Как определить свойства функции без графика. Понятие функции. Основные свойства функции

Нули функции
Нулём функции называется то значение х , при котором функция обращается в 0, то есть f(x)=0.

Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность функции
Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)

Четная функция симметрична относительно оси Оу

Нечетность функции
Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.

Возрастание функции
Функция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

Убывание функции
Функция f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются промежутками монотонности . Функция f(x) имеет 3 промежутка монотонности:

Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции

Локальный максимум
Точка х 0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) > f(x)

Локальный минимум
Точка х 0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) < f(x).

Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.

точки локального экстремума.

Периодичность функции
Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство f(x+T) = f(x) .

Промежутки знакопостоянства
Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна, называются промежутками знакопостоянства.

Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел функции при x → x 0 равен значению функции в этой точке, т.е. .

Точки разрыва
Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.

x 0 - точка разрыва.

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x 3 – 3x

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение x 3 – 3x = 0

с осью ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x 2 - 3.

Критические точки: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: y’’ = 6x

Критические точки: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции.

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей .

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей .

Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1 < x2., например х1=1, х2=7

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция - это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y и независимой переменной x . Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция , которая также называется многочленом или полиномом , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.

Дробно-рациональная функция , или просто рациональная функция , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.

Иррациональная функция - это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.

Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t .
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция :
y(x) = x p ,
где p - показатель степени. Она зависит от основания степени x .
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p она является многочленом. При целом значении p - рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция :
y(x) = a x ,
где a - основание степени. Она зависит от показателя степени x .
Обратная функция - логарифм по основанию a :
x = log a y .

Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x ,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e :
≈ 2,718281828459045... .
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e :
x = ln y ≡ log e y .

Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin y , ;
Арккосинус: x = arccos y , ;
Арктангенс: x = arctg y , ;
Арккотангенс: x = arcctg y , .

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения.

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: -∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1 , y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ... . Если положить n = -k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1 ,
при n < -2 ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2 ,
при n < -2 ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя - нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < +∞
Множество значений: -∞ < y < +∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0 : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < +∞
Множество значений: 0 ≤ y < +∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: -∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения: -∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя - четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Область определения: x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 < p < 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.