Risolvi equazioni razionali frazionarie online. Risoluzione di equazioni esponenziali in matematica

Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:

1. Non hanno radici;
2. Avere esattamente una radice;
3. Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.

Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se d< 0, корней нет;
2. Se D = 0, esiste esattamente una radice;
3. Se D > 0 ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

1. x2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è zero, la radice sarà uno.

Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.

Radici di un'equazione quadratica

Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:

Formula base per le radici di un'equazione quadratica

Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]

Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, annota ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.

Equazioni quadratiche incomplete

Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2-16 = 0.

È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.

Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':

Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:

1. Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
2. Se (−c /a)< 0, корней нет.

Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.

Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:

Togliendo il fattore comune tra parentesi

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:

Compito. Risolvere equazioni quadratiche:

1. x2-7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Nel corso di matematica di 7a elementare, ci incontriamo per la prima volta equazioni con due variabili, ma sono studiati solo nel contesto di sistemi di equazioni a due incognite. Ecco perché cadono in disuso tutta una serie di problemi in cui vengono introdotte determinate condizioni sui coefficienti dell'equazione che li limitano. Inoltre, vengono ignorati anche i metodi per risolvere problemi come "Risolvere un'equazione in numeri naturali o interi", sebbene problemi di questo tipo si trovino sempre più spesso nei materiali dell'Esame di Stato Unificato e negli esami di ammissione.

Quale equazione sarà chiamata equazione a due variabili?

Quindi, ad esempio, le equazioni 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 sono equazioni in due variabili.

Considera l'equazione 2x – y = 1. Diventa vera quando x = 2 e y = 3, quindi questa coppia di valori variabili è una soluzione dell'equazione in questione.

Pertanto, la soluzione di qualsiasi equazione a due variabili è un insieme di coppie ordinate (x; y), valori delle variabili che trasformano questa equazione in una vera uguaglianza numerica.

Un'equazione in due incognite può:

UN) avere una soluzione. Ad esempio, l'equazione x 2 + 5y 2 = 0 ha un'unica soluzione (0; 0);

B) avere più soluzioni. Ad esempio, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ha 4 soluzioni: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) non avere soluzioni. Ad esempio, l'equazione x 2 + y 2 + 1 = 0 non ha soluzioni;

G) avere infinite soluzioni. Ad esempio, x + y = 3. Le soluzioni di questa equazione saranno numeri la cui somma è uguale a 3. L'insieme delle soluzioni di questa equazione può essere scritto nella forma (k; 3 – k), dove k è qualsiasi numero reale numero.

I metodi principali per risolvere equazioni con due variabili sono metodi basati su espressioni di fattorizzazione, isolando un quadrato completo, utilizzando le proprietà di un'equazione quadratica, espressioni limitate e metodi di stima. L'equazione viene solitamente trasformata in una forma da cui si può ottenere un sistema per trovare le incognite.

Fattorizzazione

Esempio 1.

Risolvi l'equazione: xy – 2 = 2x – y.

Soluzione.

Raggruppiamo i termini ai fini della fattorizzazione:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Da ciascuna parentesi estraiamo un fattore comune:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Abbiamo:

y = 2, x – qualsiasi numero reale oppure x = -1, y – qualsiasi numero reale.

Così, la risposta è tutte le coppie della forma (x; 2), x € R e (-1; y), y € R.

Uguaglianza dei numeri non negativi a zero

Esempio 2.

Risolvi l'equazione: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluzione.

Raggruppamento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ora ciascuna parentesi può essere piegata utilizzando la formula della differenza quadrata.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La somma di due espressioni non negative è zero solo se 3x – 2 = 0 e 2y – 3 = 0.

Ciò significa x = 2/3 e y = 3/2.

Risposta: (2/3; 3/2).

Metodo di stima

Esempio 3.

Risolvi l'equazione: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluzione.

In ogni parentesi selezioniamo un quadrato completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Stimiamo il significato delle espressioni tra parentesi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 e (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, allora il lato sinistro dell'equazione è sempre almeno 2. L'uguaglianza è possibile se:

(x + 1) 2 + 1 = 1 e (y – 2) 2 + 2 = 2, il che significa x = -1, y = 2.

Risposta: (-1; 2).

Facciamo conoscenza con un altro metodo per risolvere equazioni con due variabili di secondo grado. Questo metodo consiste nel trattare l'equazione come quadrato rispetto ad una variabile.

Esempio 4.

Risolvi l'equazione: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluzione.

Risolviamo l'equazione come equazione quadratica per x. Troviamo il discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . L'equazione avrà soluzione solo quando D = 0, cioè se y = 4. Sostituiamo il valore di y nell'equazione originale e troviamo che x = 3.

Risposta: (3; 4).

Spesso nelle equazioni con due incognite indicano restrizioni sulle variabili.

Esempio 5.

Risolvi l'equazione in numeri interi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluzione.

Riscriviamo l'equazione nella forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Il lato destro dell'equazione risultante quando diviso per 5 dà un resto di 2. Pertanto, x 2 non è divisibile per 5. Ma il quadrato di a un numero non divisibile per 5 dà resto 1 o 4. Pertanto l'uguaglianza è impossibile e non ci sono soluzioni.

Risposta: nessuna radice.

Esempio 6.

Risolvi l'equazione: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluzione.

Evidenziamo i quadrati completi in ciascuna parentesi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Il lato sinistro dell'equazione è sempre maggiore o uguale a 3. L'uguaglianza è possibile a condizione che |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Quindi x = ± 2, y = -3.

Risposta: (2; -3) e (-2; -3).

Esempio 7.

Per ogni coppia di interi negativi (x;y) che soddisfano l'equazione
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcola la somma (x + y). Si prega di indicare l'importo più piccolo nella risposta.

Soluzione.

Selezioniamo i quadrati completi:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Poiché xey sono numeri interi, anche i loro quadrati sono numeri interi. Otteniamo la somma dei quadrati di due numeri interi pari a 37 se aggiungiamo 1 + 36. Pertanto:

(x – y) 2 = 36 e (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 e (y + 2) 2 = 36.

Risolvendo questi sistemi e tenendo conto che xey sono negativi, troviamo le soluzioni: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Risposta: -17.

Non disperare se hai difficoltà a risolvere le equazioni a due incognite. Con un po' di pratica, puoi gestire qualsiasi equazione.

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La potenza più alta di una variabile determina l'ordine di tale equazione. Sulla base di ciò, vengono utilizzati vari metodi e teoremi per trovare soluzioni alle equazioni. Risolvere equazioni di questo tipo significa trovare le radici richieste in forma generale. Il nostro servizio ti consente di risolvere online anche le equazioni algebriche più complesse. Puoi ottenere sia una soluzione generale dell'equazione che una particolare per i valori numerici dei coefficienti specificati. Per risolvere un'equazione algebrica sul sito è sufficiente compilare correttamente solo due campi: il lato sinistro e quello destro dell'equazione data. Le equazioni algebriche a coefficienti variabili hanno un numero infinito di soluzioni e, ponendo determinate condizioni, dall'insieme delle soluzioni vengono selezionate quelle parziali. Equazione quadrata. L'equazione quadratica ha la forma ax^2+bx+c=0 per a>0. Risolvere equazioni quadratiche implica trovare i valori di x per i quali vale l'uguaglianza ax^2+bx+c=0. Per fare ciò, trova il valore discriminante utilizzando la formula D=b^2-4ac. Se il discriminante è minore di zero, allora l'equazione non ha radici reali (le radici provengono dal campo dei numeri complessi), se è uguale a zero, allora l'equazione ha una radice reale, e se il discriminante è maggiore di zero , allora l'equazione ha due radici reali, che si trovano dalla formula: D = -b+-sqrt/2a. Per risolvere un'equazione quadratica online, devi solo inserire i coefficienti dell'equazione (interi, frazioni o decimali). Se in un'equazione sono presenti segni di sottrazione, è necessario anteporre il segno meno ai termini corrispondenti dell'equazione. Puoi risolvere un'equazione quadratica online in base al parametro, ovvero alle variabili nei coefficienti dell'equazione. Il nostro servizio online per la ricerca di soluzioni generali affronta bene questo compito. Equazioni lineari. Per risolvere equazioni lineari (o sistemi di equazioni), nella pratica vengono utilizzati quattro metodi principali. Descriveremo ciascun metodo in dettaglio. Metodo di sostituzione. Per risolvere le equazioni utilizzando il metodo di sostituzione è necessario esprimere una variabile in termini delle altre. Successivamente l'espressione viene sostituita in altre equazioni del sistema. Da qui il nome del metodo risolutivo, cioè al posto di una variabile, la sua espressione viene sostituita dalle restanti variabili. In pratica, il metodo richiede calcoli complessi, sebbene sia facile da capire, quindi risolvere un'equazione del genere online aiuterà a risparmiare tempo e a semplificare i calcoli. Devi solo indicare il numero di incognite nell'equazione e inserire i dati delle equazioni lineari, quindi il servizio effettuerà il calcolo. Metodo di Gauss. Il metodo si basa sulle trasformazioni più semplici del sistema per arrivare ad un sistema triangolare equivalente. Da esso, le incognite vengono determinate una per una. In pratica, è necessario risolvere un'equazione del genere online con una descrizione dettagliata, grazie alla quale avrai una buona conoscenza del metodo gaussiano per risolvere i sistemi di equazioni lineari. Annota il sistema di equazioni lineari nel formato corretto e prendi in considerazione il numero di incognite per risolvere accuratamente il sistema. Il metodo di Cramer. Questo metodo risolve sistemi di equazioni nei casi in cui il sistema ha un'unica soluzione. L'azione matematica principale qui è il calcolo dei determinanti della matrice. La risoluzione delle equazioni utilizzando il metodo Cramer viene eseguita online, ricevi immediatamente il risultato con una descrizione completa e dettagliata. È sufficiente riempire il sistema di coefficienti e selezionare il numero di variabili sconosciute. Metodo della matrice. Questo metodo consiste nel raccogliere i coefficienti delle incognite nella matrice A, le incognite nella colonna X e i termini liberi nella colonna B. Pertanto, il sistema di equazioni lineari è ridotto a un'equazione di matrice della forma AxX=B. Questa equazione ha un'unica soluzione solo se il determinante della matrice A è diverso da zero, altrimenti il ​​sistema non ha soluzioni, oppure ha un numero infinito di soluzioni. Risolvere le equazioni utilizzando il metodo della matrice implica trovare la matrice inversa A.

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Come utilizzare la calcolatrice matematica

1. Il display (schermo della calcolatrice) mostra l'espressione inserita e il risultato del suo calcolo in simboli ordinari, come scriviamo su carta. Questo campo serve semplicemente per visualizzare la transazione corrente. La voce viene visualizzata sul display mentre si digita un'espressione matematica nella riga di input.

2. Il campo di immissione dell'espressione è destinato alla registrazione dell'espressione da calcolare. Va notato qui che i simboli matematici utilizzati nei programmi per computer non sono sempre gli stessi che usiamo abitualmente sulla carta. Nella panoramica di ciascuna funzione della calcolatrice troverai la designazione corretta per un'operazione specifica ed esempi di calcoli nella calcolatrice. In questa pagina di seguito sono elencate tutte le operazioni possibili nella calcolatrice, indicandone anche la corretta ortografia.

3. Barra degli strumenti: questi sono i pulsanti della calcolatrice che sostituiscono l'immissione manuale di simboli matematici che indicano l'operazione corrispondente. Alcuni pulsanti della calcolatrice (funzioni aggiuntive, convertitore di unità, risoluzione di matrici ed equazioni, grafici) integrano la barra delle applicazioni con nuovi campi in cui vengono inseriti i dati per un calcolo specifico. Il campo "Cronologia" contiene esempi di scrittura di espressioni matematiche, nonché le sei voci più recenti.

Tieni presente che quando si premono i pulsanti per richiamare funzioni aggiuntive, un convertitore di unità, risolvere matrici ed equazioni e tracciare grafici, l'intero pannello della calcolatrice si sposta verso l'alto, coprendo parte del display. Compila i campi richiesti e premi il tasto "I" (evidenziato in rosso nell'immagine) per vedere il display a schermo intero.

4. Il tastierino numerico contiene numeri e simboli aritmetici. Il pulsante "C" cancella l'intera voce nel campo di immissione dell'espressione. Per eliminare i caratteri uno per uno, è necessario utilizzare la freccia a destra della riga di input.

Prova a chiudere sempre le parentesi alla fine di un'espressione. Per la maggior parte delle operazioni questo non è fondamentale; il calcolatore online calcolerà tutto correttamente. Tuttavia, in alcuni casi potrebbero verificarsi degli errori. Ad esempio, quando si eleva a una potenza frazionaria, le parentesi aperte faranno sì che il denominatore della frazione nell'esponente entri nel denominatore della base. La parentesi di chiusura viene visualizzata in grigio chiaro sul display e deve essere chiusa al termine della registrazione.

Chiave	Simbolo	Operazione
pi	pi	Costante pi greco
e	e	Numero di Eulero
%	%	Per cento
()	()	Parentesi aperte/chiuse
,	,	Virgola
peccato	peccato(?)	Seno dell'angolo
cos	cos(?)	Coseno
abbronzatura	abbronzatura(y)	Tangente
peccato	peccato()	Seno iperbolico
cosh	cosh()	Coseno iperbolico
tan	tanto()	Tangente iperbolica
peccato -1	come in()	Seno inverso
cos -1	acos()	Coseno inverso
abbronzatura -1	un'abbronzatura()	Tangente inversa
peccato -1	asinh()	Seno iperbolico inverso
cos -1	acosh()	Coseno iperbolico inverso
tan -1	atanh()	Tangente iperbolica inversa
x2	^2	Quadratura
x3	^3	Cubo
xy	^	Esponenziazione
10 volte	10^()	Esponenziazione in base 10
es	exp()	Esponenziazione del numero di Eulero
vx	quadrato(x)	Radice quadrata
3 vx	quadrato3(x)	3a radice
yvx	quadrato(x,y)	Estrazione della radice
registro 2 volte	log2(x)	Logaritmo binario
tronco d'albero	registro(x)	Logaritmo decimale
ln	ln(x)	Logaritmo naturale
logaritmo yx	log(x,y)	Logaritmo
I/II		Comprimi/Richiama funzioni aggiuntive
Unità		Convertitore di unità
Matrice		Matrici
Risolvere		Equazioni e sistemi di equazioni
		Rappresentazione grafica
Funzioni aggiuntive (chiamata con tasto II)
mod	mod	Divisione con resto
!	!	Fattoriale
io/j	io/j	Unità immaginaria
Rif	Rif()	Isolare tutta la parte reale
Io sono	Io sono()	Esclusa la parte reale
|x|	addominali()	Il valore assoluto di un numero
Arg	argomento()	Argomento della funzione
nCr	ncr()	Coefficiente binominale
GCD	MCD()	GCD
cm	cmq()	NOC
somma	somma()	Valore totale di tutte le decisioni
fac	fattorizzare()	fattorizzazione in numeri primi
diff	differenza()	Differenziazione
grado		Gradi
Rad		Radianti

Equazioni

Come risolvere le equazioni?

In questa sezione ricorderemo (o studieremo, a seconda di chi scegli) le equazioni più elementari. Allora qual è l'equazione? Nel linguaggio umano, questa è una sorta di espressione matematica in cui sono presenti un segno uguale e un'incognita. Che di solito è indicato con la lettera "X". Risolvi l'equazione- si tratta di trovare tali valori di x che, quando sostituiti in originale l'espressione ci darà l'identità corretta. Permettetemi di ricordarvi che l'identità è un'espressione fuori dubbio anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab, ecc. Allora come risolvere le equazioni? Scopriamolo.

Ci sono tutti i tipi di equazioni (sono sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere divisa in soli quattro tipi.

4. Altro.)

Tutto il resto, ovviamente, soprattutto sì...) Ciò include cubico, esponenziale, logaritmico, trigonometrico e ogni genere di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni appropriate.

Dico subito che a volte le equazioni dei primi tre tipi sono così incasinate che non le riconosci nemmeno... Niente. Impareremo come svolgerli.

E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo piazza altri, razionali frazionari - terzo, UN riposo Non osano affatto! Beh, non è che non riescano affatto a decidere, è che mi sbagliavo con la matematica.) È solo che hanno le loro tecniche e i loro metodi speciali.

Ma per qualsiasi (ripeto - per Qualunque!) le equazioni forniscono una base affidabile e sicura per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa fondazione - Sembra spaventoso, ma è molto semplice. E molto (Molto!) importante.

In realtà, la soluzione dell'equazione consiste proprio in queste trasformazioni. 99% Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" sta proprio in queste trasformazioni. È chiaro il suggerimento?)

Trasformazioni identiche di equazioni.

IN eventuali equazioni Per trovare l'ignoto, è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. E così quando l'aspetto cambia l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.

Tieni presente che si applicano queste trasformazioni specificatamente alle equazioni. Ci sono anche trasformazioni di identità in matematica espressioni. Questo è un altro argomento.

Ora ripeteremo tutto, tutto, tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.

Fondamentali perché applicabili Qualunque equazioni: lineari, quadratiche, frazionarie, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, ecc. e così via.

Prima trasformazione dell'identità: puoi aggiungere (sottrarre) a entrambi i lati di qualsiasi equazione Qualunque(ma lo stesso!) numero o espressione (inclusa un'espressione con un'incognita!). Ciò non cambia l’essenza dell’equazione.

A proposito, hai utilizzato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:

Il caso è familiare, spostiamo i due a destra e otteniamo:

In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione è due. Il risultato è lo stesso:

x+2 - 2 = 3 - 2

Lo spostamento dei termini a sinistra e a destra con un cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione dell'identità. E perché abbiamo bisogno di una conoscenza così profonda? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Per l'amor di Dio, sopportalo. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l’abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco...

Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosa diverso da zero numero o espressione. Qui appare già una limitazione comprensibile: moltiplicare per zero è stupido e dividere è completamente impossibile. Questa è la trasformazione che usi quando risolvi qualcosa di interessante come

È chiaro X= 2. Come l'hai trovato? Per selezione? O ti è venuto in mente solo adesso? Per non selezionare e non aspettare l'intuizione, devi capire che sei giusto diviso entrambi i lati dell'equazione per 5. Quando si divideva il lato sinistro (5x), il cinque veniva ridotto, lasciando X puro. Che è esattamente ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, il risultato è, ovviamente, due.

È tutto.

È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono la base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Oh! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)

Esempi di trasformazioni identiche di equazioni. Principali problemi.

Iniziamo con Primo trasformazione dell'identità. Trasferimento da sinistra a destra.

Un esempio per i più piccoli.)

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

3-2x=5-3x

Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo contiene le istruzioni per utilizzare la prima trasformazione dell'identità.) Quale espressione con una X è sulla destra? 3x? La risposta non è corretta! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando ci si sposta a sinistra, il segno cambierà in più. Risulterà:

3-2x+3x=5

Quindi, le X sono state raccolte in una pila. Entriamo nei numeri. C'è un tre a sinistra. Con quale segno? La risposta “con nessuno” non è accettata!) Davanti ai tre, infatti, non viene disegnato nulla. E questo vuol dire che prima del tre c'è più. Quindi i matematici furono d'accordo. Non c'è scritto nulla, il che significa più. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un segno meno. Noi abbiamo:

-2x+3x=5-3

Sono rimaste solo sciocchezze. A sinistra - portane di simili, a destra - conta. La risposta arriva subito:

In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione dell'identità. Il secondo non ce n'era bisogno. Allora ok.)

Un esempio per i bambini più grandi.)

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