Errore relativo del numero approssimativo. Valore approssimato della grandezza ed errore delle approssimazioni. Linee guida per il lavoro indipendente degli studenti
Valore assoluto differenze tra il valore approssimativo ed esatto (vero) di una quantità viene chiamato errore assoluto valore approssimativo. Per esempio, se il numero esatto 1,214 arrotondando al decimo più vicino, otteniamo un numero approssimativo 1,2 . In questo caso, l'errore assoluto del numero approssimativo sarà 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Ma nella maggior parte dei casi, il valore esatto del valore in esame non è noto, ma solo approssimativo. Quindi l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi indicare confine, che non supera. Questo numero viene chiamato limitazione dell’errore assoluto. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore marginale. Per esempio, numero 23,71 è un valore approssimativo del numero 23,7125 fino a 0,01 , poiché l'errore di approssimazione assoluto è pari a 0,0025 e meno 0,01 . Qui l'errore assoluto limite è uguale a 0,01 .*
(* Assoluto L'errore può essere sia positivo che negativo. Per esempio, 1,68 ≈ 1,7 . L'errore assoluto è 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Confine l'errore è sempre positivo).
Errore assoluto al limite del numero approssimativo " UN » è indicato dal simbolo Δ UN . Documentazione
x≈ UN ( Δ UN)
va inteso come segue: il valore esatto della quantità X è tra i numeri UN +Δ UN E UN –Δ UN, che vengono chiamati di conseguenza metter il fondo a E limite superiore X e denotare N G X E IN G X .
Per esempio, Se X≈ 2,3 ( 0,1), Quello 2,2 < X < 2,4 .
Al contrario, se 7,3 < X < 7,4, Quello X≈ 7,35 ( 0,05).
Errore assoluto assoluto o marginale Non caratterizzare la qualità della misurazione eseguita. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e insignificante a seconda del numero con cui viene espresso il valore misurato.
Per esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, tale precisione è abbastanza sufficiente per questa misurazione, ma allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case sulla stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile.
Di conseguenza, l'accuratezza del valore approssimativo di una grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Ecco perché la misura dell'accuratezza è l'errore relativo.
Errore relativoè chiamato il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimato. Viene chiamato il rapporto tra l'errore assoluto limite e il numero approssimativo limitare l'errore relativo; denotarlo in questo modo: Δ aa. Gli errori relativi relativi e marginali sono solitamente espressi come in percentuali.
Per esempio, se le misurazioni mostrano che la distanza tra due punti è maggiore 12,3 km, ma meno 12,7 km, quindi per approssimativo il suo significato è accettato media questi due numeri, cioè loro metà della somma, Poi confine l'errore assoluto è mezze differenze questi numeri. In questo caso X≈ 12,5 ( 0,2). Ecco il confine assoluto l'errore è uguale a 0,2 km e il confine
Calcoli approssimativi utilizzando il differenziale
In questa lezione esamineremo un problema comune sul calcolo approssimativo del valore di una funzione utilizzando un differenziale. Qui e più avanti parleremo di differenziali del primo ordine; per brevità spesso dirò semplicemente “differenziale”. Il problema dei calcoli approssimativi utilizzando i differenziali ha un rigoroso algoritmo di soluzione e, pertanto, non dovrebbero sorgere particolari difficoltà. L’unica cosa è che ci sono piccole insidie che verranno anche ripulite. Quindi sentitevi liberi di tuffarvi a capofitto.
Inoltre, la pagina contiene formule per trovare l'errore assoluto e relativo dei calcoli. Il materiale è molto utile, poiché in altri problemi è necessario calcolare gli errori. Fisici, dov'è il vostro applauso? =)
Per padroneggiare con successo gli esempi, devi essere in grado di trovare le derivate di funzioni almeno a un livello intermedio, quindi se non sei completamente in grado di differenziare, inizia con la lezione Come trovare la derivata? Consiglio anche la lettura dell'articolo I problemi più semplici con le derivate, vale a dire i paragrafi su come trovare la derivata in un punto E trovare il differenziale nel punto. Dai mezzi tecnici, avrai bisogno di un microcalcolatore con varie funzioni matematiche. Puoi usare Excel, ma in questo caso è meno conveniente.
Il laboratorio è composto da due parti:
– Calcoli approssimati utilizzando il differenziale di una funzione di una variabile.
– Calcoli approssimati utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili.
Chi ha bisogno di cosa? In effetti, era possibile dividere la ricchezza in due mucchi, poiché il secondo punto riguarda l'applicazione di funzioni di più variabili. Ma cosa posso fare, adoro gli articoli lunghi.
Calcoli approssimativi
utilizzando il differenziale di una funzione di una variabile
Il compito in questione e il suo significato geometrico sono già stati trattati nella lezione Cos'è una derivata? , e ora ci limiteremo a una considerazione formale degli esempi, che è abbastanza per imparare a risolverli.
Nel primo paragrafo regna la funzione di una variabile. Come tutti sanno, si indica con o con . Per questo compito è molto più conveniente utilizzare la seconda notazione. Passiamo direttamente a un esempio popolare che si incontra spesso nella pratica:
Esempio 1
Soluzione: Copia la formula di lavoro per il calcolo approssimativo utilizzando la differenza nel tuo taccuino:
Cominciamo a capirlo, qui tutto è semplice!
Il primo passo è creare una funzione. Secondo la condizione, si propone di calcolare la radice cubica del numero: , quindi la funzione corrispondente ha la forma: . Dobbiamo usare la formula per trovare il valore approssimativo.
Guardiamo lato sinistro formule, e mi viene in mente che il numero 67 deve essere rappresentato nella forma. Qual è il modo più semplice per farlo? Raccomando il seguente algoritmo: calcola questo valore su una calcolatrice:
– si è rivelato essere 4 con la coda, questa è una linea guida importante per la soluzione.
Selezioniamo un valore “buono” come in modo che la radice venga rimossa completamente. Naturalmente, questo valore dovrebbe essere Quanto più vicino possibile a 67. In questo caso: . Veramente: .
Nota: se la selezione presenta ancora difficoltà, basta guardare il valore calcolato (in questo caso 
), prendere la parte intera più vicina (in questo caso 4) ed elevarla alla potenza richiesta (in questo caso ). Di conseguenza verrà effettuata la selezione desiderata: .
Se , quindi l'incremento dell'argomento: .
Quindi, il numero 67 è rappresentato come una somma 
Innanzitutto, calcoliamo il valore della funzione nel punto. In realtà, questo è già stato fatto prima:
Il differenziale in un punto si trova dalla formula: 
- Puoi anche copiarlo sul tuo quaderno.
Dalla formula segue che devi prendere la derivata prima: 
E trova il suo valore nel punto: 
Così:
Tutto è pronto! Secondo la formula:
Il valore approssimativo trovato è abbastanza vicino al valore 
, calcolato utilizzando un microcalcolatore.
Risposta:
Esempio 2
Calcola approssimativamente sostituendo gli incrementi della funzione con il suo differenziale.
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Un esempio approssimativo del progetto finale e la risposta alla fine della lezione. Per i principianti, consiglio innanzitutto di calcolare il valore esatto su una microcalcolatrice per scoprire quale numero viene preso come e quale numero viene preso come . Va notato che in questo esempio sarà negativo.
Alcuni potrebbero essersi chiesti perché questo compito è necessario se tutto può essere calcolato con calma e precisione su una calcolatrice? Sono d'accordo, il compito è stupido e ingenuo. Ma proverò a giustificarlo un po’. Innanzitutto, il compito illustra il significato della funzione differenziale. In secondo luogo, nei tempi antichi, una calcolatrice era qualcosa di simile a un elicottero personale nei tempi moderni. Io stesso ho visto come un computer delle dimensioni di una stanza fu buttato fuori da un istituto politecnico locale da qualche parte nel 1985-86 (radioamatori arrivarono correndo da tutta la città con cacciaviti, e dopo un paio d'ore del computer era rimasta solo la custodia unità). C'erano anche oggetti d'antiquariato nel nostro dipartimento di fisica e matematica, sebbene fossero di dimensioni più piccole, circa delle dimensioni di una scrivania. È così che i nostri antenati hanno lottato con metodi di calcoli approssimativi. Anche una carrozza trainata da cavalli è un mezzo di trasporto.
In un modo o nell'altro, il problema rimane nel corso standard della matematica superiore e dovrà essere risolto. Questa è la risposta principale alla tua domanda =)
Esempio 3
al punto . Calcola un valore più accurato di una funzione in un punto utilizzando un microcalcolatore, valuta l'errore assoluto e relativo dei calcoli.
In effetti, lo stesso compito, può essere facilmente riformulato come segue: “Calcola il valore approssimativo 
utilizzando un differenziale"
Soluzione: Usiamo la formula familiare:
In questo caso, è già fornita una funzione già pronta: 
. Ancora una volta, vorrei attirare la vostra attenzione sul fatto che è più comodo da usare.
Il valore deve essere presentato nel modulo . Bene, qui è più semplice, vediamo che il numero 1,97 è molto vicino a “due”, quindi suggerisce se stesso. E quindi: .
Utilizzando la formula 
, calcoliamo il differenziale nello stesso punto.
Troviamo la derivata prima:
E il suo valore al punto: 
Pertanto, il differenziale nel punto:
Di conseguenza, secondo la formula:
La seconda parte del compito è trovare l'errore assoluto e relativo dei calcoli.
Errore assoluto e relativo dei calcoli
Errore assoluto di calcolo si trova dalla formula:
Il segno del modulo mostra che non ci interessa quale valore è maggiore e quale è minore. Importante, quanto lontano il risultato approssimativo si discostava dal valore esatto in una direzione o nell'altra.
Errore di calcolo relativo si trova dalla formula:
, o la stessa cosa: 
Viene visualizzato l'errore relativo in quale percentuale il risultato approssimativo si discostava dal valore esatto. Esiste una versione della formula senza moltiplicare per il 100%, ma in pratica vedo quasi sempre la versione sopra con le percentuali.
Dopo un breve accenno, torniamo al nostro problema, in cui abbiamo calcolato il valore approssimativo della funzione 
utilizzando un differenziale.
Calcoliamo il valore esatto della funzione utilizzando un microcalcolatrice:
, in senso stretto, il valore è ancora approssimativo, ma lo considereremo accurato. Tali problemi si verificano.
Calcoliamo l'errore assoluto:
Calcoliamo l'errore relativo:
, sono stati ottenuti millesimi di punto percentuale, quindi il differenziale ha fornito solo un'ottima approssimazione.
Risposta: 
, errore di calcolo assoluto, errore di calcolo relativo
Il seguente esempio per una soluzione indipendente:
Esempio 4
Calcolare approssimativamente il valore di una funzione utilizzando un differenziale 
al punto . Calcola un valore più accurato della funzione in un dato punto, stima l'errore assoluto e relativo dei calcoli.
Un esempio approssimativo del progetto finale e la risposta alla fine della lezione.
Molte persone hanno notato che in tutti gli esempi considerati compaiono le radici. Ciò non è casuale: nella maggior parte dei casi il problema in esame offre effettivamente funzioni con root.
Ma per i lettori sofferenti, ho trovato un piccolo esempio con l'arcoseno:
Esempio 5
Calcolare approssimativamente il valore di una funzione utilizzando un differenziale 
al punto
Questo esempio breve ma informativo può essere risolto anche da te. E mi sono riposato un po' affinché con rinnovato vigore potessi considerare il compito speciale:
Esempio 6
Calcola approssimativamente utilizzando il differenziale, arrotondando il risultato a due cifre decimali.
Soluzione: Cosa c'è di nuovo nel compito? La condizione richiede l'arrotondamento del risultato a due cifre decimali. Ma non è questo il punto; penso che il problema del turnismo scolastico non sia difficile per te. Il fatto è che ci viene data una tangente con un argomento espresso in gradi. Cosa dovresti fare quando ti viene chiesto di risolvere una funzione trigonometrica con gradi? Per esempio, ecc.
L'algoritmo di soluzione è fondamentalmente lo stesso, ovvero è necessario, come negli esempi precedenti, applicare la formula
Scriviamo una funzione ovvia
Il valore deve essere presentato nel modulo . Fornirà assistenza seria tabella dei valori delle funzioni trigonometriche. A proposito, per chi non l'ha stampato, consiglio di farlo, visto che dovrai guardarlo durante l'intero corso di studi di matematica superiore.
Analizzando la tabella notiamo un valore della tangente “buono”, che si avvicina ai 47 gradi:
Così: 
Dopo l'analisi preliminare i gradi devono essere convertiti in radianti. Sì, e solo così!
In questo esempio puoi scoprire direttamente dalla tabella trigonometrica che . Utilizzando la formula per convertire i gradi in radianti: 
(le formule si trovano nella stessa tabella).
Ciò che segue è una formula stereotipata: 
Così: 
(usiamo il valore per i calcoli). Il risultato, come richiesto dalla condizione, viene arrotondato alla seconda cifra decimale.
Risposta:
Esempio 7
Calcola approssimativamente utilizzando un differenziale, arrotondando il risultato a tre cifre decimali.
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato, convertiamo i gradi in radianti e aderiamo al consueto algoritmo risolutivo.
Calcoli approssimativi
utilizzando il differenziale completo di una funzione di due variabili
Tutto sarà molto, molto simile, quindi se sei arrivato su questa pagina appositamente per questo compito, prima ti consiglio di guardare almeno un paio di esempi del paragrafo precedente.
Per studiare un paragrafo devi essere in grado di trovare Derivate parziali del secondo ordine, dove saremmo senza di loro? Nella lezione precedente, ho indicato una funzione di due variabili utilizzando la lettera . In relazione al compito in esame è più conveniente utilizzare la notazione equivalente.
Come nel caso di una funzione di una variabile, la condizione del problema può essere formulata in diversi modi, e cercherò di considerare tutte le formulazioni incontrate.
Esempio 8
Soluzione: Non importa come sia scritta la condizione, nella soluzione stessa per denotare la funzione, ripeto, è meglio usare non la lettera “z”, ma .
Ed ecco la formula di lavoro:
Quella che abbiamo davanti è in realtà la sorella maggiore della formula del paragrafo precedente. La variabile è solo aumentata. Cosa posso dire io stesso? l'algoritmo di soluzione sarà fondamentalmente lo stesso!
In base alla condizione, è necessario trovare il valore approssimativo della funzione nel punto.
Rappresentiamo il numero 3.04 come . Il panino stesso chiede di essere mangiato:
,
Rappresentiamo il numero 3,95 come . Il turno è arrivato alla seconda metà di Kolobok:
,
E non guardare tutti i trucchi della volpe, c'è un Kolobok: devi mangiarlo.
Calcoliamo il valore della funzione nel punto:
Troviamo il differenziale di una funzione in un punto usando la formula:
Dalla formula segue che dobbiamo trovare derivate parziali primo ordine e calcolarne i valori al punto .
Calcoliamo le derivate parziali del primo ordine nel punto: 
Differenziale totale al punto:
Pertanto, secondo la formula, il valore approssimativo della funzione nel punto:
Calcoliamo il valore esatto della funzione nel punto:
Questo valore è assolutamente accurato.
Gli errori vengono calcolati utilizzando formule standard, che sono già state discusse in questo articolo.
Errore assoluto:
Errore relativo: 
Risposta:, errore assoluto: , errore relativo:
Esempio 9
Calcolare il valore approssimativo di una funzione 
in un punto utilizzando un differenziale totale, stimare l'errore assoluto e relativo.
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Chiunque dia un'occhiata più da vicino a questo esempio noterà che gli errori di calcolo si sono rivelati molto, molto evidenti. Ciò è accaduto per il seguente motivo: nel problema proposto gli incrementi degli argomenti sono piuttosto grandi: . Lo schema generale è questo: maggiori sono questi incrementi in valore assoluto, minore è la precisione dei calcoli. Quindi, ad esempio, per un punto simile gli incrementi saranno piccoli: e la precisione dei calcoli approssimativi sarà molto elevata.
Questa caratteristica vale anche per il caso di una funzione di una variabile (prima parte della lezione).
Esempio 10
Soluzione: Calcoliamo questa espressione approssimativamente utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili:
La differenza rispetto agli Esempi 8-9 è che dobbiamo prima costruire una funzione di due variabili: 
. Penso che tutti capiscano intuitivamente come è composta la funzione.
Il valore 4.9973 è vicino a “cinque”, quindi: , .
Il valore 0,9919 è prossimo a “uno”, quindi assumiamo: , .
Calcoliamo il valore della funzione nel punto:
Troviamo il differenziale in un punto utilizzando la formula:
Per fare ciò, calcoliamo le derivate parziali del primo ordine nel punto.
I derivati qui non sono i più semplici e dovresti fare attenzione: 
;
.
Differenziale totale al punto:
Pertanto, il valore approssimativo di questa espressione è:
Calcoliamo un valore più preciso utilizzando una microcalcolatrice: 2.998899527
Troviamo il relativo errore di calcolo:
Risposta: , 
Giusto per illustrare quanto sopra, nel problema considerato, gli incrementi degli argomenti sono molto piccoli e l'errore si è rivelato straordinariamente piccolo.
Esempio 11
Utilizzando il differenziale completo di una funzione di due variabili, calcola approssimativamente il valore di questa espressione. Calcola la stessa espressione usando una microcalcolatrice. Stimare l'errore di calcolo relativo in percentuale. 
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Un esempio approssimativo del progetto finale alla fine della lezione.
Come già notato, l'ospite più comune in questo tipo di attività sono alcune radici. Ma di tanto in tanto ci sono altre funzioni. E un ultimo semplice esempio per il relax:
Esempio 12
Utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili, calcola approssimativamente il valore della funzione se 
La soluzione è più vicina alla fine della pagina. Ancora una volta, prestare attenzione alla formulazione dei compiti della lezione; in diversi esempi in pratica, la formulazione può essere diversa, ma ciò non cambia sostanzialmente l'essenza e l'algoritmo della soluzione.
Ad essere onesti, ero un po' stanco perché il materiale era un po' noioso. Non era pedagogico dirlo all'inizio dell'articolo, ma ora è già possibile =) In effetti, i problemi di matematica computazionale di solito non sono molto complessi, non molto interessanti, la cosa più importante, forse, è non commettere errori nei calcoli ordinari.
Che i tasti della tua calcolatrice non vengano cancellati!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2: Soluzione: Usiamo la formula:
In questo caso: , ,
Così: 
Risposta:
Esempio 4: Soluzione: Usiamo la formula:
In questo caso: 
, ,
Pagina 2
Le operazioni matematiche sui valori approssimativi delle quantità sono chiamate calcoli approssimativi. Ad oggi, è stata creata un'intera scienza dei calcoli approssimativi, con una serie di disposizioni di cui acquisiremo familiarità in seguito.
Il risultato della misurazione fornisce sempre un valore approssimativo della quantità. Ciò è dovuto all'imprecisione delle misurazioni stesse e all'imperfetta precisione degli strumenti di misura.
Quello che viene chiamato errore relativo del valore approssimativo di una quantità.
Nella tabella La Figura 25 mostra i valori approssimativi di /Ci/ - d a varie ampiezze Um0 per un diodo 6X6 caricato con una resistenza R0 5 mg. Questa tabella è stata compilata dal Prof.
Le tabelle matematiche di solito danno valori approssimativi delle quantità. In questo caso si considera che l'errore assoluto non superi la mezza unità dell'ultima cifra.
In questo caso diventa necessario trovare valori approssimativi delle grandezze, a patto che il relativo limite di errore non superi un valore prestabilito. Questa lezione tratterà problemi di questo tipo.
Se in un dato valore esatto o approssimativo il numero di cifre è maggiore di quanto necessario per ragioni pratiche, questo numero viene arrotondato. L'operazione di arrotondamento dei numeri consiste nello scartare diverse cifre di ordine basso e nel sostituirle con zeri; in questo caso l'ultima cifra mantenuta viene lasciata invariata se la prima cifra scartata è inferiore a 5; se è uguale o maggiore di 5, la cifra dell'ultima cifra mantenuta viene aumentata di uno.
Accettiamo di supporre che nel valore approssimativo di una quantità tutte le cifre siano corrette se il suo errore assoluto non supera la mezza unità dell'ultima cifra.
Con questo arrotondamento, il numero che caratterizza il valore approssimativo della quantità è composto da cifre corrette e la cifra più bassa di questo numero (l'ultima del record) ha una precisione di 1 della stessa cifra. Ad esempio, la voce t3 68 kg significa t3 68 0 01 kg e la voce t3 680 kg significa t3 680 0 001 kg.
Dall'equazione risulta chiaro che la somma dei valori approssimativi delle quantità A e la somma dei loro errori è il valore approssimativo delle somme delle quantità X e del loro errore assoluto.
N) in (1) indica il valore approssimativo della quantità y (xi, x0, g / o) ottenuta con il metodo in esame.
I calcoli, di regola, vengono effettuati con valori approssimativi delle quantità - numeri approssimativi. Una stima ragionevole dell'errore nei calcoli consente di indicare il numero ottimale di cifre che dovrebbero essere conservate durante i calcoli, nonché nel risultato finale.
Come risultato del calcolo è possibile ottenere il valore esatto o approssimativo di una quantità. In questo caso, un segno sufficiente che il risultato del conteggio è vicino è la presenza di risposte diverse durante i calcoli ripetuti.
Infatti, la media aritmetica X gli darà solo un valore approssimativo del valore axf, e se lo schema stesso del suo esperimento fosse insoddisfacente o gli strumenti fossero stati scarsamente testati (ad esempio, un righello di misurazione invece di 1 m è uguale a 0 999 mm), quindi non importa quanto accuratamente il nostro osservatore trovi il valore a, non ha motivo di credere che X o a corrispondano al vero valore della velocità del suono, che può essere osservato in un'ampia varietà di altri esperimenti. L'ipotesi principale che giustificherebbe l'applicazione del metodo della media aritmetica a misurazioni fisiche di questo tipo è l'ipotesi che l'incognita sia una xf o, in altre parole, che la misurazione (o il calcolo) sia effettuata senza errore sistematico.
In pratica, quando misuriamo le aree, molto spesso utilizziamo valori approssimativi.
ISTITUZIONE EDUCATIVA COMUNALE
"SCUOLA SECONDARIA KURLEK"
Distretto di Tomsk
"Matematica
nella scienza e nella vita"
“Lezione seminario” sull'argomento:
"Valori approssimativi delle quantità"
(Sull'orientamento applicato di assoluto e relativo errori )
Algebra 7a elementare
Insegnante di matematica:
Serebrennikova Vera Alexandrovna
Kurlek-2006
"La matematica nella scienza e nella vita"
"Il linguaggio della matematica -
è il linguaggio universale della scienza"
Soggetto:
Valori approssimativi delle quantità.(Lezione generale - seminario)
Bersaglio: 1. Riassumere le conoscenze degli studenti su questo argomento, tenendo conto del focus applicato (in fisica, formazione lavorativa);
2. Capacità di lavorare in gruppo e di prendere parte a presentazioni
Attrezzatura:
2 righelli con divisioni di 0,1 cm e 1 cm, termometro, bilancia, dispense (foglio, carta carbone, cartoncini)
Saluti di apertura e presentazione dei partecipanti al seminario(insegnante)
Consideriamo una delle questioni importanti: i calcoli approssimativi. Qualche parola sulla sua importanza.
Quando si risolvono problemi pratici, spesso si ha a che fare con valori approssimativi di varie quantità.
Lascia che ti ricordi in quali casi si ottengono valori approssimativi:
quando si contano un gran numero di articoli;
quando si misura utilizzando strumenti di varie quantità (lunghezza, massa, temperatura);
quando si arrotondano i numeri.
I partecipanti al seminario di oggi saranno 3 gruppi: matematici, fisici e rappresentanti della produzione (pratica).
(I “senior” rappresentano i gruppi e dicono il loro cognome.)
Il lavoro del seminario sarà valutato dagli ospiti e da una giuria competente composta da pubblico, che comprende “matematici”, “fisici” e “professionisti”.
Il lavoro dei gruppi e dei singoli partecipanti sarà valutato con punti.
Piano di lavoro(Sulla scrivania)
1. Spettacoli
2. Lavoro indipendente
3. Quiz
4. Risultati
. Spettacoli.
Una misura per valutare la deviazione del valore approssimativo da quello esatto
2
L'errore assoluto mostra quanto
il valore approssimativo differisce da quello esatto, cioè precisione di approssimazione.
L'errore relativo valuta la qualità della misurazione e
espresso in percentuale.
Se x ≈ α, dove x è il valore esatto e α è un valore approssimativo, l'errore assoluto sarà: │х – α │ e l'errore relativo: │х – α │∕ │α│%
Esempi:
1 . Troviamo gli errori assoluti e relativi del valore approssimativo ottenuto arrotondando il numero 0,437 ai decimi.
Errore assoluto: │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037
Errore relativo: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25%
Troviamo il valore approssimativo dal grafico della funzione y = x 2
Se x = 1,6, allora y ≈ 2,5
Utilizzando la formula y = x 2, troviamo il valore esatto di y: y = 1,6 2 = 2,56;
Errore assoluto: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;
Errore relativo: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%
Se confrontiamo i due risultati di un errore relativo del 9,25% e
2,4%, quindi nel secondo caso la qualità del calcolo sarà maggiore e il risultato sarà più accurato.
Cosa determina la precisione del valore approssimativo?
Dipende da molte ragioni. Se durante la misurazione si ottiene un valore approssimativo, la sua precisione dipende dal dispositivo con cui è stata eseguita la misurazione. Nessuna misurazione può essere effettuata con assoluta precisione. Anche le misure stesse contengono errori. È estremamente difficile realizzare righelli metrici, pesi da un chilogrammo o tazze da un litro completamente accurati e la legge consente alcuni errori nella produzione.
Ad esempio, quando si crea un righello metrico, è consentito un errore di 1 mm. La misurazione stessa introduce anche imprecisioni, errori nei pesi e nelle bilance. Ad esempio, sul righello che utilizziamo, le divisioni sono segnate ogni 1 mm, cioè 0,1 cm, il che significa che la precisione della misurazione con questo righello è fino a 0,1 (≤ 0,1). Su un termometro medico, le divisioni sono divise per 0,1 0, il che significa che la precisione è fino a 0,1 (≤ 0,1). Le divisioni sulla scala sono contrassegnate ogni 200 g, il che significa che la precisione è fino a 200 (≤ 200).
Quando si arrotonda una frazione decimale ai decimi, la precisione sarà fino a 0,1 (≤ 0,1); fino ai centesimi – precisione fino a 0,01 (≤ 0,01).
Nei laboratori dell'Istituto vengono effettuate le misurazioni più accurate al mondo
È sempre possibile trovare errori assoluti e relativi?
Non sempre è possibile trovare l'errore assoluto, poiché è sconosciuto
il valore esatto della quantità, e quindi il relativo errore.
In questo caso è generalmente accettato che l'errore assoluto non superi la divisione della scala dello strumento. Quelli. se, ad esempio, la scala di un righello è 1 mm = 0,1 cm, l'errore assoluto sarà accurato a 0,1 (≤ 0,1) e verrà determinata solo la stima dell'errore relativo (ovvero ≤ quale numero %).
Lo incontriamo spesso in fisica. quando si dimostrano esperimenti, quando si eseguono lavori di laboratorio.
Compito. Troviamo l'errore relativo quando misuriamo la lunghezza di un foglio di quaderno con i righelli: uno - con una precisione di 0,1 cm (divisioni ogni 0,1 cm); il secondo - con una precisione di 1 cm (divisioni ogni 1 cm).
ℓ 1 = 20,4 cm ℓ 2 = 20,2 cm
0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%
Dicono che l'errore relativo nel primo caso arriva fino allo 0,49% (cioè ≤ 0,49%), nel secondo caso fino al 4,95% (cioè ≤ 4,95%).
Nel primo caso, la precisione della misurazione è maggiore. Non stiamo parlando di dimensioni
errore relativo, ma la sua valutazione.
In produzione nella produzione delle parti che utilizziamo
calibro (per misurare la profondità; diametro: esterno e interno).
Errore assoluto Quando si misura con questo dispositivo, la precisione è fino a 0,1 mm. Lo troveremo stima dell'errore relativo quando si misura con un calibro:
d = 9,86 cm = 98,6 mm
0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Errore relativo precisione entro lo 0,1% (ovvero ≤ 0,1%).
Se lo confrontiamo con le due misurazioni precedenti, la precisione della misurazione è maggiore.
Da tre esempi pratici possiamo concludere: che i valori esatti non possono essere ottenuti effettuando misurazioni in condizioni normali.
Ma per effettuare la misurazione in modo più accurato, è necessario prendere un dispositivo di misurazione il cui valore di divisione sia il più piccolo possibile.
4
. Lavoro indipendente sulle opzioni, seguito dalla verifica(copia carbone).
|
opzione 1 |
opzione 2 |
|
1. Rappresenta graficamente la funzione y = x 3 |
1. Rappresenta graficamente la funzione y = x 2 |
b) y = 4 per x ≈ |
Utilizzando il grafico, completare la registrazione:
b) y = 5 per x ≈ |
|
2. Arrotonda il numero 0,356 ai decimi e trova: a) errore assoluto avvicinarsi; b) errore relativo avvicinandosi |
2. Arrotonda il numero 0,188 ai decimi e trova: a) errore assoluto avvicinarsi; b) errore relativo avvicinandosi |
(La giuria controlla il lavoro indipendente)
. Quiz.(Per ogni risposta corretta – 1 punto)
In quali esempi i valori delle quantità sono esatti e in quali sono approssimativi?
Esempi:
1. Ci sono 36 studenti nella classe
2. Nel villaggio operaio ci sono 1.000 abitanti
3. Il binario ferroviario è lungo 50 m
4. Il lavoratore ha ricevuto 10mila rubli dal registratore di cassa
5. L'aereo Yak ha 40.120 posti passeggeri.
6. La distanza tra Mosca e San Pietroburgo è 650 km
7. Un chilogrammo di grano contiene 30.000 chicchi
8. Distanza dalla Terra al Sole 1,5 ∙ 10 8 km
9. Uno degli scolari, alla domanda su quanti studenti ci sono a scuola, ha risposto: "1000", e l'altro ha risposto "950". Quale risposta è più accurata se ci sono 986 studenti nella scuola?
10. Una pagnotta pesa 1 kg e costa 2500 rubli.
11. Un quaderno da 12 fogli costa 600 rubli. ed ha uno spessore di 3 mm
v. Tirando le somme, gratificante
Valori esatti e approssimati delle quantità
Nella maggior parte dei casi, i dati numerici nei problemi sono approssimativi. Nelle condizioni del compito possono verificarsi anche valori esatti, ad esempio i risultati del conteggio di un piccolo numero di oggetti, alcune costanti, ecc.
Per indicare il valore approssimativo di un numero si usa il segno di uguaglianza approssimata; leggi così: “approssimativamente uguale” (non dovrebbe leggere: “approssimativamente uguale”).
Scoprire la natura dei dati numerici è un'importante fase preparatoria quando si risolve qualsiasi problema.
Le seguenti linee guida possono aiutarti a riconoscere i numeri esatti e approssimativi:
| Valori esatti | Valori approssimativi |
| 1. Valori di più fattori di conversione per il passaggio da un'unità di misura all'altra (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Molti fattori di conversione sono stati misurati e calcolati con una precisione (metrologica) così elevata da essere ora praticamente considerato accurato. | 1. La maggior parte dei valori delle quantità matematiche riportati nelle tabelle (radici, logaritmi, valori delle funzioni trigonometriche, nonché valori pratici del numero e della base dei logaritmi naturali (numero e)) |
| 2. Fattori di scala. Se, ad esempio, è noto che la scala è 1:10000, allora i numeri 1 e 10000 sono considerati esatti. Se è indicato che 1 cm equivale a 4 m, allora 1 e 4 sono i valori esatti della lunghezza | 2. Risultati della misurazione. (Alcune costanti di base: la velocità della luce nel vuoto, la costante gravitazionale, la carica e la massa di un elettrone, ecc.) Valori tabulati delle quantità fisiche (densità della materia, punti di fusione e di ebollizione, ecc.) |
| 3. Tariffe e prezzi. (costo di 1 kWh di elettricità – prezzo esatto) | 3. Anche i dati di progettazione sono approssimativi, perché sono specificati con alcune deviazioni, che sono standardizzate dai GOST. (Ad esempio, secondo lo standard, le dimensioni di un mattone sono: lunghezza 250 6 mm, larghezza 120 4 mm, spessore 65 3 mm) Lo stesso gruppo di numeri approssimativi comprende dimensioni prese dal disegno |
| 4. Valori convenzionali delle quantità (Esempi: temperatura zero assoluto -273,15 C, pressione atmosferica normale 101325 Pa) | |
| 5. Coefficienti ed esponenti presenti nelle formule fisiche e matematiche ( ; %; ecc.). | |
| 6. Risultati del conteggio degli articoli (numero di batterie nella batteria; numero di cartoni di latte prodotti dallo stabilimento e conteggiati dal contatore fotoelettrico) | |
| 7. Dati i valori delle quantità (ad esempio, nel problema "Trova i periodi di oscillazione dei pendoli lunghi 1 e 4 m", i numeri 1 e 4 possono essere considerati i valori esatti della lunghezza del pendolo) |
Eseguire le seguenti attività, formatta la risposta sotto forma di tabella:
1. Indicare quali dei valori indicati sono esatti e quali approssimativi:
1) Densità dell'acqua (4 C)………..……………..………………1000kg/m3
2) Velocità del suono (0 C)…………………………….332 m/s
3) Capacità termica specifica dell'aria….………………1,0 kJ/(kg∙K)
4) Punto di ebollizione dell'acqua…………….…………….100 C
5) Costante di Avogadro….……………..…..6.02∙10 23 mol -1
6) Massa atomica relativa dell'ossigeno……………..16
2. Trova valori esatti e approssimativi nei seguenti problemi:
1) In un motore a vapore, una bobina di bronzo, la cui lunghezza e larghezza sono rispettivamente 200 e 120 mm, è sottoposta ad una pressione di 12 MPa. Trova la forza necessaria per spostare la bobina lungo la superficie in ghisa del cilindro. Il coefficiente di attrito è 0,10.
2) Determinare la resistenza del filamento di una lampada elettrica utilizzando i seguenti contrassegni: "220 V, 60 W".
3. Quali risposte – esatte o approssimative – otterremo risolvendo i seguenti problemi?
1) Qual è la velocità di un corpo in caduta libera alla fine del quindicesimo secondo, presupponendo che l'intervallo di tempo sia specificato esattamente?
2) Qual è la velocità della puleggia se il suo diametro è 300 mm e la velocità di rotazione è 10 rps? Considera i dati accurati.
3) Determinare il modulo di forza. Scala 1 cm – 50 N.
4) Determinare il coefficiente di attrito statico per un corpo situato su un piano inclinato se il corpo inizia a scivolare uniformemente lungo il pendio a = 0,675, dove è l'angolo di inclinazione del piano.
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