Valore approssimato della grandezza ed errore delle approssimazioni. Valori esatti e approssimati delle quantità

1. I numeri sono esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo nella pratica sono di due tipi. Alcuni danno il valore reale della quantità, altri solo approssimativo. I primi sono chiamati esatti, i secondi approssimativi. Molto spesso è conveniente utilizzare un numero approssimativo anziché esatto, soprattutto perché in molti casi è impossibile trovare un numero esatto.

I risultati delle operazioni con i numeri danno: con numeri approssimativi, numeri approssimativi. Per esempio. Durante l'epidemia, il 60% dei residenti di San Pietroburgo soffre di influenza. Si tratta di circa 3 milioni di persone. con numeri esatti numeri esatti Ad esempio. Nell'aula di matematica ci sono 65 persone. numeri approssimativi Ad esempio. La temperatura corporea media del paziente durante la giornata è 37,3: mattina: 37,2; giorno:36,8; sera38.

La teoria dei calcoli approssimativi consente di: 1) conoscere il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati; 2) acquisire dati con un adeguato grado di accuratezza sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato; 3) razionalizzare il processo di calcolo, liberandolo da quei calcoli che non influenzeranno l'accuratezza del risultato.

1) se la prima cifra scartata (a sinistra) è inferiore a 5, allora l'ultima cifra rimasta non viene modificata (arrotondamento per difetto); 2) se la prima cifra da scartare è maggiore di 5 o uguale a 5, allora l'ultima cifra rimasta viene incrementata di uno (arrotondamento per eccesso). Arrotondamento: a) ai decimi 12,34 12,3; b) fino ai centesimi 3,2465 3,25; 1038.79. c) ai millesimi 3,4335 3,434. d) fino a migliaia; Vengono presi in considerazione:

Le grandezze più spesso misurate in medicina sono: massa m, lunghezza l, velocità del processo v, tempo t, temperatura t, volume V, ecc. Misurare una grandezza fisica significa confrontarla con una grandezza omogenea presa come unità. 9 Unità di misura delle grandezze fisiche: Base Lunghezza - 1 m - (metro) Tempo - 1 s - (secondo) Massa - 1 kg - (chilogrammo) Derivati ​​Volume - 1 m³ - (metro cubo) Velocità - 1 m/ s - (metro al secondo)

Prefissi ai nomi delle unità: Prefissi multipli - aumentano di 10, 100, 1000, ecc. tempi g - etto (×100) k – chilo (× 1000) M – mega (×) 1 km (chilometro) 1 kg (chilogrammo) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g Sottosezioni – diminuire di 10, 100, 1000, ecc. volte d – deci (×0,1) s – centi (× 0,01) m – milli (× 0,001) 1 dm (decimetro) 1 dm = 0,1 m 1 cm (centimetro) 1 cm = 0,01 m 1 mm (millimetro) 1 mm = 0,001 m Gli accessori multipli vengono utilizzati quando si misurano grandi distanze, masse, volumi, velocità, ecc. Gli accessori multipli vengono utilizzati quando si misurano piccole distanze, velocità, masse, volumi, ecc.

Per la diagnosi, il trattamento e la prevenzione delle malattie in medicina vengono utilizzate varie apparecchiature di misurazione medica.

Termometro. Innanzitutto, è necessario tenere conto dei limiti superiore e inferiore delle misurazioni. Il limite inferiore è il minimo e il limite superiore è il valore massimo misurato. Se il valore atteso del valore misurato non è noto, è meglio prendere un dispositivo con una “riserva”. Ad esempio, la misurazione della temperatura dell'acqua calda non deve essere effettuata con un termometro stradale o ambientale. È meglio trovare un dispositivo con un limite superiore di 100 °C. In secondo luogo, è necessario capire con quanta precisione dovrebbe essere misurato il valore. Poiché l'errore di misurazione dipende dal valore di divisione, per misurazioni più precise viene selezionato un dispositivo con un valore di divisione inferiore.

Errori di misurazione. Per misurare vari parametri diagnostici, è necessario il proprio dispositivo. Ad esempio, la lunghezza viene misurata con un righello e la temperatura con un termometro. Ma righelli, termometri, tonometri e altri strumenti sono diversi, quindi per misurare qualsiasi quantità fisica è necessario scegliere un dispositivo adatto a questa misurazione.

Prezzo della divisione strumentale. La temperatura del corpo di una persona deve essere determinata con precisione, i farmaci devono essere somministrati in una quantità rigorosamente definita, pertanto il valore delle divisioni della scala di un dispositivo di misurazione è una caratteristica importante di ciascun dispositivo. Regola per il calcolo del valore delle divisioni strumentali Per calcolare il valore delle divisioni della scala è necessario: a) selezionare le due linee digitalizzate più vicine sulla scala; b) contare il numero di divisioni tra di loro; c) dividere la differenza di valori attorno ai tratti selezionati per il numero di divisioni.

Prezzo della divisione strumentale. Valore di divisione (50-30)/4=5 (ml) Valore di divisione: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1 g, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Determinare il prezzo di divisione dei dispositivi: 16

Errore assoluto di misura. Quando si effettuano misurazioni, si verificano inevitabilmente errori. Questi errori sono causati da vari fattori. Tutti i fattori possono essere suddivisi in tre parti: errori causati da strumenti imperfetti; errori causati da metodi di misurazione imperfetti; errori causati dall'influenza di fattori casuali che non possono essere eliminati. Quando misuri qualsiasi quantità, vuoi sapere non solo il suo valore, ma anche quanto puoi fidarti di questo valore, quanto è accurato. Per fare ciò è necessario sapere quanto il valore reale di una quantità può differire da quello misurato. A tal fine viene introdotto il concetto di errori assoluti e relativi.

Errori assoluti e relativi. L'errore assoluto mostra quanto il valore reale di una grandezza fisica differisce da quello misurato. Dipende dal dispositivo stesso (errore strumentale) e dal processo di misurazione (errore di scala). L'errore strumentale deve essere indicato nel passaporto dello strumento (di norma è pari al valore della divisione dello strumento). L'errore di conteggio viene solitamente considerato pari alla metà del valore della divisione. L'errore assoluto di un valore approssimativo è la differenza Δ x = |x – x 0 |, dove x 0 è un valore approssimativo e x è il valore esatto del valore misurato, o talvolta A ΔA = |A – A 0 | viene utilizzato al posto di x.

Errori assoluti e relativi. Esempio. È noto che -0,333 è un valore approssimativo per -1/3. Quindi, per la definizione di errore assoluto Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. In molti casi pratici è impossibile trovare l'errore assoluto dell'approssimazione perché non si conosce il valore esatto della quantità. È tuttavia possibile specificare un numero positivo oltre il quale questo errore assoluto non può essere superato. Questo è un qualsiasi numero h che soddisfa la disuguaglianza | ∆ x | h Questo è chiamato limite di errore assoluto.

In questo caso si dice che il valore di x è approssimativamente, fino ad h, pari a x 0. x = x 0 ± h oppure x 0 - h x x 0 + h

Errori strumentali assoluti degli strumenti di misura

Stima degli errori strumentali delle grandezze misurate. Per la maggior parte degli strumenti di misura, l'errore dello strumento è uguale al valore della sua divisione. L'eccezione sono gli strumenti digitali e i comparatori. Per gli strumenti digitali, l’errore è indicato sul passaporto e di solito è molte volte superiore al valore della divisione dello strumento. Per gli strumenti di misura a puntatore, l'errore è determinato dalla classe di precisione, indicata sulla scala dello strumento, e dal limite di misurazione. La classe di precisione è indicata sulla scala dello strumento come un numero non circondato da alcuna cornice. Ad esempio, nella figura mostrata, la classe di precisione del manometro è 1,5. La classe di precisione mostra la percentuale di errore dello strumento rispetto al limite di misurazione. Per un manometro a quadrante, il limite di misurazione è rispettivamente di 3 atm, l'errore nella misurazione della pressione è dell'1,5% di 3 atm, ovvero 0,045 atm. Va notato che per la maggior parte degli strumenti puntatori il loro errore è pari al valore della divisione dello strumento. Come nel nostro esempio, dove il prezzo della divisione del barometro è 0,05 atm.

Errori assoluti e relativi. L'errore assoluto è necessario per determinare l'intervallo entro il quale può rientrare il valore reale, ma non è molto indicativo per valutare l'accuratezza del risultato nel suo complesso. Dopotutto, misurare una lunghezza di 10 m con un errore di 1 mm è sicuramente molto preciso, mentre misurare una lunghezza di 2 mm con un errore di 1 mm è ovviamente estremamente impreciso. L'errore di misura assoluto viene solitamente arrotondato a una cifra significativa ΔA 0,17 0,2. Il valore numerico del risultato della misurazione viene arrotondato in modo che la sua ultima cifra sia la stessa cifra dell'errore A = 10.332 10.3

Errori assoluti e relativi. Insieme all'errore assoluto, è consuetudine considerare l'errore relativo, che è uguale al rapporto tra l'errore assoluto e il valore della quantità stessa. L'errore relativo di un numero approssimativo è il rapporto tra l'errore assoluto del numero approssimativo e questo numero stesso: E = Δx. 100% x 0 L'errore relativo mostra in quanta percentuale del valore stesso potrebbe verificarsi un errore ed è indicativo per valutare la qualità dei risultati sperimentali.

Esempio. Misurando la lunghezza e il diametro del capillare, abbiamo ottenuto l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Quale di queste misurazioni è più accurata? Quando si misura la lunghezza di un capillare è consentito un errore assoluto di 10 mm per 100 mm, pertanto l'errore assoluto è 10/100 = 0,1 = 10%. Quando si misura il diametro capillare, l'errore assoluto consentito è 0,1/2,5=0,04=4% Pertanto, la misurazione del diametro capillare è più accurata.

In molti casi non è possibile trovare l’errore assoluto. Da qui l'errore relativo. Ma puoi trovare il limite dell'errore relativo. Qualsiasi numero δ che soddisfi la disuguaglianza | ∆ x | / | xo | δ è il limite di errore relativo. In particolare, se h è il limite di errore assoluto, allora il numero δ= h/| x o |, è il limite dell'errore relativo dell'approssimazione x o. Da qui. Conoscere il confine relativo p-i. δ puoi trovare il limite di errore assoluto h. h=δ | xo |

Esempio. È noto che 2=1.41... Trova l'accuratezza relativa dell'uguaglianza approssimata o il limite di errore relativo dell'uguaglianza approssimata 2 1.41. Qui x = 2, x o = 1,41, Δ x = 2-1,41. Ovviamente 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, il limite di errore assoluto è 0,01, il limite di errore relativo è 1/141

Esempio. Quando si leggono le letture su una scala, è importante che lo sguardo sia perpendicolare alla scala del dispositivo, in questo caso l'errore sarà minore. Per determinare la lettura del termometro: 1. determinare il numero di divisioni, 2. moltiplicarle per il prezzo della divisione 3. prendere in considerazione l'errore 4. annotare il risultato finale. t = 20 °C ± 1,5 °C Ciò significa che la temperatura varia da 18,5° a 21,5°. Cioè, può essere, ad esempio, 19, 20 o 21 gradi Celsius. Per aumentare la precisione delle misurazioni, è consuetudine ripeterle almeno tre volte e calcolare il valore medio del valore misurato

CALCOLO DEL VALORE MEDIO Risultati della misurazione C 1 = 34,5 C 2 = 33,8 C 3 = 33,9 C 4 = 33,5 C 5 = 54,2 a) Trovare il valore medio di quattro quantità con av = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c av = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Trovare la deviazione del valore dal valore medio Δс = | c – ccp | Δc1 = | c 1 – ccp | = | 34,5 – 33,9| = 0,6 Δc2 = | c 2 – ccp | = | 33,8 – 33,9| = 0,1 Δc 3 = | c 3 – ccp | = | 33,9 – 33,9| = 0 Δc 4 = | c 4 – ccp | = | 33,5 – 33,9| = 0,4

C) Troviamo l'errore assoluto Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 g) Troviamo l'errore relativo δ = Δс: s CP δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Scriviamo la risposta finale c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

COMPITI A CASA Prepararsi per la lezione pratica sulla base del materiale delle lezioni. Eseguire un compito. Trovare il valore medio e l'errore: a 1 = 3.685 a 2 = 3.247 a 3 = 3.410 a 4 = 3.309 a 5 = 3.392. Creare presentazioni sugli argomenti: "Arrotondamento delle quantità in medicina", "Errori di misurazione", "Apparecchi di misurazione medici"

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Le operazioni matematiche sui valori approssimativi delle quantità sono chiamate calcoli approssimativi. Ad oggi, è stata creata un'intera scienza dei calcoli approssimativi, con una serie di disposizioni di cui acquisiremo familiarità in seguito.

Il risultato della misurazione fornisce sempre un valore approssimativo della quantità. Ciò è dovuto all'imprecisione delle misurazioni stesse e all'imperfetta precisione degli strumenti di misura.

Quello che viene chiamato errore relativo del valore approssimativo di una quantità.

Nella tabella La Figura 25 mostra i valori approssimativi di /Ci/ - d a varie ampiezze Um0 per un diodo 6X6 caricato con una resistenza R0 5 mg. Questa tabella è stata compilata dal Prof.

Le tabelle matematiche di solito danno valori approssimativi delle quantità. In questo caso si considera che l'errore assoluto non superi la mezza unità dell'ultima cifra.

In questo caso diventa necessario trovare valori approssimativi delle grandezze, a patto che il relativo limite di errore non superi un valore prestabilito. Questa lezione tratterà problemi di questo tipo.

Se in un dato valore esatto o approssimativo il numero di cifre è maggiore di quanto necessario per ragioni pratiche, questo numero viene arrotondato. L'operazione di arrotondamento dei numeri consiste nello scartare diverse cifre di ordine basso e nel sostituirle con zeri; in questo caso l'ultima cifra mantenuta viene lasciata invariata se la prima cifra scartata è inferiore a 5; se è uguale o maggiore di 5, la cifra dell'ultima cifra mantenuta viene aumentata di uno.

Accettiamo di supporre che nel valore approssimativo di una quantità tutte le cifre siano corrette se il suo errore assoluto non supera la mezza unità dell'ultima cifra.

Con questo arrotondamento, il numero che caratterizza il valore approssimativo della quantità è composto da cifre corrette e la cifra più bassa di questo numero (l'ultima del record) ha una precisione di 1 della stessa cifra. Ad esempio, la voce t3 68 kg significa t3 68 0 01 kg e la voce t3 680 kg significa t3 680 0 001 kg.

Dall'equazione risulta chiaro che la somma dei valori approssimativi delle quantità A e la somma dei loro errori è il valore approssimativo delle somme delle quantità X e del loro errore assoluto.

N) in (1) indica il valore approssimativo della quantità y (xi, x0, g / o) ottenuta con il metodo in esame.

I calcoli, di regola, vengono effettuati con valori approssimativi delle quantità - numeri approssimativi. Una stima ragionevole dell'errore nei calcoli consente di indicare il numero ottimale di cifre che dovrebbero essere conservate durante i calcoli, nonché nel risultato finale.

Come risultato del calcolo è possibile ottenere il valore esatto o approssimativo di una quantità. In questo caso, un segno sufficiente che il risultato del conteggio è vicino è la presenza di risposte diverse durante i calcoli ripetuti.

Infatti, la media aritmetica X gli darà solo un valore approssimativo del valore axf, e se lo schema stesso del suo esperimento fosse insoddisfacente o gli strumenti fossero stati scarsamente testati (ad esempio, un righello di misurazione invece di 1 m è uguale a 0 999 mm), quindi non importa quanto accuratamente il nostro osservatore trovi il valore a, non ha motivo di credere che X o a corrispondano al vero valore della velocità del suono, che può essere osservato in un'ampia varietà di altri esperimenti. L'ipotesi principale che giustificherebbe l'applicazione del metodo della media aritmetica a misurazioni fisiche di questo tipo è l'ipotesi che l'incognita sia una xf o, in altre parole, che la misurazione (o il calcolo) sia effettuata senza errore sistematico.

In pratica, quando misuriamo le aree, molto spesso utilizziamo valori approssimativi.

informazioni generali

Spesso un numero esatto è rappresentato da un numero limitato di cifre, scartando le cifre "extra" o arrotondandolo a una determinata cifra. Questo numero è chiamato approssimativo.

Il vero errore del numero approssimativo, cioè la differenza tra numeri esatti e approssimativi, quando si scartano le cifre, non supera una cifra dell'ultima cifra memorizzata, e quando si scarta con arrotondamento, eseguito secondo le regole stabilite dallo standard, mezza unità della cifra della cifra memorizzata.

Un numero approssimativo è caratterizzato dal numero di cifre significative, che includono tutte le cifre tranne gli zeri a sinistra.

I numeri nella registrazione di un numero approssimativo si dicono corretti se l'errore non supera la mezza unità dell'ultima cifra.

I numeri approssimativi includono anche i risultati della misurazione A, che valutano i valori effettivi di A d del valore misurato. Poiché non si conosce il vero errore del risultato ottenuto, esso viene sostituito dal concetto di errore massimo assoluto Δ pr = | A - A d | oppure errore relativo massimo δ pr = Δ pr / A (più spesso indicato in percentuale δ pr = 100 Δ pr / A)

L'errore relativo massimo del numero approssimativo può essere stimato utilizzando la formula:

dove δ è il numero di cifre significative corrette;

n 1 è la prima cifra significativa a sinistra.

Per determinare il numero richiesto di segni corretti che forniscono un dato errore relativo massimo, dovresti seguire le regole:

se la prima cifra significativa non supera tre, allora il numero di cifre corrette deve essere uno in più del modulo dell'esponente |-q| a 10 in un dato errore relativo δ pr = 10 -q

se la prima cifra significativa è 4 o più, il modulo dell'indicatore q è uguale al numero di cifre corrette.

(Se δ pr = 10 - q, allora S può essere determinato dalla formula
)

Regole per i calcoli con numeri approssimativi

Il risultato della somma (sottrazione) di numeri approssimati avrà tanti segni corretti quanti sono quelli dell'addendi con il minor numero di segni corretti.

Quando si moltiplica (divide), il risultato risultante avrà tante cifre corrette significative quante ce ne sono nel numero originale con il minor numero di cifre corrette.

Quando si eleva a una potenza (estraendo la radice) di qualsiasi potenza, il risultato ha tanti segni corretti quanti sono nella base.

Il numero e la mantissa del suo logaritmo contengono lo stesso numero di segni corretti.

Regola delle cifre di riserva. Al fine di ridurre il più possibile gli errori di arrotondamento, si raccomanda che nei dati di origine che lo consentono, nonché di conseguenza, se coinvolti in ulteriori calcoli, venga mantenuta una cifra in più oltre a quanto determinato da regole 1-4.

3. Classe di precisione e suo utilizzo per valutare l'errore strumentale degli strumenti

La classe di precisione è una caratteristica generalizzata utilizzata per valutare i valori massimi degli errori principali e aggiuntivi.

L'errore principale è l'errore del dispositivo inerente ad esso in normali condizioni operative.

Le condizioni operative sono determinate dai valori delle quantità che influenzano le letture dei dispositivi che non sono informativi per un determinato dispositivo. Le grandezze che influenzano includono la temperatura dell'ambiente in cui vengono eseguite le misurazioni, la posizione della scala dello strumento, la frequenza del valore misurato (non per i frequenzimetri), l'intensità del campo magnetico (o elettrico) esterno, la tensione di alimentazione di dispositivi elettronici e digitali, ecc.

La documentazione tecnica del dispositivo indica gli intervalli normali e operativi delle grandezze d'influenza. Non è consentito utilizzare l'apparecchio con una grandezza d'influenza al di fuori del range operativo.

La classe di precisione del dispositivo è determinata nella forma:

limite di errore assoluto Δ pr = ± a oppure Δ pr = ± (a + b A);

limite di errore relativo δ pr = ± p oppure δ pr = ± ;

limite di errore ridotto γ pr = ± k

I numeri a, b, p, c, d, k vengono scelti dalla riga 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 10 n, dove n = 1, 0, -1, -2, ecc.

A – letture dello strumento;

E max è il limite superiore dell'intervallo di misurazione utilizzato del dispositivo.

Errore ridotto

,

dove A n è il valore normalizzante convenzionalmente accettato per un dato dispositivo, in funzione della forma della scala.

Di seguito vengono riportate le definizioni di AN per le scale più comuni:

a) scala unilaterale b) scala con zero all'interno

A n = A max A n = |A 1 | +A2

c) scala senza zero d) scala notevolmente irregolare (per ohmmetri, misuratori di fase)

A n = A 2 – A 1 A n = L

Regole ed esempi per la designazione delle classi di precisione sono forniti nella Tabella 3.1.

Tabella 3.1

Formula per l'errore fondamentale massimo		Designazione della classe di precisione sul dispositivo
		forma generale
Δ = ± (a + b A)	± a, unità valori A ± (a + b A), unità. valori A	Lettere romane o latine

Per i problemi moderni è necessario utilizzare apparati matematici complessi e metodi sviluppati per risolverli. In questo caso si incontrano spesso problemi per i quali è necessaria una soluzione analitica, ad es. una soluzione sotto forma di espressione analitica che collega i dati iniziali con i risultati richiesti è del tutto impossibile, oppure è espressa da formule così complicate che il loro utilizzo per scopi pratici non è pratico.

In questo caso vengono utilizzati metodi di soluzione numerica che consentono di ottenere in modo molto semplice una soluzione numerica al problema posto. I metodi numerici sono implementati utilizzando algoritmi computazionali.

L'intera varietà di metodi numerici è divisa in due gruppi:

Esatto: supponiamo che se i calcoli vengono eseguiti in modo accurato, utilizzando un numero finito di operazioni aritmetiche e logiche, è possibile ottenere valori esatti delle quantità desiderate.

Quelli approssimativi - che, anche supponendo che i calcoli vengano eseguiti senza arrotondamenti, consentono di ottenere una soluzione al problema solo con una determinata precisione.

1. grandezza e numero. Una quantità è qualcosa che può essere espresso come numero in determinate unità.

Quando parliamo di valore di una quantità, intendiamo un certo numero, chiamato valore numerico della quantità, e la sua unità di misura.

Pertanto, una quantità è una caratteristica di una proprietà di un oggetto o fenomeno, che è comune a molti oggetti, ma ha valori individuali per ciascuno di essi.

Le quantità possono essere costanti o variabili. Se, in determinate condizioni, una quantità assume un solo valore e non può modificarlo, allora si chiama costante, ma se può assumere valori diversi, allora si chiama variabile. Pertanto, l'accelerazione di una caduta libera di un corpo in un dato punto della superficie terrestre è una quantità costante, assumendo un unico valore numerico g = 9,81... m/s2, mentre il percorso s viene percorso da un punto materiale durante la sua il movimento è una quantità variabile.

2. valori approssimativi dei numeri. Il valore di una quantità, della cui verità non dubitiamo, si dice esatto. Spesso però quando si cerca il valore di una quantità si ottiene solo il suo valore approssimativo. Nella pratica dei calcoli, molto spesso si ha a che fare con valori approssimativi dei numeri. Pertanto p è un numero esatto, ma a causa della sua irrazionalità è possibile utilizzare solo il suo valore approssimativo.

In molti problemi, a causa della complessità e spesso dell'impossibilità di ottenere soluzioni esatte, vengono utilizzati metodi di soluzione approssimata, tra cui: soluzione approssimata di equazioni, interpolazione di funzioni, calcolo approssimato di integrali, ecc.

Il requisito principale per i calcoli approssimativi è il rispetto della precisione specificata dei calcoli intermedi e del risultato finale. Allo stesso tempo, è altrettanto inaccettabile aumentare gli errori (errori) attraverso un ingiustificato sgrossamento dei calcoli e mantenere cifre ridondanti che non corrispondono alla precisione effettiva.

Esistono due classi di errori risultanti dai calcoli e dall'arrotondamento dei numeri: assoluti e relativi.

1. Errore assoluto (errore).

Introduciamo la seguente notazione:

Sia A il valore esatto di una certa quantità.Scrivi aa leggeremo “a è approssimativamente uguale ad A”. A volte scriveremo A = a, nel senso che stiamo parlando di uguaglianza approssimata.

Se è noto che a< А, то а называют un valore approssimativo di A con uno svantaggio. Se a > A, allora viene chiamato a valore approssimativo di A con eccesso.

Si chiama la differenza tra il valore esatto e quello approssimativo di una quantità errore di approssimazione ed è indicato con D, cioè

D = UN – un (1)

L'errore di approssimazione D può essere un numero positivo o negativo.

Per caratterizzare la differenza tra un valore approssimativo di una grandezza e uno esatto, spesso è sufficiente indicare il valore assoluto della differenza tra il valore esatto e quello approssimato.

Il valore assoluto della differenza tra l'approssimato UN e accurato UN vengono chiamati i valori di un numero errore assoluto (errore) di approssimazione e indicato con D UN:

D UN = ½ UN – UN½ (2)

Esempio 1. Quando si misura un segmento l utilizzato un righello, la cui divisione della scala è 0,5 cm, abbiamo ottenuto un valore approssimativo della lunghezza del segmento UN= 204cm.

È chiaro che durante la misurazione potrebbe esserci stato un errore non superiore a 0,5 cm, cioè L'errore di misurazione assoluto non supera 0,5 cm.

Di solito l'errore assoluto è sconosciuto, poiché non si conosce il valore esatto del numero A. Pertanto, qualsiasi valutazione errore assoluto:

D UN <= DUN Prima. (3)

dove D e prima. – errore massimo (numero, Di più zero), dato tenendo conto dell'attendibilità con cui è noto il numero a.

Viene anche chiamato errore massimo assoluto margine di errore. Quindi, nell'esempio fornito,
D e prima. = 0,5 cm.

Dalla (3) si ottiene: D UN = ½ UN – UN½<= DUN Prima. . poi

UN- D UN Prima. ≤ UN≤ UN+D UN Prima. . (4)

Significa, anno Domini UN Prima. sarà un valore approssimativo UN con uno svantaggio, e a+D UN Prima – valore approssimativo UN in abbondanza. Viene utilizzata anche la notazione breve: UN= UN±D UN Prima (5)

Dalla definizione di errore massimo assoluto segue che i numeri D UN Prima, soddisfacendo la disuguaglianza (3), ci sarà un insieme infinito. In pratica, cercano di scegliere forse meno dai numeri D e prima, soddisfacendo la disuguaglianza D UN <= DUN Prima.

Esempio 2. Determiniamo l'errore assoluto massimo del numero a=3,14, preso come valore approssimativo del numero π.

È risaputo che 3,14<π<3,15. Ne consegue che

|UN – π |< 0,01.

L'errore assoluto massimo può essere preso come il numero D UN = 0,01.

Se teniamo conto di ciò 3,14<π<3,142 , allora otteniamo una valutazione migliore: D UN= 0,002, quindi π ≈3,14 ±0,002.

Errore relativo (errore). Conoscere solo l'errore assoluto non è sufficiente per caratterizzare la qualità della misurazione.

Supponiamo, ad esempio, che pesando due corpi si ottengano i seguenti risultati:

P1 = 240,3 ±0,1 g.

P2 = 3,8 ±0,1 g.

Sebbene gli errori di misurazione assoluti di entrambi i risultati siano gli stessi, la qualità della misurazione nel primo caso sarà migliore che nel secondo. È caratterizzato da un errore relativo.

Errore relativo (errore) numero in avvicinamento UN chiamato rapporto di errore assoluto D a avvicinandosi al valore assoluto del numero A:

Poiché il valore esatto di una quantità è solitamente sconosciuto, viene sostituito con un valore approssimativo e quindi:

Errore relativo massimo O limite dell'errore di approssimazione relativo,è chiamato il numero d e prima>0, tale che:

D UN<= D e prima

L'errore relativo massimo può ovviamente essere preso come il rapporto tra l'errore massimo assoluto e il valore assoluto del valore approssimato:

Dalla (9) si ottiene facilmente la seguente importante relazione:

∆e prima = |UN| D e prima

L'errore relativo massimo è solitamente espresso in percentuale:

Esempio. Si presuppone che la base dei logaritmi naturali per il calcolo sia uguale a e=2,72. Abbiamo preso come valore esatto e t = 2,7183. Trova gli errori assoluti e relativi del numero approssimativo.

D e = ½ e – e t½=0,0017;

.

L'entità dell'errore relativo rimane invariata con una variazione proporzionale del numero più approssimativo e del suo errore assoluto. Pertanto, per il numero 634,7, calcolato con un errore assoluto di D = 1,3, e per il numero 6347 con un errore di D = 13, gli errori relativi sono gli stessi: D= 0,2.

Soggetto " "Si studia fluentemente in terza media. E gli studenti, di regola, non sviluppano completamente le capacità per calcolarlo.

Ma con applicazione pratica errore relativo del numero , così come con l'errore assoluto, che incontriamo ad ogni passaggio.

Durante i lavori di riparazione abbiamo misurato (in centimetri) lo spessore M moquette e larghezza N soglia. Abbiamo ottenuto i seguenti risultati:

m≈0,8 (con una precisione di 0,1);

n≈100.0 (precisione fino a 0,1).

Si noti che l'errore assoluto di ciascun dato di misurazione non è superiore a 0,1.

Tuttavia, 0,1 è una parte solida del numero 0,8. Quanto ail numero 100 rappresenta l'h insignificanteÈ. Ciò dimostra che la qualità della seconda dimensione è molto più elevata della prima.

Per valutare la qualità della misurazione viene utilizzato errore relativo del numero approssimativo.

Definizione.

Errore relativo del numero approssimativo (valori) è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del valore approssimativo.

Hanno convenuto di esprimere l'errore relativo in percentuale.

Esempio 1.

Considera la frazione 14.7 e arrotondala ai numeri interi. Troveremo anche errore relativo del numero approssimativo:

14,7≈15.

Per calcolare l'errore relativo, oltre al valore approssimativo, di norma è necessario conoscere anche l'errore assoluto. L'errore assoluto non è sempre noto. Quindi calcola impossibile. E in questo caso è sufficiente indicare una stima del relativo errore.

Ricordiamo l'esempio fornito all'inizio dell'articolo. Lì erano indicate le misure dello spessore. M moquette e larghezza N soglia.

In base ai risultati delle misurazioni M≈0,8 con una precisione di 0,1. Possiamo dire che l'errore di misurazione assoluto non è superiore a 0,1. Ciò significa che il risultato della divisione dell'errore assoluto per il valore approssimativo (e questo è l'errore relativo) è inferiore o uguale a 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Pertanto, l'errore di approssimazione relativo è ≤ 12,5%.

In modo analogo calcoliamo l'errore relativo nell'approssimare la larghezza del davanzale; non è superiore a 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Dicono che nel primo caso la misurazione è stata effettuata con una precisione relativa fino al 12,5% e nel secondo con una precisione relativa fino allo 0,1%.

Riassumere.

Errore assoluto numero approssimativo - questa è la differenzatra il numero esatto X e il suo valore approssimativo UN.

Se il modulo differenziale | X – UN| meno di alcuni D UN, quindi il valore D UN chiamato errore assoluto numero approssimativo UN.

Errore relativo del numero approssimativo è il rapporto dell'errore assoluto D UN al modulo di un numero UN, questo èD UN / |UN| = d UN .

Esempio 2.

Consideriamo il valore approssimato noto del numero π≈3.14.

Considerando il suo valore con una precisione di centomillesimi, puoi indicare il suo errore come 0,00159... (aiuterà a ricordare le cifre del numero π )

L'errore assoluto del numero π è pari a: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

L'errore relativo del numero π è pari a: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Esempio 3.

Prova a calcolarlo da solo errore relativo del numero approssimativo √2. Esistono diversi modi per ricordare le cifre del numero “radice quadrata di 2”.