Integrale di una funzione implicita. §6 Derivate parziali di funzioni complesse di più variabili

Impareremo a trovare le derivate di funzioni specificate implicitamente, cioè specificate da determinate equazioni che collegano variabili X E sì. Esempi di funzioni specificate implicitamente:

,

,

Le derivate di funzioni specificate implicitamente, o le derivate di funzioni implicite, si trovano in modo abbastanza semplice. Ora diamo un'occhiata alla regola e all'esempio corrispondenti, quindi scopriamo perché è necessario in generale.

Per trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente, è necessario differenziare entrambi i membri dell'equazione rispetto a x. Quei termini in cui è presente solo X si trasformeranno nella consueta derivata della funzione da X. E i termini con il gioco devono essere differenziati utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa, poiché il gioco è una funzione di X. Per dirla in modo molto semplice, la derivata risultante del termine con x dovrebbe risultare: la derivata della funzione da y moltiplicata per la derivata da y. Ad esempio, la derivata di un termine verrà scritta come , la derivata di un termine verrà scritta come . Successivamente, da tutto ciò è necessario esprimere questo “colpo di gioco” e si otterrà la derivata desiderata della funzione specificata implicitamente. Consideriamolo con un esempio.

Esempio 1.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x, assumendo che i sia una funzione di x:

Da qui otteniamo la derivata richiesta nell'attività:

Ora qualcosa sulla proprietà ambigua delle funzioni specificate implicitamente e sul perché sono necessarie regole speciali per la loro differenziazione. In alcuni casi, puoi assicurarti che la sostituzione dell'espressione in termini di x in una determinata equazione (vedi esempi sopra) invece del gioco, porti al fatto che questa equazione si trasforma in un'identità. COSÌ. L'equazione precedente definisce implicitamente le seguenti funzioni:

Dopo aver sostituito l'espressione del gioco al quadrato per x nell'equazione originale, otteniamo l'identità:

.

Le espressioni che abbiamo sostituito sono state ottenute risolvendo l'equazione del gioco.

Se dovessimo differenziare la corrispondente funzione esplicita

quindi otterremmo la risposta come nell'esempio 1 - da una funzione specificata implicitamente:

Ma non tutte le funzioni specificate implicitamente possono essere rappresentate nel modulo sì = F(X) . Quindi, ad esempio, le funzioni specificate implicitamente

non sono espresse attraverso funzioni elementari, cioè tali equazioni non sono risolvibili rispetto al gioco. Esiste quindi una regola per differenziare una funzione specificata implicitamente, che abbiamo già studiato e che applicheremo ulteriormente in modo coerente in altri esempi.

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Esprimiamo il primo e, in uscita, la derivata della funzione specificata implicitamente:

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x:

.

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

.

Soluzione. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x:

.

Esprimiamo e otteniamo la derivata:

.

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione data implicitamente:

Soluzione. Spostiamo i termini dal lato destro dell'equazione al lato sinistro e lasciamo lo zero a destra. Differenziamo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x.

Derivata di una funzione specificata implicitamente

O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Cos'è una funzione implicita? Dato che le mie lezioni sono pratiche, cerco di evitare definizioni e teoremi, ma sarebbe opportuno farlo qui. Cos'è comunque una funzione?

Funzione a variabile singolaè una regola secondo la quale ogni valore della variabile indipendente corrisponde ad uno ed un solo valore della funzione.

La variabile viene chiamata variabile indipendente O discussione.
La variabile viene chiamata variabile dipendente O funzione.

In parole povere, la lettera “Y” in questo caso è la funzione.

Finora abbiamo esaminato le funzioni definite in esplicito modulo. Cosa significa? Conduciamo un debriefing utilizzando esempi specifici.

Considera la funzione

Vediamo che a sinistra abbiamo un "gioco" (funzione) solitario, e a destra - solo "X". Cioè, la funzione esplicitamente espressa attraverso la variabile indipendente.

Consideriamo un'altra funzione:

È qui che le variabili si confondono. Inoltre impossibile in ogni caso esprimere “Y” solo tramite “X”. Quali sono questi metodi? Trasferire termini da parte a parte con un cambio di segno, spostarli fuori parentesi, eliminare i fattori secondo la regola delle proporzioni, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e prova a esprimere esplicitamente la “y”: . Puoi girare e capovolgere l’equazione per ore, ma non ci riuscirai.

Lascia che ti presenti: – esempio funzione implicita.

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che la funzione implicita esiste(ma non sempre), ha un grafico (proprio come una funzione “normale”). La funzione implicita è esattamente la stessa esiste derivata prima, derivata seconda, ecc. Come si suol dire, tutti i diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.

E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente. Non è così difficile! Rimangono in vigore tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate delle funzioni elementari. La differenza sta in un momento particolare, che esamineremo adesso.

Sì, e ti dirò la buona notizia: le attività discusse di seguito vengono eseguite secondo un algoritmo abbastanza rigoroso e chiaro senza un sasso davanti a tre tracce.

Esempio 1

1) Nella prima fase, associamo i tratti ad entrambe le parti:

2) Utilizziamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni):

3) Differenziazione diretta.
Come differenziare è completamente chiaro. Cosa fare dove ci sono “giochi” sotto i colpi?

- fino al punto di disonore, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .

Come differenziare
Qui abbiamo funzione complessa. Perché? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "Y". Ma il fatto è che esiste solo una lettera "y" - È STESSO UNA FUNZIONE(vedi definizione all'inizio della lezione). Pertanto, il seno è una funzione esterna ed è una funzione interna. Usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Differenziamo il prodotto secondo la solita regola :

Tieni presente che – è anche una funzione complessa, qualsiasi "gioco con campanelli e fischietti" è una funzione complessa:

La soluzione stessa dovrebbe assomigliare a questa:


Se sono presenti parentesi, espanderle:

4) Sul lato sinistro raccogliamo i termini che contengono una “Y” con un numero primo. Sposta tutto il resto sul lato destro:

5) A sinistra togliamo la derivata tra parentesi:

6) E secondo la regola delle proporzioni, trasformiamo queste parentesi nel denominatore del lato destro:

Il derivato è stato trovato. Pronto.

È interessante notare che qualsiasi funzione può essere riscritta implicitamente. Ad esempio, la funzione può essere riscritto in questo modo: . E differenziarlo utilizzando l'algoritmo appena discusso. In effetti, le frasi “funzione implicita” e “funzione implicita” differiscono in una sfumatura semantica. L’espressione “funzione implicitamente specificata” è più generale e corretta, – questa funzione è specificata implicitamente, ma qui puoi esprimere il “gioco” e presentare la funzione in modo esplicito. La frase “funzione implicita” si riferisce alla funzione implicita “classica” quando la “y” non può essere espressa.

Seconda soluzione

Attenzione! Puoi familiarizzare con il secondo metodo solo se sai come trovarlo con sicurezza derivate parziali. Principianti e manichini di calcolo, per favore non leggere e saltare questo punto, altrimenti la tua testa sarà un completo disastro.

Troviamo la derivata della funzione implicita utilizzando il secondo metodo.

Spostiamo tutti i termini a sinistra:

E consideriamo una funzione di due variabili:

Quindi la nostra derivata può essere trovata utilizzando la formula
Troviamo le derivate parziali:

Così:

La seconda soluzione consente di effettuare un controllo. Ma non è consigliabile che scrivano la versione finale del compito, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" non dovrebbe ancora conoscere le derivate parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.

Esempio 2

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Aggiungi tratti ad entrambe le parti:

Utilizziamo le regole di linearità:

Trovare le derivate:

Aprendo tutte le parentesi:

Spostiamo tutti i termini con a sinistra, il resto a destra:

Sul lato sinistro lo mettiamo tra parentesi:

Risposta finale:

Esempio 3

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione.

Non è raro che le frazioni sorgano dopo la differenziazione. In questi casi, è necessario eliminare le frazioni. Diamo un'occhiata ad altri due esempi.

Esempio 4

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti e utilizziamo la regola di linearità:

Molto spesso, quando si risolvono problemi pratici (ad esempio, nella geodesia superiore o nella fotogrammetria analitica), compaiono funzioni complesse di più variabili, ad es. argomenti x, y, z una funzione f(x,y,z) ) sono essi stessi funzioni di nuove variabili U, V, W ).

Questo, ad esempio, accade quando ci si sposta da un sistema di coordinate fisso Oxyz nel sistema mobile O 0 UVW e ritorno. Allo stesso tempo, è importante conoscere tutte le derivate parziali rispetto alle variabili “fisse” - “vecchie” e “in movimento” - “nuove”, poiché queste derivate parziali solitamente caratterizzano la posizione di un oggetto in questi sistemi di coordinate , e, in particolare, incidono sulla corrispondenza delle fotografie aeree con un oggetto reale. In questi casi si applicano le seguenti formule:

Cioè, è data una funzione complessa T tre "nuove" variabili U, V, W attraverso tre "vecchie" variabili x, y, z, Poi:

Commento. Potrebbero esserci variazioni nel numero di variabili. Ad esempio: se

In particolare, se z = f(xy), y = y(x) , allora otteniamo la cosiddetta formula della “derivata totale”:

Stessa formula per la “derivata totale” nel caso di:

assumerà la forma:

Sono possibili anche altre varianti delle formule (1.27) - (1.32).

Nota: la formula della “derivata totale” viene utilizzata nel corso di fisica, sezione “Idrodinamica” per derivare il sistema fondamentale di equazioni del moto dei fluidi.

Esempio 1.10. Dato:

Secondo la (1.31):

§7 Derivate parziali di una funzione di più variabili implicitamente data

Come è noto, una funzione specificata implicitamente di una variabile è definita come segue: la funzione della variabile indipendente X si dice implicito se è dato da un'equazione non risolta rispetto a sì :

Esempio 1.11.

L'equazione

specifica implicitamente due funzioni:

E l'equazione

non specifica alcuna funzione.

Teorema 1.2 (esistenza di una funzione implicita).

Lasciamo la funzione z =f(x,y) e le sue derivate parziali F" X E F" sì definito e continuo in qualche quartiere U M0 punti M 0 (X 0 sì 0 ) . Oltretutto, f(x 0 , sì 0 )=0 E f"(x 0 , sì 0 )≠0 , allora l'equazione (1.33) definisce l'intorno U M0 funzione implicita y=y(x) , continua e differenziabile in un certo intervallo D centrato in un punto X 0 , E y(x 0 )=y 0 .

Nessuna prova.

Dal Teorema 1.2 segue che su questo intervallo D :

cioè, c'è un'identità in

dove la derivata “totale” si trova secondo la (1.31)

Cioè, (1.35) fornisce una formula per trovare la derivata di una funzione data implicitamente di una variabile X .

Una funzione implicita di due o più variabili è definita in modo simile.

Ad esempio, se in qualche zona V spazio Oxyz vale la seguente equazione:

quindi in alcune condizioni sulla funzione F definisce implicitamente una funzione

Inoltre, per analogia con la (1.35), le sue derivate parziali si trovano come segue.

Derivata di una funzione specificata implicitamente.
Derivata di una funzione definita parametricamente

In questo articolo esamineremo altri due compiti tipici che spesso si trovano nei test di matematica superiore. Per padroneggiare con successo il materiale, devi essere in grado di trovare derivati ​​​​almeno a livello intermedio. Puoi imparare a trovare i derivati ​​praticamente da zero in due lezioni di base e Derivata di una funzione complessa. Se le tue capacità di differenziazione vanno bene, allora andiamo.

Derivata di una funzione specificata implicitamente

O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Cos'è una funzione implicita? Ricordiamo innanzitutto la definizione stessa di funzione di una variabile:

Funzione a variabile singolaè una regola secondo la quale ogni valore della variabile indipendente corrisponde ad uno ed un solo valore della funzione.

La variabile viene chiamata variabile indipendente O discussione.
La variabile viene chiamata variabile dipendente O funzione .

Finora abbiamo esaminato le funzioni definite in esplicito modulo. Cosa significa? Conduciamo un debriefing utilizzando esempi specifici.

Considera la funzione

Vediamo che a sinistra abbiamo un "giocatore" solitario, e a destra - solo "X". Cioè, la funzione esplicitamente espressa attraverso la variabile indipendente.

Consideriamo un'altra funzione:

È qui che le variabili si confondono. Inoltre impossibile in ogni caso esprimere “Y” solo tramite “X”. Quali sono questi metodi? Trasferire termini da parte a parte con un cambio di segno, spostarli fuori parentesi, eliminare i fattori secondo la regola delle proporzioni, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e prova a esprimere esplicitamente la “y”: . Puoi girare e capovolgere l’equazione per ore, ma non ci riuscirai.

Lascia che ti presenti: – esempio funzione implicita.

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che la funzione implicita esiste(ma non sempre), ha un grafico (proprio come una funzione “normale”). La funzione implicita è esattamente la stessa esiste derivata prima, derivata seconda, ecc. Come si suol dire, tutti i diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.

E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente. Non è così difficile! Rimangono in vigore tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate delle funzioni elementari. La differenza sta in un momento particolare, che esamineremo adesso.

Sì, e ti dirò la buona notizia: le attività discusse di seguito vengono eseguite secondo un algoritmo abbastanza rigoroso e chiaro senza un sasso davanti a tre tracce.

Esempio 1

1) Nella prima fase, associamo i tratti ad entrambe le parti:

2) Utilizziamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni):

3) Differenziazione diretta.
Come differenziare è completamente chiaro. Cosa fare dove ci sono “giochi” sotto i colpi?

- fino al punto di disonore, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .

Come differenziare
Qui abbiamo funzione complessa. Perché? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "Y". Ma il fatto è che esiste solo una lettera "y" - È STESSO UNA FUNZIONE(vedi definizione all'inizio della lezione). Pertanto, il seno è una funzione esterna ed è una funzione interna. Usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Differenziamo il prodotto secondo la solita regola :

Tieni presente che – è anche una funzione complessa, qualsiasi "gioco con campanelli e fischietti" è una funzione complessa:

La soluzione stessa dovrebbe assomigliare a questa:


Se sono presenti parentesi, espanderle:

4) Sul lato sinistro raccogliamo i termini che contengono una “Y” con un numero primo. Sposta tutto il resto sul lato destro:

5) A sinistra togliamo la derivata tra parentesi:

6) E secondo la regola delle proporzioni, trasformiamo queste parentesi nel denominatore del lato destro:

Il derivato è stato trovato. Pronto.

È interessante notare che qualsiasi funzione può essere riscritta implicitamente. Ad esempio, la funzione può essere riscritto in questo modo: . E differenziarlo utilizzando l'algoritmo appena discusso. In effetti, le frasi “funzione implicita” e “funzione implicita” differiscono in una sfumatura semantica. L’espressione “funzione implicitamente specificata” è più generale e corretta, – questa funzione è specificata implicitamente, ma qui puoi esprimere il “gioco” e presentare la funzione in modo esplicito. La frase “funzione implicita” si riferisce alla funzione implicita “classica” quando la “y” non può essere espressa.

Seconda soluzione

Attenzione! Puoi familiarizzare con il secondo metodo solo se sai come trovarlo con sicurezza derivate parziali. Principianti e manichini di calcolo, per favore non leggere e saltare questo punto, altrimenti la tua testa sarà un completo disastro.

Troviamo la derivata della funzione implicita utilizzando il secondo metodo.

Spostiamo tutti i termini a sinistra:

E consideriamo una funzione di due variabili:

Quindi la nostra derivata può essere trovata utilizzando la formula
Troviamo le derivate parziali:

Così:

La seconda soluzione consente di effettuare un controllo. Ma non è consigliabile che scrivano la versione finale del compito, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" non dovrebbe ancora conoscere le derivate parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.

Esempio 2

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Aggiungi tratti ad entrambe le parti:

Utilizziamo le regole di linearità:

Trovare le derivate:

Aprendo tutte le parentesi:

Spostiamo tutti i termini con a sinistra, il resto a destra:

Risposta finale:

Esempio 3

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione.

Non è raro che le frazioni sorgano dopo la differenziazione. In questi casi, è necessario eliminare le frazioni. Diamo un'occhiata ad altri due esempi.

Esempio 4

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti e utilizziamo la regola di linearità:

Differenziare utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa e la regola della differenziazione dei quozienti :

Espansione delle parentesi:

Ora dobbiamo eliminare la frazione. Questo può essere fatto in seguito, ma è più razionale farlo subito. Il denominatore della frazione contiene . Moltiplicare SU . Nel dettaglio, sarà simile a questo:

A volte dopo la differenziazione compaiono 2-3 frazioni. Se avessimo un'altra frazione, ad esempio, l'operazione dovrebbe essere ripetuta: moltiplicare ciascun termine di ciascuna parte SU

Sul lato sinistro lo mettiamo tra parentesi:

Risposta finale:

Esempio 5

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. L'unica cosa è che prima di eliminare la frazione, dovrai prima eliminare la struttura a tre piani della frazione stessa. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Derivata di una funzione definita parametricamente

Non sottolineiamolo, anche tutto in questo paragrafo è abbastanza semplice. Puoi scrivere la formula generale per una funzione definita parametricamente, ma per renderlo chiaro scriverò subito un esempio specifico. In forma parametrica, la funzione è data da due equazioni: . Spesso le equazioni non sono scritte tra parentesi graffe, ma in sequenza: , .

La variabile è chiamata parametro e può assumere valori da “meno infinito” a “più infinito”. Considera, ad esempio, il valore e sostituiscilo in entrambe le equazioni: . O in termini umani: “se x è uguale a quattro, allora y è uguale a uno”. È possibile contrassegnare un punto sul piano delle coordinate e questo punto corrisponderà al valore del parametro. Allo stesso modo, puoi trovare un punto per qualsiasi valore del parametro “te”. Come per una funzione “regolare”, anche per gli indiani d'America di una funzione definita parametricamente, tutti i diritti sono rispettati: puoi costruire un grafico, trovare le derivate, ecc. A proposito, se devi tracciare il grafico di una funzione definita parametricamente, puoi utilizzare il mio programma.

Nei casi più semplici è possibile rappresentare la funzione in modo esplicito. Esprimiamo il parametro della prima equazione: – e sostituiscilo nella seconda equazione: . Il risultato è una funzione cubica ordinaria.

Nei casi più “gravi”, questo trucco non funziona. Ma non importa, perché esiste una formula per trovare la derivata di una funzione parametrica:

Troviamo la derivata del “gioco rispetto alla variabile te”:

Tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate valgono, naturalmente, per la lettera , quindi, non vi è alcuna novità nel processo di ricerca dei derivati. Sostituisci mentalmente tutte le “X” nella tabella con la lettera “Te”.

Troviamo la derivata di “x rispetto alla variabile te”:

Ora non resta che sostituire le derivate trovate nella nostra formula:

Pronto. Anche la derivata, come la funzione stessa, dipende dal parametro.

Per quanto riguarda la notazione, invece di scriverla nella formula, si potrebbe semplicemente scriverla senza pedice, trattandosi di una derivata “regolare” “rispetto a X”. Ma in letteratura c'è sempre un'opzione, quindi non mi allontanerò dallo standard.

Esempio 6

Usiamo la formula

In questo caso:

Così:

Una caratteristica speciale nel trovare la derivata di una funzione parametrica è il fatto che ad ogni passaggio è utile semplificare il più possibile il risultato. Quindi, nell'esempio considerato, quando l'ho trovato, ho aperto le parentesi sotto la radice (anche se forse non l'ho fatto). Ci sono buone probabilità che quando si sostituisce nella formula, molte cose verranno ridotte bene. Anche se, ovviamente, ci sono esempi con risposte goffe.

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione specificata parametricamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Nell'articolo I problemi tipici più semplici con le derivate abbiamo esaminato esempi in cui dovevamo trovare la derivata seconda di una funzione. Per una funzione definita parametricamente, puoi anche trovare la derivata seconda, e si trova utilizzando la seguente formula: . È abbastanza ovvio che per trovare la derivata seconda bisogna prima trovare la derivata prima.

Esempio 8

Trovare la derivata prima e la derivata seconda di una funzione data parametricamente

Per prima cosa troviamo la derivata prima.
Usiamo la formula

In questo caso:

Sostituiamo le derivate trovate nella formula. Per semplificazione utilizziamo la formula trigonometrica:

Lascia che la funzione sia specificata implicitamente utilizzando l'equazione
(1) .
E lasciamo che questa equazione, per un certo valore, abbia una soluzione unica. Sia la funzione differenziabile nel punto , e
.
Quindi, a questo valore, c'è una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Per dimostrarlo, consideriamo la funzione come una funzione complessa della variabile:
.
Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa e troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione
(3) :
.
Poiché la derivata di una costante è zero e , allora
(4) ;
.

La formula è provata.

Derivate di ordine superiore

Riscriviamo l'equazione (4) usando notazioni diverse:
(4) .
Allo stesso tempo, e sono funzioni complesse della variabile:
;
.
La dipendenza è determinata dall'equazione (1):
(1) .

Troviamo la derivata rispetto a una variabile dai lati sinistro e destro dell'equazione (4).
Secondo la formula della derivata di una funzione complessa abbiamo:
;
.
Secondo la formula del derivato del prodotto:

.
Utilizzando la formula della somma dei derivati:


.

Poiché la derivata del lato destro dell'equazione (4) è uguale a zero, allora
(5) .
Sostituendo qui la derivata, otteniamo il valore della derivata del secondo ordine in forma implicita.

Differenziando l'equazione (5) in modo simile, otteniamo un'equazione contenente una derivata del terzo ordine:
.
Sostituendo qui i valori trovati delle derivate del primo e del secondo ordine, troviamo il valore della derivata del terzo ordine.

Continuando la differenziazione si può trovare una derivata di qualsiasi ordine.

Esempi

Esempio 1

Trova la derivata del primo ordine della funzione data implicitamente dall'equazione:
(P1) .

Soluzione con la formula 2

Troviamo la derivata usando la formula (2):
(2) .

Spostiamo tutte le variabili sul lato sinistro in modo che l'equazione assuma la forma .
.
Da qui.

Troviamo la derivata rispetto a , considerandola costante.
;
;
;
.

Troviamo la derivata rispetto alla variabile, considerando la variabile costante.
;
;
;
.

Usando la formula (2) troviamo:
.

Possiamo semplificare il risultato se notiamo che secondo l'equazione originale (A.1), . Sostituiamo:
.
Moltiplicare numeratore e denominatore per:
.

Soluzione della seconda via

Risolviamo questo esempio nel secondo modo. Per fare ciò, troveremo la derivata rispetto alla variabile dei lati sinistro e destro dell'equazione originale (A1).

Applichiamo:
.
Applichiamo la formula della frazione derivativa:
;
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa:
.
Differenziamo l'equazione originale (A1).
(P1) ;
;
.
Moltiplichiamo e raggruppiamo i termini.
;
.

Sostituiamo (dall'equazione (A1)):
.
Moltiplicato per:
.

Risposta

Esempio 2

Trova la derivata del secondo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A2.1) .

Soluzione

Differenziamo l'equazione originaria rispetto alla variabile, considerando che è funzione di:
;
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa.
.

Differenziamo l'equazione originale (A2.1):
;
.
Dall'equazione originale (A2.1) segue che . Sostituiamo:
.
Aprire le parentesi e raggruppare i membri:
;
(A2.2) .
Troviamo la derivata del primo ordine:
(A2.3) .

Per trovare la derivata del secondo ordine, differenziamo l'equazione (A2.2).
;
;
;
.
Sostituiamo l'espressione per la derivata del primo ordine (A2.3):
.
Moltiplicato per:

;
.
Da qui troviamo la derivata del secondo ordine.

Risposta

Esempio 3

Trova la derivata del terzo ordine della funzione data implicitamente utilizzando l'equazione:
(A3.1) .

Soluzione

Differenziamo l'equazione originale rispetto alla variabile, assumendo che sia una funzione di .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Differenziamo l'equazione (A3.2) rispetto alla variabile .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Deriviamo l'equazione (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Dalle equazioni (A3.2), (A3.3) e (A3.4) troviamo i valori delle derivate in .
;
;
.