Legge di distribuzione delle variabili aleatorie. Leggi di distribuzione per variabili casuali discrete

Uno dei concetti più importanti nella teoria della probabilità è il concetto variabile casuale.

Casuale chiamato misurare, che a seguito del test assume alcuni valori possibili, sconosciuti in anticipo e dipendenti da ragioni casuali che non possono essere prese in considerazione in anticipo.

Le variabili casuali sono designate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino X, Y, Z ecc. o in lettere maiuscole dell'alfabeto latino con indice inferiore destro, e i valori che possono assumere le variabili casuali - nelle corrispondenti lettere minuscole dell'alfabeto latino X, sì, z eccetera.

Il concetto di variabile casuale è strettamente correlato al concetto di evento casuale. Collegamento con un evento casuale sta nel fatto che l'adozione di un certo valore numerico da parte di una variabile casuale è un evento casuale caratterizzato da probabilità .

In pratica, esistono due tipi principali di variabili casuali:

1. Variabili casuali discrete;

2. Variabili casuali continue.

Una variabile casuale è una funzione numerica di eventi casuali.

Ad esempio, una variabile casuale è il numero di punti ottenuti lanciando un dado o l'altezza di uno studente selezionato casualmente da un gruppo di studio.

Variabili casuali discrete sono dette variabili casuali che assumono solo valori distanti tra loro che possono essere elencati in anticipo.

Legge della distribuzione(funzione di distribuzione e serie di distribuzione o densità di probabilità) descrivono completamente il comportamento di una variabile casuale. Ma in una serie di problemi è sufficiente conoscere alcune caratteristiche numeriche della quantità in esame (ad esempio il suo valore medio e la possibile deviazione da esso) per rispondere alla domanda posta. Consideriamo le principali caratteristiche numeriche delle variabili casuali discrete.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta ogni relazione è chiamata , stabilire una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti .

La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere rappresentata come tavoli:

			…	…
			…	…

La somma delle probabilità di tutti i possibili valori di una variabile casuale è uguale a uno, cioè

È possibile rappresentare la legge di distribuzione graficamente: lungo l'asse delle ascisse sono tracciati i possibili valori di una variabile casuale, lungo l'asse delle ordinate sono tracciate le probabilità di tali valori; i punti risultanti sono collegati da segmenti. La polilinea costruita viene chiamata poligono di distribuzione.

Esempio. Un cacciatore con 4 cartucce spara alla selvaggina finché non mette a segno il primo colpo o esaurisce tutte le cartucce. La probabilità di colpire al primo colpo è 0,7, con ogni tiro successivo diminuisce di 0,1. Elaborare una legge di distribuzione del numero di cartucce spese da un cacciatore.

Soluzione. Poiché un cacciatore, avendo 4 cartucce, può sparare quattro colpi, allora la variabile casuale X- il numero di cartucce spese dal cacciatore può assumere valori 1, 2, 3, 4. Per trovare le probabilità corrispondenti introduciamo gli eventi:

- “colpisci con io- oh colpo”, ;

- “perdere quando io- om shot”, e gli eventi e sono indipendenti a coppie.

A seconda delle condizioni del problema abbiamo:

,

Utilizzando il teorema di moltiplicazione per eventi indipendenti e il teorema di addizione per eventi incompatibili, troviamo:

(il cacciatore ha centrato il bersaglio con il primo colpo);

(il cacciatore ha centrato il bersaglio con il secondo colpo);

(il cacciatore ha centrato il bersaglio con il terzo colpo);

(il cacciatore ha centrato il bersaglio con il quarto colpo oppure ha mancato tutti e quattro i colpi).

Verifica: - vero.

Pertanto, la legge della distribuzione di una variabile casuale X ha la forma:

	0,7	0,18	0,06	0,06

Esempio. Un operaio aziona tre macchine. La probabilità che entro un'ora la prima macchina non richieda alcuna regolazione è 0,9, la seconda - 0,8, la terza - 0,7. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di macchine che richiederanno un adeguamento entro un'ora.

Soluzione. Valore casuale X- il numero di macchine che richiederanno una regolazione entro un'ora può assumere valori 0,1, 2, 3. Per trovare le probabilità corrispondenti, introduciamo gli eventi:

- “io- la macchina richiederà una regolazione entro un'ora,” ;

- “io- la macchina non richiederà alcuna regolazione entro un'ora,” .

A seconda delle condizioni del problema abbiamo:

, .

In questa pagina abbiamo raccolto una breve teoria ed esempi di risoluzione di problemi educativi in ​​cui una variabile casuale discreta è già specificata dalla sua serie di distribuzione (forma tabellare) ed è necessario studiarla: trovare caratteristiche numeriche, costruire grafici, ecc. Esempi di tipi di distribuzione conosciuti possono essere trovati ai seguenti link:

Breve teoria sul DSV

Una variabile casuale discreta è specificata dalla sua serie di distribuzione: un elenco di valori $x_i$ che può assumere e le probabilità corrispondenti $p_i=P(X=x_i)$. Il numero di valori di una variabile casuale può essere finito o numerabile. Per chiarezza considereremo il caso $i=\overline(1,n)$. Allora la rappresentazione tabellare della variabile casuale discreta ha la forma:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $

In questo caso la condizione di normalizzazione è soddisfatta: la somma di tutte le probabilità deve essere uguale a uno

$$\somma_(i=1)^(n) p_i=1$$

Graficamente è possibile rappresentare la serie di distribuzione poligono di distribuzione(O poligono di distribuzione). Per fare ciò, i punti con coordinate $(x_i,p_i)$ vengono tracciati sul piano e collegati in ordine da una linea spezzata. Troverai esempi dettagliati.

Caratteristiche numeriche del DSV

Valore atteso:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Dispersione:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Deviazione standard:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Il coefficiente di variazione:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Modalità: valore $Mo=x_k$ con la probabilità più alta $p_k=\max_i(p_i)$.

È possibile utilizzare calcolatori online per calcolare il valore atteso, la varianza e la deviazione standard del DSV.

Funzione di distribuzione DSV

Dalla serie di distribuzione si può compilare funzione distributiva variabile casuale discreta $F(x)=P(X\lt x)$. Questa funzione specifica la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma un valore inferiore a un certo numero $x$. Negli esempi seguenti troverete esempi di costruzione con calcoli e grafici dettagliati.

Esempi di problemi risolti

Compito 1. Una variabile casuale discreta è specificata da una serie di distribuzioni:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Costruisci un poligono di distribuzione e una funzione di distribuzione $F(x)$. Calcolare: $M[X], D[X], \sigma[X]$, nonché il coefficiente di variazione, asimmetria, curtosi, moda e mediana.

Compito 2.È data la legge della distribuzione di una variabile casuale discreta X. Richiesto:
a) determinare l'aspettativa matematica M(x), la varianza D(x) e la deviazione standard (x) della variabile casuale X; b) costruire un grafico di questa distribuzione.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi greco 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Compito 3. Per una variabile casuale X con una data serie di distribuzione
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
A) trovare $p_1$ e $p_2$ tali che $M(X)=0,5$
B) successivamente, calcola l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale $X$ e traccia la sua funzione di distribuzione

Compito 4. SV discreto $X$ può assumere solo due valori: $x_1$ e $x_2$ e $x_1 \lt x_2$. Sono note la probabilità $P$ di un possibile valore, l'aspettativa matematica $M(x)$ e la varianza $D(x)$. Trova: 1) La legge di distribuzione di questa variabile casuale; 2) Funzione di distribuzione SV $X$; 3) Costruisci un grafico di $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Compito 5. La variabile casuale X assume tre valori: 2, 4 e 6. Trova le probabilità di questi valori se $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Compito 6. Viene fornita una serie di distribuzioni di v.r. discrete. $X$. Trovare le caratteristiche numeriche della posizione e della dispersione del v.r. $X$. Trova m.o. e dispersione r.v. $Y=X/2-2$, senza trascrivere la serie di distribuzione del camper. $Y$, controlla il risultato utilizzando la funzione di generazione.
Costruire la funzione di distribuzione r.v.. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦

Compito 7. La distribuzione di una variabile casuale discreta $X$ è data dalla seguente tabella (riga di distribuzione):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Determina il valore mancante nella tabella di distribuzione. Calcola le principali caratteristiche numeriche della distribuzione: $M_x, D_x, \sigma_x$. Trova e costruisci la funzione di distribuzione $F(x)$. Determina la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma i seguenti valori:
A) più di 6,
B) meno di 12,
C) non più di 9.

Compito 8. Il problema richiede di trovare: a) aspettativa matematica; b) dispersione; c) la deviazione standard di una variabile casuale discreta X secondo una data legge della sua distribuzione, data in una tabella (la prima riga della tabella indica i possibili valori, la seconda riga indica le probabilità dei possibili valori).

Compito 9.È data la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta $X$ (la prima riga mostra i possibili valori di $x_i$, la seconda riga mostra le probabilità dei possibili valori di $p_i$).
Trovare:
A) aspettativa matematica $M(X)$, varianza $D(X)$ e deviazione standard $\sigma(X)$;
B) comporre la funzione di distribuzione della variabile casuale $F(x)$ e costruire il suo grafico;
C) calcolare la probabilità che una variabile casuale $X$ rientri nell'intervallo $x_2 \lt X \lt x_4$, utilizzando la funzione di distribuzione compilata $F(x)$;
D) elaborare una legge di distribuzione per il valore $Y=100-2X$;
D) calcolare l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale compilata $Y$ in due modi, ad es. approfittando
proprietà dell'aspettativa matematica e della dispersione, nonché direttamente secondo la legge di distribuzione della variabile casuale $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Problema 10. Ad una tabella viene assegnata una variabile casuale discreta. Calcolarne i momenti iniziali e centrali fino al 4° ordine compreso. Trovare le probabilità degli eventi $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

In questa pagina abbiamo raccolto esempi di soluzioni didattiche problemi sulle variabili casuali discrete. Questa è una sezione abbastanza estesa: si studiano varie leggi di distribuzione (binomiale, geometrica, ipergeometrica, Poisson e altre), proprietà e caratteristiche numeriche; per ogni serie di distribuzione si possono costruire rappresentazioni grafiche: poligono (poligono) delle probabilità, funzione di distribuzione.

Di seguito troverai esempi di decisioni sulle variabili casuali discrete, in cui è necessario applicare le conoscenze delle sezioni precedenti della teoria della probabilità per elaborare una legge di distribuzione, quindi calcolare l'aspettativa matematica, la dispersione, la deviazione standard, costruire una funzione di distribuzione, rispondere domande sulla DSV, ecc. P.

Esempi di leggi popolari sulla distribuzione della probabilità:

Calcolatori per le caratteristiche DSV

• Calcolo dell'aspettativa matematica, della dispersione e della deviazione standard del DSV.

Risolti i problemi relativi al DSV

Distribuzioni vicine alla geometrica

Compito 1. Lungo il percorso del veicolo sono presenti 4 semafori, ciascuno dei quali vieta l'ulteriore movimento del veicolo con una probabilità di 0,5. Trova la serie di distribuzione del numero di semafori superati dall'auto prima della prima fermata. Quali sono l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale?

Compito 2. Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7. Trova la varianza di questa variabile casuale.

Compito 3. Il tiratore, avendo 3 cartucce, spara al bersaglio fino al primo colpo. Le probabilità di andare a segno per il primo, il secondo e il terzo colpo sono rispettivamente 0,6, 0,5 e 0,4. S.V. $\xi$ - numero di cartucce rimanenti. Compila una serie di distribuzione di una variabile casuale, trova l'aspettativa matematica, la varianza, la deviazione standard della variabile casuale, costruisci la funzione di distribuzione della variabile casuale, trova $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Compito 4. La scatola contiene 7 parti standard e 3 difettose. Estraggono le parti in sequenza finché non appare quella standard, senza restituirle. $\xi$ è il numero di parti difettose recuperate.
Elabora una legge di distribuzione per una variabile casuale discreta $\xi$, calcola la sua aspettativa matematica, la varianza, la deviazione standard, disegna un poligono di distribuzione e un grafico della funzione di distribuzione.

Compiti con eventi indipendenti

Compito 5. 3 studenti si sono presentati per il riesame di teoria della probabilità. La probabilità che la prima persona superi l'esame è 0,8, la seconda - 0,7 e la terza - 0,9. Trova la serie di distribuzione della variabile casuale $\xi$ del numero di studenti che hanno superato l'esame, traccia la funzione di distribuzione, trova $M(\xi), D(\xi)$.

Compito 6. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,8 e diminuisce ad ogni tiro di 0,1. Elaborare una legge di distribuzione del numero di colpi su un bersaglio se vengono sparati tre colpi. Trova il valore atteso, la varianza e lo S.K.O. questa variabile casuale. Disegna un grafico della funzione di distribuzione.

Compito 7. Vengono sparati 4 colpi al bersaglio. La probabilità di un successo aumenta come segue: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Trova la legge di distribuzione della variabile casuale $X$ - il numero di risultati. Trova la probabilità che $X \ge 1$.

Compito 8. Vengono lanciate due monete simmetriche e viene contato il numero di stemmi su entrambi i lati superiori delle monete. Consideriamo una variabile casuale discreta $X$: il numero di stemmi su entrambe le monete. Annota la legge di distribuzione della variabile casuale $X$, trova la sua aspettativa matematica.

Altri problemi e leggi di distribuzione del DSV

Compito 9. Due giocatori di basket effettuano tre tiri a canestro. La probabilità di colpire per il primo giocatore di basket è 0,6, per il secondo – 0,7. Sia $X$ la differenza tra il numero di tiri riusciti del primo e del secondo giocatore di basket. Trova la serie di distribuzione, la modalità e la funzione di distribuzione della variabile casuale $X$. Costruisci un poligono di distribuzione e un grafico della funzione di distribuzione. Calcolare il valore atteso, la varianza e la deviazione standard. Trovare la probabilità dell'evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Problema 10. Il numero di navi non residenti che arrivano quotidianamente per essere caricate in un determinato porto è una variabile casuale $X$, data come segue:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) assicurarsi che sia specificata la serie di distribuzione,
B) trovare la funzione di distribuzione della variabile casuale $X$,
C) se in un dato giorno arrivano più di tre navi, il porto si assume i costi dovuti alla necessità di assumere autisti e caricatori aggiuntivi. Qual è la probabilità che il porto debba sostenere costi aggiuntivi?
D) trovare l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale $X$.

Problema 11. Si lanciano 4 dadi. Trova l'aspettativa matematica della somma del numero di punti che appariranno su tutti i lati.

Problema 12. I due, a turno, lanciano una moneta finché non appare per la prima volta lo stemma. Il giocatore che ha ricevuto lo stemma riceve 1 rublo dall'altro giocatore. Trova l'aspettativa matematica di vincita per ciascun giocatore.

X; Senso F(5); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dal segmento . Costruisci un poligono di distribuzione.

1. La funzione di distribuzione F(x) di una variabile casuale discreta è nota X:

Stabilire la legge di distribuzione di una variabile casuale X sotto forma di tabella.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

X	–28	–20	–12	–4
P	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. La probabilità che il negozio disponga di certificati di qualità per l'intera gamma di prodotti è 0,7. La commissione ha verificato la disponibilità dei certificati in quattro negozi della zona. Elaborare una legge di distribuzione, calcolare l'aspettativa matematica e la dispersione del numero di negozi in cui non sono stati trovati certificati di qualità durante l'ispezione.

1. Per determinare la durata media di combustione delle lampade elettriche in un lotto di 350 scatole identiche, è stata prelevata per il test una lampada elettrica da ciascuna scatola. Stimare dal basso la probabilità che la durata di combustione media delle lampade elettriche selezionate differisca dalla durata di combustione media dell'intero lotto in valore assoluto di meno di 7 ore, se è noto che la deviazione standard della durata di combustione delle lampade elettriche in ogni scatola dura meno di 9 ore.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,002. Trovare la probabilità che su 500 connessioni si verifichi quanto segue:

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X.

1. Una macchina automatica produce rulli. Si ritiene che il loro diametro sia una variabile casuale normalmente distribuita con un valore medio di 10 mm. Qual è la deviazione standard se, con una probabilità di 0,99, il diametro è compreso tra 9,7 mm e 10,3 mm.

Campione A: 6 9 7 6 4 4

Campione B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opzione 17.

1. Delle 35 parti, 7 non sono standard. Trova la probabilità che due parti prese a caso risultino standard.

1. Si lanciano tre dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sui lati eliminati sia un multiplo di 9.

1. La parola “AVVENTURA” è composta da carte, ciascuna con una lettera scritta sopra. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte nell'ordine di apparizione formino la parola: a) AVVENTURA; b) PRIGIONIERO.

1. Un'urna contiene 6 palline nere e 5 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:
1. 2 palline bianche;
2. meno di 2 palline bianche;
3. almeno una pallina nera.

1. UN in un test è pari a 0,4. Trova le probabilità dei seguenti eventi:
1. evento UN appare 3 volte in una serie di 7 studi indipendenti;
2. evento UN apparirà non meno di 220 e non più di 235 volte in una serie di 400 prove.

1. Lo stabilimento ha inviato alla base 5.000 prodotti di buona qualità. La probabilità di danno a ciascun prodotto durante il trasporto è 0,002. Trova la probabilità che non più di 3 prodotti vengano danneggiati durante il viaggio.

1. La prima urna contiene 4 palline bianche e 9 nere, mentre la seconda urna contiene 7 palline bianche e 3 nere. Si estraggono casualmente 3 palline dalla prima urna e 4 dalla seconda urna. Trovare la probabilità che tutte le palline estratte siano dello stesso colore.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza.

1. Nella scatola ci sono 10 matite. Si estraggono 4 matite a caso. Valore casuale X– il numero di matite blu tra quelle selezionate. Trova la legge della sua distribuzione, i momenti iniziali e centrali del 2° e 3° ordine.

1. Il reparto di controllo tecnico verifica la presenza di difetti su 475 prodotti. La probabilità che il prodotto sia difettoso è 0,05. Trovare, con probabilità 0,95, i confini entro i quali sarà contenuto il numero di prodotti difettosi tra quelli testati.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,003. Trovare la probabilità che su 1000 connessioni si verifichi quanto segue:
1. almeno 4 connessioni errate;
2. più di due connessioni errate.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di densità di distribuzione:

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana della variabile casuale X.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione:

1. Per campione UN risolvere i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti;

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

Moda e mediana;

Esempio A: 0 0 2 2 1 4

1. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opzione 18.

1. Su 10 biglietti della lotteria, 2 sono vincenti. Trova la probabilità che su cinque biglietti presi a caso, uno sia vincente.

1. Si lanciano tre dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti lanciati sia maggiore di 15.

1. La parola “PERIMETRO” è composta da carte, su ognuna delle quali è scritta una lettera. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte formino la parola: a) PERIMETRO; b) CONTATORE.

1. Un'urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:
1. 4 palline bianche;
2. meno di 2 palline bianche;
3. almeno una pallina nera.

1. Probabilità che si verifichi un evento UN in una prova è pari a 0,55. Trova le probabilità dei seguenti eventi:
1. evento UN apparirà 3 volte in una serie di 5 sfide;
2. evento UN apparirà non meno di 130 e non più di 200 volte in una serie di 300 prove.

1. La probabilità che un barattolo di cibo in scatola si rompa è 0,0005. Trovare la probabilità che su 2000 lattine, due abbiano una perdita.

1. La prima urna contiene 4 palline bianche e 8 nere, mentre la seconda urna contiene 7 palline bianche e 4 nere. Si estraggono casualmente due palline dalla prima urna e tre palline dalla seconda urna. Trova la probabilità che tutte le palline estratte siano dello stesso colore.

1. Tra i pezzi arrivati ​​al montaggio, lo 0,1% è difettoso dalla prima macchina, lo 0,2% dalla seconda, lo 0,25% dalla terza e lo 0,5% dalla quarta. I rapporti di produttività della macchina sono rispettivamente 4:3:2:1. La parte presa a caso si è rivelata standard. Trova la probabilità che il pezzo sia stato realizzato sulla prima macchina.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza.

1. Un elettricista ha tre lampadine, ciascuna delle quali ha un difetto con una probabilità di 0,1. Le lampadine vengono avvitate nella presa e viene accesa la corrente. Quando si accende la corrente, la lampadina difettosa si brucia immediatamente e viene sostituita con un'altra. Trova la legge di distribuzione, l'aspettativa matematica e la dispersione del numero di lampadine testate.

1. La probabilità di colpire un bersaglio è 0,3 per ciascuno dei 900 colpi indipendenti. Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev, stima la probabilità che il bersaglio venga colpito almeno 240 volte e al massimo 300 volte.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,002. Trovare la probabilità che su 800 connessioni si verifichi quanto segue:
1. almeno tre collegamenti errati;
2. più di quattro connessioni errate.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di densità di distribuzione:

Trova la funzione di distribuzione della variabile casuale X. Disegna i grafici delle funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione:

1. Per campione UN risolvere i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti;
2. calcolare le frequenze relative e cumulative;
3. compilare una funzione di distribuzione empirica e tracciarla;
4. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione A: 4 7 6 3 3 4

1. Utilizzando l'esempio B, risolvi i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti raggruppate;
2. costruire un istogramma e un poligono di frequenza;
3. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opzione 19.

1. Nel cantiere lavorano 16 donne e 5 uomini. 3 persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini.

2. Vengono lanciate quattro monete. Trova la probabilità che solo due monete abbiano uno “stemma”.

3. La parola “PSICOLOGIA” è composta da carte, su ciascuna delle quali è scritta una lettera. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte formino una parola: a) PSICOLOGIA; b) PERSONALE.

4. L'urna contiene 6 palline nere e 7 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:

UN. 3 palline bianche;

B. meno di 3 palline bianche;

C. almeno una pallina bianca.

5. Probabilità che si verifichi un evento UN in una prova è pari a 0,5. Trova le probabilità dei seguenti eventi:

UN. evento UN appare 3 volte in una serie di 5 prove indipendenti;

B. evento UN apparirà almeno 30 e non più di 40 volte in una serie di 50 prove.

6. Esistono 100 macchine della stessa potenza, che funzionano indipendentemente l'una dall'altra nella stessa modalità, in cui la loro azionamento è accesa per 0,8 ore lavorative. Qual è la probabilità che in un dato momento vengano accese da 70 a 86 macchine?

7. La prima urna contiene 4 palline bianche e 7 nere, mentre la seconda urna contiene 8 palline bianche e 3 nere. Si estraggono casualmente 4 palline dalla prima urna e 1 pallina dalla seconda. Trova la probabilità che tra le palline estratte ci siano solo 4 palline nere.

8. Lo showroom di vendita di automobili riceve quotidianamente in volume automobili di tre marchi: “Moskvich” – 40%; "Va bene" - 20%; "Volga" - il 40% di tutte le auto importate. Tra le auto Moskvich, lo 0,5% ha un dispositivo antifurto, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Trovare la probabilità che l'auto presa per l'ispezione sia dotata di antifurto.

9. I numeri e sono scelti a caso sul segmento. Trova la probabilità che questi numeri soddisfino le disuguaglianze.

10. Viene fornita la legge della distribuzione di una variabile casuale X:

X
P	0,1	0,2	0,3	0,4

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X; Senso F(2); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dall'intervallo . Costruisci un poligono di distribuzione.

Definizione 1

Una variabile casuale $X$ si dice discreta (discontinua) se l'insieme dei suoi valori è infinito o finito ma numerabile.

In altre parole, una quantità si dice discreta se i suoi valori possono essere numerati.

Una variabile casuale può essere descritta utilizzando la legge di distribuzione.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta $X$ può essere specificata sotto forma di una tabella, la cui prima riga indica tutti i possibili valori della variabile casuale in ordine crescente e la seconda riga contiene le corrispondenti probabilità di questi valori:

Immagine 1.

dove $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Questa tabella è vicino alla distribuzione di una variabile casuale discreta.

Se l'insieme dei possibili valori di una variabile casuale è infinito, allora la serie $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ converge e la sua somma sarà uguale a $1$.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta $X$ può essere rappresentata graficamente, per la quale viene costruita una linea spezzata nel sistema di coordinate (rettangolare), che collega sequenzialmente i punti con le coordinate $(xi;pi), i=1,2, ... n$. La linea che abbiamo ricevuto si chiama poligono di distribuzione.

Figura 2.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta $X$ può anche essere rappresentata analiticamente (utilizzando la formula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operazioni su probabilità discrete

Quando si risolvono molti problemi di teoria della probabilità, è necessario eseguire operazioni di moltiplicazione di una variabile casuale discreta per una costante, sommando due variabili casuali, moltiplicandole, sostituendole con una potenza. In questi casi è necessario attenersi alle seguenti regole per le quantità discrete casuali:

Definizione 3

Moltiplicazione di una variabile casuale discreta $X$ per una costante $K$ è una variabile casuale discreta $Y=KX,$ che è determinata dalle uguaglianze: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ sinistra(x_i\destra)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definizione 4

Vengono chiamate due variabili casuali $x$ e $y$ indipendente, se la legge di distribuzione di uno di essi non dipende da quali possibili valori acquisisce la seconda quantità.

Definizione 5

Quantità due variabili casuali discrete indipendenti $X$ e $Y$ sono chiamate la variabile casuale $Z=X+Y,$ è determinata dalle uguaglianze: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\sinistra (x_i\destra)=p_i$, $P\sinistra(y_j\destra)=p"_j$.

Definizione 6

Moltiplicazione due variabili casuali discrete indipendenti $X$ e $Y$ sono chiamate la variabile casuale $Z=XY,$ è determinata dalle uguaglianze: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\sinistra( x_i\destra)P\sinistra(y_j\destra)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ sinistra(x_i\destra )=p_i$, $P\sinistra(y_j\destra)=p"_j$.

Teniamo presente che alcuni prodotti $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ possono essere uguali tra loro. In questo caso la probabilità di sommare il prodotto è pari alla somma delle probabilità corrispondenti.

Ad esempio, se $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $allora la probabilità di $x_2y_3$ (o lo stesso $x_5y_7$) sarà uguale a $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Quanto sopra vale anche per l'importo. Se $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ allora la probabilità di $x_1+\ y_2$ (o lo stesso $x_4+\ y_6$) sarà uguale a $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Le variabili casuali $X$ e $Y$ sono specificate dalle leggi di distribuzione:

Figura 3.

Dove $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Allora la legge di distribuzione della somma $X+Y$ avrà la forma

Figura 4.

E la legge di distribuzione del prodotto $XY$ avrà la forma

Figura 5.

Funzione di distribuzione

Una descrizione completa di una variabile casuale è data anche dalla funzione di distribuzione.

Dal punto di vista geometrico, la funzione di distribuzione viene spiegata come la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma il valore rappresentato sulla retta numerica dal punto situato a sinistra del punto $x$.