Come trovare l'angolo tra equazioni date rette. Angolo tra rette su un piano

Istruzioni

Nota

Il periodo della funzione tangente trigonometrica è pari a 180 gradi, il che significa che gli angoli di inclinazione delle rette non possono, in valore assoluto, superare questo valore.

Consigli utili

Se i coefficienti angolari sono uguali tra loro, l'angolo tra tali linee è 0, poiché tali linee coincidono o sono parallele.

Per determinare il valore dell'angolo tra le linee che si intersecano, è necessario spostare entrambe le linee (o una di esse) in una nuova posizione utilizzando il metodo di traslazione parallela finché non si intersecano. Successivamente, dovresti trovare l'angolo tra le linee che si intersecano risultanti.

Avrai bisogno

• Righello, triangolo rettangolo, matita, goniometro.

Istruzioni

Sia quindi dato il vettore V = (a, b, c) e il piano A x + B y + C z = 0, dove A, B e C sono le coordinate della normale N. Quindi il coseno dell'angolo α tra i vettori V e N è uguale a: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Per calcolare l'angolo in gradi o radianti, è necessario calcolare l'inverso della funzione coseno dall'espressione risultante, ad es. arcocoseno:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Esempio: trova angolo fra vettore(5, -3, 8) e aereo, data dall'equazione generale 2 x – 5 y + 3 z = 0. Soluzione: annotare le coordinate del vettore normale del piano N = (2, -5, 3). Sostituisci tutti i valori noti nella formula data: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video sull'argomento

Una retta che ha un punto in comune con una circonferenza è tangente alla circonferenza. Un'altra caratteristica della tangente è che è sempre perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di contatto, cioè la tangente e il raggio formano una linea retta angolo. Se da un punto A si tracciano due tangenti alla circonferenza AB e AC, allora saranno sempre uguali tra loro. Determinazione dell'angolo tra le tangenti ( angolo ABC) è realizzato utilizzando il teorema di Pitagora.

Istruzioni

Per determinare l'angolo, è necessario conoscere il raggio del cerchio OB e OS e la distanza del punto iniziale della tangente dal centro del cerchio - O. Quindi, gli angoli ABO e ACO sono uguali, il raggio OB è, ad esempio 10 cm e la distanza dal centro del cerchio AO è 15 cm. Determina la lunghezza della tangente utilizzando la formula secondo il teorema di Pitagora: AB = radice quadrata di AO2 – OB2 o 152 - 102 = 225 –. 100 = 125;

Sarò breve. L'angolo tra due rette è uguale all'angolo tra i loro vettori di direzione. Pertanto, se riesci a trovare le coordinate dei vettori di direzione a = (x 1 ; y 1 ; z 1) eb = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), allora puoi trovare l'angolo. Più precisamente, il coseno dell'angolo secondo la formula:

Vediamo come funziona questa formula utilizzando esempi specifici:

Compito. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, sono segnati i punti E e F: i punti medi dei bordi A 1 B 1 e B 1 C 1, rispettivamente. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Poiché lo spigolo del cubo non è specificato, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, gli assi x, y, z sono diretti rispettivamente lungo AB, AD e AA 1. Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Ora troviamo le coordinate dei vettori di direzione per le nostre linee.

Troviamo le coordinate del vettore AE. Per questo abbiamo bisogno dei punti A = (0; 0; 0) ed E = (0,5; 0; 1). Poiché il punto E è il centro del segmento A 1 B 1, le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Notiamo che l'origine del vettore AE coincide con l'origine delle coordinate, quindi AE = (0,5; 0; 1).

Ora diamo un'occhiata al vettore BF. Allo stesso modo, analizziamo i punti B = (1; 0; 0) e F = (1; 0,5; 1), perché F è il centro del segmento B 1 C 1. Abbiamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Quindi, i vettori di direzione sono pronti. Il coseno dell'angolo tra le rette è il coseno dell'angolo tra i vettori di direzione, quindi abbiamo:

Compito. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti D ed E: i punti medi dei bordi A 1 B 1 e B 1 C 1, rispettivamente. Trova l'angolo tra le linee AD e BE.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, l'asse x è diretto lungo AB, z - lungo AA 1. Dirigiamo l'asse y in modo che il piano OXY coincida con il piano ABC. Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Troviamo le coordinate dei vettori di direzione per le linee richieste.

Per prima cosa troviamo le coordinate del vettore AD. Consideriamo i punti: A = (0; 0; 0) e D = (0,5; 0; 1), perché D - il centro del segmento A 1 B 1. Poiché l'inizio del vettore AD coincide con l'origine delle coordinate, otteniamo AD = (0,5; 0; 1).

Troviamo ora le coordinate del vettore BE. Il punto B = (1; 0; 0) è facile da calcolare. Con il punto E - il centro del segmento C 1 B 1 - è un po' più complicato. Abbiamo:

Resta da trovare il coseno dell'angolo:

Compito. In un prisma esagonale regolare ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , i cui bordi sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti K e L - i punti medi dei bordi A 1 B 1 e B 1 C 1, rispettivamente . Trova l'angolo tra le linee AK e BL.

Introduciamo un sistema di coordinate standard per un prisma: poniamo l'origine delle coordinate al centro della base inferiore, l'asse x è diretto lungo FC, l'asse y è diretto attraverso i punti medi dei segmenti AB e DE e l'asse z l'asse è diretto verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è ancora una volta uguale ad AB = 1. Annotiamo le coordinate dei punti che ci interessano:

I punti K e L sono i punti medi dei segmenti A 1 B 1 e B 1 C 1 rispettivamente, quindi le loro coordinate si trovano tramite la media aritmetica. Conoscendo i punti, troviamo le coordinate dei vettori direzionali AK e BL:

Ora troviamo il coseno dell'angolo:

Compito. In una piramide quadrangolare regolare SABCD, i cui bordi sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti E e F, rispettivamente i punti medi dei lati SB e SC. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, gli assi xey sono diretti rispettivamente lungo AB e AD e l'asse z è diretto verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

I punti E e F sono i punti medi rispettivamente dei segmenti SB e SC, quindi le loro coordinate si trovano come media aritmetica degli estremi. Annotiamo le coordinate dei punti di nostro interesse:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conoscendo i punti, troviamo le coordinate dei vettori direzionali AE e BF:

Le coordinate del vettore AE coincidono con le coordinate del punto E, poiché il punto A è l'origine. Resta da trovare il coseno dell'angolo:

ANGOLO FRA I PIANI

Consideriamo due piani α 1 e α 2, definiti rispettivamente dalle equazioni:

Sotto angolo tra due piani comprenderemo uno degli angoli diedri formati da questi piani. È ovvio che l'angolo tra i vettori normali e i piani α 1 e α 2 è uguale ad uno degli angoli diedri adiacenti indicati o . Ecco perché . Perché E , Quello

.

Esempio. Determinare l'angolo tra i piani X+2sì-3z+4=0 e 2 X+3sì+z+8=0.

Condizione di parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali sono paralleli, e quindi .

Quindi due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti delle coordinate corrispondenti sono proporzionali:

O

Condizione di perpendicolarità dei piani.

È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o .

Così, .

Esempi.

DRITTO NELLO SPAZIO.

EQUAZIONE VETTORIALE PER UNA LINEA.

EQUAZIONI DIRETTE PARAMETRICHE

La posizione di una linea nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi M 1 e un vettore parallelo a questa linea.

Si dice un vettore parallelo ad una retta guide vettore di questa linea.

Quindi lasciamo la linea retta l passa per un punto M 1 (X 1 , sì 1 , z 1), giacente su una retta parallela al vettore .

Consideriamo un punto arbitrario M(x,y,z) su una linea retta. Dalla figura è chiaro che .

I vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero T, cosa , dov'è il moltiplicatore T può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto M su una linea retta. Fattore T chiamato parametro. Avendo designato i raggi vettori dei punti M 1 e M rispettivamente, attraverso e , si ottiene . Questa equazione si chiama vettore equazione di una retta. Lo mostra per ciascun valore del parametro T corrisponde al raggio vettore di un punto M, giacente su una linea retta.

Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , e da qui

Le equazioni risultanti vengono chiamate parametrico equazioni di una retta.

Quando si modifica un parametro T cambiano le coordinate X, sì E z e periodo M si muove in linea retta.

EQUAZIONI CANONICHE DELLA DIRETTA

Permettere M 1 (X 1 , sì 1 , z 1) – un punto che giace su una linea retta l, E è il suo vettore di direzione. Prendiamo ancora un punto arbitrario sulla retta M(x,y,z) e consideriamo il vettore.

È chiaro che anche i vettori sono collineari, quindi le loro coordinate corrispondenti devono essere proporzionali, quindi,

– canonico equazioni di una retta.

Nota 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta potrebbero essere ottenute da quelle parametriche eliminando il parametro T. Infatti dalle equazioni parametriche otteniamo O .

Esempio. Scrivi l'equazione della retta in forma parametrica.

Denotiamo , da qui X = 2 + 3T, sì = –1 + 2T, z = 1 –T.

Nota 2. Sia la retta perpendicolare ad uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Allora il vettore direzione della retta è perpendicolare Bue, quindi, M=0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta assumeranno la forma

Escludendo il parametro dalle equazioni T, otteniamo le equazioni della retta nella forma

Tuttavia, anche in questo caso concordiamo nel scrivere formalmente nella forma le equazioni canoniche della retta . Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, significa che la retta è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.

Simili alle equazioni canoniche corrisponde ad una retta perpendicolare agli assi Bue E Ehi o parallelo all'asse Oz.

Esempi.

EQUAZIONI GENERALI DI UNA LINEA RETTA COME LINEE DI INTERSEZIONE DI DUE PIANI

Attraverso ogni linea retta dello spazio passano innumerevoli piani. Due di essi, intersecandosi, lo definiscono nello spazio. Di conseguenza, le equazioni di due qualsiasi di tali piani, considerati insieme, rappresentano le equazioni di questa linea.

In generale, due piani qualsiasi non paralleli dati dalle equazioni generali

determinare la retta della loro intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali Dritto.

Esempi.

Costruisci una retta data dalle equazioni

Per costruire una retta è sufficiente trovare due punti qualsiasi. Il modo più semplice è selezionare i punti di intersezione di una linea retta con i piani coordinati. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni della retta, assumendo z= 0:

Avendo risolto questo sistema, troviamo il punto M 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, supponendo sì= 0, otteniamo il punto di intersezione della linea con il piano xOz:

Dalle equazioni generali di una retta si può passare alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo è necessario trovare un punto M 1 su una retta e il vettore direzione di una retta.

Coordinate del punto M 1 si ottiene da questo sistema di equazioni, dando ad una delle coordinate un valore arbitrario. Per trovare il vettore direzione, nota che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali E . Quindi oltre il vettore direzione della retta l puoi prendere il prodotto vettoriale di vettori normali:

.

Esempio. Fornire le equazioni generali della retta alla forma canonica.

Troviamo un punto che giace su una retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, sì= 0 e risolvi il sistema di equazioni:

I vettori normali dei piani che definiscono la linea hanno coordinate Pertanto, il vettore direzione sarà rettilineo

. Quindi, l: .

ANGOLO TRA RETTA

Angolo tra linee rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due linee rette passanti per un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due linee nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee rette può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Da , quindi utilizzando la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Questo materiale è dedicato a un concetto come l'angolo tra due linee che si intersecano. Nel primo paragrafo spiegheremo di cosa si tratta e lo mostreremo tramite illustrazioni. Quindi esamineremo i modi in cui puoi trovare il seno, il coseno di questo angolo e l'angolo stesso (considereremo separatamente i casi con uno spazio piano e tridimensionale), forniremo le formule necessarie e mostreremo esattamente con esempi come vengono utilizzati nella pratica.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Per capire quale sia l'angolo che si forma quando due linee si intersecano, dobbiamo ricordare la definizione stessa di angolo, perpendicolarità e punto di intersezione.

Definizione 1

Due rette si dicono intersecanti se hanno un punto in comune. Questo punto è chiamato punto di intersezione di due linee.

Ogni linea retta è divisa in raggi da un punto di intersezione. Entrambe le rette formano 4 angoli, di cui due verticali e due adiacenti. Se conosciamo la misura di uno di essi, possiamo determinare i restanti.

Diciamo che sappiamo che uno degli angoli è uguale ad α. In questo caso anche l'angolo verticale rispetto ad esso sarà uguale ad α. Per trovare gli angoli rimanenti, dobbiamo calcolare la differenza 180 ° - α. Se α è uguale a 90 gradi, allora tutti gli angoli saranno retti. Le linee che si intersecano ad angolo retto sono chiamate perpendicolari (un articolo separato è dedicato al concetto di perpendicolarità).

Dai un'occhiata all'immagine:

Passiamo alla formulazione della definizione principale.

Definizione 2

L'angolo formato da due linee che si intersecano è la misura del minore dei 4 angoli che formano queste due linee.

Dalla definizione si deve trarre una conclusione importante: la dimensione dell'angolo in questo caso sarà espressa da qualsiasi numero reale nell'intervallo (0, 90). Se le linee sono perpendicolari, l'angolo tra loro sarà comunque pari a 90 gradi.

La capacità di trovare la misura dell'angolo compreso tra due rette che si intersecano è utile per risolvere molti problemi pratici. Il metodo di soluzione può essere scelto tra diverse opzioni.

Per cominciare, possiamo utilizzare metodi geometrici. Se sappiamo qualcosa sugli angoli complementari, possiamo metterli in relazione con l'angolo di cui abbiamo bisogno utilizzando le proprietà di figure uguali o simili. Ad esempio, se conosciamo i lati di un triangolo e dobbiamo calcolare l'angolo tra le linee su cui si trovano questi lati, il teorema del coseno è adatto alla nostra soluzione. Se nelle nostre condizioni abbiamo un triangolo rettangolo, per i calcoli avremo bisogno anche di conoscere il seno, il coseno e la tangente dell'angolo.

Anche il metodo delle coordinate è molto comodo per risolvere problemi di questo tipo. Spieghiamo come utilizzarlo correttamente.

Abbiamo un sistema di coordinate rettangolare (cartesiano) O x y, in cui sono date due rette. Indichiamoli con le lettere a e b. Le rette possono essere descritte utilizzando alcune equazioni. Le linee originali hanno un punto di intersezione M. Come determinare l'angolo richiesto (denotiamolo α) tra queste linee rette?

Cominciamo formulando il principio base per trovare un angolo in determinate condizioni.

Sappiamo che il concetto di linea retta è strettamente correlato a concetti come vettore direzione e vettore normale. Se abbiamo l'equazione di una certa retta, possiamo ricavarne le coordinate di questi vettori. Possiamo farlo per due linee che si intersecano contemporaneamente.

L'angolo sotteso da due rette che si intersecano può essere trovato utilizzando:

• angolo tra i vettori di direzione;
• angolo tra vettori normali;
• l'angolo tra il vettore normale di una linea e il vettore direzionale dell'altra.

Ora esaminiamo ciascun metodo separatamente.

1. Supponiamo di avere una linea a con un vettore di direzione a → = (a x, a y) e una linea b con un vettore di direzione b → (b x, b y). Ora tracciamo due vettori a → e b → dal punto di intersezione. Dopodiché vedremo che si troveranno ciascuno sulla propria retta. Quindi abbiamo quattro opzioni per la loro relativa disposizione. Vedi l'illustrazione:

Se l'angolo tra due vettori non è ottuso, allora sarà l'angolo di cui abbiamo bisogno tra le linee che si intersecano a e b. Se è ottuso, l'angolo desiderato sarà uguale all'angolo adiacente all'angolo a →, b → ^. Pertanto, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

Basandosi sul fatto che i coseni di angoli uguali sono uguali, possiamo riscrivere le uguaglianze risultanti come segue: cos α = cos a →, b → ^, se a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, se a →, b → ^ > 90 °.

Nel secondo caso sono state utilizzate formule di riduzione. Così,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Scriviamo l'ultima formula in parole:

Definizione 3

Il coseno dell'angolo formato da due rette che si intersecano sarà uguale al modulo del coseno dell'angolo compreso tra i suoi vettori di direzione.

La forma generale della formula per il coseno dell'angolo compreso tra due vettori a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) è simile alla seguente:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da esso possiamo ricavare la formula del coseno dell'angolo compreso tra due rette date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Quindi l'angolo stesso può essere trovato utilizzando la seguente formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Qui a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono i vettori di direzione delle linee date.

Facciamo un esempio di risoluzione del problema.

Esempio 1

In un sistema di coordinate rettangolare su un piano sono date due linee che si intersecano a e b. Possono essere descritti dalle equazioni parametriche x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R e x 5 = y - 6 - 3. Calcola l'angolo tra queste linee.

Soluzione

Nella nostra condizione abbiamo un'equazione parametrica, il che significa che per questa linea possiamo immediatamente scrivere le coordinate del suo vettore di direzione. Per fare ciò, dobbiamo prendere i valori dei coefficienti del parametro, ad es. la retta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R avrà un vettore direzione a → = (4, 1).

La seconda riga è descritta utilizzando l'equazione canonica x 5 = y - 6 - 3. Qui possiamo prendere le coordinate dai denominatori. Pertanto, questa linea ha un vettore di direzione b → = (5 , - 3) .

Successivamente, passiamo direttamente alla ricerca dell'angolo. Per fare ciò, sostituisci semplicemente le coordinate esistenti dei due vettori nella formula sopra α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Otteniamo quanto segue:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Risposta: Queste linee rette formano un angolo di 45 gradi.

Possiamo risolvere un problema simile trovando l'angolo tra i vettori normali. Se abbiamo una linea a con un vettore normale n a → = (n a x , n a y) e una linea b con un vettore normale n b → = (n b x , n b y), allora l'angolo tra loro sarà uguale all'angolo tra n a → e n b → oppure l'angolo che sarà adiacente a n a →, n b → ^. Questo metodo è mostrato nell'immagine:

Le formule per calcolare il coseno dell'angolo tra le linee che si intersecano e questo angolo stesso utilizzando le coordinate dei vettori normali appaiono così:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Qui n a → e n b → denotano i vettori normali di due linee date.

Esempio 2

In un sistema di coordinate rettangolari, due rette vengono date utilizzando le equazioni 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0. Trova il seno e il coseno dell'angolo compreso tra loro e l'ampiezza di questo angolo stesso.

Soluzione

Le linee originali vengono specificate utilizzando equazioni di linee normali della forma A x + B y + C = 0. Indichiamo il vettore normale come n → = (A, B). Troviamo le coordinate del primo vettore normale per una linea e scriviamole: n a → = (3, 5) . Per la seconda linea x + 4 y - 17 = 0, il vettore normale avrà coordinate n b → = (1, 4). Ora aggiungiamo i valori ottenuti alla formula e calcoliamo il totale:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Se conosciamo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno utilizzando l'identità trigonometrica di base. Poiché l'angolo α formato dalle rette non è ottuso, allora sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

In questo caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Risposta: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizziamo l'ultimo caso: trovare l'angolo tra rette se conosciamo le coordinate del vettore direzione di una retta e del vettore normale dell'altra.

Supponiamo che la retta a abbia un vettore direzione a → = (a x , a y) , e la retta b abbia un vettore normale n b → = (n b x , n b y) . Dobbiamo allontanare questi vettori dal punto di intersezione e considerare tutte le opzioni per le loro posizioni relative. Vedi nella foto:

Se l'angolo tra i vettori indicati non è superiore a 90 gradi, risulta che completerà l'angolo tra aeb formando un angolo retto.

a → , n b → ^ = 90 ° - α se a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Se è inferiore a 90 gradi, otteniamo quanto segue:

a → , n b → ^ > 90 ° , quindi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Usando la regola dell'uguaglianza dei coseni di angoli uguali, scriviamo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α per a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α per a → , n b → ^ > 90 ° .

Così,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formuliamo una conclusione.

Definizione 4

Per trovare il seno dell'angolo tra due linee che si intersecano su un piano, devi calcolare il modulo del coseno dell'angolo tra il vettore direzione della prima linea e il vettore normale della seconda.

Scriviamo le formule necessarie. Trovare il seno di un angolo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Trovare l'angolo stesso:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Qui a → è il vettore direzione della prima linea, e n b → è il vettore normale della seconda.

Esempio 3

Due linee che si intersecano sono date dalle equazioni x - 5 = y - 6 3 e x + 4 y - 17 = 0. Trova l'angolo di intersezione.

Soluzione

Prendiamo le coordinate della guida e del vettore normale dalle equazioni fornite. Risulta a → = (- 5, 3) en → b = (1, 4). Prendiamo la formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e calcoliamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Tieni presente che abbiamo preso le equazioni del problema precedente e abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma in modo diverso.

Risposta:α = a rc sin 7 2 34

Presentiamo un altro modo per trovare l'angolo desiderato utilizzando i coefficienti angolari di determinate rette.

Abbiamo una linea a, che è definita in un sistema di coordinate rettangolari utilizzando l'equazione y = k 1 x + b 1, e una linea b, definita come y = k 2 x + b 2. Queste sono equazioni di rette con pendenze. Per trovare l'angolo di intersezione usiamo la formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dove k 1 e k 2 sono le pendenze delle rette date. Per ottenere questo record sono state utilizzate formule per determinare l'angolo attraverso le coordinate dei vettori normali.

Esempio 4

Ci sono due rette che si intersecano in un piano, date dalle equazioni y = - 3 5 x + 6 e y = - 1 4 x + 17 4. Calcolare il valore dell'angolo di intersezione.

Soluzione

I coefficienti angolari delle nostre linee sono pari a k ​​1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4. Aggiungiamoli alla formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcoliamo:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

Risposta:α = a rc cos 23 2 34

Nelle conclusioni di questo paragrafo, va notato che le formule per trovare l'angolo qui fornite non devono essere imparate a memoria. Per fare ciò è sufficiente conoscere le coordinate delle guide e/o dei vettori normali di determinate rette ed essere in grado di determinarle utilizzando diversi tipi di equazioni. Ma è meglio ricordare o scrivere le formule per calcolare il coseno di un angolo.

Come calcolare l'angolo tra le linee che si intersecano nello spazio

Il calcolo di tale angolo può essere ridotto al calcolo delle coordinate dei vettori di direzione e alla determinazione dell'ampiezza dell'angolo formato da questi vettori. Per tali esempi viene utilizzato lo stesso ragionamento che abbiamo fornito prima.

Supponiamo di avere un sistema di coordinate rettangolare situato nello spazio tridimensionale. Contiene due rette a e b con un punto di intersezione M. Per calcolare le coordinate dei vettori di direzione, dobbiamo conoscere le equazioni di queste linee. Indichiamo i vettori di direzione a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Per calcolare il coseno dell'angolo compreso tra loro, usiamo la formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Per trovare l'angolo stesso, abbiamo bisogno di questa formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Esempio 5

Abbiamo una linea definita nello spazio tridimensionale usando l'equazione x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. È noto che interseca l'asse O z. Calcola l'angolo di intercetta e il coseno di quell'angolo.

Soluzione

Indichiamo l'angolo che deve essere calcolato con la lettera α. Scriviamo le coordinate del vettore direzione per la prima retta – a → = (1, - 3, - 2) . Per l'asse applicato possiamo prendere come guida il vettore delle coordinate k → = (0, 0, 1). Abbiamo ricevuto i dati necessari e possiamo aggiungerli alla formula desiderata:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Di conseguenza, abbiamo scoperto che l'angolo di cui abbiamo bisogno sarà uguale a a r c cos 1 2 = 45 °.

Risposta: cosα = 1 2 , α = 45 ° .

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Siano due rette l e m su un piano in un sistema di coordinate cartesiane date dalle equazioni generali: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vettori normali a queste linee: = (A 1 , B 1) – alla linea l,

= (A 2 , B 2) – alla linea m.

Sia j l'angolo tra le linee l e m.

Poiché gli angoli con i lati reciprocamente perpendicolari sono uguali o la loro somma dà p, allora , cioè cos j = .

Abbiamo quindi dimostrato il seguente teorema.

Teorema. Sia j l'angolo tra due linee sul piano, e queste linee siano specificate nel sistema di coordinate cartesiane dalle equazioni generali A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Allora cos j = .

Esercizi.

1) Derivare una formula per calcolare l'angolo tra linee rette se:

(1) entrambe le linee sono specificate parametricamente; (2) entrambe le rette sono date da equazioni canoniche; (3) una linea è specificata parametricamente, l'altra linea è specificata da un'equazione generale; (4) entrambe le rette sono date da un'equazione con un coefficiente angolare.

2) Sia j l'angolo formato da due rette su un piano e queste rette siano definite in un sistema di coordinate cartesiane dalle equazioni y = k 1 x + b 1 e y =k 2 x + b 2 .

Allora tan j = .

3) Esplora la posizione relativa di due linee rette, data da equazioni generali nel sistema di coordinate cartesiane, e compila la tabella:

La distanza da un punto ad una linea retta su un piano.

Sia la retta l su un piano nel sistema di coordinate cartesiane data dall'equazione generale Ax + By + C = 0. Troviamo la distanza dal punto M(x 0 , y 0) alla retta l.

La distanza dal punto M alla retta l è la lunghezza della perpendicolare HM (H О l, HM ^ l).

Il vettore e il vettore normale alla retta l sono collineari, quindi | | = | | | | e | | = .

Sia le coordinate del punto H (x,y).

Poiché il punto H appartiene alla linea l, allora Ax + By + C = 0 (*).

Coordinate dei vettori e: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, vedi (*))

Teorema. Lascia che la linea retta l sia specificata nel sistema di coordinate cartesiane dall'equazione generale Ax + By + C = 0. Quindi la distanza dal punto M(x 0 , y 0) a questa linea retta viene calcolata con la formula: r ( M; l) = .

Esercizi.

1) Derivare una formula per calcolare la distanza da un punto a una linea se: (1) la linea è data parametricamente; (2) la linea è data alle equazioni canoniche; (3) la retta è data da un'equazione a coefficiente angolare.

2) Scrivi l'equazione di una circonferenza tangente alla retta 3x – y = 0, con centro nel punto Q(-2,4).

3) Scrivi a metà le equazioni delle rette che dividono gli angoli formati dall'intersezione delle rette 2x + y - 1 = 0 e x + y + 1 = 0.

§ 27. Definizione analitica di piano nello spazio

Definizione. Il vettore normale al piano chiameremo un vettore diverso da zero, qualsiasi rappresentante del quale è perpendicolare a un dato piano.

Commento.È chiaro che se almeno un rappresentante del vettore è perpendicolare al piano, allora tutti gli altri rappresentanti del vettore sono perpendicolari a questo piano.

Sia dato un sistema di coordinate cartesiane nello spazio.

Sia dato un piano, = (A, B, C) – il vettore normale a questo piano, il punto M (x 0 , y 0 , z 0) appartiene al piano a.

Per ogni punto N(x, y, z) del piano a, i vettori e sono ortogonali, cioè il loro prodotto scalare è uguale a zero: = 0. Scriviamo l'ultima uguaglianza in coordinate: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Sia -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, quindi Ax + By + Cz + D = 0.

Prendiamo un punto K (x, y) tale che Ax + By + Cz + D = 0. Poiché D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, allora A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Poiché le coordinate del segmento orientato = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), l'ultima uguaglianza significa che ^, e, quindi, K О a.

Abbiamo quindi dimostrato il seguente teorema:

Teorema. Qualsiasi piano nello spazio in un sistema di coordinate cartesiane può essere specificato da un'equazione della forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), dove (A, B, C) sono i coordinate del vettore normale a questo piano.

È vero anche il contrario.

Teorema. Qualsiasi equazione della forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) nel sistema di coordinate cartesiane specifica un certo piano e (A, B, C) sono le coordinate della normale vettore su questo piano.

Prova.

Prendi un punto M (x 0 , y 0 , z 0) tale che Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 e vettore = (A, B, C) ( ≠ q).

Per il punto M passa un piano (e uno solo) perpendicolare al vettore. Secondo il teorema precedente questo piano è dato dall’equazione Ax + By + Cz + D = 0.

Definizione. Un'equazione della forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) è chiamata equazione del piano generale.

Esempio.

Scriviamo l'equazione del piano passante per i punti M (0,2,4), N (1,-1,0) e K (-1,0,5).

1. Trova le coordinate del vettore normale al piano (MNK). Poiché il prodotto vettoriale ´ è ortogonale ai vettori non collineari e , allora il vettore è collineare ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Quindi, come vettore normale prendiamo il vettore = (-11, 3, -5).

2. Utilizziamo ora i risultati del primo teorema:

equazione di questo piano A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, dove (A, B, C) sono le coordinate del vettore normale, (x 0 , y 0 , z 0) – coordinate di un punto che giace nel piano (ad esempio, punto M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Risposta: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Esercizi.

1) Scrivi l'equazione del piano se

(1) il piano passa per il punto M (-2,3,0) parallelo al piano 3x + y + z = 0;

(2) il piano contiene l'asse (Ox) ed è perpendicolare al piano x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Scrivi l'equazione del piano passante per i tre punti dati.

§ 28. Definizione analitica di semispazio*

Commento*. Lascia che qualche aereo venga riparato. Sotto mezzo spazio intenderemo l'insieme dei punti che giacciono su un lato di un dato piano, cioè due punti giacciono nello stesso semispazio se il segmento che li collega non interseca il piano dato. Questo aereo si chiama il confine di questo semispazio. Verrà chiamata l'unione di questo piano e del semispazio semispazio chiuso.

Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane.

Teorema. Sia il piano a dato dall'equazione generale Ax + By + Cz + D = 0. Allora uno dei due semispazi in cui il piano a divide lo spazio è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D > 0 , e il secondo semispazio è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D< 0.

Prova.

Tracciamo il vettore normale = (A, B, C) al piano a dal punto M (x 0 , y 0 , z 0) che giace su questo piano: = , M О a, MN ^ a. Il piano divide lo spazio in due semispazi: b 1 e b 2. È chiaro che il punto N appartiene ad uno di questi semispazi. Senza perdita di generalità, assumeremo che N О b 1 .

Dimostriamo che il semispazio b 1 è definito dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D > 0.

1) Prendiamo un punto K(x,y,z) nel semispazio b 1 . L'angolo Ð NMK è l'angolo tra i vettori e - acuto, quindi il prodotto scalare di questi vettori è positivo: > 0. Scriviamo questa disuguaglianza in coordinate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, cioè Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Poiché M О b 1, allora Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, quindi -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Pertanto, l'ultima disuguaglianza può essere scritta come segue: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Prendiamo un punto L(x,y) tale che Ax + By + Cz + D > 0.

Riscriviamo la disuguaglianza sostituendo D con (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (poiché M О b 1, quindi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Un vettore con coordinate (x - x 0,y - y 0, z - z 0) è un vettore, quindi l'espressione A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) può essere inteso come prodotto scalare di vettori e . Poiché il prodotto scalare dei vettori e è positivo, l'angolo tra loro è acuto e il punto L О b 1 .

Allo stesso modo possiamo dimostrare che il semispazio b 2 è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D< 0.

Appunti.

1) È chiaro che la dimostrazione data sopra non dipende dalla scelta del punto M nel piano a.

2) È chiaro che lo stesso semispazio può essere definito da diverse disuguaglianze.

È vero anche il contrario.

Teorema. Qualsiasi disuguaglianza lineare della forma Ax + By + Cz + D > 0 (o Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Prova.

L'equazione Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) nello spazio definisce un certo piano a (vedi § ...). Come dimostrato nel teorema precedente, uno dei due semispazi in cui il piano divide lo spazio è dato dalla disuguaglianza Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Appunti.

1) È chiaro che un semispazio chiuso può essere definito da una disuguaglianza lineare non rigorosa, e qualsiasi disuguaglianza lineare non rigorosa nel sistema di coordinate cartesiane definisce un semispazio chiuso.

2) Qualsiasi poliedro convesso può essere definito come l'intersezione di semispazi chiusi (i cui confini sono piani contenenti le facce del poliedro), cioè analiticamente - da un sistema di disuguaglianze lineari non rigide.

Esercizi.

1) Dimostrare i due teoremi presentati per un sistema di coordinate affine arbitrario.

2) È vero il contrario, ovvero che qualsiasi sistema di disuguaglianze lineari non strette definisce un poligono convesso?

Esercizio.

1) Investiga le posizioni relative di due piani definiti da equazioni generali nel sistema di coordinate cartesiane e compila la tabella.