Функция и ее значения. Свойства функций
Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Определение
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Свойства показательной функции
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
Частные значения
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Возрастание, убывание
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратная функция
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Дифференцирование показательной функции
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Пример дифференцирования показательной функции
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
Разложение в ряд
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.
Разбираем свойства функции на примере
Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].
Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].
1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.
Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.
//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.
2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.
Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.
В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).
3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.
С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.
Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.
Функцию f называют убывающей на некотором промежутке , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.
Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей .
Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей .
Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно.
Пример 2.
Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?
Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1 < x2., например х1=1, х2=7
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Пределы и непрерывность
Множества
Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A , то используется запись a ÎA . Если b не является элементом множества A , то это записывается так: b ÏA . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.
Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B ÌA .
Два множества называют равными , если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C =A ÈB .
Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C =A ÇB .
Разностью множеств A и B называется множество E A , которые не принадлежат множеству B : .
Дополнением множества A ÌB называется множество C , состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих A .
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми :
При этом N ÌZ ÌQ ÌR , I ÌR и R =I ÈQ .
Множество X , элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a ; b ]; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .
Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .
Понятие функции. Основные свойства функции
Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.
Существует несколько способов задания функций.
1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).
2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).
3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).
4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.
Выделяют следующие основные свойства функций.
1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).
Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).
Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.
3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .
4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.
Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .
Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .
Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).
Элементарные функции
К основным элементарным функциям относят:
- степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
- показательную функцию y =a x ;
- логарифмическую функцию y =log a x ;
- тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
- обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .
Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
· целая рациональная функция (многочлен или полином)
· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)
· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.