15 danno la definizione di derivata di una funzione in un punto. Cos'è una derivata Definizione e significato di una funzione derivativa

Data: 20/11/2014

Cos'è un derivato?

Tabella dei derivati.

La derivata è uno dei concetti principali della matematica superiore. In questa lezione introdurremo questo concetto. Conosciamoci meglio, senza rigide formulazioni e dimostrazioni matematiche.

Questa conoscenza ti permetterà di:

Comprendere l'essenza di compiti semplici con derivati;

Risolvi con successo questi compiti più semplici;

Preparati per lezioni più serie sui derivati.

Innanzitutto: una piacevole sorpresa.)

La definizione rigorosa di derivata si basa sulla teoria dei limiti e la cosa è piuttosto complicata. Questo è sconvolgente. Ma l'applicazione pratica dei derivati, di regola, non richiede una conoscenza così ampia e profonda!

Per portare a termine con successo la maggior parte dei compiti a scuola e all’università, è sufficiente sapere solo pochi termini- comprendere il compito e solo poche regole-per risolverlo. È tutto. Questo mi rende felice.

Iniziamo a conoscerci?)

Termini e designazioni.

Ci sono molte operazioni matematiche diverse nella matematica elementare. Addizione, sottrazione, moltiplicazione, esponenziazione, logaritmo, ecc. Se aggiungi un'altra operazione a queste operazioni, la matematica elementare diventa più elevata. Questa nuova operazione si chiama differenziazione. La definizione e il significato di questa operazione verranno discussi in lezioni separate.

È importante capire qui che la differenziazione è semplicemente un'operazione matematica su una funzione. Prendiamo qualsiasi funzione e, secondo determinate regole, la trasformiamo. Il risultato sarà una nuova funzione. Questa nuova funzione si chiama: derivato.

Differenziazione- azione su una funzione.

Derivato- il risultato di questa azione.

Proprio come, ad esempio, somma- il risultato dell'addizione. O privato- il risultato della divisione.

Conoscendo i termini, puoi almeno comprendere i compiti.) Le formulazioni sono le seguenti: trovare la derivata di una funzione; prendi la derivata; differenziare la funzione; calcolare la derivata e così via. Questo è tutto Stesso. Naturalmente, ci sono anche compiti più complessi, in cui trovare la derivata (differenziazione) sarà solo uno dei passaggi per risolvere il problema.

La derivata è indicata da un trattino in alto a destra della funzione. Come questo: sì" O f"(x) O S"(t) e così via.

Lettura tratto igrek, tratto ef da x, tratto es da te, beh, hai capito...)

Un numero primo può anche indicare la derivata di una particolare funzione, ad esempio: (2x+3)", (X 3 )" , (Sinx)" eccetera. Spesso le derivate vengono denotate utilizzando i differenziali, ma in questa lezione non considereremo tale notazione.

Supponiamo di aver imparato a comprendere i compiti. Non resta che imparare a risolverli.) Lascia che te lo ricordi ancora una volta: trovare la derivata è trasformazione di una funzione secondo determinate regole. Sorprendentemente, ci sono pochissime di queste regole.

Per trovare la derivata di una funzione, devi sapere solo tre cose. Tre pilastri su cui poggia ogni differenziazione. Eccoli questi tre pilastri:

1. Tabella dei derivati ​​(formule di differenziazione).

3. Derivato di una funzione complessa.

Cominciamo in ordine. In questa lezione vedremo la tabella dei derivati.

Tabella dei derivati.

Ci sono un numero infinito di funzioni nel mondo. In questo set ci sono le funzioni più importanti per l'uso pratico. Queste funzioni si trovano in tutte le leggi della natura. Da queste funzioni, come dai mattoncini, si possono costruire tutte le altre. Questa classe di funzioni viene chiamata funzioni elementari. Sono queste le funzioni che vengono studiate a scuola: lineare, quadratica, iperbole, ecc.

Differenziazione delle funzioni "da zero", cioè Basandosi sulla definizione di derivata e sulla teoria dei limiti, questa è una cosa piuttosto laboriosa. E anche i matematici sono persone, sì, sì!) Quindi hanno semplificato la loro (e noi) vita. Prima di noi hanno calcolato le derivate delle funzioni elementari. Il risultato è una tabella dei derivati, dove tutto è pronto.)

Eccola, questa placca per le funzioni più richieste. A sinistra c'è una funzione elementare, a destra c'è la sua derivata.

	Funzione sì	Derivato della funzione y sì"
1	C (valore costante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - qualsiasi numero)	(x n)" = nx n-1
	x2(n = 2)	(x2)" = 2x
4	peccato x	(peccato x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - peccato x
	tg x
	ctg x
5	arcoseno x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	UN X
	e X
5	tronco d'albero UN X
	ln x ( un = e)

Consiglio di prestare attenzione al terzo gruppo di funzioni in questa tabella delle derivate. La derivata di una funzione di potenza è una delle formule più comuni, se non la più comune! Hai capito il suggerimento?) Sì, è consigliabile conoscere a memoria la tabella dei derivati. A proposito, questo non è così difficile come potrebbe sembrare. Prova a risolvere più esempi, la tabella stessa verrà ricordata!)

Trovare il valore tabellare del derivato, come capisci, non è il compito più difficile. Pertanto, molto spesso in tali compiti sono presenti chip aggiuntivi. O nella formulazione del compito, o nella funzione originale, che non sembra essere nella tabella...

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

1. Trova la derivata della funzione y = x 3

Non esiste una funzione del genere nella tabella. Ma esiste un derivato della funzione di potenza in forma generale (terzo gruppo). Nel nostro caso n=3. Quindi sostituiamo tre invece di n e annotiamo attentamente il risultato:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Questo è tutto.

Risposta: y" = 3x 2

2. Trova il valore della derivata della funzione y = sinx nel punto x = 0.

Questa attività significa che devi prima trovare la derivata del seno e poi sostituire il valore x = 0 in questo stesso derivato. Esattamente in quest'ordine! Altrimenti succede che sostituiscono immediatamente lo zero nella funzione originale... Ci viene chiesto di trovare non il valore della funzione originale, ma il valore il suo derivato. La derivata, lascia che te lo ricordi, è una nuova funzione.

Utilizzando la tavoletta troviamo il seno e la derivata corrispondente:

y" = (sin x)" = cosx

Sostituiamo lo zero nella derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Questa sarà la risposta.

3. Differenziare la funzione:

Cosa, ispira?) Non esiste una funzione del genere nella tabella dei derivati.

Lascia che ti ricordi che differenziare una funzione significa semplicemente trovare la derivata di questa funzione. Se dimentichi la trigonometria elementare, cercare la derivata della nostra funzione è piuttosto problematico. La tabella non aiuta...

Ma se vediamo che la nostra funzione è coseno del doppio angolo, allora tutto migliora subito!

Si si! Ricorda che trasformando la funzione originale prima della differenziazione abbastanza accettabile! E capita di rendere la vita molto più semplice. Usando la formula del doppio angolo coseno:

Quelli. la nostra complicata funzione non è altro che y = cosx. E questa è una funzione della tabella. Otteniamo immediatamente:

Risposta: y" = - peccato x.

Esempio per laureati e studenti avanzati:

4. Trova la derivata della funzione:

Naturalmente non esiste una funzione del genere nella tabella dei derivati. Ma se ricordi la matematica elementare, le operazioni con le potenze... Allora è del tutto possibile semplificare questa funzione. Come questo:

E x elevato a un decimo è già una funzione tabulare! Terzo gruppo, n=1/10. Scriviamo direttamente secondo la formula:

È tutto. Questa sarà la risposta.

Spero che tutto sia chiaro riguardo al primo pilastro della differenziazione: la tabella dei derivati. Resta da occuparsi delle due balene rimanenti. Nella prossima lezione impareremo le regole della differenziazione.

Primo livello

Derivata di una funzione. La guida definitiva (2019)

Immaginiamo una strada diritta che attraversa una zona collinare. Cioè va su e giù, ma non gira né a destra né a sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea stradale sarà molto simile al grafico di una funzione continua:

L'asse è un certo livello di altitudine zero; nella vita usiamo come tale il livello del mare.

Man mano che avanziamo lungo tale strada, ci muoviamo anche verso l’alto o verso il basso. Possiamo anche dire: quando cambia l'argomento (spostamento lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostamento lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la “ripidezza” della nostra strada? Che tipo di valore potrebbe essere? È molto semplice: quanto cambierà l'altezza quando si avanza di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, avanzando (lungo l'asse x) di un chilometro, ci alzeremo o abbasseremo di un numero diverso di metri rispetto al livello del mare (lungo l'asse y).

Indichiamo il progresso (leggi “delta x”).

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento nella quantità, - un cambiamento; allora di cosa si tratta? Esatto, un cambiamento di grandezza.

Importante: un'espressione è un tutto unico, una variabile. Non separare mai il “delta” dalla “x” o da qualsiasi altra lettera! Cioè, ad esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, di. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico della funzione, come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, mentre andiamo avanti, saliamo più in alto.

Il valore è facile da calcolare: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati ci ritrovavamo in quota, allora. Se il punto finale è inferiore al punto iniziale, sarà negativo: ciò significa che non stiamo ascendendo, ma discendendo.

Torniamo alla "pendenza": questo è un valore che mostra quanto (in modo ripido) aumenta l'altezza quando si avanza di un'unità di distanza:

Supponiamo che su qualche tratto della strada, avanzando di un chilometro, la strada si alzi di un chilometro. Quindi la pendenza in questo punto è uguale. E se la strada, pur avanzando di m, scendesse di km? Allora la pendenza è uguale.

Ora guardiamo la cima di una collina. Se si prende l'inizio del tratto mezzo chilometro prima della vetta, e la fine mezzo chilometro dopo, si vede che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Anche a distanza di pochi chilometri possono cambiare molte cose. È necessario considerare aree più piccole per una valutazione più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se misuri la variazione di altezza mentre ti sposti di un metro, il risultato sarà molto più preciso. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi: se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente oltrepassarlo. Quale distanza dovremmo scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

Nella vita reale, misurare le distanze con una precisione millimetrica è più che sufficiente. Ma i matematici aspirano sempre alla perfezione. Pertanto, il concetto è stato inventato infinitesimale, cioè il valore assoluto è inferiore a qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. E così via. Se vogliamo scrivere che una quantità è infinitesima, scriviamo così: (leggiamo “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che puoi dividere per esso.

Il concetto opposto all'infinitesimale è infinitamente grande (). Probabilmente te ne sei già accorto mentre lavoravi sulle disuguaglianze: questo numero è modulo maggiore di qualsiasi numero a cui puoi pensare. Se ottieni il numero più grande possibile, moltiplicalo per due e otterrai un numero ancora più grande. E l'infinito è ancora più grande di ciò che accade. Infatti l'infinitamente grande e l'infinitamente piccolo sono l'uno l'inverso dell'altro, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitesimo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitesimale anche la variazione di altezza sarà infinitesima. Ma lascia che ti ricordi che infinitesimo non significa uguale a zero. Se dividi tra loro i numeri infinitesimi, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio . Cioè, un valore piccolo può essere esattamente volte più grande di un altro.

A cosa serve tutto questo? La strada, la pendenza... Non andremo a un raduno automobilistico, ma insegneremo matematica. E in matematica tutto è esattamente uguale, solo chiamato diversamente.

Concetto di derivata

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento.

In modo incrementale in matematica lo chiamano cambiamento. Viene chiamata la misura in cui l'argomento () cambia mentre si muove lungo l'asse incremento dell'argomento ed è designato Viene chiamato quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza incremento della funzione ed è designato.

Quindi, la derivata di una funzione è il rapporto con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un primo in alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula della derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui quando la funzione aumenta la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa.

La derivata può essere uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale pianeggiante, la pendenza è zero. Ed è vero, l’altezza non cambia affatto. Così è con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è uguale a zero per qualsiasi.

Ricordiamo l'esempio della collina. Si è scoperto che è possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità risulti essere la stessa, cioè il segmento sia parallelo all'asse:

Ma i segmenti grandi sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando saremo infinitamente vicini alla cima, la lunghezza del segmento diventerà infinitesimale. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè la differenza di altezze alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso in questo modo: quando ci troviamo in cima, un piccolo spostamento a sinistra o a destra cambia in modo trascurabile la nostra altezza.

Esiste anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra del vertice la funzione aumenta e a destra diminuisce. Come abbiamo scoperto in precedenza, quando una funzione aumenta, la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (poiché la strada non cambia bruscamente pendenza da nessuna parte). Pertanto, devono esserci valori compresi tra negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce, nel punto di vertice.

Lo stesso vale per il trogolo (l'area in cui la funzione a sinistra diminuisce e a destra aumenta):

Qualcosa in più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in grandezza. Cambiamo da quale valore? Che cosa è diventato (l’argomento) adesso? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora danzeremo partendo da quello.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione in esso è uguale. Quindi eseguiamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è la discussione adesso? Molto facile: . Qual è il valore della funzione adesso? Dove va l'argomento, va anche la funzione: . E l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare gli incrementi:

1. Trova l'incremento della funzione nel punto in cui l'incremento dell'argomento è uguale a.
2. Lo stesso vale per la funzione in un punto.

Soluzioni:

In punti diversi con lo stesso argomento incremento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto è diversa (ne abbiamo discusso all'inizio: la pendenza della strada è diversa in punti diversi). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare in quale punto:

Funzione di potenza.

Una funzione di potenza è una funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

Inoltre - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricordiamo la definizione di derivata:

Quindi il discorso cambia da a. Qual è l'incremento della funzione?

L'incremento è questo. Ma una funzione in ogni punto è uguale al suo argomento. Ecco perché:

La derivata è uguale a:

La derivata di è uguale a:

b) Consideriamo ora la funzione quadratica (): .

Ora ricordiamocelo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitesimo, e quindi insignificante rispetto all'altro termine:

Quindi abbiamo inventato un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: aprire la prima parentesi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure fattorizzare l'intera espressione utilizzando la formula della differenza di cubi. Prova a farlo da solo utilizzando uno dei metodi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ancora ricordiamolo. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini contenenti:

Noi abbiamo: .

d) Regole simili si possono ottenere per grandi potenze:

e) Risulta che questa regola è generalizzabile per una funzione di potenza con esponente arbitrario, nemmeno intero:

(2)

La regola può essere formulata con le parole: “il grado viene portato avanti come coefficiente, e poi ridotto di ”.

Dimostreremo questa regola più tardi (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

1. (in due modi: tramite formula e utilizzando la definizione di derivata - calcolando l'incremento della funzione);

1. . Che tu ci creda o no, questa è una funzione di potere. Se hai domande come “Com’è questo? Dov'è la laurea?”, ricordate l'argomento “”!
   Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario: .
   Ciò significa che la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
   .
   Cerchiamo la derivata utilizzando la formula recentemente appresa:

   Se a questo punto tornasse poco chiaro, ripetere l'argomento “”!!! (circa un grado con esponente negativo)

2. . Ora l'esponente:

   E ora passiamo alla definizione (l'avete già dimenticato?):
   ;
   .
   Ora, come al solito, trascuriamo il termine contenente:
   .

3. . Combinazione di casi precedenti: .

Funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Con espressione.

La prova la imparerai nel primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'Esame di Stato Unificato). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico viene tagliato. Ma più si avvicina al valore, più la funzione si avvicina a questo: questo è ciò che “mira”.

Inoltre, puoi verificare questa regola utilizzando una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame di Stato Unificato.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice sulla modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo è, più vicino è il valore del rapporto.

a) Consideriamo la funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, utilizziamo la formula (ricorda l'argomento “”): .

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora per infinitesimo è anche infinitesimo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E anche, cosa succede se una quantità infinitesima può essere trascurata nella somma (cioè a).

Quindi, otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati ​​​​di base (“tabulari”). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo alcuni altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

1. Trova la derivata della funzione in un punto;
2. Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

1. Per prima cosa troviamo la derivata in forma generale e poi sostituiamo il suo valore:
   ;
   .
2. Qui abbiamo qualcosa di simile a una funzione di potenza. Proviamo a portarla qui
   visualizzazione normale:
   .
   Ottimo, ora puoi usare la formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Cos'è questo????

Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune regole in più:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una funzione in matematica la cui derivata per qualsiasi valore è uguale al valore della funzione stessa allo stesso tempo. Si chiama “esponente” ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione - una costante - è una frazione decimale infinita, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama “numero di Eulero”, motivo per cui è indicato con una lettera.

Quindi, la regola:

Molto facile da ricordare.

Ebbene, non andiamo lontano, consideriamo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è il numero:

Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: Il logaritmo esponenziale e naturale sono funzioni unicamente semplici dal punto di vista derivato. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

È tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano il differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

1. ad un certo punto;
2. ad un certo punto;
3. ad un certo punto;
4. al punto.

Soluzioni:

1. (la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché è una funzione lineare, ricordate?);

Derivato del prodotto

Qui è tutto simile: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova le derivate delle funzioni e;
2. Trova la derivata della funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di una funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è qualche numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a ridurre la nostra funzione ad una nuova base:

Per fare ciò utilizzeremo una semplice regola: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Ecco, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:

Solo adesso scriveremo invece:

Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:

I derivati ​​​​delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.

Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.

Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo eleva al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (stessa cosa). .

Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione

1. Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
   E la funzione originaria è la loro composizione: .
2. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
3. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
4. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
5. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .

Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra semplice, vero?

Verifichiamo con degli esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già una funzione complessa di per sé, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in una involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.

Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.

In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:

Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo la linea d'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata della somma:

Derivata del prodotto:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

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“Capire” e “posso risolvere” sono abilità completamente diverse. Hai bisogno di entrambi.

Trova i problemi e risolvili!

Crea un rapporto e calcola il limite.

Da dove proviene? tabella delle derivate e regole di differenziazione? Grazie all'unico limite. Sembra magia, ma in realtà è un gioco di prestigio e nessuna frode. Alla lezione Cos'è un derivato? Ho iniziato a guardare esempi specifici in cui, utilizzando la definizione, ho trovato le derivate di una funzione lineare e quadratica. Ai fini del riscaldamento cognitivo, continueremo a disturbare tabella dei derivati, affinando l'algoritmo e le soluzioni tecniche:

Esempio 1

In sostanza bisogna dimostrare un caso particolare di derivata di una funzione di potenza, che di solito compare nella tabella: .

Soluzione tecnicamente formalizzato in due modi. Cominciamo con il primo approccio, già familiare: la scala inizia con un'asse e la funzione derivativa inizia con la derivata in un punto.

Consideriamo Alcuni punto (specifico) appartenente a dominio di definizione funzione in cui esiste una derivata. Impostiamo a questo punto l'incremento (ovviamente nell'ambitoo/o -IO) e comporre il corrispondente incremento della funzione:

Calcoliamo il limite:

L'incertezza 0:0 viene eliminata da una tecnica standard, considerata già nel I secolo a.C. Moltiplicare il numeratore e il denominatore per l'espressione coniugata :

La tecnica per risolvere tale limite è discussa in dettaglio nella lezione introduttiva. sui limiti delle funzioni.

Poiché puoi scegliere QUALSIASI punto dell'intervallo come qualità, quindi, dopo aver effettuato la sostituzione, otteniamo:

Risposta

Ancora una volta rallegriamoci dei logaritmi:

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione utilizzando la definizione di derivata

Soluzione: Consideriamo un approccio diverso per promuovere lo stesso compito. È esattamente lo stesso, ma più razionale in termini di design. L'idea è eliminare il pedice all'inizio della soluzione e utilizzare la lettera invece della lettera.

Consideriamo arbitrario punto appartenente a dominio di definizione funzione (intervallo) e impostarne l'incremento. Ma qui, a proposito, come nella maggior parte dei casi, puoi fare senza riserve, poiché la funzione logaritmica è differenziabile in qualsiasi punto del dominio di definizione.

Quindi il corrispondente incremento della funzione è:

Troviamo la derivata:

La semplicità del design è bilanciata dalla confusione che può nascere per i principianti (e non solo). Dopotutto, siamo abituati al fatto che la lettera "X" cambia nel limite! Ma qui tutto è diverso: - una statua antica e - un visitatore vivente, che cammina a passo spedito lungo il corridoio del museo. Cioè, “x” è “come una costante”.

Commenterò l'eliminazione dell'incertezza passo dopo passo:

(1) Utilizziamo la proprietà del logaritmo.

(2) Tra parentesi, dividi il numeratore per il denominatore termine per termine.

(3) Al denominatore, moltiplichiamo e dividiamo artificialmente per “x” per trarne vantaggio limite notevole , mentre come infinitesimale spicca.

Risposta: per definizione di derivata:

O in breve:

Propongo di costruire tu stesso altre due formule di tabella:

Esempio 3

In questo caso è conveniente ridurre immediatamente l'incremento compilato a un denominatore comune. Un esempio approssimativo del compito assegnato alla fine della lezione (primo metodo).

Esempio 3:Soluzione : considera un punto , appartenente al dominio di definizione della funzione . Impostiamo a questo punto l'incremento e comporre il corrispondente incremento della funzione:

Troviamo la derivata nel punto :

Poiché come a è possibile selezionare qualsiasi punto dominio della funzione , Quello E
Risposta : per definizione di derivato

Esempio 4

Trova la derivata per definizione

E qui tutto deve essere ridotto a limite meraviglioso. La soluzione si formalizza nel secondo modo.

Molti altri derivate tabulari. L'elenco completo si trova nel libro di testo scolastico o, ad esempio, nel 1° volume di Fichtenholtz. Non vedo molto senso copiare le prove delle regole di differenziazione dai libri: anch'esse sono generate dalla formula.

Esempio 4:Soluzione , appartenente a e impostare l'incremento in esso

Troviamo la derivata:

Usando un limite meraviglioso

Risposta : a-prior

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione utilizzando la definizione di derivata

Soluzione: utilizziamo il primo stile di design. Consideriamo un punto appartenente a e specifichiamo l'incremento dell'argomento in corrispondenza di esso. Quindi il corrispondente incremento della funzione è:

Forse alcuni lettori non hanno ancora compreso appieno il principio in base al quale è necessario effettuare gli incrementi. Prendi un punto (numero) e trova il valore della funzione in esso: , cioè nella funzione invece di"X" dovrebbe essere sostituito. Ora prendiamo anche un numero molto specifico e lo sostituiamo nella funzione invece di"iksa": . Scriviamo la differenza ed è necessario mettere tra parentesi completamente.

Incremento della funzione compilata Può essere utile semplificare subito. Per quello? Facilitare e abbreviare la soluzione a un ulteriore limite.

Usiamo formule, apriamo le parentesi e riduciamo tutto ciò che può essere ridotto:

Il tacchino è eviscerato, nessun problema con l'arrosto:

Poiché possiamo scegliere qualsiasi numero reale come valore, effettuiamo la sostituzione e otteniamo .

Risposta: a-prior.

A scopo di verifica, troviamo la derivata utilizzando regole e tabelle di differenziazione:

È sempre utile e piacevole conoscere in anticipo la risposta corretta, quindi è meglio differenziare la funzione proposta in modo “veloce”, sia mentalmente che in bozza, all'inizio della soluzione.

Esempio 6

Trovare la derivata di una funzione mediante la definizione di derivata

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Il risultato è ovvio:

Esempio 6:Soluzione : considera un punto , appartenente a e imposta l'incremento dell'argomento al suo interno . Quindi il corrispondente incremento della funzione è:


Calcoliamo la derivata:


Così:
Perché come puoi scegliere qualsiasi numero reale, quindi E
Risposta : a-prior.

Torniamo allo stile n. 2:

Esempio 7

Scopriamo subito cosa dovrebbe succedere. Di regola di differenziazione delle funzioni complesse:

Soluzione: considera un punto arbitrario appartenente a , imposta su di esso l'incremento dell'argomento e componi l'incremento della funzione:

Troviamo la derivata:


(1) Utilizzo formula trigonometrica .

(2) Sotto il seno apriamo le parentesi, sotto il coseno presentiamo termini simili.

(3) Sotto il seno riduciamo i termini, sotto il coseno dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(4) A causa della stranezza del seno, eliminiamo il "meno". Sotto il coseno indichiamo che il termine .

(5) Effettuiamo la moltiplicazione artificiale al denominatore per poter utilizzare primo meraviglioso limite. Eliminata così l’incertezza, riordiniamo il risultato.

Risposta: a-prior

Come puoi vedere, la principale difficoltà del problema in esame risiede nella complessità del limite stesso + una leggera unicità della confezione. In pratica, si verificano entrambi i metodi di progettazione, quindi descriverò entrambi gli approcci nel modo più dettagliato possibile. Sono equivalenti, ma secondo la mia impressione soggettiva, per i manichini è più consigliabile attenersi all'opzione 1 con "X-zero".

Esempio 8

Utilizzando la definizione, trova la derivata della funzione

Esempio 8:Soluzione : considera un punto arbitrario , appartenente a , impostiamo l'incremento in esso e comporre l'incremento della funzione:

Troviamo la derivata:

Usiamo la formula trigonometrica e il primo limite notevole:


Risposta : a-prior

Diamo un'occhiata a una versione più rara del problema:

Esempio 9

Trova la derivata della funzione nel punto utilizzando la definizione di derivata.

Innanzitutto, quale dovrebbe essere il risultato finale? Numero

Calcoliamo la risposta nel modo standard:

Soluzione: dal punto di vista della chiarezza questo compito è molto più semplice, poiché la formula considera invece un valore specifico.

Impostiamo l'incremento nel punto e componiamo il corrispondente incremento della funzione:

Calcoliamo la derivata in un punto:

Usiamo una formula della differenza tangente molto rara e ancora una volta riduciamo la soluzione a il primo meraviglioso limite:

Risposta: per definizione di derivata in un punto.

Il problema non è così difficile da risolvere "in generale": è sufficiente sostituirlo o semplicemente in base al metodo di progettazione. In questo caso è chiaro che il risultato non sarà un numero, ma una funzione derivata.

Esempio 10

Utilizzando la definizione, trova la derivata della funzione in un punto (uno dei quali può rivelarsi infinito), di cui ho già parlato in termini generali lezione teorica sulla derivata.

Alcune funzioni date a tratti sono anche differenziabili nei punti di “giunzione” del grafico, ad esempio catdog ha una derivata comune e una tangente comune (asse x) nel punto. Curva, ma differenziabile per ! Chi fosse interessato può verificarlo da solo utilizzando l'esempio appena risolto.

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Data di creazione della pagina: 2017-06-11

L'operazione per trovare la derivata si chiama differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate e regole di differenziazione definite con precisione . I primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati ​​furono Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella di Derivati ​​e regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno primo scomporre le funzioni semplici in componenti e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Successivamente, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.

Esempio 1. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di "x" è uguale a uno e la derivata del seno è uguale a coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Differenziamo come derivata di una somma in cui il secondo termine ha un fattore costante; può essere tolto dal segno della derivata:

Se sorgono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di solito vengono chiarite dopo aver familiarizzato con la tabella dei derivati ​​e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo passando a loro proprio ora.

Tavola delle derivate di funzioni semplici

1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre uguale a zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "X". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare a lungo
3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in potenze.
4. Derivata di una variabile alla potenza -1
5. Derivato della radice quadrata
6. Derivato del seno
7. Derivato del coseno
8. Derivato della tangente
9. Derivato della cotangente
10. Derivato dell'arcoseno
11. Derivato dell'arcocoseno
12. Derivato dell'arcotangente
13. Derivato dell'arco cotangente
14. Derivato del logaritmo naturale
15. Derivato di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivato di una funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivato di una somma o differenza
2. Derivato del prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivato di una funzione complessa

Regola 1.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora le funzioni sono differenziabili nello stesso punto

E

quelli. la derivata di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di tali funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono di un termine costante, allora le loro derivate sono uguali, cioè.

Regola 2.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

E

quelli. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Corollario 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Corollario 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascun fattore e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3.Se le funzioni

differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabileu/v e

quelli. la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato di il vecchio numeratore.

Dove cercare cose su altre pagine

Quando si trova la derivata di un prodotto e un quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi ci sono più esempi su queste derivate nell'articolo"Derivata del prodotto e quoziente di funzioni".

Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con il termine di una somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo è un errore tipico che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi in una o due parti, non commette più questo errore.

E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si dispone di un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (questo caso è discusso nell'esempio 10).

Un altro errore comune è risolvere meccanicamente la derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessaè dedicato un articolo separato. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.

Lungo il percorso, non puoi fare a meno di trasformare le espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire il manuale in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .

Se stai cercando soluzioni alle derivate di frazioni con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione , poi segui la lezione “Derivata di somme di frazioni con potenze e radici”.

Se hai un compito come , poi seguirai la lezione “Derivate di semplici funzioni trigonometriche”.

Esempi passo passo: come trovare la derivata

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Definiamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta un prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni per la derivata dell'altra:

Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso in ogni somma il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "X" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori derivati:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare il quoziente: la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:

Se cerchi soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove è presente una pila continua di radici e potenze, come, ad esempio, , allora benvenuto in classe "Derivata di somme di frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altre funzioni trigonometriche, ovvero quando appare la funzione , allora una lezione per te "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, la cui derivata abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. Utilizzando la regola per differenziare il prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Esempio 6. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un quoziente il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Utilizzando la regola della differenziazione dei quozienti, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulato della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare una frazione dal numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .

Dimostrazione e derivazione delle formule per la derivata dell'esponenziale (e alla x) e della funzione esponenziale (a alla x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per le derivate di ordine superiore.

La derivata di un esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla x è uguale a e alla x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivata di una funzione esponenziale con base a è uguale alla funzione stessa moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2) .

Derivazione della formula per la derivata dell'esponenziale, e elevato alla x

Un esponenziale è una funzione esponenziale la cui base è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o un numero reale. Successivamente, ricaviamo la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.

Derivazione della formula della derivata esponenziale

Considera l'esponenziale, e alla potenza x:
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3) .

Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà dell'esponente:
(4) ;
B) Proprietà del logaritmo:
(5) ;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6) .
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo limite notevole:
(7) .

Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.

Facciamo una sostituzione. Poi ; .
Data la continuità dell’esponenziale,
.
Pertanto, quando , . Di conseguenza otteniamo:
.

Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.

Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.

Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Anche qui abbiamo utilizzato il secondo limite notevole (7). Poi
.

Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.

Derivazione della formula per la derivata di una funzione esponenziale

Ora ricaviamo la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Lo crediamo e. Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.

Trasformiamo la formula (8). Per questo useremo proprietà della funzione esponenziale e logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.

Derivate di ordine superiore di e alla x

Cerchiamo ora le derivate di ordine superiore. Consideriamo prima l'esponente:
(14) .
(1) .

Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando la (1), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.

Ciò dimostra che anche la derivata di ordine n è uguale alla funzione originale:
.

Derivate di ordine superiore della funzione esponenziale

Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15) .

Differenziando la (15), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.

Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originaria per . Pertanto la derivata di ordine n ha la seguente forma:
.