1 secondo meraviglioso limite. Il primo limite notevole: teoria ed esempi

Trova limiti meravigliosiÈ difficile non solo per molti studenti del primo e del secondo anno che studiano la teoria dei limiti, ma anche per alcuni insegnanti.

Formula per il primo limite notevole

Conseguenze del primo limite notevole scriviamolo in formule
1. 2. 3. 4. Ma le stesse formule generali dei limiti notevoli non aiutano nessuno in un esame o in una prova. Il punto è che i compiti reali sono costruiti in modo tale che bisogna comunque arrivare alle formule scritte sopra. E la maggior parte degli studenti che saltano le lezioni, studiano questo corso in contumacia o hanno insegnanti che non sempre capiscono quello che stanno spiegando, non riescono a calcolare gli esempi più elementari fino a limiti notevoli. Dalle formule del primo limite notevole vediamo che con il loro aiuto è possibile studiare incertezze del tipo zero diviso zero per espressioni con funzioni trigonometriche. Consideriamo prima alcuni esempi del primo limite notevole, e poi studiamo il secondo limite notevole.

Esempio 1. Trova il limite della funzione sin(7*x)/(5*x)
Soluzione: come puoi vedere, la funzione sotto il limite è vicina al primo limite notevole, ma il limite della funzione stessa sicuramente non è uguale a uno. In questo tipo di compiti sui limiti, si dovrebbe selezionare al denominatore una variabile con lo stesso coefficiente di quello contenuto nella variabile sotto il seno. In questo caso dividi e moltiplica per 7

Per alcuni, tali dettagli sembreranno inutili, ma per la maggior parte degli studenti che hanno difficoltà con i limiti, li aiuteranno a comprendere meglio le regole e a padroneggiare il materiale teorico.
Inoltre, se esiste una forma inversa di una funzione, questo è anche il primo limite meraviglioso. E tutto perché il limite meraviglioso è uguale a uno

La stessa regola vale per le conseguenze del 1° limite notevole. Pertanto, se ti viene chiesto: “Qual è il primo limite notevole?” Dovresti rispondere senza esitazione che è un'unità.

Esempio 2. Trova il limite della funzione sin(6x)/tan(11x)
Soluzione: per comprendere il risultato finale, scriviamo la funzione nel modulo

Per applicare le regole del limite notevole, moltiplicare e dividere per fattori

Successivamente scriviamo il limite di un prodotto di funzioni tramite il prodotto di limiti

Senza formule complesse, abbiamo trovato il limite delle funzioni trigonometriche. Per padroneggiare formule semplici, prova a inventare e trovare il limite su 2 e 4, la formula per il corollario di 1 meraviglioso limite. Considereremo problemi più complessi.

Esempio 3: calcolare il limite (1-cos(x))/x^2
Soluzione: Quando si verifica per sostituzione, otteniamo un'incertezza pari a 0/0. Molte persone non sanno come ridurre un simile esempio a un limite notevole. Qui dovrebbe essere utilizzata la formula trigonometrica

In questo caso, il limite si trasformerà in una forma chiara

Siamo riusciti a ridurre la funzione al quadrato di un limite notevole.

Esempio 4. Trova il limite
Soluzione: durante la sostituzione, otteniamo la caratteristica familiare 0/0. Tuttavia, la variabile tende a Pi anziché a zero. Pertanto, per applicare il primo limite notevole, eseguiremo una modifica nella variabile x tale che la nuova variabile vada a zero. Per fare ciò, denotiamo il denominatore come una nuova variabile Pi-x=y

Pertanto, utilizzando la formula trigonometrica fornita nel compito precedente, l'esempio si riduce a 1 limite notevole.

Esempio 5: Calcola limite
Soluzione: Inizialmente non è chiaro come semplificare i limiti. Ma poiché esiste un esempio, deve esserci una risposta. Il fatto che la variabile vada all'unità dà, quando si sostituisce, una caratteristica della forma zero moltiplicato per infinito, quindi la tangente deve essere sostituita utilizzando la formula

Successivamente otteniamo l'incertezza richiesta 0/0. Successivamente, eseguiamo un cambio di variabili nel limite e utilizziamo la periodicità della cotangente

Le ultime sostituzioni ci permettono di utilizzare il Corollario 1 del limite notevole.

Il secondo limite notevole è uguale all'esponenziale

Questo è un classico che non è sempre facile da raggiungere nei problemi limite reali.
Nei calcoli ti serviranno i limiti sono conseguenze del secondo limite notevole:
1. 2. 3. 4.
Grazie al secondo limite notevole e alle sue conseguenze, è possibile esplorare incertezze come zero diviso zero, uno all'infinito e infinito diviso infinito, e anche nella stessa misura

Cominciamo con semplici esempi.

Esempio 6. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: applicare direttamente il 2° limite notevole non funzionerà. Innanzitutto, dovresti trasformare l'esponente in modo che assomigli all'inverso del termine tra parentesi

Questa è la tecnica per ridurre al 2° limite notevole e, in sostanza, dedurre la 2a formula per il corollario del limite.

Esempio 7. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: abbiamo compiti per la formula 3 del corollario 2 di un limite meraviglioso. Sostituendo zero si ottiene una singolarità della forma 0/0. Per elevare il limite a regola, giriamo il denominatore in modo che la variabile abbia lo stesso coefficiente del logaritmo

È anche facile da capire ed eseguire durante l'esame. Le difficoltà degli studenti nel calcolo dei limiti iniziano con i seguenti problemi.

Esempio 8. Calcolare il limite di una funzione[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Soluzione: abbiamo una singolarità di tipo 1 elevata all'infinito. Se non mi credi, puoi sostituire la “X” con infinito ovunque e assicurartene. Per costruire una regola, dividiamo il numeratore per il denominatore tra parentesi; per fare ciò, eseguiamo prima le manipolazioni

Sostituiamo l'espressione in limite e trasformiamola in 2 meravigliosi limiti

Il limite è pari alla potenza esponenziale di 10. Le costanti che sono termini con una variabile, sia tra parentesi che con un grado, non introducono alcun "tempo" - questo dovrebbe essere ricordato. E se i tuoi insegnanti ti chiedono: “Perché non converti l’indicatore?” (Per questo esempio in x-3), quindi dire che "Quando una variabile tende all'infinito, aggiungile anche 100 o sottrai 1000 e il limite rimarrà lo stesso di prima!"
Esiste un secondo modo per calcolare limiti di questo tipo. Ne parleremo nel prossimo compito.

Esempio 9. Trova il limite
Soluzione: ora eliminiamo la variabile nel numeratore e nel denominatore e trasformiamo una caratteristica in un'altra. Per ottenere il valore finale utilizziamo la formula del Corollario 2 del limite notevole

Esempio 10. Trovare il limite di una funzione
Soluzione: non tutti riescono a trovare il limite indicato. Per aumentare il limite a 2, immagina che sin (3x) sia una variabile e devi trasformare l'esponente

Successivamente, scriviamo l'indicatore come potenza a potenza


Gli argomenti intermedi sono descritti tra parentesi. Come risultato dell'utilizzo del primo e del secondo limite notevole, abbiamo ottenuto l'esponenziale in cubo.

Esempio 11. Calcolare il limite di una funzione sin(2*x)/ln(3*x+1)
Soluzione: Abbiamo un'incertezza della forma 0/0. Inoltre, vediamo che la funzione dovrebbe essere convertita per utilizzare entrambi i meravigliosi limiti. Eseguiamo le precedenti trasformazioni matematiche

Inoltre, senza difficoltà, il limite assumerà il valore

Ecco quanto ti sentirai libero su compiti, test, moduli se impari a scrivere rapidamente le funzioni e a ridurle al primo o al secondo meraviglioso limite. Se hai difficoltà a memorizzare i metodi indicati per trovare i limiti, puoi sempre ordinare da noi un test sui limiti.
Per fare ciò, compila il modulo, fornisci i dati e allega un file con esempi. Abbiamo aiutato molti studenti: possiamo aiutare anche te!

Dall'articolo sopra puoi scoprire qual è il limite e con cosa viene mangiato: questo è MOLTO importante. Perché? Potresti non capire cosa sono i determinanti e risolverli con successo; potresti non capire affatto cosa sia un derivato e trovarli con una “A”. Ma se non capisci cos'è un limite, sarà difficile risolvere compiti pratici. Sarebbe anche una buona idea familiarizzare con le soluzioni campione e i miei consigli di progettazione. Tutte le informazioni sono presentate in una forma semplice e accessibile.

E ai fini di questa lezione avremo bisogno del seguente materiale didattico: Limiti meravigliosi E Formule trigonometriche. Si possono trovare nella pagina. È meglio stampare i manuali: è molto più conveniente e inoltre dovrai spesso consultarli offline.

Cosa c'è di così speciale nei limiti notevoli? La cosa notevole di questi limiti è che sono stati dimostrati dalle più grandi menti di famosi matematici, e i discendenti riconoscenti non dovranno soffrire di limiti terribili con una pila di funzioni trigonometriche, logaritmi, potenze. Cioè, quando troveremo i limiti, utilizzeremo risultati già pronti che sono stati dimostrati teoricamente.

Esistono diversi meravigliosi limiti, ma in pratica, nel 95% dei casi, gli studenti part-time hanno due meravigliosi limiti: Il primo meraviglioso limite, Secondo meraviglioso limite. Va notato che questi sono nomi storicamente stabiliti e quando, ad esempio, parlano del "primo limite notevole", intendono con questo una cosa molto specifica, e non un limite casuale preso dal soffitto.

Il primo meraviglioso limite

Considera il seguente limite: (al posto della lettera nativa “egli” userò la lettera greca “alfa”, questo è più conveniente dal punto di vista della presentazione del materiale).

Secondo la nostra regola per la ricerca dei limiti (vedi articolo Limiti. Esempi di soluzioni) proviamo a sostituire lo zero nella funzione: al numeratore otteniamo zero (il seno di zero è zero), e al denominatore, ovviamente, c'è anche zero. Ci troviamo quindi di fronte ad un'incertezza della forma che, fortunatamente, non ha bisogno di essere rivelata. Nel corso dell’analisi matematica, è dimostrato che:

Questo fatto matematico si chiama Il primo meraviglioso limite. Non darò una dimostrazione analitica del limite, ma ne vedremo il significato geometrico nella lezione su funzioni infinitesimali.

Spesso nei compiti pratici le funzioni possono essere organizzate diversamente, questo non cambia nulla:

- lo stesso primo meraviglioso limite.

Ma non puoi riorganizzare il numeratore e il denominatore da solo! Se un limite è dato nella forma , allora deve essere risolto nella stessa forma, senza riorganizzare nulla.

In pratica, non solo una variabile, ma anche una funzione elementare o una funzione complessa possono fungere da parametro. L'unica cosa importante è che tenda a zero.

Esempi:
, , ,

Qui , , , e tutto va bene: vale il primo meraviglioso limite.

Ma la seguente voce è un'eresia:

Perché? Poiché il polinomio non tende a zero, tende a cinque.

A proposito, una domanda veloce: qual è il limite? ? La risposta si trova alla fine della lezione.

In pratica, non tutto è così fluido: quasi mai allo studente viene offerto di risolvere un limite gratuito e ottenere un passaggio facile. Hmmm... Sto scrivendo queste righe e mi è venuto in mente un pensiero molto importante: dopo tutto, è meglio ricordare a memoria le definizioni e le formule matematiche "libere", questo può fornire un aiuto inestimabile nel test, quando la domanda sarà si decide tra “due” e “tre”, e l'insegnante decide di porre allo studente qualche semplice domanda o offrirsi di risolvere un semplice esempio (“forse sa ancora cosa?!”).

Passiamo a considerare esempi pratici:

Esempio 1

Trova il limite

Se notiamo un seno nel limite, ciò dovrebbe immediatamente portarci a pensare alla possibilità di applicare il primo limite notevole.

Per prima cosa proviamo a sostituire 0 nell'espressione sotto il segno limite (lo facciamo mentalmente o in una bozza):

Quindi abbiamo un’incertezza della forma assicurati di indicare nel prendere una decisione. L'espressione sotto il segno limite è simile al primo meraviglioso limite, ma non è esattamente così, è sotto il seno, ma al denominatore.

In questi casi è necessario organizzare noi stessi il primo limite notevole, utilizzando una tecnica artificiale. Il ragionamento potrebbe essere il seguente: “sotto il seno abbiamo , il che significa che dobbiamo inserire anche il denominatore”.
E questo viene fatto in modo molto semplice:

Cioè, il denominatore in questo caso viene moltiplicato artificialmente per 7 e diviso per gli stessi sette. Ora la nostra registrazione ha assunto una forma familiare.
Quando il compito viene redatto a mano, è consigliabile segnare con una matita semplice il primo limite notevole:

Quello che è successo? In effetti, la nostra espressione cerchiata si è trasformata in un'unità ed è scomparsa nell'opera:

Ora non resta che eliminare la frazione di tre piani:

Chi ha dimenticato la semplificazione delle frazioni multilivello, aggiorna il materiale nel libro di consultazione Formule calde per il corso di matematica scolastica .

Pronto. Risposta finale:

Se non vuoi usare i segni della matita, la soluzione può essere scritta in questo modo:

“

Usiamo il primo limite meraviglioso

“

Esempio 2

Trova il limite

Ancora una volta vediamo una frazione e un seno al limite. Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Abbiamo infatti incertezza e quindi bisogna cercare di organizzare il primo meraviglioso limite. Alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni abbiamo considerato la regola secondo cui quando abbiamo incertezza, dobbiamo fattorizzare il numeratore e il denominatore. Qui è la stessa cosa, rappresenteremo i gradi come un prodotto (moltiplicatori):

Similmente all’esempio precedente, disegniamo con una matita i limiti notevoli (qui ce ne sono due), e indichiamo che tendono all’unità:

In realtà la risposta è già pronta:

Nei seguenti esempi, non realizzerò disegni con Paint, penso a come elaborare correttamente una soluzione su un taccuino: lo capisci già.

Esempio 3

Trova il limite

Sostituiamo lo zero nell'espressione sotto il segno limite:

È stata ottenuta un'incertezza che deve essere divulgata. Se c'è una tangente nel limite, viene quasi sempre convertita in seno e coseno usando la nota formula trigonometrica (a proposito, fanno approssimativamente la stessa cosa con la cotangente, vedi materiale metodologico Formule trigonometriche calde Sulla pagina Formule matematiche, tabelle e materiali di riferimento).

In questo caso:

Il coseno di zero è uguale a uno, ed è facile eliminarlo (non dimenticare di segnare che tende a uno):

Pertanto, se al limite il coseno è un MOLTIPLICATORE, allora, grosso modo, deve essere trasformato in un'unità, che scompare nel prodotto.

Qui tutto si è rivelato più semplice, senza moltiplicazioni e divisioni. Anche il primo limite notevole si trasforma in uno e scompare nel prodotto:

Di conseguenza, si ottiene l'infinito e questo accade.

Esempio 4

Trova il limite

Proviamo a sostituire lo zero al numeratore e al denominatore:

Si ottiene l'incertezza (il coseno di zero, come ricordiamo, è uguale a uno)

Usiamo la formula trigonometrica. Prendi nota! Per qualche ragione, i limiti che utilizzano questa formula sono molto comuni.

Spostiamo i fattori costanti oltre l'icona limite:

Organizziamo il primo meraviglioso limite:

Qui abbiamo solo un limite notevole, che si trasforma in uno e scompare nel prodotto:

Eliminiamo la struttura a tre piani:

Il limite è effettivamente risolto, indichiamo che il seno rimanente tende a zero:

Esempio 5

Trova il limite

Questo esempio è più complicato, prova a capirlo da solo:

Alcuni limiti possono essere ridotti al 1° limite notevole modificando una variabile, puoi leggere questo argomento più avanti nell'articolo Metodi per risolvere i limiti.

Secondo meraviglioso limite

Nella teoria dell’analisi matematica è stato dimostrato che:

Questo fatto si chiama secondo meraviglioso limite.

Riferimento: è un numero irrazionale.

Il parametro può essere non solo una variabile, ma anche una funzione complessa. L’unica cosa importante è che tende all’infinito.

Esempio 6

Trova il limite

Quando l'espressione sotto il segno limite è in un grado, questo è il primo segno che devi provare ad applicare il secondo meraviglioso limite.

Ma prima, come sempre, proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione, il principio con cui ciò viene fatto è discusso nella lezione Limiti. Esempi di soluzioni.

È facile notare che quando la base del grado è , e l'esponente è , cioè c'è incertezza della forma:

Questa incertezza viene rivelata proprio con l'aiuto del secondo limite notevole. Ma, come spesso accade, il secondo meraviglioso limite non è posto su un piatto d’argento, e necessita di essere organizzato artificialmente. Puoi ragionare così: in questo esempio il parametro è , il che significa che dobbiamo organizzare anche l'indicatore. Per fare ciò eleviamo la base alla potenza, e affinché l'espressione non cambi, la eleviamo alla potenza:

Quando l'attività è completata a mano, segniamo con una matita:

Quasi tutto è pronto, la terribile laurea si è trasformata in una bella lettera:

In questo caso, spostiamo l'icona del limite stessa sull'indicatore:

Esempio 7

Trova il limite

Attenzione! Questo tipo di limite si verifica molto spesso, studia questo esempio con molta attenzione.

Proviamo a sostituire un numero infinitamente grande nell'espressione sotto il segno limite:

Il risultato è l’incertezza. Ma il secondo notevole limite riguarda l’incertezza della forma. Cosa fare? Dobbiamo convertire la base della laurea. Ragioniamo così: al denominatore abbiamo , il che significa che al numeratore dobbiamo organizzare anche .

Ora, con l’animo sereno, passiamo alle considerazioni limiti meravigliosi.
sembra .

Al posto della variabile x possono essere presenti diverse funzioni, l'importante è che tendano a 0.

È necessario calcolare il limite

Come puoi vedere, questo limite è molto simile al primo notevole, ma non è del tutto vero. In generale, se noti un peccato nel limite, dovresti immediatamente pensare se sia possibile utilizzare il primo limite notevole.

Secondo la nostra regola n. 1, sostituiamo zero invece di x:

Otteniamo incertezza.

Ora proviamo a organizzare noi stessi il primo meraviglioso limite. Per fare ciò, facciamo una semplice combinazione:

Quindi organizziamo numeratore e denominatore per evidenziare 7x. Ora il limite notevole familiare è già apparso. Si consiglia di evidenziarlo al momento di decidere:

Sostituiamo la soluzione al primo esempio notevole e otteniamo:

Semplificando la frazione:

Risposta: 7/3.

Come puoi vedere, tutto è molto semplice.

Sembra , dove e = 2,718281828... è un numero irrazionale.

Al posto della variabile x possono essere presenti diverse funzioni, l'importante è che tendano a .

È necessario calcolare il limite

Qui vediamo la presenza di un grado sotto il segno di un limite, il che significa che è possibile utilizzare un secondo limite notevole.

Come sempre, utilizzeremo la regola n. 1: sostituire x invece di:

Si vede che in x la base del grado è , e l’esponente è 4x > , cioè otteniamo un’incertezza della forma:

Usiamo il secondo meraviglioso limite per rivelare la nostra incertezza, ma prima dobbiamo organizzarla. Come puoi vedere, dobbiamo raggiungere la presenza nell'indicatore, per cui eleviamo la base alla potenza di 3x, e contemporaneamente alla potenza di 1/3x, in modo che l'espressione non cambi:

Non dimenticare di evidenziare il nostro meraviglioso limite:

Questo è quello che sono veramente limiti meravigliosi!
Se hai ancora domande a riguardo il primo e il secondo meraviglioso limite, quindi sentiti libero di chiedere loro nei commenti.
Risponderemo a tutti il ​​più possibile.

Puoi anche lavorare con un insegnante su questo argomento.
Siamo lieti di offrirti il ​​servizio di selezione di un tutor qualificato nella tua città. I nostri partner selezioneranno rapidamente per te un buon insegnante a condizioni vantaggiose.

Non hai abbastanza informazioni? - Puoi !

Puoi scrivere calcoli matematici nei blocchi note. È molto più piacevole scrivere individualmente su quaderni con un logo (http://www.blocnot.ru).

Prova:

Dimostriamo prima il teorema per il caso della successione

Secondo la formula binomiale di Newton:

Supponendo che otteniamo

Da questa uguaglianza (1) segue che all'aumentare di n aumenta il numero di termini positivi sul membro di destra. Inoltre, all'aumentare di n, il numero diminuisce, quindi i valori Stanno aumentando. Quindi la sequenza crescente, e (2)*Mostriamo che è limitato. Sostituisci ogni parentesi sul lato destro dell'uguaglianza con una, il lato destro aumenterà e otterremo la disuguaglianza

Rafforziamo la disuguaglianza risultante, sostituiamo 3,4,5, ..., stando ai denominatori delle frazioni, con il numero 2: Troviamo la somma tra parentesi utilizzando la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica: Perciò (3)*

Quindi la successione è limitata dall’alto e le disuguaglianze (2) e (3) sono soddisfatte: Pertanto, in base al teorema di Weierstrass (criterio per la convergenza di una successione), la successione aumenta monotonicamente ed è limitato, il che significa che ha un limite, indicato con la lettera e. Quelli.

Sapendo che il secondo limite notevole è vero per valori naturali di x, dimostriamo il secondo limite notevole per x reale, cioè dimostriamo che . Consideriamo due casi:

1. Sia ogni valore di x racchiuso tra due numeri interi positivi: , dove è la parte intera di x. => =>

Se , allora Pertanto, secondo il limite Abbiamo

Basato sul criterio (sul limite di una funzione intermedia) dell'esistenza dei limiti

2. Lascia . Facciamo allora la sostituzione − x = t

Da questi due casi ne consegue che per davvero x.

Conseguenze:

9 .) Confronto tra infinitesimi. Il teorema sulla sostituzione degli infinitesimi con equivalenti nel limite e il teorema sulla parte principale degli infinitesimi.

Sia la funzione a( X) e B( X) – b.m. A X ® X 0 .

DEFINIZIONI.

1)a( X) chiamato infinitesimo di ordine superiore a B (X) Se

Scrivi: a( X) = o(b( X)) .

2)a( X) E B( X)sono chiamati infinitesimi dello stesso ordine, Se

dove CÎℝ e C¹ 0 .

Scrivi: a( X) = O(B( X)) .

3)a( X) E B( X) sono chiamati equivalente , Se

Scrivi: a( X) ~ b( X).

4)a( X) detto infinitesimo di ordine k relativo
assolutamente infinitesimale B( X), se infinitesimo UN( X)E(B( X))K hanno lo stesso ordine, cioè Se

dove CÎℝ e C¹ 0 .

TEOREMA 6 (sulla sostituzione degli infinitesimi con quelli equivalenti).

Permettere UN( X), B( X), un 1 ( X), b1 ( X)– b.m. all'x ® X 0 . Se UN( X) ~ un 1 ( X), B( X) ~ b1 ( X),

Quello

Dimostrazione: Sia a( X) ~ un 1 ( X), B( X) ~ b1 ( X), Poi

TEOREMA 7 (circa la parte principale dell'infinitesimale).

Permettere UN( X)E B( X)– b.m. all'x ® X 0 , E B( X)– b.m. ordine superiore a UN( X).

= , a poiché b( X) – ordine superiore a ( X), quindi, cioè da è chiaro che a( X) + b( X) ~ un( X)

10) Continuità di una funzione in un punto (nel linguaggio di epsilon-delta, limiti geometrici) Continuità unilaterale. Continuità su un intervallo, su un segmento. Proprietà delle funzioni continue.

1. Definizioni di base

Permettere F(X) è definito in qualche intorno del punto X 0 .

DEFINIZIONE 1. Funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 se l'uguaglianza è vera

Appunti.

1) In virtù del Teorema 5 §3, l'uguaglianza (1) può essere scritta nella forma

Condizione (2) – definizione di continuità di una funzione in un punto nel linguaggio dei limiti unilaterali.

2) L’uguaglianza (1) può anche essere scritta come:

Dicono: “se una funzione è continua in un punto X 0, allora il segno del limite e la funzione possono essere invertiti."

DEFINIZIONE 2 (in linguaggio e-d).

Funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 Se"e>0$d>0 come, Che cosa

se xОU( X 0 , d) (cioè | X – X 0 | < d),

poi f(X)ÎU( F(X 0), e) (cioè | F(X) – F(X 0) | < e).

Permettere X, X 0 Î D(F) (X 0 – fisso, X - arbitrario)

Indichiamo: D X= x-x 0 – incremento dell'argomento

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incremento della funzione al puntox 0

DEFINIZIONE 3 (geometrica).

Funzione f(X) SU chiamato continuo in un punto X 0 se a questo punto un incremento infinitesimo nell'argomento corrisponde ad un incremento infinitesimo nella funzione, cioè.

Lasciamo la funzione F(X) è definito sull'intervallo [ X 0 ; X 0 + d) (sull'intervallo ( X 0 – d; X 0 ]).

DEFINIZIONE. Funzione f(X) chiamato continuo in un punto X 0 sulla destra (Sinistra ), se l'uguaglianza è vera

E' ovvio F(X) è continua nel punto X 0 Û F(X) è continua nel punto X 0 destra e sinistra.

DEFINIZIONE. Funzione f(X) chiamato continuo per un intervallo e ( UN; B) se è continua in ogni punto di questo intervallo.

Funzione f(X) si dice continua sul segmento [UN; B] se è continua nell'intervallo (UN; B) e ha continuità unidirezionale nei punti di confine(cioè continuo nel punto UN a destra, nel punto B- Sinistra).

11) Break points, la loro classificazione

DEFINIZIONE. Se la funzione f(X) definito in qualche intorno del punto x 0 , ma non è continuo a questo punto, quindi F(X) detto discontinuo nel punto x 0 , e il punto stesso X 0 chiamato punto di interruzione funzioni f(X) .

Appunti.

1) F(X) può essere definito in un intorno incompleto del punto X 0 .

Consideriamo poi la corrispondente continuità unilaterale della funzione.

2) Dalla definizione del punto Þ X 0 è il punto di interruzione della funzione F(X) in due casi:

a) U( X 0, d)О D(F) , ma per F(X) L'uguaglianza non è valida

b) U* ( X 0, d)О D(F) .

Per le funzioni elementari è possibile solo il caso b).

Permettere X 0 – punto di interruzione della funzione F(X) .

DEFINIZIONE. Punto x 0 chiamato punto di rottura IO una specie di se la funzione f(X)ha limiti finiti a sinistra e a destra a questo punto.

Se questi limiti sono uguali, allora il punto x 0 chiamato punto di interruzione rimovibile , Altrimenti - punto di salto .

DEFINIZIONE. Punto x 0 chiamato punto di rottura II una specie di se almeno uno dei limiti unilaterali della funzione f(X)a questo punto è uguale¥ o non esiste.

12) Proprietà delle funzioni continue su un intervallo (teoremi di Weierstrass (senza dimostrazione) e di Cauchy

Teorema di Weierstrass

Sia allora la funzione f(x) continua sull'intervallo

1)f(x)è limitato a

2) f(x) assume il suo valore più piccolo e quello più grande nell'intervallo

Definizione: Il valore della funzione m=f si dice minimo se m≤f(x) per ogni x€ D(f).

Il valore della funzione m=f si dice massimo se m≥f(x) per ogni x € D(f).

La funzione può assumere il valore più piccolo/più grande in più punti del segmento.

f(x3)=f(x4)=max

Il teorema di Cauchy.

Sia la funzione f(x) continua sul segmento e sia x il numero compreso tra f(a) e f(b), allora esiste almeno un punto x 0 € tale che f(x 0)= g

La formula per il secondo limite notevole è lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Un'altra forma di scrittura è questa: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Quando parliamo del secondo limite notevole, dobbiamo occuparci dell’incertezza della forma 1 ∞, cioè unità in misura infinita.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Consideriamo problemi in cui sarà utile la capacità di calcolare il secondo limite notevole.

Esempio 1

Trova il limite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluzione

Sostituiamo la formula richiesta ed eseguiamo i calcoli.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

La nostra risposta si è rivelata una alla potenza dell'infinito. Per determinare il metodo di soluzione, utilizziamo la tabella delle incertezze. Scegliamo il secondo limite notevole e facciamo un cambio di variabili.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Se x → ∞, allora t → - ∞.

Vediamo cosa abbiamo ottenuto dopo la sostituzione:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Risposta: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Esempio 2

Calcolare il limite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Soluzione

Sostituiamo l'infinito e otteniamo quanto segue.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Nella risposta abbiamo ottenuto ancora una volta la stessa cosa del problema precedente, quindi possiamo nuovamente utilizzare il secondo limite notevole. Successivamente, dobbiamo selezionare l'intera parte alla base della funzione potenza:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Successivamente il limite assume la seguente forma:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Sostituisci le variabili. Supponiamo che t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; se x → ∞, allora t → ∞.

Successivamente, scriviamo ciò che abbiamo ottenuto nel limite originale:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Per eseguire questa trasformazione, abbiamo utilizzato le proprietà di base dei limiti e dei poteri.

Risposta: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Esempio 3

Calcolare il limite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluzione

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Successivamente, dobbiamo trasformare la funzione per applicare il secondo grande limite. Abbiamo ottenuto quanto segue:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Poiché ora abbiamo gli stessi esponenti al numeratore e al denominatore della frazione (pari a sei), il limite della frazione all'infinito sarà uguale al rapporto di questi coefficienti a potenze maggiori.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 3

Sostituendo t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 otteniamo un secondo limite notevole. Significa che cosa:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Risposta: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

conclusioni

Incertezza 1 ∞, cioè l'unità con una potenza infinita è un'incertezza della legge di potenza, pertanto può essere rivelata utilizzando le regole per trovare i limiti delle funzioni di potenza esponenziale.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio