Примеры с модулями. Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (2019)
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
МБОУ СОШ №17 г. Иванова
«Уравнения с модулем»
Методическая разработка
Составлена
учителем математики
Лебедевой Н.В.20010 г.
Пояснительная записка
Глава 1. Введение
Раздел 2. Основные свойства Раздел 3. Геометрическая интерпретация понятия модуля числа Раздел 4. График функции у = |х| Раздел 5. Условные обозначенияГлава 2. Решение уравнений, содержащих модуль
Раздел 1.Уравнения вида |F(х)| = m (простейшие) Раздел 2. Уравнения вида F(|х|) = m Раздел 3. Уравнения вида |F(х)| = G(х) Раздел 4. Уравнения вида |F(х)| = ± F(х) (красивейшие) Раздел 5. Уравнения вида |F(х)| = |G(х)| Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений Раздел 7. Уравнения вида |F(х)| + |G(х)| = 0 Раздел 8. Уравнения вида |а 1 х ± в 1 | ± |а 2 х ± в 2 | ± …|а n х ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулейГлава 3. Примеры решения различных уравнений с модулем.
Раздел 1. Тригонометрические уравнения Раздел 2. Показательные уравнения Раздел 3. Логарифмические уравнения Раздел 4. Иррациональные уравнения Раздел 5. Задания повышенной сложности Ответы к упражнениям Список литературыПояснительная записка.
Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. В практике преподавания курса математики в средней школе в соответствии с Программой МО РФ понятие «абсолютная величина числа» встречается неоднократно: в 6 – м классе вводиться определение модуля, его геометрический смысл; в 8 – м классе формируется понятие абсолютной погрешности, рассматривается решение простейших уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаются свойства арифметического квадратного корня; в 11 – м классе понятие встречается в разделе «Корень n -ой степени». Опыт преподавания показывает, что учащиеся часто сталкиваются с трудностями при решении заданий, требующих знания данного материала, а нередко пропускают, не приступая к выполнению. В текстах экзаменационных заданий за курс 9 – ого и 11 – ого классов также включены подобные задания. Кроме того, требования, которые предъявляют к выпускникам школ Вузы отличаются, а именно, более высокого уровня, чем требования школьной программы. Для жизни в современном обществе очень важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями требуется умение применять такие приёмы, как обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Решение подобных заданий позволяет проверить знание основных разделов школьного курса, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Данная работа посвящена одному из разделов – решению уравнений, содержащих модуль. Она состоит из трёх глав. В первой главе вводятся основные понятия и наиболее важные теоретические выкладки. Во второй главе предлагаются девять основных типов уравнений, содержащих модуль, рассматриваются методы их решения, разбираются примеры разного уровня сложности. В третьей главе предлагаются более сложные и нестандартные уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические и иррациональные). К каждому типу уравнений есть упражнения для самостоятельного решения (ответы и указания прилагаются). Основное назначение данной работы – это оказание методической помощи преподавателям при подготовке к урокам и при организации факультативных курсов. Материал также может быть использован в качестве учебного пособия для старшеклассников. Задания, предлагаемые в работе, интересны и не всегда просты в решении, что позволяет сделать учебную мотивацию учащихся более осознанной, проверить свои способности, повысить уровень подготовки выпускников школ к поступлению в Вузы. Дифференцированный подбор предлагаемых упражнений предполагает переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому, а также возможность научить применять свои знания при решении нестандартных задач.Глава 1. Введение.
Раздел 1. Определение абсолютной величины .
Определение : Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число: а или –а. Обозначение: │ а │ Запись читается следующим образом: «модуль числа а» или «абсолютная величина числа а»│ а, если а > 0
│а│ = │ 0, если а = 0 (1)
│ - а, если аПримеры: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
- Раскрыть модуль выражения:
Раздел 2. Основные свойства.
Рассмотрим основные свойства абсолютной величины. Свойство №1: Противоположные числа имеют равные модули, т.е. │а│=│- а│ Покажем верность равенства. Запишем определение числа – а : │- а│ = (2) Сравним совокупности (1) и (2). Очевидно, что определения абсолютных величин чисел а и – а совпадают. Следовательно, │а│=│- а│При рассмотрении следующих свойств ограничимся их формулировкой, так как их доказательство приводится в Свойство №2: Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Свойство №3: Абсолютная величина разности двух действительных чисел не превосходит суммы их абсолютных величин: │а - в│ ≤│а│+│в│ Свойство №4: Абсолютная величина произведения конечного числа действительных чисел равна произведению абсолютных величин множителей: │а · в│=│а│·│в│ Свойство №5: Абсолютная величина частного действительных чисел равна частному их абсолютных величин:
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_3565d7a4.gif)
Раздел 3. Геометрическая интерпретация понятия модуля числа.
Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку на числовой прямой, которая будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке на числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчёта, т.е. длина отрезка от начала отсчёта до данной точки. Это расстояние рассматривается всегда как величина неотрицательная. Поэтому длина соответствующего отрезка и будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m4e057bcd.gif)
Представленная геометрическая иллюстрация наглядно подтверждает свойство №1, т.е. модули противоположных чисел равны. Отсюда легко понимается справедливость равенства: │х – а│= │а - х│. Также более очевидным становиться решение уравнения │х│= m, где m ≥ 0, а именно х 1,2 = ± m. Примеры: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_75dcdedc.gif)
Раздел 4. График функции у = │х│
Область определения данной функции все действительные числа.Раздел 5. Условные обозначения.
В дальнейшем при рассмотрении примеров решения уравнений будут использованы следующие условные обозначения: { - знак системы [ - знак совокупности При решение системы уравнений (неравенств) находится пересечение решений входящих в систему уравнений (неравенств). При решении совокупности уравнений (неравенств) находится объединение решений входящих в совокупность уравнений (неравенств).Глава 2. Решение уравнений, содержащих модуль.
В этой главе мы рассмотрим алгебраические способы решения уравнений, содержащих один или более модуль.Раздел 1. Уравнения вида │F (х)│= m
Уравнение данного вида называется простейшим. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда m ≥ 0. По определению модуля, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (х)│= m![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m53d4ecad.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m225a5af.gif)
№1. Решите уравнение: │7х - 2│= 9
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_832e792.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_66abc2cb.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_a024fec.gif)
│х 2 + 3х + 1│= 1
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_5b06ea4a.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_421a83ed.gif)
│х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 обозначим х 2 = m, m ≥ 0 х = 0; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – оба значения удовлетворяют условию m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Ответ: количество корней уравнения 7. Упражнения:
№1. Решите уравнение и укажите сумму корней: │х - 5│= 3№2 . Решите уравнение и укажите меньший корень: │х 2 + х│= 0№3 . Решите уравнение и укажите больший корень: │х 2 – 5х + 4│= 4№4 .Решите уравнение и укажите целый корень: │2х 2 – 7х + 6│= 1№5 .Решите уравнение и укажите количество корней: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14
Раздел 2. Уравнения вида F(│х│) = m
Аргумент функции в левой части находится под знаком модуля, а правая часть не зависит от переменной. Рассмотрим два способа решения уравнений данного вида.1 способ: По определению абсолютной величины исходное уравнение равносильно совокупности двух систем. В каждой из которых накладывается условие на подмодульное выражение. F (│х│) = m![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m9b13dd.gif)
Примеры: №1 . Решите уравнение: 3х 2 – 4│х│= - 1 Воспользуемся введением новой переменной. Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение 3а 2 - 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=1 и │х│= 1 / 3 . Каждое уравнение имеет два корня. Ответ: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Решите уравнение: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m316fedf6.gif)
Упражнения: №6. Решите уравнение: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Решите уравнение, в ответе укажите целые решения: х 4 + │х│ - 2 = 0
Раздел 3. Уравнения вида │F(х)│ = G(х)
Правая часть уравнения данного вида зависит от переменной и, следовательно, имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть функция G(х) ≥ 0. Исходное уравнение можно решить двумя способами:1 способ: Стандартный, основан на раскрытии модуля исходя из его определения и заключается в равносильном переходе к совокупности двух систем. │F (х)│ = G (х)![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_39bcdcee.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m55e8d165.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m1f94d291.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_6d0c2287.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m724b05bf.gif)
│х 2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m7baae57d.gif)
№3. Решите уравнение,в ответе укажите сумму корней:
│х - 6│= х 2 - 5х + 9
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_de53ddb.gif)
Ответ: сумма корней равна 4.
Упражнения: №9. │х + 4│= - 3х№10. Решите уравнение, в ответе укажите число решений:│х 2 + х - 1│= 2х – 1№11 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:│х + 3│= х 2 + х – 6
Раздел 4. Уравнения вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= - F(x)
Уравнения данного вида иногда называют «красивейшими». Так как правая часть уравнений зависит от переменной, решения существуют тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна. Поэтому исходные уравнения равносильны неравенствам:│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= - F(x) F(x) Примеры: №1 . Решите уравнение, в ответе укажите меньший целый корень: │5х - 3│= 5х – 3 5х – 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Ответ: х = 1 №2. Решите уравнение, в ответе укажите длину промежутка: │х 2 - 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Ответ: длина промежутка равна 6. №3 . Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Ответ: 4 целых решения. №4 . Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:
│4 – х -
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m9a9ac2b.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m26f7cb61.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m2ac16d02.gif)
Ответ: х = 3.
Упражнения:
№12.
Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8№13.
Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │13х – х 2 - 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0№14.
Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:
Раздел 5. Уравнения вида │F(x)│= │G(x)│
Так как обе части уравнения неотрицательные, то решение предполагает рассмотрение двух случаев: подмодульные выражения равны или противоположны по знаку. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (x )│= │ G (x )│![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_781fde31.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_7310d194.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_51c0b0f5.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_12ced5c1.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m5eb66e1.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_7e110179.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_2d02c139.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m7d341c4c.gif)
Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений
В данном разделе мы рассмотрим примеры нестандартных уравнений, при решении которых абсолютная величина выражения раскрывается по определению. Примеры:№1.
Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: х · │х│- 5х – 6 = 0 Ответ: сумма корней равна 1
№2.
.
Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
Ответ: меньший корень х = - 5.
№3.
Решите уравнение:
Ответ: х = -1.
Упражнения:
№18.
Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19.
Решите уравнение: х 2 – 3х =
№20.
Решите уравнение:
Раздел 7. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0
Нетрудно заметить, что в левой части уравнения данного вида сумма неотрицательных величин. Следовательно, исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Уравнение равносильно системе уравнений: │F (x )│+│ G (x )│=0![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_a9d27be.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_6ab31829.gif)
Раздел 8. Уравнения вида │а 1 х + в 1 │±│а 2 х + в 2 │± … │а n х +в n │= m
Для решения уравнений данного вида применяется метод интервалов. Если его решать последовательным раскрытием модулей, то получим n совокупностей систем, что очень громоздко и неудобно. Рассмотрим алгоритм метода интервалов: 1). Найти значения переменной х , при которых каждый модуль равен нулю (нули подмодульных выражений):![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_5b5dbdfc.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m5c3e431c.gif)
х – 2 х – 2 х – 2 - - + - 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 - + + 3)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_591a59ad.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_2ddad4a0.gif)
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m66072a2d.gif)
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 - - + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 - + + +
3).
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m700c26d0.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_mab5323c.gif)
Упражнения: №24. Решите уравнение:
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/13/12663/hello_html_m314ea31d.gif)
Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей
Уравнения, содержащие несколько модулей, предполагают наличие абсолютных величин в подмодульных выражениях. Основной принцип решения уравнений данного вида – это последовательное раскрытие модулей, начиная с «внешнего». В ходе решения используются приёмы, рассмотренные в разделах №1, №3.Примеры:
№1.
Решите уравнение: Ответ: х = 1; - 11.
№2.
Решите уравнение:
Ответ: х = 0; 4; - 4.
№3.
Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней: Ответ: произведение корней равно – 8.
№4.
Решите уравнение:
Обозначим уравнения совокупности (1)
и (2)
и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.(1)
(2)
Ответ:
Упражнения:
№36.
Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 5 │3х-5│ = 25 х №37.
Решите уравнение, если корней более одного, в ответе укажите сумму корней: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38.
Решите уравнение: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39.
Решите уравнение, в ответе укажите количество корней на : 2 │ sin х│ = √2 №40
. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:
Раздел 3. Логарифмические уравнения.
Перед решением следующих уравнений необходимо повторить свойства логарифмов и логарифмической функции. Примеры: №1. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ - 11 случай: если х ≥ - 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворяет условию х ≥ - 1 2 случай: если х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – удовлетворяет условию х - 1
Ответ: произведение корней равно – 15.
№2.
Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: lg О.Д.З.
Ответ: сумма корней равна 0,5.
№3.
Решите уравнение: log 5 О.Д.З.
Ответ: х = 9.
№4.
Решите уравнение: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Воспользуемся формулой перехода к другому основанию. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Найдём нули подмодульных выражений: х = 25; х = Эти числа делят область допустимых значений на три интервала, поэтому уравнение равносильно совокупности трёх систем. Ответ: }