноты Определяем
эмпирическое значение
r s: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г s
при N=20: Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между
упорядоченными перечнями видов страха
в американской и отечественной выборках
не достигает уровня статистической
значимости, т. е. значимо не отличается
от нуля. Пример
4 - корреляция между индивидуальным и
среднегрупповым профилями
Выборке
петербуржцев в возрасте от 20
до
78
лет
(31
мужчина, 46 женщин),
уравновешенной по возрасту таким
образом, что лица в возрасте старше 55
лет составляли в
ней
50% 4 ,
предлагалось ответить на вопрос: "Какой
уровень развития каждого из перечисленных
ниже качеств необходим для депутата
Городского собрания Санкт-Петербурга?"
(Сидоренко Е.В., Дерманова И.Б., Анисимова
О.М., Витенберг Е.В., Шульга А.П., 1994).
Оценка
производилась по 10-балльной шкале.
Параллельно с этим обследовалась выборка
из депутатов и кандидатов в депутаты
в Городское собрание Санкт-Петербурга
(n=14).
Индивидуальная диагностика политических
деятелей и претендентов производилась
с помощью Оксфордской системы
экспресс-видеодиагностики по тому же
набору личностных качеств, который
предъявлялся выборке избирателей. В Табл.
6.6 представлены средние значения,
полученные для каждого из качеств в
выборке
избирателей ("эталонный ряд") и
индивидуальные значения одного из
депутатов Городского собрания. Попытаемся
определить, насколько индивидуальный
профиль депутата К-ва коррелирует с
эталонным профилем. Таблица 6.6
Усредненные
эталонные оценки избирателей (п=77) и
индивидуальные показатели депутата
К-ва по 18 личностным качествам
экспресс-видеодиагностики Наименование качества Усредненные эталонные
оценки избирателей Индивидуальные показатели депутата
К-ва 1. Общий уровень культуры 2. Обучаемость 4. Способность к творчеству нового 5.. Самокритичность 6. Ответственность 7. Самостоятельность 8. Энергия, активность 9. Целеустремленность 10. Выдержка, самообладание И. Стойкость 12. Личностная зрелость 13. Порядочность 14. Гуманизм 15. Умение общаться с людьми 16. Терпимость к чужому мнению 17. Гибкость поведения 18. Способность производить благоприятное
впечатление Таблица 6.7
Расчет
d
2
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена между эталонным и индивидуальным
профилями личностных качеств депутата Наименование качества ранг качества в эталонном профиле Ряд 2: ранг качества в индивидуальном
профиле d
2
1 Ответственность 2 Порядочность 3 Умение общаться с людьми 4 Выдержка, самообладание 5 Общий уровень культуры 6 Энергия, активность 8 Самокритичность 9 Самостоятельность 10 Личностная зрелость И Целеустремленность 12 Обучаемость 13 Гуманизм 14 Терпимость к чужому мнению 15 Стойкость 16 Гибкость поведения 17 Способность производить благоприятное
впечатление 18 Способность к творчеству нового Как
видно из Табл. 6.6, оценки избирателей и
индивидуальные показатели депутата
варьируют в разных диапазонах.
Действительно оценки избирателей были
получены по 10-балльной шкале, а
индивидуальные показатели по
экспресс-видеодиагностике измеряются
по 20-ти балльной шкале. Ранжирование
позволяет нам перевести обе шкалы
измерения в единую шкалу, где единицей
измерения будет 1 ранг, а максимальное
значение составит 18 рангов. Ранжирование, как
мы помним, необходимо произвести отдельно
по каждому ряду значений. В данном случае
целесообразно начислять большему
значению меньший ранг, чтобы сразу можно
было увидеть, на каком месте по значимости
(для избирателей) или по выраженности
(у депутата) находится то или иное
качество. Результаты
ранжирования представлены в Табл. 6.7.
Качества перечислены в последовательности,
отражающей эталонный профиль. Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей, не
отличается от нуля. H 1:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей,
статистически значимо отличается
от нуля. Поскольку в обоих сопоставляемых
ранговых рядах присутствуют группы одинаковых
рангов, перед подсчетом коэффициента
ранговой корреляции
необходимо внести поправки на одинаковые
ранги Т а
и Т
b
: где а
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду А,
b
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду В. В
данном случае, в ряду А (эталонный
профиль) присутствует одна группа
одинаковых рангов - качества "обучаемость"
и "гуманизм" имеют один и тот же
ранг 12,5; следовательно, а
=2. T а =(2 3 -2)/12=0,50. В ряду
В (индивидуальный профиль) присутствует
две группы одинаковых рангов, при этом
b
1
=2
и
b
2
=2.
T a =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00 Для
подсчета эмпирического значения r s
используем формулу В данном случае: Заметим,
что если бы поправка на одинаковые ранги
нами не вносилась, то величина r s
была бы лишь на (на 0,0002) выше: При
больших количествах одинаковых рангов
изменения г 5
могут оказаться гораздо более
существенными. Наличие одинаковых
рангов означает меньшую степень
дифференцированное™ упорядоченных
переменных и, следовательно, меньшую
возможность оценить степень связи между
ними (Суходольский Г.В., 1972, с.76). По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г, при N=18: Ответ:
Hq
отвергается.
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
отвечающим требованиям избирателей,
статистически значима (р<0,05) и является
положительной. Из
Табл. 6.7 видно, что депутат К-в имеет
более низкий ранг по шкалам Умения
общаться с людьми и более высокие ранги
по шкалам Целеустремленности и Стойкости,
чем это предписывается избирательским
эталоном. Этими расхождениями, главным
образом, и объясняется некоторое снижение
полученного r s . Сформулируем
общий алгоритм подсчета r s . На практике для определения тесноты связи двух признаков часто применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Р). Значения каждого признака ранжируются по степени возрастания (от 1 до n), затем определяется разница (d) между рангами, соответствующими одному наблюдению.
Пример №1
. Зависимость между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по 10 областям одного из федеральных округов РФ в 2003 году характеризуется следующими данными.
Присвоим ранги признаку Y и фактору X . Найдем сумму разности квадратов d 2 .
Интервальная оценка для коэффициента ранговой корреляции (доверительный интервал)
Пример №2
. Исходные данные. Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном. На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции. Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной. Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция __________не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок. Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи. Коэффициенты корреляции Спирмена и τ-Кендалла (ранговые корреляции)
Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ-Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента. Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем – по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена. Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции. Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи. This calculator below calculates Spearman"s rank correlation coefficient between two random variables. The theoretical part is traditional below the calculator. add
import_export
mode_edit
delete
"One of the following characters is used to separate data fields: tab, semicolon (;) or comma(,)" Sample: -50.5;-50.5 Import
Back
Cancel Digits after the decimal point: 4 Calculate
Spearman"s correlation coefficient Save share
extension
The method of Spearman"s rank correlation coefficient calculation is actually pretty simple. It"s like the Pearson correlation coefficient , but designed not for measurements of random variables only but for their ranking values
. We have only to understand what is the rank value and why all this is necessary. If the elements of a variational series arranged in ascending or descending order, that rank
of the element will be his number in ordered series. For example, we have a variational series {17,26,5,14,21}. Let"s sort it"s elements in a descending order {26,21,17,14,5}. 26 has a rank of 1, 21 - rank of 2 and so on, Variational series of ranking values will look like this {3,1,5,4,2}. I.e. when calculating Spearman"s coefficient initial variation series are converted into variational series of ranking values and then Pearson"s formula is applied to them. If you don"t have the repeating values, that is, all the values of ranking series - the numbers between 1 and n, the Pearson"s formula can be simplified to What is the essence of the transition from the values themselves to their rank value? The sign of the coefficient indicates the direction of the relationship between variables. If the sign is positive the values of Y has a tendency to increase with the increasement of X. If the sign is negative the values of Y has a tendency to decrease with the increasement of X. If the coefficient is 0 there is no tendency then. If the coefficient equals 1 or -1, the relationship between X and Y has an appearance of monotonic function, i.e. with the increasement of X, Y also increases and vice versa. That is, unlike the Pearson"s correlation coefficient, which can detect only the linear relationship of one variable from another, Spearman"s correlation coefficient can detect monotonic dependence, where the direct linear relationship cannot be revealed. Here"s an example.
Вычислите ранговые коэффициенты корреляции Спирмена
и Кендэла . Проверить их значимость при α=0,05. Сформулируйте вывод о зависимости между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по рассматриваемым областям РФ.
Используя калькулятор , вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена: X
Y
ранг X, d x
ранг Y, d y
(d x - d y) 2
1.3
300
1
2
1
1.8
1335
2
12
100
2.4
250
3
1
4
3.4
946
4
8
16
4.8
670
5
7
4
5.1
400
6
4
4
6.3
380
7
3
16
7.5
450
8
5
9
7.8
500
9
6
9
17.5
1582
10
16
36
18.3
1216
11
9
4
22.5
1435
12
14
4
24.9
1445
13
15
4
25.8
1820
14
19
25
28.5
1246
15
10
25
33.4
1435
16
14
4
42.4
1800
17
18
1
45
1360
18
13
25
50.4
1256
19
11
64
54.8
1700
20
17
9
364
Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая.
Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим Tтабл.
T табл = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициента ранговой корреляции Спирмена статистически - значим.
Доверительный интервал
для коэффициента ранговой корреляции Спирмена: p(0.5431;0.9095).
Так как в матрице имеются связанные ранги (одинаковый ранговый номер) 1-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производиться без изменения важности ранга, то есть между ранговыми номерами должны сохраниться соответствующие соотношения (больше, меньше или равно). Также не рекомендуется ставить ранг выше 1 и ниже значения равного количеству параметров (в данном случае n = 6). Переформирование рангов производится в табл.
5
4
3
4
1
3
3
1
6
6
2
2
Так как в матрице имеются связанные ранги 2-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производится в табл.
Новые ранги
1
1
1
2
2
2
3
3
3.5
4
3
3.5
5
5
5
6
6
6
Матрица рангов.
Номера мест в упорядоченном ряду
Расположение факторов по оценке эксперта
Новые ранги
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4.5
5
4
4.5
6
6
6
Поскольку среди значений признаков х и у встречается несколько одинаковых, т.е. образуются связанные ранги, то в таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как: ранг X, d x
ранг Y, d y
(d x - d y) 2
5
4.5
0.25
3.5
4.5
1
1
3
4
3.5
1
6.25
6
6
0
2
2
0
21
21
11.5
где
j - номера связок по порядку для признака х;
А j - число одинаковых рангов в j-й связке по х;
k - номера связок по порядку для признака у;
В k - число одинаковых рангов в k-й связке по у.
A = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
B = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
D = A + B = 0.5 + 0.5 = 1
Связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.
Changes of random variables
Items per page:
5 10 20 50 100 chevron_left
chevron_right
arrow_upward
arrow_downward
arrow_upward
arrow_downward
mode_edit
Changes of random variables
Import data
Import error
.
There is one subtlety - the rank of the repeating values is taken as the average of the ranks. That is, for a series {17, 15, 14, 15}ranking series will look like {1, 2.5, 4, 2.5}, as the first element is 15 has a rank of 2, and the second - rank of 3, and.
By the way, this formula is often given as the formula for calculating the Spearman"s coefficient.
When investigating the correlation of ranking values you can find how well the dependence of the two variables is described by a monotonic function.
Поясню на примере. Let"s suppose,we examine the function y=10/x.
We have the following measurements of X and Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
For this data, Pearson correlation coefficient is equal to -0.4686, i.e. the relationship is weak or absent. And Spearman"s correlation coefficient is strictly equal to -1, as if it"s hints to the researcher that Y has strongly negative monotonic dependence from X.
Загрузка...
