Linea retta su un piano: informazione necessaria. Le figure geometriche più semplici: punto, retta, segmento, raggio, spezzata

Un punto e una retta sono le figure geometriche fondamentali su un piano.

L’antico scienziato greco Euclide disse: “un punto” è qualcosa che non ha parti”. La parola "punto" tradotta dal latino significa il risultato di un tocco istantaneo, un'iniezione. Un punto è la base per costruire qualsiasi figura geometrica.

Una linea retta o semplicemente una linea retta è una linea lungo la quale la distanza tra due punti è minima. Una linea retta è infinita ed è impossibile rappresentare l'intera linea retta e misurarla.

I punti sono indicati con le lettere latine maiuscole A, B, C, D, E, ecc., e le linee rette con le stesse lettere, ma minuscole a, b, c, d, e, ecc. Una linea retta può anche essere indicata con due lettere corrispondenti ai punti che giacciono su di lei. Ad esempio, la retta a può essere designata AB.

Possiamo dire che i punti AB giacciono sulla retta a oppure appartengono alla retta a. E possiamo dire che la retta a passa per i punti A e B.

Le figure geometriche più semplici su un piano sono un segmento, un raggio, una linea spezzata.

Un segmento è una parte di una linea composta da tutti i punti di questa linea, limitata da due punti selezionati. Questi punti sono le estremità del segmento. Un segmento viene indicato indicandone le estremità.

Un raggio o semiretta è una parte di una linea composta da tutti i punti di questa linea che giacciono su un lato di un dato punto. Questo punto è chiamato punto iniziale della semiretta o inizio del raggio. La trave ha un punto iniziale, ma non una fine.

Le semirette o raggi sono designati da due lettere latine minuscole: l'iniziale ed ogni altra lettera corrispondente ad un punto appartenente alla semiretta. In questo caso il punto di partenza viene posto al primo posto.

Si scopre che la linea retta è infinita: non ha né inizio né fine; un raggio ha solo un inizio, ma non una fine, ma un segmento ha un inizio e una fine. Pertanto, possiamo misurare solo un segmento.

Più segmenti collegati in sequenza tra loro in modo che i segmenti (vicini) che hanno un punto in comune non si trovino sulla stessa linea retta rappresentano una linea spezzata.

Una linea spezzata può essere chiusa o aperta. Se la fine dell'ultimo segmento coincide con l'inizio del primo abbiamo una linea spezzata chiusa, altrimenti è una linea aperta.

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Un punto è un oggetto astratto che non ha caratteristiche di misurazione: né altezza, né lunghezza, né raggio. Nell'ambito dell'attività, solo la sua posizione è importante

Il punto è indicato da un numero o da una lettera latina maiuscola (maiuscola). Diversi punti - con numeri diversi o lettere diverse in modo che possano essere distinti

punto A, punto B, punto C

A B C

punto 1, punto 2, punto 3

1 2 3

Puoi disegnare tre punti “A” su un foglio di carta e invitare il bambino a tracciare una linea attraverso i due punti “A”. Ma come capire attraverso quali? A A A

Una linea è un insieme di punti. Viene misurata solo la lunghezza. Non ha larghezza né spessore

Indicato con lettere latine minuscole (piccole).

linea a, linea b, linea c

abc

La linea potrebbe essere

1. chiuso se l'inizio e la fine sono nello stesso punto,
2. aperto se il suo inizio e la sua fine non sono collegati

linee chiuse

linee aperte

Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane al negozio e sei tornato all'appartamento. Che linea hai ottenuto? Esatto, chiuso. Sei tornato al punto di partenza. Sei uscito di casa, hai comprato il pane al negozio, sei entrato nell'ingresso e hai iniziato a parlare con il tuo vicino. Che linea hai ottenuto? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza. Sei uscito di casa e hai comprato il pane al negozio. Che linea hai ottenuto? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza.

1. autointersecanti
2. senza autointersezioni

linee autointersecanti

linee senza autointersezioni

1. Dritto
2. rotto
3. storto

linee rette

linee spezzate

linee curve

Una linea retta è una linea che non è curva, non ha né inizio né fine, può essere continuata all'infinito in entrambe le direzioni

Anche quando è visibile un piccolo tratto di linea retta, si presuppone che essa continui indefinitamente in entrambe le direzioni

Indicato con una lettera latina minuscola (piccola). O due lettere latine maiuscole (maiuscole) - punti che giacciono su una linea retta

linea retta a

UN

retta AB

B A

Diretto potrebbe essere

1. si intersecano se hanno un punto in comune. Due linee possono intersecarsi solo in un punto.
   • perpendicolari se si intersecano ad angolo retto (90°).
2. Paralleli, se non si intersecano, non hanno un punto comune.

linee parallele

linee che si intersecano

Linee perpendicolari

Un raggio è una parte di una linea retta che ha un inizio ma non una fine; può essere continuato indefinitamente in una sola direzione

Il raggio di luce nell'immagine ha come punto di partenza il sole.

Sole

Un punto divide una retta in due parti: due raggi A A

Il raggio è designato da una lettera latina minuscola (piccola). Oppure due lettere latine maiuscole (maiuscole), dove la prima è il punto da cui inizia il raggio, e la seconda è il punto che giace sul raggio

raggio a

UN

trave AB

B A

I raggi coincidono se

1. situato sulla stessa retta
2. iniziare da un certo punto
3. diretto in una direzione

i raggi AB e AC coincidono

i raggi CB e CA coincidono

C B A

Un segmento è una parte di una linea limitata da due punti, cioè ha sia un inizio che una fine, il che significa che la sua lunghezza può essere misurata. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi punti iniziale e finale

Attraverso un punto puoi tracciare un numero qualsiasi di linee, comprese le linee rette

Attraverso due punti: un numero illimitato di curve, ma solo una linea retta

linee curve passanti per due punti

B A

retta AB

B A

Un pezzo è stato “tagliato” dalla linea retta e ne è rimasto un segmento. Dall'esempio sopra puoi vedere che la sua lunghezza è la distanza più breve tra due punti. ✂ SI LA ✂

Un segmento è indicato da due lettere latine maiuscole (maiuscole), dove la prima è il punto in cui inizia il segmento e la seconda è il punto in cui termina il segmento

segmento AB

B A

Problema: dov'è la retta, la semiretta, il segmento, la curva?

Una linea spezzata è una linea composta da segmenti collegati consecutivamente che non formano un angolo di 180°

Un segmento lungo è stato “spezzato” in più segmenti brevi

Le maglie di una linea spezzata (simili alle maglie di una catena) sono i segmenti che compongono la linea spezzata. I collegamenti adiacenti sono collegamenti in cui la fine di un collegamento è l'inizio di un altro. I collegamenti adiacenti non dovrebbero trovarsi sulla stessa linea retta.

I vertici di una linea spezzata (simili alle cime delle montagne) sono il punto da cui inizia la linea spezzata, i punti in cui si collegano i segmenti che formano la linea spezzata e il punto in cui termina la linea spezzata.

Una linea spezzata viene designata elencando tutti i suoi vertici.

linea spezzata ABCDE

vertice della polilinea A, vertice della polilinea B, vertice della polilinea C, vertice della polilinea D, vertice della polilinea E

collegamento interrotto AB, collegamento interrotto BC, collegamento interrotto CD, collegamento interrotto DE

il collegamento AB e il collegamento BC sono adiacenti

il collegamento BC e il collegamento CD sono adiacenti

il collegamento CD e il collegamento DE sono adiacenti

A B C D E 64 62 127 52

La lunghezza di una linea spezzata è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Compito: quale linea spezzata è più lunga, UN che ha più vertici? La prima linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 13 cm. La seconda linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 49 cm. La terza linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 41 cm.

Un poligono è una linea poligonale chiusa

I lati del poligono (le espressioni ti aiuteranno a ricordare: “vai in tutte e quattro le direzioni”, “corri verso casa”, “da quale lato del tavolo ti siederai?”) sono gli anelli di una linea spezzata. I lati adiacenti di un poligono sono collegamenti adiacenti di una linea spezzata.

I vertici di un poligono sono i vertici di una linea spezzata. I vertici adiacenti sono i punti finali di un lato del poligono.

Un poligono si denota elencando tutti i suoi vertici.

polilinea chiusa senza autointersezione, ABCDEF

poligono ABCDEF

vertice del poligono A, vertice del poligono B, vertice del poligono C, vertice del poligono D, vertice del poligono E, vertice del poligono F

il vertice A e il vertice B sono adiacenti

il vertice B e il vertice C sono adiacenti

il vertice C e il vertice D sono adiacenti

il vertice D e il vertice E sono adiacenti

il vertice E e il vertice F sono adiacenti

il vertice F e il vertice A sono adiacenti

lato poligono AB, lato poligono BC, lato poligono CD, lato poligono DE, lato poligono EF

il lato AB e il lato BC sono adiacenti

il lato BC e il lato CD sono adiacenti

Il lato CD e il lato DE sono adiacenti

il lato DE e il lato EF sono adiacenti

il lato EF e il lato FA sono adiacenti

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Il perimetro di un poligono è la lunghezza della linea spezzata: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un poligono con tre vertici è chiamato triangolo, con quattro - quadrilatero, con cinque - pentagono, ecc.

Durante la lezione acquisirai familiarità con il concetto di piano, con le varie figure minime che esistono in geometria, e ne studierai le proprietà. Scopri cosa sono una linea retta, un segmento, un raggio, un angolo, ecc.

Disegniamo tutte le forme geometriche su un foglio di carta con una matita, su una lavagna con un gesso o un pennarello. Spesso d'estate disegniamo figure sull'asfalto con il gesso o un sassolino bianco. E sempre, prima di iniziare a disegnare ciò che abbiamo progettato, valutiamo se abbiamo abbastanza spazio. E poiché raramente conosciamo le dimensioni esatte del nostro disegno futuro, dobbiamo sempre occupare spazio con un margine, e preferibilmente con un ampio margine. Di solito non abbiamo paura di rimanere senza spazio per disegnare se il campo da disegnare è molte volte più grande del disegno stesso. Quindi nel cortile c'è abbastanza asfalto per creare un campo da salto. È sufficiente un foglio di quaderno per disegnare due segmenti che si intersecano al centro.

In matematica, il campo su cui rappresentiamo tutto è un piano (Fig. 1).

Riso. 1. Aereo

Ha due qualità:

1. Puoi raffigurare qualsiasi figura su di essa di cui abbiamo già parlato o di cui parleremo di nuovo.

2. Non raggiungeremo il limite. Le sue dimensioni possono essere considerate molto più grandi delle dimensioni dell'immagine.

Il fatto che non raggiungiamo mai il bordo del piano può essere inteso come l'assenza totale di bordi. Non abbiamo bisogno dei suoi bordi, quindi abbiamo deciso di presumere che non esistano (Fig. 2).

Riso. 2. Il piano è infinito

In questo senso il piano è infinito in ogni direzione.

Possiamo immaginarlo come un grande foglio di carta, una grande superficie piana di asfalto o un enorme tavolo da disegno.

Esistono un numero infinito di forme geometriche ed è assolutamente impossibile studiarle tutte. Ma la geometria è strutturata in modo molto simile a un set di costruzioni. Esistono diversi tipi di parti base da cui puoi costruire tutto il resto, qualsiasi edificio più complesso.

Questo principio può essere paragonato alle parole e alle lettere: conosciamo tutte le lettere, ma non conosciamo tutte le parole. Quando incontriamo una parola sconosciuta, possiamo leggerla perché sappiamo come sono scritte le lettere e come si pronunciano i suoni corrispondenti.

È lo stesso in matematica: ci sono pochissime figure geometriche di base che tu ed io dobbiamo conoscere bene.

Consideriamo un segmento (Fig. 3). Un segmento è la linea più breve che collega due punti.

Riso. 3. Segmento

Continuiamo il segmento in entrambe le direzioni fino all'infinito. Anche noi continueremo dritto.

Cosa significa "dritto"? Consideriamo i segmenti e (Fig. 4).

Riso. 4. Segmenti e

Continuiamoli in entrambe le direzioni. La linea superiore è diritta, ma la linea inferiore non lo è (Fig. 5).

Aggiungiamo un altro punto alle linee superiore e inferiore (Fig. 6). Anche la parte della linea superiore tra i punti e è un segmento, ma la parte della linea inferiore tra i punti e il segmento non lo è, poiché non collega questi punti lungo il percorso più breve.

Riso. 6. Continuazione di linee e

Una linea retta è una linea che continua indefinitamente in entrambe le direzioni, qualsiasi parte della quale, limitata da due punti, è un segmento.

Una linea retta è un tipo di linea e, come ogni linea, una linea retta è una figura. E, come per ogni linea, un dato punto o appartiene a una data linea oppure no (Fig. 7).

Riso. 7. Punti e appartenenti a una linea, e punti e non appartenenti a una linea

1. Una linea retta divide il piano in due parti, in due semipiani. Nella Figura 8, i punti e giacciono nello stesso semipiano, e e - in semipiani diversi.

Riso. 8. Due semipiani

2. Puoi sempre tracciare una linea retta attraverso due punti e solo uno (Fig. 9).

Una linea retta, come qualsiasi linea, può essere contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino o con una sequenza di punti che giacciono su di essa. Per designare una linea passante per i punti che giacciono su di essa, sono sufficienti due punti.

Estendendo il segmento in entrambe le direzioni all'infinito, otteniamo una linea retta. Se estendiamo anche il segmento, ma solo in una direzione verso l'infinito, otteniamo una figura chiamata raggio (Fig. 10). Questo raggio geometrico è molto simile ad un raggio luminoso, per questo si chiama così. Se prendi in mano un puntatore laser, il raggio di luce inizierà dal puntatore e andrà all'infinito in linea retta.

Riso. 10. Trave

Il punto è chiamato inizio del raggio. Il raggio è indicato.

Se segni un punto su una linea retta, divide questa linea retta in due raggi (Fig. 11). Entrambi i raggi hanno origine nel punto , ma sono diretti in direzioni diverse. Questi due raggi formano una linea retta e ne sono la metà. Pertanto il raggio viene spesso chiamato anche “semidiretto”.

Riso. 11. Un punto divide una linea in due raggi

Consideriamo la Figura 12.

Riso. 12. Segmento, retta e semiretta

Vediamo in che modo un segmento, una retta e una semiretta sono simili e dissimili tra loro:

Il segmento e la trave possono essere facilmente completati in linea retta; per questo è necessario estendere il segmento in entrambe le direzioni e la trave in una direzione;

Puoi sempre selezionare un segmento o un raggio su una linea retta;

Il punto divide la linea in due raggi, in due semirette;

Punti e limite ad un segmento rettilineo;

Tutte queste figure: un segmento, un raggio, una retta sono “linee rette”. Differiscono in presenza di estremità. Un segmento ne ha due, un raggio ne ha uno e una linea retta non ne ha nessuno. Un altro modo di dirlo è questo: sia il raggio che il segmento fanno parte di una retta;

Sappiamo che è possibile misurare la lunghezza di un segmento. È possibile confrontare due segmenti per scoprire quale è più lungo;

La retta continua indefinitamente in entrambe le direzioni, il raggio continua in una direzione. Per questo motivo è impossibile misurare la lunghezza di una retta o di una trave, ed è anche impossibile confrontare la lunghezza di due rette o di due travi. Sono tutti ugualmente infiniti.

Due raggi, che hanno origine nello stesso punto, formano un'altra figura geometrica dell'insieme principale: un angolo. Il punto all'inizio di entrambi i raggi è chiamato vertice dell'angolo. I raggi stessi sono chiamati lati dell'angolo.

Quindi, un angolo è una figura composta da due raggi che emergono da un punto (Fig. 13).

Riso. 13. Angolo

L'angolo è designato da una lettera corrispondente alla designazione del vertice. In questo caso, l'angolo può essere chiamato angolo (Fig. 14). Per chiarire che stiamo parlando di un angolo, e non di un punto, prima del suo nome è necessario scrivere la parola "angolo" o inserire un segno di angolo speciale ("").

Riso. 14. Angolo

Se è difficile capire dal vertice di quale angolo stiamo parlando, come nella Figura 15, utilizza altri due punti su entrambi i lati dell'angolo.

Se in questa figura nomini semplicemente l'angolo, non è chiaro di quale stiamo parlando esattamente, perché con il vertice in un punto vediamo diversi angoli. Pertanto, aggiungeremo un punto ai lati dell'angolo di cui abbiamo bisogno e indicheremo l'angolo come (Fig. 15).

Riso. 15. Angolo

Quando si designa, si può andare nella direzione opposta, ma in modo che il vertice finisca di nuovo al centro della notazione.

Un'altra designazione comune è con una lettera greca: alfa, beta, gamma e così via (Fig. 16). In questo caso, la lettera viene solitamente scritta all'interno dell'angolo (Fig. 17).

Riso. 16. Alfabeto greco

Riso. 17. Il nome dell'angolo scritto all'interno dell'angolo

Quindi, nella Figura 18, le designazioni , , sono equivalenti e denotano lo stesso angolo.

Riso. 18... - stesso angolo

Lascia che due linee rette si intersechino in un punto (Fig. 19). Il punto divide ciascuna linea in due raggi, ovvero 4 raggi in totale. Ogni coppia di raggi definisce un angolo.

Riso. 19. Raddrizzare e formare 4 travi

Per esempio, , , .

Attraverso due punti puoi sempre tracciare una linea retta. È questo il caso dei tre punti?

Nella Figura 20 puoi tracciare una linea retta passante per tre punti, ma nella Figura 21 non puoi.

Riso. 20. Attraverso tre punti puoi tracciare una linea retta

Riso. 21. Non puoi tracciare una linea retta passante per tre punti

Si dice che tre punti della figura giacciono sulla stessa retta. Ciò viene detto anche se la retta stessa non è tracciata, lasciando semplicemente intendere che può essere tracciata. Nel secondo caso dicono che i punti non giacciono sulla stessa linea, il che implica che è impossibile tracciare una linea che passa per tutti e tre i punti.

Se colleghiamo in sequenza prima il 1o e il 2o punto, poi il 2o e il 3o, la linea risultante viene chiamata linea spezzata (Fig. 22). Il nome deriva dal suo aspetto.

Riso. 22. Rotto

Similmente ad una polilinea, puoi collegare un numero qualsiasi di punti. I punti , , , , sono chiamati vertici della linea spezzata, i segmenti , , , sono chiamati collegamenti della linea spezzata.

Una linea spezzata è indicata dai suoi vertici.

Riso. 23. Rotto

Se l'ultimo punto è collegato al primo, la linea spezzata risultante viene chiamata chiusa (Fig. 24).

Riso. 24. Polilinea chiusa

Quale polilinea può essere costruita con un insieme minimo di vertici e collegamenti? Se ci sono due punti, possono essere collegati da un segmento. Questo sarà l'esempio più semplice di linea spezzata: due vertici e un collegamento che li collega. Possiamo dire che un segmento è una linea spezzata minima.

Se è necessario che la linea spezzata sia chiusa, la linea spezzata più semplice sarà un triangolo. Se prendi due punti, puoi collegare l'ultimo punto con il primo solo con lo stesso segmento già esistente. Cioè, la linea spezzata rimarrà, come prima, aperta. E se aggiungi un altro punto che non giace sulla stessa linea retta con i punti e, collega tutti i punti con tre segmenti, ottieni un triangolo (Fig. 25).

Riso. 25. Triangolo

Un triangolo è una linea spezzata chiusa con tre vertici. O anche così: un triangolo è una linea spezzata chiusa minima.

I punti , e sono i vertici del triangolo. I segmenti che li collegano, gli anelli della linea spezzata, sono chiamati lati del triangolo.

Un triangolo è designato dai suoi vertici. Per esempio, . Prima della designazione è necessario inserire la parola "triangolo" o un simbolo speciale del triangolo ("").

Un triangolo implica tre angoli. Da ciascuno dei vertici partono due lati, cioè i lati del triangolo sono i lati degli angoli (Fig. 26).

Riso. 26. Angoli di un triangolo

Pertanto, un triangolo ha tre vertici (tre punti, e), tre lati (tre segmenti, e).

Un punto e una retta sono le figure geometriche fondamentali su un piano.

L’antico scienziato greco Euclide disse: “un punto” è qualcosa che non ha parti”. La parola "punto" tradotta dal latino significa il risultato di un tocco istantaneo, un'iniezione. Un punto è la base per costruire qualsiasi figura geometrica.

Una linea retta o semplicemente una linea retta è una linea lungo la quale la distanza tra due punti è minima. Una linea retta è infinita ed è impossibile rappresentare l'intera linea retta e misurarla.

I punti sono indicati con le lettere latine maiuscole A, B, C, D, E, ecc., e le linee rette con le stesse lettere, ma minuscole a, b, c, d, e, ecc. Una linea retta può anche essere indicata con due lettere corrispondenti ai punti che giacciono su di lei. Ad esempio, la retta a può essere designata AB.

Possiamo dire che i punti AB giacciono sulla retta a oppure appartengono alla retta a. E possiamo dire che la retta a passa per i punti A e B.

Le figure geometriche più semplici su un piano sono un segmento, un raggio, una linea spezzata.

Un segmento è una parte di una linea composta da tutti i punti di questa linea, limitata da due punti selezionati. Questi punti sono le estremità del segmento. Un segmento viene indicato indicandone le estremità.

Un raggio o semiretta è una parte di una linea composta da tutti i punti di questa linea che giacciono su un lato di un dato punto. Questo punto è chiamato punto iniziale della semiretta o inizio del raggio. La trave ha un punto iniziale, ma non una fine.

Le semirette o raggi sono designati da due lettere latine minuscole: l'iniziale ed ogni altra lettera corrispondente ad un punto appartenente alla semiretta. In questo caso il punto di partenza viene posto al primo posto.

Si scopre che la linea retta è infinita: non ha né inizio né fine; un raggio ha solo un inizio, ma non una fine, ma un segmento ha un inizio e una fine. Pertanto, possiamo misurare solo un segmento.

Più segmenti collegati in sequenza tra loro in modo che i segmenti (vicini) che hanno un punto in comune non si trovino sulla stessa linea retta rappresentano una linea spezzata.

Una linea spezzata può essere chiusa o aperta. Se la fine dell'ultimo segmento coincide con l'inizio del primo abbiamo una linea spezzata chiusa, altrimenti è una linea aperta.

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