Esempi di formule di differenza di progressione aritmetica. Come trovare la somma di una progressione aritmetica: formule ed un esempio del loro utilizzo

Qual è l'essenza principale della formula?

Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .

Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.

Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)

Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.

Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

UN

Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...

Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.

Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;

N- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.

E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:

un n = 3 + 2 n.

Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso quello precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:

un n+1 = un n +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella sua forma abituale e lavora con essa. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.

Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodecimo, e il milletreesimo, uno qualsiasi. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.

Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .

Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:

Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...

Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.

Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...

Un altro puzzle popolare:

Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.

Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo i conti.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare il numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.

Un compito basato su una versione reale del GIA:

Una progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n = -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)

Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a1 = -4 + 6,81 = 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:

un 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Questo è tutto.

Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.

Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:

Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:

UN 2 =a1+ 1 D

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.

UN 3 =a1+ 2 D

Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.

UN 4 =a1+ 3 D

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...

Compiti per una soluzione indipendente.

Riscaldarsi:

1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.

Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .

Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula per l'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.

5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.

Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.

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Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Che tipo di progressione è questa?

Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.

Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:

Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga; è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n, nonché il numero totale dei termini n.

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m a n: formula

La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa rappresentazione, l'm-esimo termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:

a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;

a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui ciascun numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.

Questo argomento sembra spesso complesso e incomprensibile. Gli indici delle lettere, l'ennesimo termine della progressione, la differenza della progressione - tutto questo crea in qualche modo confusione, sì... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto andrà subito meglio.)

Il concetto di progressione aritmetica.

La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Hai qualche dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.

Scriverò una serie di numeri incompiuta:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puoi estendere questa serie? Quali numeri verranno dopo, dopo il cinque? Tutti... ehm... insomma tutti si renderanno conto che dopo verranno i numeri 6, 7, 8, 9, ecc.

Complichiamo il compito. Ti do una serie di numeri incompiuta:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sarai in grado di cogliere lo schema, estendere la serie e nominare settimo numero di riga?

Se ti sei reso conto che questo numero è 20, congratulazioni! Non solo ti sei sentito punti chiave della progressione aritmetica, ma li abbiamo anche utilizzati con successo negli affari! Se non l’hai capito, continua a leggere.

Ora traduciamo i punti chiave delle sensazioni in matematica.)

Primo punto chiave.

La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. All'inizio questo crea confusione. Siamo abituati a risolvere equazioni, disegnare grafici e tutto il resto... Ma qui estendiamo la serie, troviamo il numero della serie...

Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di una nuova branca della matematica. La sezione si chiama "Serie" e funziona specificamente con serie di numeri ed espressioni. Abituatevi.)

Secondo punto chiave.

In una progressione aritmetica qualsiasi numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Nel primo esempio, questa differenza è una. Qualunque numero tu prenda, è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre in più del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.

Terzo punto chiave.

Questo momento non è eclatante, sì... Ma è molto, molto importante. Eccolo: Ogni numero di progressione è al suo posto. C’è il primo numero, c’è il settimo, c’è il quarantacinquesimo, ecc. Se li mescoli a caso, lo schema scomparirà. Scomparirà anche la progressione aritmetica. Ciò che resta è solo una serie di numeri.

Questo è il punto.

Naturalmente, nuovi termini e designazioni compaiono in un nuovo argomento. Devi conoscerli. Altrimenti non capirai il compito. Ad esempio, dovrai decidere qualcosa come:

Annota i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Ispirante?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Hai solo bisogno di capire il significato dei termini e delle designazioni. Ora padroneggeremo questa questione e torneremo al compito.

Termini e designazioni.

Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Questa quantità si chiama . Diamo un'occhiata a questo concetto in modo più dettagliato.

Differenza di progressione aritmetica.

Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione Di più precedente.

Un punto importante. Per favore presta attenzione alla parola "Di più". Matematicamente, ciò significa che ogni numero di progressione lo è aggiungendo differenza di progressione aritmetica rispetto al numero precedente.

Per calcolare, diciamo secondo numeri della serie, è necessario Primo numero aggiungere proprio questa differenza di una progressione aritmetica. Per il calcolo quinto- la differenza è necessaria aggiungere A il quarto, beh, ecc.

Differenza di progressione aritmetica Forse positivo, quindi ogni numero della serie risulterà reale più del precedente. Questa progressione si chiama crescente. Per esempio:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Qui si ottiene ogni numero aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.

La differenza potrebbe essere negativo, quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederai!) decrescente.

Per esempio:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al precedente, ma già un numero negativo, -5.

A proposito, quando si lavora con la progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, se è in aumento o in diminuzione. Questo aiuta molto a orientarsi nella decisione, individuare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.

Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato con la lettera D.

Come trovare D? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione si chiama "differenza".)

Definiamo, ad esempio, D per aumentare la progressione aritmetica:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Prendiamo qualsiasi numero della serie che vogliamo, ad esempio 11. Lo sottraiamo numero precedente quelli. 8:

Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.

Puoi prenderlo qualsiasi numero di progressione, Perché per una progressione specifica D-sempre la stessa. Almeno da qualche parte all'inizio della riga, almeno al centro, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Semplicemente perché il primo numero nessun precedente.)

A proposito, sapendolo d=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero: otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero: venti.

Definiamo D per la progressione aritmetica discendente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ti ricordo che, indipendentemente dai segni, da determinare D bisogno da qualsiasi numero togli quello precedente. Scegli un numero di progressione qualsiasi, ad esempio -7. Il suo numero precedente è -2. Poi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi numero.

Altri termini e designazioni.

Viene chiamato ogni numero della serie membro di una progressione aritmetica.

Ogni membro della progressione ha un proprio numero. I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo termine, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, avete capito...) Per favore capite bene - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi cosa, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione dei numeri- rigorosamente in ordine!

Come scrivere una progressione in forma generale? Nessun problema! Ogni numero in una serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di solito viene utilizzata la lettera UN. Il numero del membro è indicato da un indice in basso a destra. Scriviamo i termini separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- questo è il primo numero, un 3- terzo, ecc. Nulla di bello. Questa serie può essere scritta brevemente in questo modo: (UN).

Le progressioni accadono finito e infinito.

Definitivo la progressione ha un numero limitato di iscritti. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.

Infinito progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)

Puoi scrivere la progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i termini e un punto alla fine:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

O così, se ci sono molti membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Nella voce breve dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:

(a n), n = 20

Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.

Ora puoi risolvere i compiti. I compiti sono semplici, servono esclusivamente a comprendere il significato di una progressione aritmetica.

Esempi di compiti sulla progressione aritmetica.

Diamo un'occhiata al compito sopra indicato in dettaglio:

1. Scrivi i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Traduciamo il compito in un linguaggio comprensibile. È data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. La differenza di progressione è nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto termine di questa progressione.

Per chiarezza, scriverò una serie in base alle condizioni del problema. I primi sei termini, dove il secondo termine è cinque:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + D

Sostituisci nell'espressione un 2 = 5 E d = -2,5. Non dimenticare il meno!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Il terzo termine si è rivelato inferiore al secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, il che significa che il numero stesso sarà inferiore a quello precedente. La progressione è in diminuzione. Ok, teniamone conto.) Contiamo il quarto termine della nostra serie:

un 4 = un 3 + D

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + D

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + D

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Quindi sono stati calcolati i termini dal terzo al sesto. Il risultato è la seguente serie:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nella direzione opposta, a sinistra.) Quindi, la differenza della progressione aritmetica D non dovrebbe essere aggiunto un 2, UN porta via:

un 1 = un 2 - D

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Questo è tutto. Risposta al compito:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Di passaggio, vorrei sottolineare che abbiamo risolto questo compito ricorrente modo. Questa terribile parola significa solo la ricerca di un membro della progressione secondo il numero precedente (adiacente). Di seguito esamineremo altri modi per lavorare con la progressione.

Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.

Ricordare:

Se conosciamo almeno un termine e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi termine di questa progressione.

Ti ricordi? Questa semplice conclusione consente di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutte le attività ruotano attorno a tre parametri principali: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro della progressione. Tutto.

Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Disuguaglianze, equazioni e altre cose sono collegate alla progressione. Ma secondo la progressione stessa- tutto ruota attorno a tre parametri.

Ad esempio, diamo un'occhiata ad alcune attività popolari su questo argomento.

2. Scrivi la progressione aritmetica finita come una serie se n=5, d = 0,4 e a 1 = 3,6.

Tutto è semplice qui. Tutto è già stato dato. È necessario ricordare come si contano i membri di una progressione aritmetica, contarli e scriverli. Si consiglia di non perdere le parole nelle condizioni del compito: “finale” e “ n=5". Per non contare finché non sarai completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

un3 = un2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Resta da scrivere la risposta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Un altro compito:

3. Determina se il numero 7 sarà un membro della progressione aritmetica (a n), se un 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Chi lo sa? Come determinare qualcosa?

Come-come... Annota la progressione sotto forma di serie e vedi se ci sarà un sette oppure no! Contiamo:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

un3 = un2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ora è chiaramente visibile che siamo solo in sette scivolato attraverso tra 6,5 ​​e 7,7! Il sette non rientra nella nostra serie di numeri e quindi il sette non farà parte della progressione data.

Risposta: no.

Ed ecco un problema basato su una versione reale del GIA:

4. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15; X; 9; 6; ...

Ecco una serie scritta senza fine e senza inizio. Nessun numero di membri, nessuna differenza D. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Diamo un'occhiata e vediamo cosa è possibile sapere di questa serie? Quali sono i tre parametri principali?

Numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.

Ma i numeri sono tre e – attenzione! - parola "coerente" in condizione. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza lacune. Ce ne sono due in questa fila? limitrofo numeri conosciuti? Sì! Questi sono 9 e 6. Pertanto, possiamo calcolare la differenza della progressione aritmetica! Sottrai da sei precedente numero, cioè nove:

Sono rimaste solo sciocchezze. Quale sarà il numero precedente per X? Quindici. Ciò significa che X può essere facilmente trovato mediante una semplice addizione. Aggiungi la differenza della progressione aritmetica a 15:

È tutto. Risposta: x=12

Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi problemi non si basano su formule. Puramente per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri e lettere, guardiamo e capiamo.

5. Trovare il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.

6. È noto che il numero 5.5 è membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo membro.

7. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 4; un 5 = 15,1. Trovane 3.

8. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera x.

9. Il treno iniziò a muoversi dalla stazione, aumentando uniformemente la velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno tra cinque minuti? Dai la tua risposta in km/ora.

10. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.

Risposte (disordinate): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Tutto ha funzionato? Sorprendente! Potrai padroneggiare la progressione aritmetica a un livello superiore nelle lezioni seguenti.

Non ha funzionato tutto? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi problemi vengono risolti pezzo per pezzo.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione a tali compiti in modo chiaro, chiaro, a colpo d'occhio!

A proposito, nel puzzle del treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno è puramente in termini di progressione, e il secondo è generale per qualsiasi problema di matematica e anche di fisica. Questa è una traslazione delle dimensioni dall'una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.

In questa lezione abbiamo visto il significato elementare di una progressione aritmetica e i suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere D ai numeri, scrivete una serie, tutto si risolverà.

La soluzione con le dita funziona bene per tratti di riga molto brevi, come negli esempi di questo tutorial. Se la serie è più lunga i calcoli diventano più complicati. Ad esempio, se nel problema 9 nella domanda sostituiamo "cinque minuti" SU "trentacinque minuti" il problema peggiorerà notevolmente.)

E ci sono anche compiti semplici in sostanza, ma assurdi in termini di calcoli, ad esempio:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

E allora, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! Puoi ucciderti!?

Puoi.) Se non conosci una formula semplice con la quale puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E questo problema è risolto lì. In un minuto.)

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Il concetto di sequenza numerica implica che ogni numero naturale corrisponda a un valore reale. Tale serie di numeri può essere arbitraria o avere determinate proprietà: una progressione. In quest'ultimo caso, ogni elemento successivo (membro) della sequenza può essere calcolato utilizzando quello precedente.

Una progressione aritmetica è una sequenza di valori numerici in cui i suoi membri vicini differiscono tra loro dello stesso numero (tutti gli elementi della serie, a partire dal 2°, hanno una proprietà simile). Questo numero, la differenza tra il termine precedente e quello successivo, è costante ed è chiamato differenza di progressione.

Differenza di progressione: definizione

Consideriamo una sequenza composta da j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartiene all'insieme dei numeri naturali N. Un'aritmetica la progressione, secondo la sua definizione, è una sequenza, in cui a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Il valore d è la differenza desiderata di questa progressione.

d = a(j) – a(j-1).

Evidenziare:

• Una progressione crescente, nel qual caso d > 0. Esempio: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progressione decrescente, quindi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progressione delle differenze e suoi elementi arbitrari

Se si conoscono 2 termini arbitrari della progressione (i-esimo, k-esimo), la differenza per una determinata sequenza può essere determinata in base alla relazione:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, che significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Differenza di progressione e suo primo termine

Questa espressione aiuterà a determinare un valore sconosciuto solo nei casi in cui è noto il numero dell'elemento della sequenza.

Differenza di progressione e sua somma

La somma di una progressione è la somma dei suoi termini. Per calcolare il valore totale dei suoi primi j elementi, utilizzare la formula appropriata:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ma poiché a(j) = a(1) + d(j – 1), allora S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Se per ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che è dato sequenza numerica :

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .

Quindi, la sequenza numerica è una funzione dell'argomento naturale.

Numero UN 1 chiamato primo termine della sequenza , numero UN 2 — secondo termine della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo membro della sequenza e un numero naturale N — il suo numero .

Da due membri adiacenti UN E UN +1 membro della sequenza UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).

Per definire una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.

Spesso la sequenza viene specificata utilizzando formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro di una sequenza in base al suo numero.

Per esempio,

una sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula

UN= 2N- 1,

e la sequenza dell'alternanza 1 E -1 - formula

B N = (-1)N +1 . ◄

La sequenza può essere determinata formula ricorrente, cioè una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, fino ai membri precedenti (uno o più).

Per esempio,

Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5

UN 1 = 1,

UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette termini della sequenza numerica si stabiliscono come segue:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,

UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Le sequenze possono essere finale E infinito .

La sequenza viene chiamata ultimo , se ha un numero finito di membri. La sequenza viene chiamata infinito , se ha infiniti membri.

Per esempio,

sequenza di numeri naturali a due cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finale.

Sequenza di numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infinito. ◄

La sequenza viene chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.

La sequenza viene chiamata decrescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.

Per esempio,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — sequenza crescente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — sequenza decrescente. ◄

Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono all'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .

Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.

Progressione aritmetica

Progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, al quale viene aggiunto lo stesso numero.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .

è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

UN +1 = UN + D,

Dove D - un certo numero.

Pertanto, la differenza tra i termini successivi e precedenti di una data progressione aritmetica è sempre costante:

un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.

Numero D chiamato differenza di progressione aritmetica.

Per definire una progressione aritmetica è sufficiente indicarne il primo termine e la differenza.

Per esempio,

Se UN 1 = 3, D = 4 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,

UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e la differenza D suo N

UN = un 1 + (N- 1)D.

Per esempio,

trovare il trentesimo termine della progressione aritmetica

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, D = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (N- 2)D,

UN= un 1 + (N- 1)D,

UN +1 = UN 1 + nd,

poi ovviamente

UN=	un n-1 + un n+1
	2

Ciascun membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.

Per esempio,

UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.

Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

UN = 2N- 7,

un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Quindi,

un n+1 + un n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = UN,
2		2

◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione aritmetica non si trova solo attraverso UN 1 , ma anche eventuali precedenti un k

UN = un k + (N- K)D.

Per esempio,

Per UN 5 può essere scritto

un 5 = un 1 + 4D,

un 5 = un 2 + 3D,

un 5 = un 3 + 2D,

un 5 = un 4 + D. ◄

UN = un nk + kd,

UN = un n+k - kd,

poi ovviamente

UN=	UN n-k +a n+k
	2

ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è pari alla metà della somma dei membri equidistanti di tale progressione aritmetica.

Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica vale la seguente uguaglianza:

un m + un n = un k + un l,

m + n = k + l.

Per esempio,

nella progressione aritmetica

1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,

Primo N termini di una progressione aritmetica è pari al prodotto della metà della somma dei termini estremi e del numero di termini:

Da qui, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini

un k, un k +1 , . . . , UN,

quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:

Per esempio,

nella progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:

• Se D > 0 , allora è in aumento;
• Se D < 0 , allora è in diminuzione;
• Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.

Progressione geometrica

Progressione geometrica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

b n +1 = b n · Q,

Dove Q ≠ 0 - un certo numero.

Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di una data progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numero Q chiamato denominatore della progressione geometrica.

Per definire una progressione geometrica è sufficiente indicarne il primo termine e il denominatore.

Per esempio,

Se B 1 = 1, Q = -3 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

b1 = 1,

b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 e denominatore Q suo N L'esimo termine può essere trovato utilizzando la formula:

b n = B 1 · qn -1 .

Per esempio,

trovare il settimo termine della progressione geometrica 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · qn -2 ,

b n = b1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

poi ovviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è pari alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedente e successivo.

Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.

Per esempio,

Dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -32 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

b n= -32 N,

b n -1 = -32 N -1 ,

b n +1 = -32 N +1 .

Quindi,

b n 2 = (-32 N)2 = (-32 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

che dimostra l'affermazione desiderata. ◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione geometrica non può essere trovato solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi membro precedente b k , per il quale è sufficiente utilizzare la formula

b n = b k · qn - K.

Per esempio,

Per B 5 può essere scritto

b5 = b1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

b n = b k · qn - K,

b n = b n - K · qk,

poi ovviamente

b n 2 = b n - K· b n + K

il quadrato di qualsiasi termine di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei termini di tale progressione equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica vale l’uguaglianza:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= K+ l.

Per esempio,

in progressione geometrica

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato con la formula:

E quando Q = 1 - secondo la formula

S n= n.b 1

Tieni presente che se devi sommare i termini

b k, b k +1 , . . . , b n,

allora si usa la formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - K +1	.
	1 - Q

Per esempio,

in progressione geometrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avviene quanto segue proprietà di monotonia :

• la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E Q> 1;

B 1 < 0 E 0 < Q< 1;

• La progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E 0 < Q< 1;

B 1 < 0 E Q> 1.

Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata: i suoi termini con numeri dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini con numeri pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.

Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati utilizzando la formula:

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) N / 2 .

Per esempio,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Progressione geometrica infinitamente decrescente chiamata progressione geometrica infinita il cui modulo del denominatore è inferiore 1 , questo è

|Q| < 1 .

Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Si adatta all'occasione

1 < Q< 0 .

Con un tale denominatore, la sequenza è alternata. Per esempio,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui si avvicina senza limite la somma dei primi N membri di una progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Per esempio,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relazione tra progressioni aritmetiche e geometriche

Le progressioni aritmetiche e geometriche sono strettamente correlate. Consideriamo solo due esempi.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Per esempio,

1, 3, 5, . . . - progressione aritmetica con differenza 2 E

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressione geometrica con denominatore 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - progressione geometrica con denominatore Q , Quello

log a b 1, log a b 2, registrare un b 3, . . . - progressione aritmetica con differenza registrare unQ .

Per esempio,

2, 12, 72, . . . - progressione geometrica con denominatore 6 E

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressione aritmetica con differenza lg 6 . ◄