Un sistema di equazioni si dice indeterminato se. Concetti generali di un sistema di equazioni lineari

Continuiamo a trattare i sistemi di equazioni lineari. Finora abbiamo considerato sistemi che hanno una soluzione unica. Tali sistemi possono essere risolti in qualsiasi modo: con il metodo di sostituzione("scuola"), secondo le formule di Cramer, metodo matriciale, Metodo gaussiano. Tuttavia, in pratica, sono diffusi altri due casi:

1) il sistema è incoerente (non ha soluzioni);

2) il sistema ha infinite soluzioni.

Per questi sistemi viene utilizzato il metodo di soluzione più universale: Metodo gaussiano. In effetti, anche il metodo “scuola” porterà alla risposta, ma nella matematica superiore è consuetudine utilizzare il metodo gaussiano di eliminazione sequenziale delle incognite. Chi non ha familiarità con l'algoritmo del metodo gaussiano è pregato di studiare prima la lezione Metodo gaussiano

Le stesse trasformazioni della matrice elementare sono esattamente le stesse, la differenza sarà nella fine della soluzione. Per prima cosa, diamo un'occhiata ad un paio di esempi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerente).

Esempio 1

Cosa attira immediatamente la tua attenzione di questo sistema? Il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Esiste un teorema che afferma: “Se il numero di equazioni nel sistema è inferiore al numero di variabili, allora il sistema o è incoerente o ha infinite soluzioni”. E non resta che scoprirlo.

L'inizio della soluzione è del tutto normale: scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma graduale:

(1). Sul gradino in alto a sinistra dobbiamo ottenere (+1) o (–1). Non ci sono numeri di questo tipo nella prima colonna, quindi riorganizzare le righe non darà nulla. L'unità dovrà organizzarsi e ciò può essere fatto in diversi modi. L'abbiamo fatto. Alla prima riga aggiungiamo la terza riga, moltiplicata per (–1).

(2). Ora otteniamo due zeri nella prima colonna. Alla seconda riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per 3. Alla terza riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per 5.

(3). Una volta completata la trasformazione è sempre opportuno vedere se è possibile semplificare le stringhe risultanti? Potere. Dividiamo la seconda riga per 2, ottenendo allo stesso tempo quella desiderata (–1) nel secondo passaggio. Dividi la terza riga per (–3).

(4). Aggiungi una seconda riga alla terza riga. Probabilmente tutti hanno notato la brutta linea che risultava dalle trasformazioni elementari:

. È chiaro che non può essere così.

Riscriviamo infatti la matrice risultante

torniamo al sistema di equazioni lineari:

Se, come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa del modulo , Doveλ è un numero diverso da zero, il sistema è incoerente (non ha soluzioni).

Come scrivere la fine di un'attività? Devi scrivere la frase:

“Come risultato di trasformazioni elementari, è stata ottenuta una stringa della forma, dove λ ≠ 0 " Risposta: “Il sistema non ha soluzioni (incoerente)”.

Tieni presente che in questo caso non c'è alcuna inversione dell'algoritmo gaussiano, non ci sono soluzioni e semplicemente non c'è nulla da trovare.

Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Ti ricordiamo ancora che la tua soluzione potrebbe differire dalla nostra soluzione; il metodo gaussiano non specifica un algoritmo univoco; l'ordine delle azioni e le azioni stesse devono essere indovinate in ciascun caso in modo indipendente.

Un'altra caratteristica tecnica della soluzione: le trasformazioni elementari possono essere fermate Subito, non appena una riga come , dove λ ≠ 0 . Consideriamo un esempio condizionale: supponiamo che dopo la prima trasformazione si ottenga la matrice

.

Questa matrice non è stata ancora ridotta alla forma a scaglioni, ma non c'è bisogno di ulteriori trasformazioni elementari, poiché è apparsa una linea della forma, dove λ ≠ 0 . La risposta dovrebbe essere data immediatamente: il sistema è incompatibile.

Quando un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni, è quasi un regalo per lo studente, poiché si ottiene una soluzione breve, a volte letteralmente in 2-3 passaggi. Ma in questo mondo tutto è equilibrato e un problema in cui il sistema ha infinite soluzioni è semplicemente più lungo.

Esempio 3:

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Ci sono 4 equazioni e 4 incognite, quindi il sistema può avere un'unica soluzione, oppure non avere soluzioni, oppure avere infinite soluzioni. Comunque sia, il metodo gaussiano ci porterà comunque alla risposta. Questa è la sua versatilità.

L'inizio è di nuovo standard. Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola alla forma graduale:

Questo è tutto e tu avevi paura.

(1). Tieni presente che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2, quindi 2 va bene nel gradino in alto a sinistra. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per (–4). Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per (–2). Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (–1).

Attenzione! Molti potrebbero essere tentati dalla quarta riga sottrarre prima linea. Questo può essere fatto, ma non è necessario; l'esperienza dimostra che la probabilità di un errore nei calcoli aumenta più volte. Aggiungiamo solo: alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (–1) – esattamente!

(2). Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse possono essere cancellate. Anche qui dobbiamo mostrare maggiore attenzione, ma le linee sono davvero proporzionali? Per sicurezza, sarebbe una buona idea moltiplicare la seconda riga per (–1) e dividere la quarta riga per 2, ottenendo così tre righe identiche. E solo dopo rimuoverne due. Per effetto delle trasformazioni elementari, la matrice estesa del sistema si riduce alla forma a gradini:

Quando si scrive un'attività su un quaderno, è consigliabile prendere gli stessi appunti a matita per chiarezza.

Riscriviamo il corrispondente sistema di equazioni:

Qui non c’è odore di un’unica soluzione “ordinaria” al sistema. Linea sbagliata dove λ ≠ 0, anche no. Ciò significa che questo è il terzo caso rimanente: il sistema ha infinite soluzioni.

Un insieme infinito di soluzioni a un sistema è brevemente scritto nella forma del cosiddetto soluzione generale del sistema.

Troviamo la soluzione generale del sistema utilizzando il metodo inverso del gaussiano. Per i sistemi di equazioni con un insieme infinito di soluzioni, compaiono nuovi concetti: "variabili di base" E "variabili libere". Per prima cosa definiamo quali variabili abbiamo di base, e quali variabili - gratuito. Non è necessario spiegare in dettaglio i termini dell'algebra lineare, è sufficiente ricordare che esistono variabili di base E variabili libere.

Le variabili di base “siedono” sempre rigorosamente sui gradini della matrice. In questo esempio, le variabili di base sono X 1 e X 3 .

Le variabili libere sono tutto residuo variabili che non hanno ricevuto un passaggio. Nel nostro caso ce ne sono due: X 2 e X 4 – variabili libere.

Adesso ne hai bisogno Tuttovariabili di base esprimere solo attraversovariabili libere. Il contrario dell’algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dal basso verso l’alto. Dalla seconda equazione del sistema esprimiamo la variabile base X 3:

Consideriamo ora la prima equazione: . Per prima cosa sostituiamo al suo interno l'espressione trovata:

Resta da esprimere la variabile base X 1 tramite variabili libere X 2 e X 4:

Alla fine abbiamo ottenuto ciò di cui avevamo bisogno - Tutto variabili di base ( X 1 e X 3) espresso solo attraverso variabili libere ( X 2 e X 4):

In realtà, la soluzione generale è pronta:

.

Come scrivere correttamente la soluzione generale? Innanzitutto, le variabili libere vengono scritte nella soluzione generale “da sole” e rigorosamente al loro posto. In questo caso, variabili libere X 2 e X 4 va scritto in seconda e quarta posizione:

.

Le espressioni risultanti per le variabili di base e ovviamente va scritto in prima e terza posizione:

Dalla soluzione generale del sistema se ne possono trovare infinite soluzioni private. È molto semplice. Variabili libere X 2 e X 4 si chiamano così perché possono essere donati eventuali valori finali. I valori più popolari sono i valori zero, poiché questa è la soluzione parziale più semplice da ottenere.

Sostituendo ( X 2 = 0; X 4 = 0) nella soluzione generale, otteniamo una delle soluzioni particolari:

, oppure è una soluzione particolare corrispondente a variabili libere con valori ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Un'altra bella coppia è quella, sostituiamo ( X 2 = 1 e X 4 = 1) nella soluzione generale:

, cioè (-1; 1; 1; 1) – un'altra soluzione particolare.

È facile vedere che il sistema di equazioni ha infinite soluzioni poiché possiamo fornire variabili libere Qualunque significati.

Ogni la particolare soluzione deve soddisfare a ogni equazione del sistema. Questa è la base per un controllo “rapido” della correttezza della soluzione. Prendiamo, ad esempio, la soluzione particolare (-1; 1; 1; 1) e sostituiamola nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema originale:

Tutto deve combaciare. E con qualsiasi soluzione particolare che ricevi, anche tutto dovrebbe essere d'accordo.

A rigor di termini, controllare una particolare soluzione a volte è ingannevole, ad es. qualche soluzione particolare può soddisfare ciascuna equazione del sistema, ma la soluzione generale stessa in realtà viene trovata in modo errato. Pertanto, innanzitutto, la verifica della soluzione generale risulta più approfondita e attendibile.

Come verificare la soluzione generale risultante ?

Non è difficile, ma richiede alcune lunghe trasformazioni. Dobbiamo prendere le espressioni di base variabili, in questo caso e , e sostituirli nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema.

A sinistra della prima equazione del sistema:

Si ottiene il membro destro della prima equazione iniziale del sistema.

A sinistra della seconda equazione del sistema:

Si ottiene il membro destro della seconda equazione iniziale del sistema.

E poi - a sinistra della terza e della quarta equazione del sistema. Questo controllo richiede più tempo, ma garantisce la correttezza al 100% della soluzione complessiva. Inoltre, alcune attività richiedono la verifica della soluzione generale.

Esempio 4:

Risolvi il sistema utilizzando il metodo gaussiano. Trovare la soluzione generale e due particolari. Controlla la soluzione generale.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Anche in questo caso il numero delle equazioni è inferiore al numero delle incognite, il che significa che è immediatamente chiaro che il sistema o sarà incoerente o avrà un numero infinito di soluzioni.

Esempio 5:

Risolvere un sistema di equazioni lineari. Se il sistema ha infinite soluzioni, trova due soluzioni particolari e controlla la soluzione generale

Soluzione: Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola alla forma graduale:

(1). Aggiungi la prima riga alla seconda riga. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3.

(2). Alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per (–5). Alla quarta riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per (–7).

(3). La terza e la quarta riga sono uguali, ne cancelliamo una. Questa è una tale bellezza:

Le variabili di base siedono sui gradini, quindi - variabili di base.

C'è solo una variabile libera che non ha ottenuto un passaggio qui: .

(4). Movimento inverso. Esprimiamo le variabili di base attraverso una variabile libera:

Dalla terza equazione:

Consideriamo la seconda equazione e sostituiamo in essa l'espressione trovata:

, , ,

Consideriamo la prima equazione e sostituiamo le espressioni trovate con:

Pertanto, la soluzione generale con una variabile libera X 4:

Ancora una volta, come è andata a finire? Variabile libera X 4 occupa da solo il suo legittimo quarto posto. Sono presenti anche le espressioni risultanti per le variabili di base , .

Verifichiamo subito la soluzione generale.

Sostituiamo le variabili di base , , nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

Si ottengono i corrispondenti membri destri delle equazioni, quindi si trova la soluzione generale corretta.

Ora dalla soluzione generale trovata otteniamo due soluzioni particolari. Tutte le variabili sono qui espresse attraverso un singolo variabile libera x 4 . Non c'è bisogno di scervellarsi.

Permettere X 4 = 0 allora – la prima soluzione particolare.

Permettere X 4 = 1 quindi – un’altra soluzione privata.

Risposta: Decisione comune: . Soluzioni private:

E .

Esempio 6:

Trovare la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Abbiamo già verificato la soluzione generale, ci si può fidare della risposta. La tua soluzione potrebbe differire dalla nostra soluzione. La cosa principale è che le decisioni generali coincidono. Probabilmente, molte persone hanno notato un momento spiacevole nelle soluzioni: molto spesso, durante il percorso inverso del metodo gaussiano, abbiamo dovuto armeggiare con le frazioni ordinarie. In pratica è proprio così; i casi in cui non esistono frazioni sono molto meno comuni. Preparati mentalmente e, soprattutto, tecnicamente.

Soffermiamoci sulle caratteristiche della soluzione che non sono state trovate negli esempi risolti. La soluzione generale del sistema può talvolta includere una costante (o costanti).

Ad esempio, una soluzione generale: . Qui una delle variabili di base è uguale a un numero costante: . Non c'è niente di esotico in questo, succede. Ovviamente, in questo caso, qualsiasi soluzione particolare conterrà un cinque nella prima posizione.

Raramente, ma ci sono sistemi in cui il numero di equazioni è maggiore del numero di variabili. Tuttavia, il metodo gaussiano funziona nelle condizioni più difficili. Dovresti ridurre con calma la matrice estesa del sistema in una forma graduale utilizzando un algoritmo standard. Un tale sistema può essere incoerente, può avere infinite soluzioni e, stranamente, può avere un’unica soluzione.

Ripetiamo il nostro consiglio: per sentirti a tuo agio quando risolvi un sistema usando il metodo gaussiano, dovresti diventare bravo a risolvere almeno una dozzina di sistemi.

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:

Soluzione:Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola in una forma graduale.

Trasformazioni elementari eseguite:

(1) La prima e la terza riga sono state invertite.

(2) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per (–6). La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per (–7).

(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per (–1).

Come risultato delle trasformazioni elementari, si ottiene una stringa del modulo, Dove λ ≠ 0 .Ciò significa che il sistema è incoerente.Risposta: non ci sono soluzioni.

Esempio 4:

Soluzione:Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola alla forma graduale:

Conversioni effettuate:

(1). La prima riga, moltiplicata per 2, è stata aggiunta alla seconda riga. La prima riga, moltiplicata per 3, è stata aggiunta alla terza riga.

Non esiste un'unità per il secondo passaggio , e la trasformazione (2) è finalizzata al suo ottenimento.

(2). La terza riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –3.

(3). La seconda e la terza riga sono state scambiate (abbiamo spostato il risultato –1 al secondo passaggio)

(4). La terza riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per 3.

(5). Le prime due righe hanno cambiato segno (moltiplicato per –1), la terza riga è stata divisa per 14.

Inversione:

(1). Qui sono le variabili di base (che si trovano sui passaggi) e – variabili libere (che non hanno ottenuto un passo).

(2). Esprimiamo le variabili di base in termini di variabili libere:

Dalla terza equazione: .

(3). Consideriamo la seconda equazione:, soluzioni private:

Risposta: Decisione comune:

Numeri complessi

In questa sezione introdurremo il concetto numero complesso, prendere in considerazione algebrico, trigonometrico E forma esponenziale numero complesso. Impareremo anche come eseguire operazioni con numeri complessi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice.

Per padroneggiare i numeri complessi non è richiesta alcuna conoscenza speciale di un corso di matematica superiore e il materiale è accessibile anche agli scolari. È sufficiente essere in grado di eseguire operazioni algebriche con numeri “ordinari” e ricordare la trigonometria.

Per prima cosa ricordiamo i numeri “ordinari”. In matematica si chiamano insieme di numeri reali e sono designati dalla lettera R, o R (addensato). Tutti i numeri reali si trovano sulla familiare retta numerica:

La compagnia dei numeri reali è molto varia: qui ci sono numeri interi, frazioni e numeri irrazionali. In questo caso, ogni punto sull'asse dei numeri corrisponde necessariamente a un numero reale.

Il sistema si chiama giunto, O risolvibile, se ha almeno una soluzione. Il sistema si chiama incompatibile, O irrisolvibile, se non ha soluzioni.

SLAU definito e indefinito.

Se uno SLAE ha una soluzione, e per giunta unica, allora viene chiamato certo e se la soluzione non è unica, allora incerto.

EQUAZIONI DI MATRICE

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni in tre incognite:

Consideriamo la matrice del sistema e colonne di matrici di termini sconosciuti e liberi

Troviamo il lavoro

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri sinistri delle equazioni di questo sistema. Quindi, utilizzando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto nella forma

o più breve UN∙X=B.

Ecco le matrici UN E B sono noti e la matrice X sconosciuto. È necessario trovarlo, perché... i suoi elementi sono la soluzione a questo sistema. Questa equazione si chiama equazione di matrice.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = E E E∙X = X, quindi otteniamo una soluzione all'equazione della matrice nella forma X = A-1 B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite.

Le formule di Cramer

Il metodo di Cramer consiste nel trovare in sequenza determinante principale del sistema, cioè. determinante della matrice A: D = det (a i j) e n determinanti ausiliari D i (i= ), che si ottengono dal determinante D sostituendo la colonna i-esima con una colonna di termini liberi.

Le formule di Cramer sono: D × x i = D i (i = ).

Da ciò segue la regola di Cramer, che dà una risposta esaustiva alla questione della compatibilità del sistema: se il determinante principale del sistema è diverso da zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, determinata dalle formule: x i = D i / D.

Se il determinante principale del sistema D e tutti i determinanti ausiliari D i = 0 (i= ), allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Se il determinante principale del sistema D = 0, e almeno un determinante ausiliario è diverso da zero, allora il sistema è incoerente.

Teorema (regola di Cramer): se il determinante del sistema Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una ed una sola soluzione, e

Dimostrazione: consideriamo quindi un sistema di 3 equazioni in tre incognite. Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per il complemento algebrico UN 11 elemento un 11, 2a equazione – on A 21 e 3° – in poi A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Diamo un'occhiata a ciascuna delle parentesi e al lato destro di questa equazione. Dal teorema sull'espansione del determinante negli elementi della 1a colonna.

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Infine, è facile notarlo

Otteniamo così l'uguaglianza: . Quindi, .

Le uguaglianze e si derivano in modo simile, da cui segue l'enunciato del teorema.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Un sistema di equazioni lineari è coerente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa.

Prova: Si divide in due fasi.

1. Lascia che il sistema abbia una soluzione. Mostriamolo.

Lasciamo una serie di numeri è una soluzione al sistema. Indichiamo con l'esima colonna della matrice, . Allora cioè la colonna dei termini fittizi è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Permettere . Facciamo finta che . Poi di . Scegliamo in base minore. Ha ordine. Per questo minore deve passare la colonna dei termini liberi, altrimenti sarà la base minore della matrice. La colonna dei termini fittizi nella minore è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Per le proprietà del determinante, dov'è il determinante che si ottiene dal minore sostituendo la colonna dei termini liberi con la colonna . Se la colonna passasse per la M minore, allora in , ci saranno due colonne identiche e, quindi, . Se la colonna non passa per la minore, allora differirà dalla minore di ordine r+1 della matrice solo nell'ordine delle colonne. Da allora. Ciò contraddice quindi la definizione di base minore. Ciò significa che il presupposto che , non è corretto.

2. Lascia . Mostriamo che il sistema ha una soluzione. Poiché , allora la base minore della matrice è la base minore della matrice. Lascia che le colonne passino per la minore . Allora, per il teorema sulla base minore in una matrice, la colonna dei termini liberi è una combinazione lineare delle colonne indicate:

(1)

Poniamo , , , , e prendiamo le restanti incognite uguali a zero. Quindi con questi valori otteniamo

In virtù dell'uguaglianza (1) . L'ultima uguaglianza significa che l'insieme di numeri è una soluzione al sistema. L'esistenza di una soluzione è stata dimostrata.

Nel sistema discusso sopra , e il sistema è cooperativo. Nel sistema , , e il sistema è incoerente.

Nota: sebbene il teorema di Kronecker-Capelli permetta di determinare se un sistema è coerente, viene utilizzato abbastanza raramente, principalmente negli studi teorici. Il motivo è che i calcoli eseguiti per trovare il rango di una matrice sono sostanzialmente gli stessi calcoli eseguiti per trovare la soluzione del sistema. Pertanto, di solito, invece di trovare e, cercano una soluzione al sistema. Se riusciamo a trovarlo, scopriamo che il sistema è coerente e allo stesso tempo otteniamo la sua soluzione. Se non è possibile trovare una soluzione, allora concludiamo che il sistema è incoerente.

Algoritmo per trovare soluzioni a un sistema arbitrario di equazioni lineari (metodo di Gauss)

Sia dato un sistema di equazioni lineari in incognite. Si tratta di trovarne la soluzione generale, se compatibile, o di stabilirne l'incompatibilità. Il metodo che verrà presentato in questa sezione è vicino al metodo per calcolare il determinante e al metodo per trovare il rango di una matrice. L'algoritmo proposto viene chiamato Metodo gaussiano O con il metodo dell’esclusione sequenziale delle incognite.

Scriviamo la matrice estesa del sistema

Chiamiamo operazioni elementari le seguenti operazioni con matrici:

1. riorganizzazione delle linee;

2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;

3. sommare una stringa ad un'altra stringa moltiplicata per un numero.

Tieni presente che quando risolvi un sistema di equazioni, a differenza del calcolo del determinante e della ricerca del rango, non puoi operare con le colonne. Se dalla matrice ottenuta eseguendo un'operazione elementare si ripristina un sistema di equazioni, allora il nuovo sistema sarà equivalente a quello originale.

L'obiettivo dell'algoritmo è, applicando una sequenza di operazioni elementari alla matrice, garantire che ogni riga, tranne forse la prima, inizi con zeri e che il numero di zeri prima del primo elemento diverso da zero in ogni riga successiva sia maggiore rispetto al precedente.

Il passaggio dell'algoritmo è il seguente. Trova la prima colonna diversa da zero nella matrice. Lascia che questa sia una colonna con il numero . Troviamo un elemento diverso da zero al suo interno e scambiamo la riga con questo elemento con la prima riga. Per non aggiungere ulteriore notazione, assumeremo che tale cambio di righe nella matrice sia già stato effettuato. Poi alla seconda riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero, alla terza riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero, ecc. Di conseguenza, otteniamo la matrice

(Le colonne iniziali dello zero solitamente mancano.)

Se la matrice contiene una riga con il numero k, in cui tutti gli elementi sono uguali a zero, e , allora interrompiamo l'esecuzione dell'algoritmo e concludiamo che il sistema è incoerente. Infatti, ricostruendo il sistema di equazioni dalla matrice estesa, otteniamo che l'esima equazione avrà la forma

Nessun insieme di numeri soddisfa questa equazione. .

La matrice può essere scritta nella forma

In relazione alla matrice, eseguiamo il passaggio descritto dell'algoritmo. Otteniamo la matrice

Dove , . Questa matrice può essere nuovamente scritta come

e applicare nuovamente il passo dell'algoritmo sopra descritto alla matrice.

Il processo si interrompe se, dopo aver eseguito il passaggio successivo, la nuova matrice ridotta è composta solo da zeri o se tutte le righe sono esaurite. Si noti che la conclusione che il sistema è incompatibile avrebbe potuto interrompere il processo prima.

Se non avessimo ridotto la matrice, ci saremmo ritrovati con una matrice della forma

Successivamente viene eseguito il cosiddetto metodo gaussiano inverso. Usando la matrice, componiamo un sistema di equazioni. Sul lato sinistro lasciamo le incognite con i numeri corrispondenti ai primi elementi diversi da zero in ogni riga. Notare che . Spostiamo le restanti incognite sul lato destro. Considerando le incognite del lato destro come determinate quantità fisse, è facile esprimere attraverso di esse le incognite del lato sinistro.

Ora, assegnando valori arbitrari alle incognite del lato destro e calcolando i valori delle variabili del lato sinistro, troveremo varie soluzioni al sistema originale Ax=b. Per scrivere la soluzione generale, è necessario denotare le incognite sul lato destro in qualche ordine con le lettere , comprese quelle incognite che non sono esplicitamente scritte sul lato destro a causa dei coefficienti zero, e quindi la colonna delle incognite può essere scritta come una colonna, dove ogni elemento è una combinazione lineare di quantità arbitrarie (in particolare, solo un valore arbitrario). Questa voce sarà la soluzione generale del sistema.

Se il sistema fosse omogeneo, otteniamo la soluzione generale del sistema omogeneo. I coefficienti per , presi in ciascun elemento della colonna della soluzione generale, formeranno la prima soluzione del sistema fondamentale delle soluzioni, i coefficienti per - la seconda soluzione, ecc.

Metodo 2: Il sistema fondamentale delle soluzioni di un sistema omogeneo può essere ottenuto in un altro modo. Per fare ciò, a una variabile spostata sul lato destro deve essere assegnato il valore 1 e al resto - zeri. Calcolati i valori delle variabili a sinistra, otteniamo una soluzione dal sistema fondamentale. Assegnando il valore 1 ad un'altra variabile a destra e zeri al resto, otteniamo la seconda soluzione del sistema fondamentale, ecc.

Definizione: il sistema è chiamato congiuntamente se ha almeno una soluzione e incoerente, altrimenti cioè nel caso in cui il sistema non abbia soluzioni. La questione se un sistema abbia o meno una soluzione è connessa non solo al rapporto tra il numero di equazioni e il numero di incognite. Ad esempio, un sistema di tre equazioni con due incognite

ha una soluzione, e ha anche infinite soluzioni, ma un sistema di due equazioni in tre incognite.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Questo sistema è sempre consistente poiché ha una soluzione banale x 1 =...=x n =0

Per l'esistenza di soluzioni non banali è necessario e sufficiente soddisfare

condizioni r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Gi L'insieme delle soluzioni dello SLAE forma uno spazio lineare di dimensione (n-r). Ciò significa che il prodotto della sua soluzione per un numero, così come la somma e la combinazione lineare di un numero finito delle sue soluzioni, sono soluzioni di questo sistema. Lo spazio delle soluzioni lineari di qualsiasi SLAE è un sottospazio dello spazio Rn.

Qualsiasi insieme di (n-r) soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE (che è una base nello spazio delle soluzioni) è chiamato insieme fondamentale di soluzioni (FSR).

Siano x 1 ,…, x r le incognite di base, x r +1 ,…, x n – incognite libere. Diamo a turno alle variabili libere i seguenti valori:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Forma uno spazio lineare S (spazio delle soluzioni), che è un sottospazio in R n (n è il numero di incognite), e dims=k=n-r, dove r è il rango del sistema. La base nello spazio delle soluzioni(x (1) ,…, x (k)) è detta sistema delle soluzioni fondamentali, e la soluzione generale ha la forma:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Tuttavia, in pratica sono diffusi altri due casi:

– Il sistema è incoerente (non ha soluzioni);
– Il sistema è coerente e ha infinite soluzioni.

Nota : Il termine “coerenza” implica che il sistema abbia almeno qualche soluzione. In una serie di problemi, è necessario prima esaminare la compatibilità del sistema; come fare, vedere l'articolo su rango delle matrici.

Per questi sistemi viene utilizzato il metodo di soluzione più universale: Metodo gaussiano. In effetti, anche il metodo “scuola” porterà alla risposta, ma nella matematica superiore è consuetudine utilizzare il metodo gaussiano di eliminazione sequenziale delle incognite. Chi non ha familiarità con l'algoritmo del metodo gaussiano è pregato di studiare prima la lezione Metodo gaussiano per i manichini.

Le stesse trasformazioni della matrice elementare sono esattamente le stesse, la differenza sarà nella fine della soluzione. Per prima cosa, diamo un'occhiata ad un paio di esempi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerente).

Esempio 1

Cosa attira immediatamente la tua attenzione di questo sistema? Il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Se il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili, allora possiamo subito dire che il sistema o è incoerente oppure ha infinite soluzioni. E non resta che scoprirlo.

L'inizio della soluzione è del tutto normale: scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma graduale:

(1) Nel gradino in alto a sinistra dobbiamo ottenere +1 o –1. Non ci sono numeri di questo tipo nella prima colonna, quindi riorganizzare le righe non darà nulla. L'unità dovrà organizzarsi e ciò può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: alla prima riga aggiungiamo la terza riga, moltiplicata per –1.

(2) Ora otteniamo due zeri nella prima colonna. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 5.

(3) Una volta completata la trasformazione è sempre opportuno vedere se è possibile semplificare le stringhe risultanti? Potere. Dividiamo la seconda riga per 2, ottenendo allo stesso tempo il –1 richiesto nel secondo passaggio. Dividi la terza riga per –3.

(4) Aggiungi la seconda riga alla terza riga.

Probabilmente tutti hanno notato la brutta linea che risultava dalle trasformazioni elementari: . È chiaro che non può essere così. Riscriviamo infatti la matrice risultante torniamo al sistema di equazioni lineari:

Se, come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa della forma, dove c'è un numero diverso da zero, allora il sistema è incoerente (non ha soluzioni).

Come scrivere la fine di un'attività? Disegniamo con il gesso bianco: “come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa della forma , dove ” e diamo la risposta: il sistema non ha soluzioni (incoerente).

Se, in base alle condizioni, è necessario RICERCARE la compatibilità del sistema, è necessario formalizzare la soluzione in uno stile più solido utilizzando il concetto rango di matrice e teorema di Kronecker-Capelli.

Tieni presente che qui non c'è alcuna inversione dell'algoritmo gaussiano: non ci sono soluzioni e semplicemente non c'è nulla da trovare.

Esempio 2

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Ti ricordo ancora che la tua soluzione potrebbe differire dalla mia soluzione; l'algoritmo gaussiano non ha una forte “rigidità”.

Un'altra caratteristica tecnica della soluzione: le trasformazioni elementari possono essere fermate Subito, non appena una riga come , dove . Consideriamo un esempio condizionale: supponiamo che dopo la prima trasformazione si ottenga la matrice . La matrice non è stata ancora ridotta alla forma a scaglioni, ma non sono necessarie ulteriori trasformazioni elementari, poiché è apparsa una linea della forma, dove . La risposta dovrebbe essere data immediatamente: il sistema è incompatibile.

Quando un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni, questo è quasi un regalo, poiché si ottiene una soluzione breve, a volte letteralmente in 2-3 passaggi.

Ma in questo mondo tutto è equilibrato e un problema in cui il sistema ha infinite soluzioni è semplicemente più lungo.

Esempio 3

Risolvere un sistema di equazioni lineari

Ci sono 4 equazioni e 4 incognite, quindi il sistema può avere un'unica soluzione, oppure non avere soluzioni, oppure avere infinite soluzioni. Comunque sia, il metodo gaussiano ci porterà comunque alla risposta. Questa è la sua versatilità.

L'inizio è di nuovo standard. Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola alla forma graduale:

Questo è tutto e tu avevi paura.

(1) Tieni presente che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2, quindi 2 va bene nel gradino in alto a sinistra. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per –4. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per –2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per –1.

Attenzione! Molti potrebbero essere tentati dalla quarta riga sottrarre prima linea. Questo può essere fatto, ma non è necessario; l'esperienza dimostra che la probabilità di un errore nei calcoli aumenta più volte. Basta aggiungere: Alla quarta riga aggiungi la prima riga moltiplicata per –1 – esattamente!

(2) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse possono essere cancellate.

Anche qui dobbiamo mostrare maggiore attenzione, ma le linee sono davvero proporzionali? Per sicurezza (soprattutto per una teiera), sarebbe una buona idea moltiplicare la seconda riga per –1 e dividere la quarta riga per 2, ottenendo tre righe identiche. E solo dopo rimuoverne due.

Per effetto delle trasformazioni elementari, la matrice estesa del sistema si riduce alla forma a gradini:

Quando si scrive un'attività su un quaderno, è consigliabile prendere gli stessi appunti a matita per chiarezza.

Riscriviamo il corrispondente sistema di equazioni:

Qui non c’è odore di un’unica soluzione “ordinaria” al sistema. Non c'è nemmeno una brutta linea. Ciò significa che questo è il terzo caso rimanente: il sistema ha infinite soluzioni. A volte, a seconda delle condizioni, è necessario indagare sulla compatibilità del sistema (cioè dimostrare che esiste una soluzione), potete leggere questo nell'ultimo paragrafo dell'articolo Come trovare il rango di una matrice? Ma per ora andiamo oltre le nozioni di base:

Un insieme infinito di soluzioni a un sistema è brevemente scritto nella forma del cosiddetto soluzione generale del sistema .

Troviamo la soluzione generale del sistema utilizzando il metodo inverso del gaussiano.

Per prima cosa dobbiamo definire quali variabili abbiamo di base e quali variabili gratuito. Non devi preoccuparti dei termini dell'algebra lineare, ricorda solo che esistono variabili di base E variabili libere.

Le variabili di base “siedono” sempre rigorosamente sui gradini della matrice.
In questo esempio, le variabili di base sono e

Le variabili libere sono tutto residuo variabili che non hanno ricevuto un passaggio. Nel nostro caso ce ne sono due: – variabili libere.

Adesso ne hai bisogno Tutto variabili di base esprimere solo attraverso variabili libere.

Il contrario dell’algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dal basso verso l’alto.
Dalla seconda equazione del sistema esprimiamo la variabile base:

Consideriamo ora la prima equazione: . Per prima cosa sostituiamo al suo interno l'espressione trovata:

Resta da esprimere la variabile base in termini di variabili libere:

Alla fine abbiamo ottenuto ciò di cui avevamo bisogno - Tutto vengono espresse le variabili di base ( e ). solo attraverso variabili libere:

In realtà, la soluzione generale è pronta:

Come scrivere correttamente la soluzione generale?
Le variabili libere vengono scritte nella soluzione generale “da sole” e rigorosamente al loro posto. In questo caso, le variabili libere dovrebbero essere scritte nella seconda e nella quarta posizione:
.

Le espressioni risultanti per le variabili di base e ovviamente va scritto in prima e terza posizione:

Dare variabili libere valori arbitrari, ne puoi trovare infiniti soluzioni private. I valori più popolari sono gli zeri, poiché la soluzione particolare è la più semplice da ottenere. Sostituiamo nella soluzione generale:

– soluzione privata.

Un'altra bella coppia sono quelle, sostituiamole nella soluzione generale:

– un’altra soluzione privata.

È facile vedere che il sistema di equazioni ha infinite soluzioni(poiché possiamo fornire variabili libere Qualunque valori)

Ogni la particolare soluzione deve soddisfare a ogni equazione del sistema. Questa è la base per un controllo “rapido” della correttezza della soluzione. Prendiamo, ad esempio, una soluzione particolare e sostituiamola nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema originale:

Tutto deve combaciare. E con qualsiasi soluzione particolare che ricevi, anche tutto dovrebbe essere d'accordo.

Ma, in senso stretto, controllare una particolare soluzione a volte è ingannevole, ad es. qualche soluzione particolare può soddisfare ciascuna equazione del sistema, ma la soluzione generale stessa in realtà viene trovata in modo errato.

Pertanto, la verifica della soluzione generale è più approfondita e affidabile. Come verificare la soluzione generale risultante ?

Non è difficile, ma piuttosto noioso. Dobbiamo prendere le espressioni di base variabili, in questo caso e , e sostituirli nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema.

A sinistra della prima equazione del sistema:

A sinistra della seconda equazione del sistema:


Si ottiene il lato destro dell'equazione originale.

Esempio 4

Risolvi il sistema utilizzando il metodo gaussiano. Trovare la soluzione generale e due particolari. Controlla la soluzione generale.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Anche in questo caso il numero delle equazioni è inferiore al numero delle incognite, il che significa che è immediatamente chiaro che il sistema o sarà incoerente o avrà un numero infinito di soluzioni. Cosa è importante nel processo decisionale stesso? Attenzione, e ancora attenzione. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E un altro paio di esempi per rafforzare il materiale

Esempio 5

Risolvere un sistema di equazioni lineari. Se il sistema ha infinite soluzioni, trova due soluzioni particolari e controlla la soluzione generale

Soluzione: Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola alla forma graduale:

(1) Aggiungi la prima riga alla seconda riga. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3.
(2) Alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per –5. Alla quarta riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per –7.
(3) La terza e la quarta riga sono uguali, ne cancelliamo una.

Questa è una tale bellezza:

Le variabili di base siedono sui gradini, quindi - variabili di base.
C'è solo una variabile libera che non ha ottenuto un passaggio:

Inversione:
Esprimiamo le variabili di base attraverso una variabile libera:
Dalla terza equazione:

Consideriamo la seconda equazione e sostituiamo in essa l'espressione trovata:

Consideriamo la prima equazione e sostituiamo le espressioni trovate con:

Sì, una calcolatrice che calcola le frazioni ordinarie è ancora conveniente.

Quindi la soluzione generale è:

Ancora una volta, come è andata a finire? La variabile libera occupa da sola il suo legittimo quarto posto. Anche le espressioni risultanti per le variabili di base hanno preso il loro posto ordinale.

Verifichiamo subito la soluzione generale. Il lavoro è per i neri, ma l'ho già fatto, quindi prendilo =)

Sostituiamo tre eroi , , nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

Si ottengono i corrispondenti membri destri delle equazioni, quindi la soluzione generale è trovata correttamente.

Ora dalla soluzione generale trovata otteniamo due soluzioni particolari. L'unica variabile libera qui è lo chef. Non c'è bisogno di scervellarsi.

Lascia che sia allora – soluzione privata.
Sia allora , un'altra soluzione particolare.

Risposta: Decisione comune: , soluzioni private: , .

Non avrei dovuto ricordarmi dei neri... ...perché mi sono venuti in mente tutti i tipi di motivi sadici e mi sono ricordato del famoso Photoshop in cui uomini del Ku Klux Klans in tuniche bianche corrono attraverso il campo dietro a un giocatore di football nero. Mi siedo e sorrido tranquillamente. Sai quanto distrae...

Gran parte della matematica è dannosa, quindi un esempio finale simile per risolverlo da solo.

Esempio 6

Trovare la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Ho già controllato la soluzione generale, ci si può fidare della risposta. La tua soluzione potrebbe differire dalla mia soluzione, l'importante è che le soluzioni generali coincidano.

Probabilmente, molte persone hanno notato un momento spiacevole nelle soluzioni: molto spesso, durante il percorso inverso del metodo gaussiano, abbiamo dovuto armeggiare con le frazioni ordinarie. In pratica è proprio così; i casi in cui non esistono frazioni sono molto meno comuni. Preparati mentalmente e, soprattutto, tecnicamente.

Mi soffermerò su alcune caratteristiche della soluzione che non sono state trovate negli esempi risolti.

La soluzione generale del sistema può talvolta includere una costante (o costanti), ad esempio: . Qui una delle variabili di base è uguale a un numero costante: . Non c'è niente di esotico in questo, succede. Ovviamente, in questo caso, qualsiasi soluzione particolare conterrà un cinque nella prima posizione.

Raramente, ma ci sono sistemi in cui il numero di equazioni è maggiore del numero di variabili. Il metodo gaussiano funziona nelle condizioni più severe; si dovrebbe ridurre con calma la matrice estesa del sistema a una forma graduale utilizzando un algoritmo standard. Un tale sistema può essere incoerente, può avere infinite soluzioni e, stranamente, può avere un’unica soluzione.

Dove X* - una delle soluzioni al sistema disomogeneo (2) (ad esempio (4)), (E−A+A) costituisce il nucleo (spazio nullo) della matrice UN.

Facciamo una scomposizione scheletrica della matrice (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Dove Q n×n−r- matrice dei ranghi (Q)=n−r, S n−r×n-matrice dei ranghi (S)=n−r.

Allora la (13) può essere scritta nella forma seguente:

x=x*+Q·k, ∀ K ∈ Rn-r.

Dove k=Tg.

COSÌ, procedura per trovare una soluzione generale i sistemi di equazioni lineari che utilizzano una matrice pseudoinversa possono essere rappresentati nella seguente forma:

1. Calcolo della matrice pseudoinversa UN + .
2. Calcoliamo una soluzione particolare al sistema disomogeneo di equazioni lineari (2): X*=UN + B.
3. Verifichiamo la compatibilità del sistema. Per fare questo, calcoliamo AA. + B. Se AA. + B≠B, allora il sistema è incoerente. Altrimenti continuiamo la procedura.
4. Scopriamolo E−A+A.
5. Sto facendo la decomposizione dello scheletro E−A + A=Q·S.
6. Costruire una soluzione

x=x*+Q·k, ∀ K ∈ Rn-r.

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari online

Il calcolatore online ti consente di trovare la soluzione generale di un sistema di equazioni lineari con spiegazioni dettagliate.

La risoluzione dei sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) è senza dubbio l'argomento più importante in un corso di algebra lineare. Un numero enorme di problemi di tutti i rami della matematica si riduce alla risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questi fattori spiegano il motivo di questo articolo. Il materiale dell'articolo è selezionato e strutturato in modo che con il suo aiuto tu possa

• scegli il metodo ottimale per risolvere il tuo sistema di equazioni algebriche lineari,
• studiare la teoria del metodo scelto,
• risolvere il tuo sistema di equazioni lineari considerando soluzioni dettagliate ad esempi e problemi tipici.

Breve descrizione del materiale dell'articolo.

Innanzitutto, diamo tutte le definizioni, i concetti necessari e introduciamo le notazioni.

Successivamente, considereremo metodi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili incognite e che hanno un'unica soluzione. In primo luogo, ci concentreremo sul metodo di Cramer, in secondo luogo, mostreremo il metodo della matrice per risolvere tali sistemi di equazioni e, in terzo luogo, analizzeremo il metodo di Gauss (il metodo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute). Per consolidare la teoria, risolveremo sicuramente diversi SLAE in modi diversi.

Successivamente passeremo alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale, in cui il numero di equazioni non coincide con il numero di incognite o la matrice principale del sistema è singolare. Formuliamo il teorema di Kronecker-Capelli, che ci permette di stabilire la compatibilità degli SLAE. Analizziamo la soluzione dei sistemi (se compatibili) utilizzando il concetto di base minore di una matrice. Considereremo anche il metodo di Gauss e descriveremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.

Ci soffermeremo sicuramente sulla struttura della soluzione generale di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari. Diamo il concetto di sistema fondamentale di soluzioni e mostriamo come si scrive la soluzione generale di uno SLAE utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

In conclusione, considereremo sistemi di equazioni che possono essere ridotti a lineari, nonché vari problemi nella cui soluzione sorgono gli SLAE.

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Definizioni, concetti, designazioni.

Considereremo sistemi di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite (p può essere uguale a n) della forma

Variabili sconosciute, - coefficienti (alcuni numeri reali o complessi), - termini liberi (anche numeri reali o complessi).

Questa forma di registrazione si chiama SLAE coordinata.

IN forma matriciale scrivere questo sistema di equazioni ha la forma,
Dove - la matrice principale del sistema, - una matrice colonna di variabili incognite, - una matrice colonna di termini liberi.

Se aggiungiamo una colonna di matrice di termini liberi alla matrice A come (n+1)esima colonna, otteniamo la cosiddetta matrice estesa sistemi di equazioni lineari. Tipicamente, una matrice estesa è indicata con la lettera T e la colonna dei termini liberi è separata da una linea verticale dalle restanti colonne, ovvero

Risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari chiamato insieme di valori di variabili sconosciute che trasforma tutte le equazioni del sistema in identità. Anche l'equazione di matrice per dati valori delle variabili incognite diventa un'identità.

Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, allora viene chiamato giunto.

Se un sistema di equazioni non ha soluzioni, viene chiamato non congiunto.

Se uno SLAE ha una soluzione univoca, viene chiamato certo; se esiste più di una soluzione, allora – incerto.

Se i termini liberi di tutte le equazioni del sistema sono uguali a zero , quindi viene chiamato il sistema omogeneo, Altrimenti - eterogeneo.

Risoluzione di sistemi elementari di equazioni algebriche lineari.

Se il numero di equazioni di un sistema è uguale al numero di variabili sconosciute e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora tali SLAE verranno chiamati elementare. Tali sistemi di equazioni hanno un'unica soluzione e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte le variabili sconosciute sono uguali a zero.

Abbiamo iniziato a studiare tali SLAE alle scuole superiori. Nel risolverle, prendevamo un'equazione, esprimevamo una variabile sconosciuta in termini di altre e la sostituivamo nelle restanti equazioni, poi prendevamo l'equazione successiva, esprimevamo la variabile sconosciuta successiva e la sostituivamo in altre equazioni, e così via. Oppure usavano il metodo dell’addizione, cioè aggiungevano due o più equazioni per eliminare alcune variabili sconosciute. Non ci soffermeremo su questi metodi in dettaglio, poiché si tratta essenzialmente di modifiche del metodo di Gauss.

I principali metodi per risolvere sistemi elementari di equazioni lineari sono il metodo Cramer, il metodo delle matrici e il metodo di Gauss. Risolviamoli.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Supponiamo di dover risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari

in cui il numero di equazioni è pari al numero di variabili incognite e il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, cioè .

Sia il determinante della matrice principale del sistema, e - determinanti delle matrici che si ottengono da A per sostituzione 1°, 2°, …, ennesimo colonna rispettivamente alla colonna degli iscritti gratuiti:

Con questa notazione le variabili sconosciute vengono calcolate utilizzando le formule del metodo di Cramer as . Ecco come si trova la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Esempio.

Il metodo di Cramer .

Soluzione.

La matrice principale del sistema ha la forma . Calcoliamo il suo determinante (se necessario, vedi l'articolo):

Poiché il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, il sistema ha un’unica soluzione che può essere trovata con il metodo di Cramer.

Componiamo e calcoliamo i determinanti necessari (otteniamo il determinante sostituendo la prima colonna della matrice A con una colonna di termini liberi, il determinante sostituendo la seconda colonna con una colonna di termini liberi, e sostituendo la terza colonna della matrice A con una colonna di termini liberi) :

Trovare variabili sconosciute utilizzando le formule :

Risposta:

Lo svantaggio principale del metodo di Cramer (se può essere definito uno svantaggio) è la complessità del calcolo dei determinanti quando il numero di equazioni nel sistema è superiore a tre.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale (utilizzando una matrice inversa).

Sia dato un sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale, dove la matrice A ha dimensione n per n e il suo determinante è diverso da zero.

Poiché , la matrice A è invertibile, cioè esiste una matrice inversa. Se moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza per sinistra, otteniamo una formula per trovare una colonna di matrice di variabili sconosciute. In questo modo abbiamo ottenuto la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo della matrice.

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari metodo della matrice.

Soluzione.

Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Perché

quindi lo SLAE può essere risolto utilizzando il metodo della matrice. Utilizzando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come .

Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice da addizioni algebriche di elementi della matrice A (se necessario, vedere l'articolo):

Resta da calcolare la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa ad una colonna-matrice di membri liberi (se necessario, vedere l'articolo):

Risposta:

o in un'altra notazione x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Il problema principale quando si trovano soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, soprattutto per matrici quadrate di ordine superiore al terzo.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Supponiamo di dover trovare la soluzione ad un sistema di n equazioni lineari con n variabili incognite
il cui determinante della matrice principale è diverso da zero.

L'essenza del metodo Gauss consiste nell'esclusione sequenziale delle incognite: prima si esclude x 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, poi si esclude x 2 da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, fino alla sola variabile incognita x n rimane nell'ultima equazione. Questo processo di trasformazione delle equazioni del sistema per eliminare sequenzialmente le variabili sconosciute viene chiamato metodo gaussiano diretto. Dopo aver completato il tratto in avanti del metodo gaussiano, x n viene trovato dall'ultima equazione, utilizzando questo valore dalla penultima equazione, viene calcolato x n-1 e così via, x 1 viene trovato dalla prima equazione. Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima inverso del metodo gaussiano.

Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.

Lo assumeremo , poiché possiamo sempre ottenere questo risultato riorganizzando le equazioni del sistema. Eliminiamo l'incognita x 1 da tutte le equazioni del sistema, cominciando dalla seconda. Per fare questo, alla seconda equazione del sistema aggiungiamo la prima, moltiplicata per , alla terza equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e .

Saremmo arrivati ​​allo stesso risultato se avessimo espresso x 1 in termini di altre variabili incognite nella prima equazione del sistema e avessimo sostituito l'espressione risultante in tutte le altre equazioni. Pertanto la variabile x 1 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.

Successivamente si procede in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, contrassegnato in figura

Per fare questo, alla terza equazione del sistema aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , alla quarta equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e . Pertanto la variabile x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza.

Successivamente si procede all'eliminazione dell'incognita x 3, mentre si procede analogamente con la parte del sistema segnata in figura

Continuiamo quindi la progressione diretta del metodo gaussiano finché il sistema non prende forma

Da questo momento iniziamo il metodo inverso del metodo gaussiano: calcoliamo x n dall'ultima equazione come , utilizzando il valore ottenuto di x n troviamo x n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo x 1 dalla prima equazione .

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari Metodo di Gauss.

Soluzione.

Escludiamo la variabile incognita x 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambi i membri della seconda e della terza equazione aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate rispettivamente per e per:

Ora eliminiamo x 2 dalla terza equazione aggiungendo ai suoi lati sinistro e destro i lati sinistro e destro della seconda equazione, moltiplicati per:

Questo completa la corsa in avanti del metodo Gauss; iniziamo la corsa inversa.

Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante troviamo x 3:

Dalla seconda equazione otteniamo .

Dalla prima equazione troviamo la restante variabile sconosciuta e completiamo così il procedimento inverso di Gauss.

Risposta:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

In generale, il numero di equazioni del sistema p non coincide con il numero di incognite n:

Tali SLAE potrebbero non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o infinite soluzioni. Questa affermazione vale anche per i sistemi di equazioni la cui matrice principale è quadrata e singolare.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Prima di trovare la soluzione ad un sistema di equazioni lineari è necessario stabilirne la compatibilità. La risposta alla domanda quando SLAE è compatibile e quando è incoerente è data da Teorema di Kronecker-Capelli:
Affinché un sistema di p equazioni con n incognite (p può essere uguale a n) sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice principale del sistema sia pari al rango della matrice estesa, ovvero , Rango(A)=Rango(T).

Consideriamo, ad esempio, l'applicazione del teorema di Kronecker-Capelli per determinare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari.

Esempio.

Scopri se il sistema di equazioni lineari ha soluzioni.

Soluzione.

. Usiamo il metodo del confinamento dei minori. Minore del secondo ordine diverso da zero. Vediamo i minori del terzo ordine che lo confinano:

Poiché tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, il rango della matrice principale è pari a due.

A sua volta, il rango della matrice estesa è uguale a tre, poiché il minore è del terzo ordine

diverso da zero.

Così, Rang(A), quindi, utilizzando il teorema di Kronecker–Capelli, possiamo concludere che il sistema originale di equazioni lineari è incoerente.

Risposta:

Il sistema non ha soluzioni.

Abbiamo quindi imparato a stabilire l'incoerenza di un sistema utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli.

Ma come trovare una soluzione ad uno SLAE una volta accertata la sua compatibilità?

Per fare ciò abbiamo bisogno del concetto di base minore di una matrice e di un teorema sul rango di una matrice.

Si chiama il minore dell'ordine più alto della matrice A, diverso da zero di base.

Dalla definizione di base minore segue che il suo ordine è uguale al rango della matrice. Per una matrice A diversa da zero possono esserci più basi minori; esiste sempre una base minore.

Consideriamo ad esempio la matrice .

Tutti i minori del terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché gli elementi della terza riga di questa matrice sono la somma dei corrispondenti elementi della prima e della seconda riga.

I seguenti minori del secondo ordine sono fondamentali, poiché sono diversi da zero

Minori non sono fondamentali perché sono pari a zero.

Teorema del rango della matrice.

Se il rango di una matrice di ordine p per n è uguale a r, allora tutti gli elementi di riga (e colonna) della matrice che non formano la base minore scelta sono espressi linearmente in termini dei corrispondenti elementi di riga (e colonna) che formano la base minore.

Cosa ci dice il teorema del rango delle matrici?

Se, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, abbiamo stabilito la compatibilità del sistema, allora scegliamo una qualsiasi base minore della matrice principale del sistema (il suo ordine è uguale a r), ed escludiamo dal sistema tutte le equazioni che non lo fanno non costituiscono la base selezionata minore. Lo SLAE così ottenuto sarà equivalente a quello originale, poiché le equazioni scartate sono ancora ridondanti (secondo il teorema del rango di matrice, sono una combinazione lineare delle restanti equazioni).

Di conseguenza, dopo aver scartato le equazioni non necessarie del sistema, sono possibili due casi.

Se il numero di equazioni r nel sistema risultante è uguale al numero di variabili sconosciute, allora sarà definito e l'unica soluzione potrà essere trovata con il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Esempio.

.

Soluzione.

Rango della matrice principale del sistema è uguale a due, poiché il minore è del secondo ordine diverso da zero. Grado Matrix esteso è anch'esso uguale a due, poiché l'unico minore del terzo ordine è zero

e il minore di secondo ordine sopra considerato è diverso da zero. In base al teorema di Kronecker–Capelli possiamo affermare la compatibilità del sistema originale di equazioni lineari, poiché Rank(A)=Rank(T)=2.

Prendiamo come base minore . È formato dai coefficienti della prima e della seconda equazione:


La terza equazione del sistema non partecipa alla formazione della base minore, quindi la escludiamo dal sistema basato sul teorema sul rango della matrice:


È così che abbiamo ottenuto un sistema elementare di equazioni algebriche lineari. Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer:


Risposta:

x1 = 1, x2 = 2.

Se il numero di equazioni r nello SLAE risultante è inferiore al numero di variabili sconosciute n, allora sul lato sinistro delle equazioni lasciamo i termini che formano la base minore e trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro del equazioni del sistema di segno opposto.

Vengono chiamate le variabili incognite (r di esse) che rimangono sul lato sinistro delle equazioni principale.

Vengono chiamate le variabili sconosciute (ci sono n - r pezzi) che si trovano sul lato destro gratuito.

Ora crediamo che le variabili sconosciute libere possano assumere valori arbitrari, mentre le r variabili sconosciute principali saranno espresse attraverso variabili sconosciute libere in un modo unico. La loro espressione può essere trovata risolvendo lo SLAE risultante utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo Gauss.

Vediamolo con un esempio.

Esempio.

Risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Troviamo il rango della matrice principale del sistema con il metodo del confinamento dei minori. Prendiamo 1 1 = 1 come minore diverso da zero del primo ordine. Cominciamo a cercare un minore diverso da zero del secondo ordine confinante con questo minore:


È così che abbiamo trovato un minore diverso da zero del secondo ordine. Iniziamo la ricerca di un minore confinante diverso da zero del terzo ordine:


Pertanto, il rango della matrice principale è tre. Anche il rango della matrice estesa è pari a tre, ovvero il sistema è coerente.

Prendiamo come base il minore trovato diverso da zero del terzo ordine.

Per chiarezza riportiamo gli elementi che costituiscono la base minore:


Lasciamo i termini coinvolti nella base minore sul lato sinistro delle equazioni del sistema, e trasferiamo il resto con segni opposti sul lato destro:


Diamo alle variabili sconosciute libere x 2 e x 5 valori arbitrari, cioè accettiamo , dove sono numeri arbitrari. In questo caso la SLAE assumerà la forma


Risolviamo il sistema elementare risultante di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer:


Quindi, .

Nella risposta non dimenticare di indicare le variabili sconosciute libere.

Risposta:

Dove sono i numeri arbitrari.

Riassumere.

Per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari generali, determiniamo innanzitutto la sua compatibilità utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il rango della matrice principale non è uguale al rango della matrice estesa, allora concludiamo che il sistema è incompatibile.

Se il rango della matrice principale è uguale al rango della matrice estesa, selezioniamo una base minore e scartiamo le equazioni del sistema che non partecipano alla formazione della base minore selezionata.

Se l'ordine della base minore è uguale al numero di variabili sconosciute, allora lo SLAE ha un'unica soluzione, che può essere trovata con qualsiasi metodo a noi noto.

Se l'ordine della base minore è inferiore al numero di variabili sconosciute, sul lato sinistro delle equazioni del sistema lasciamo i termini con le principali variabili sconosciute, trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro e diamo valori arbitrari a le variabili sconosciute libere. Dal sistema di equazioni lineari risultante troviamo le principali variabili incognite utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Il metodo Gauss può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di qualsiasi tipo senza prima verificarne la coerenza. Il processo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute consente di trarre una conclusione sia sulla compatibilità che sull'incompatibilità dello SLAE e, se esiste una soluzione, rende possibile trovarla.

Dal punto di vista computazionale è preferibile il metodo gaussiano.

Vedi la sua descrizione dettagliata e gli esempi analizzati nell'articolo Metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari generali.

Scrivere una soluzione generale a sistemi algebrici lineari omogenei e disomogenei utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni.

In questa sezione parleremo di sistemi simultanei omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari che hanno un numero infinito di soluzioni.

Consideriamo innanzitutto i sistemi omogenei.

Sistema fondamentale di soluzioni sistema omogeneo di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite è un insieme di (n – r) soluzioni linearmente indipendenti di questo sistema, dove r è l'ordine della base minore della matrice principale del sistema.

Se denotiamo soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE omogeneo come X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sono matrici colonnari di dimensione n per 1) , allora la soluzione generale di questo sistema omogeneo è rappresentata come una combinazione lineare di vettori del sistema fondamentale di soluzioni con coefficienti costanti arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), cioè .

Cosa significa il termine soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (oroslau)?

Il significato è semplice: la formula specifica tutte le possibili soluzioni dello SLAE originale, in altre parole, prendendo qualsiasi insieme di valori delle costanti arbitrarie C 1, C 2, ..., C (n-r), utilizzando la formula che faremo ottenere una delle soluzioni dello SLAE omogeneo originale.

Pertanto, se troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, allora possiamo definire tutte le soluzioni di questo SLAE omogeneo come .

Mostriamo il processo di costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.

Selezioniamo la base minore del sistema originale di equazioni lineari, escludiamo tutte le altre equazioni dal sistema e trasferiamo tutti i termini contenenti variabili sconosciute libere ai membri di destra delle equazioni del sistema con segni opposti. Diamo alle variabili incognite libere i valori 1,0,0,...,0 e calcoliamo le principali incognite risolvendo il sistema elementare di equazioni lineari risultante in qualsiasi modo, ad esempio utilizzando il metodo Cramer. Ciò si tradurrà in X (1) - la prima soluzione del sistema fondamentale. Se diamo alle incognite libere i valori 0,1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (2) . E così via. Se assegniamo i valori 0.0,…,0.1 alle incognite libere e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (n-r) . In questo modo verrà costruito un sistema fondamentale di soluzioni di uno SLAE omogeneo e la sua soluzione generale potrà essere scritta nella forma .

Per sistemi disomogenei di equazioni algebriche lineari, la soluzione generale è rappresentata nella forma , dove è la soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo, ed è la soluzione particolare dello SLAE disomogeneo originale, che otteniamo dando alle incognite libere i valori ​​0,0,...,0 e calcolando i valori delle principali incognite.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio.

Trovare il sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Il rango della matrice principale dei sistemi omogenei di equazioni lineari è sempre uguale al rango della matrice estesa. Troviamo il rango della matrice principale utilizzando il metodo dei minori confinanti. Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 9 della matrice principale del sistema. Troviamo il minore confinante diverso da zero del secondo ordine:

È stato trovato un minore del secondo ordine, diverso da zero. Esaminiamo i minori del terzo ordine che lo delimitano alla ricerca di uno diverso da zero:

Tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice principale ed estesa è uguale a due. Prendiamo . Per chiarezza notiamo gli elementi del sistema che lo compongono:

La terza equazione della SLAE originaria non partecipa alla formazione della base minore, pertanto si può escludere:

Lasciamo i termini contenenti le incognite principali sul lato destro delle equazioni e trasferiamo i termini con incognite libere sul lato destro:

Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo originale di equazioni lineari. Il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE è costituito da due soluzioni, poiché lo SLAE originale contiene quattro variabili sconosciute e l'ordine della sua base minore è pari a due. Per trovare X (1), diamo alle variabili sconosciute libere i valori x 2 = 1, x 4 = 0, quindi troviamo le principali incognite dal sistema di equazioni
.