Qual è l'asse di una figura? Asse di simmetria: che cos'è? Figure che hanno un asse di simmetria. Simmetria assiale in natura

Un asse di simmetria è una linea retta, quando ruotata attorno ad essa di un certo angolo, la figura si allinea con se stessa.

Viene chiamato il più piccolo angolo di rotazione che porta la figura ad auto-allineamento angolo di rotazione dell'asse elementare. L'angolo di rotazione elementare dell'asse  è un intero per 360 :

dove n è un numero intero.

Il numero n, che indica quante volte l'angolo elementare di rotazione dell'asse è contenuto in 360 0, si chiama ordine degli assi.

Le figure geometriche possono contenere assi di qualsiasi ordine, partendo da un asse del primo ordine e terminando con un asse di ordine infinito.

L'angolo elementare di rotazione dell'asse del primo ordine (n = 1) è pari a 360 0. Poiché ogni figura, essendo ruotata attorno a una direzione qualsiasi di 360 0, è combinata con se stessa, allora ciascuna figura ha un numero infinito di assi del primo ordine. Tali assi non sono caratteristici, quindi di solito non vengono menzionati.

Un asse di ordine infinito corrisponde ad un angolo elementare di rotazione infinitamente piccolo. Questo asse è presente in tutte le figure di rotazione come asse di rotazione.

Esempi di assi del terzo, quarto, quinto, sesto, ecc. ordine sono perpendicolari al piano del disegno, passanti per i centri di poligoni regolari, triangoli, quadrati, pentagoni, ecc.

Quindi in geometria esiste una serie infinita di assi di ordine diverso.

Nei poliedri cristallini non sono possibili assi di simmetria, ma solo assi del primo, secondo, terzo, quarto e sesto ordine.

Nei cristalli gli assi di simmetria del quinto e superiori al sesto ordine non sono possibili. Questa posizione è una delle leggi fondamentali della cristallografia e si chiama la legge di simmetria dei cristalli.

Come altre leggi geometriche della cristallografia, la legge della simmetria cristallina è spiegata dalla struttura reticolare della sostanza cristallina. Infatti, poiché la simmetria di un cristallo è una manifestazione della simmetria della sua struttura interna, nei cristalli sono possibili solo tali elementi di simmetria che non contraddicono le proprietà del reticolo spaziale.

Dimostriamo che l'asse del quinto ordine non soddisfa le leggi del reticolo spaziale e dimostriamo quindi la sua impossibilità nei poliedri cristallini.

Supponiamo che sia possibile un asse del quinto ordine nel reticolo spaziale. Lascia che questo asse sia perpendicolare al piano del disegno, intersecandolo nel punto O (Fig. 2.9). In un caso particolare, il punto O può coincidere con uno dei nodi del reticolo.

Riso. 2.9. Un asse di simmetria del quinto ordine è impossibile nei reticoli spaziali

Prendiamo il nodo reticolare A 1 più vicino all'asse, che giace nel piano del disegno. Poiché tutto si ripete cinque volte attorno all'asse del quinto ordine, dovrebbero esserci solo cinque nodi più vicini ad esso nel piano di disegno: A 1, A 2, A 3, A 4, A 5. Situati a uguale distanza dal punto O ai vertici di un pentagono regolare, sono allineati tra loro quando ruotati attorno a O di 360/5 = 72°.

Questi cinque nodi, giacendo sullo stesso piano, formano una maglia piatta del reticolo spaziale e quindi ad essi sono applicabili tutte le proprietà fondamentali del reticolo. Se i nodi A 1 e A 2 appartengono a una riga di una griglia piatta con uno spazio A 1 A 2, quindi attraverso qualsiasi nodo reticolare puoi disegnare una riga parallela alla riga A 1 A 2. Disegniamo una riga del genere attraverso il nodo A 3. Questa riga, che passa anche per il nodo A 5, deve avere un gap pari ad A 1 A 2, poiché in un reticolo spaziale tutte le righe parallele hanno la stessa densità.

Pertanto a distanza A 3 A x = A 1 A 2 dal nodo A 3 deve esserci un altro nodo A x. Tuttavia, il nodo aggiuntivo A x risulta essere più vicino al punto O rispetto al nodo A 1, considerato dalla condizione più vicino all'asse del quinto ordine.

Pertanto, l'ipotesi che abbiamo fatto sulla possibilità di un asse del quinto ordine nei reticoli spaziali ci ha portato ad un'ovvia assurdità ed è quindi errata.

Poiché l'esistenza di un asse del quinto ordine è incompatibile con le proprietà fondamentali del reticolo spaziale, tale asse è impossibile nei cristalli.

In modo analogo viene dimostrata l'impossibilità dell'esistenza di assi di simmetria superiori al sesto ordine nei cristalli e, viceversa, la possibilità di assi di secondo, terzo, quarto e sesto ordine nei cristalli, la cui presenza non contraddice le proprietà dei reticoli spaziali.

Per designare gli assi di simmetria, viene utilizzata la lettera L e l'ordine dell'asse è indicato da un piccolo numero situato a destra della lettera (ad esempio, L 4 è un asse del quarto ordine).

Nei poliedri cristallini, gli assi di simmetria possono passare per i centri delle facce opposte perpendicolari ad essi, per i punti medi degli spigoli opposti perpendicolari ad essi (solo L 2) e per i vertici del poliedro. In quest'ultimo caso, le facce e gli spigoli simmetrici sono ugualmente inclinati rispetto ad un dato asse.

Un cristallo può avere più assi di simmetria dello stesso ordine, il cui numero è indicato dal coefficiente davanti alla lettera. Ad esempio, in un parallelepipedo rettangolare ci sono 3L 2, cioè tre assi di simmetria del secondo ordine; nel cubo ci sono 3L 4, 4L 3 e 6L 2, cioè tre assi di simmetria del quarto ordine, quattro assi del terzo ordine e sei assi del secondo ordine, ecc.

Friedrich V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 Istituto comunale di istruzione a bilancio “Scuola secondaria n. 6”, Aleksandrovsk, regione di Perm

Il testo dell'opera è pubblicato senza immagini e formule.
La versione completa dell'opera è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF

introduzione

“Stare davanti a una lavagna e disegnarci sopra

disegna diverse figure,

All'improvviso mi colpì il pensiero:

Perché la simmetria è piacevole alla vista?

Cos'è la simmetria?

Questa è una sensazione innata, mi sono risposto”.

L.N. Tolstoj

Nel libro di testo di matematica di grado 6, autore S. M. Nikolsky, alle pagine 132 - 133, sezione Problemi aggiuntivi per il capitolo n. 3, ci sono compiti per studiare figure su un piano che sono simmetriche rispetto a una linea retta. Ero interessato a questo argomento, ho deciso di completare le attività e studiare questo argomento in modo più dettagliato.

L'oggetto di studio è la simmetria.

L'oggetto dello studio è la simmetria come legge fondamentale dell'universo.

Quale ipotesi testerò:

Credo che la simmetria assiale non sia solo un concetto matematico e geometrico, e venga utilizzato solo per risolvere problemi rilevanti, ma sia anche la base dell'armonia, della bellezza, dell'equilibrio e della stabilità. Il principio di simmetria è utilizzato in quasi tutte le scienze, nella nostra vita quotidiana, ed è una delle leggi “cardine” su cui si basa l’universo nel suo insieme.

Pertinenza dell'argomento

Il concetto di simmetria attraversa tutta la storia secolare della creatività umana. Si trova già alle origini del suo sviluppo. Al giorno d'oggi, probabilmente è difficile trovare una persona che non abbia un'idea di simmetria. Il mondo in cui viviamo è pieno della simmetria di case, strade, creazioni della natura e dell'uomo. Incontriamo la simmetria letteralmente ad ogni passo: nella tecnologia, nell'arte, nella scienza.

Pertanto, la conoscenza e la comprensione della simmetria nel mondo che ci circonda è obbligatoria e necessaria, che sarà utile in futuro per lo studio di altre discipline scientifiche. Questa è la rilevanza dell'argomento che ho scelto.

Obiettivo e compiti

Obiettivo del lavoro: scopri quale ruolo gioca la simmetria nella vita quotidiana umana, nella natura, nell'architettura, nella vita quotidiana, nella musica e in altre scienze.

Per raggiungere il mio obiettivo, devo completare le seguenti attività:

1. Trova le informazioni, la letteratura e le fotografie necessarie. Stabilire la maggior quantità di dati necessari per il mio lavoro utilizzando le fonti a mia disposizione: libri di testo, enciclopedie o altri media pertinenti all'argomento dato.

2. Fornire un concetto generale di simmetria, tipi di simmetria e storia dell'origine del termine.

3. Per confermare la tua ipotesi, crea oggetti artigianali e conduci un esperimento con queste figure che hanno simmetria e non sono asimmetriche.

4. Dimostra e presenta i risultati delle osservazioni nella tua ricerca.

Per la parte pratica del lavoro di ricerca devo svolgere le seguenti attività, per le quali ho redatto un piano di lavoro:

1. Crea con le tue mani oggetti artigianali con proprietà specificate: modelli simmetrici e non simmetrici, composizione, utilizzando carta colorata, cartone, forbici, pennarelli, colla, ecc.;

2. Conduci un esperimento con le mie creazioni, con due opzioni per la simmetria.

3. Ricercare, analizzare e sistematizzare i risultati ottenuti redigendo una tabella.

4. Per consolidare visivamente e in modo interessante le conoscenze acquisite, utilizzando l'applicazione "Paint 3 D", creare disegni per chiarezza, nonché disegnare immagini, con compiti - completare il disegno di una metà simmetrica (iniziando con disegni semplici e finendo con complessi) e combinarli, creando un libro elettronico.

Metodi di ricerca:

1. Analisi degli articoli e di tutte le informazioni sulla simmetria.

2. Modellazione al computer (elaborazione di foto utilizzando un editor grafico).

3. Generalizzazione e sistematizzazione dei dati ricevuti.

Parte principale.

Simmetria assiale e concetto di perfezione

Sin dai tempi antichi, l'uomo ha sviluppato idee sulla bellezza e ha cercato di comprendere il significato della perfezione. Tutte le creazioni della natura sono bellissime. Le persone sono belle a modo loro, gli animali e le piante sono meravigliosi. La vista di una pietra preziosa o di un cristallo di sale appaga l'occhio; difficile non ammirare un fiocco di neve o una farfalla; Ma perché succede questo? Ci sembra che l'aspetto degli oggetti sia corretto e completo, le cui metà destra e sinistra sembrano uguali.

Apparentemente, le persone d'arte sono state le prime a pensare all'essenza della bellezza.

Questo concetto fu corroborato per la prima volta da artisti, filosofi e matematici dell'antica Grecia. Antichi scultori che studiarono la struttura del corpo umano, già nel V secolo a.C. Si cominciò ad usare il concetto di “simmetria”. Questa parola è di origine greca e significa armonia, proporzionalità e somiglianza nella disposizione delle parti costitutive. L'antico pensatore e filosofo greco Platone sosteneva che solo ciò che è simmetrico e proporzionato può essere bello.

In effetti, quei fenomeni e quelle forme che sono proporzionali e completi “piacendo all’occhio”. Li chiamiamo corretti.

Tipi di simmetria

In geometria e matematica si considerano tre tipi di simmetria: simmetria assiale (relativa a una linea retta), simmetria centrale (relativa a un punto) e simmetria speculare (relativa a un piano).

La simmetria assiale come concetto matematico

I punti sono simmetrici rispetto ad una certa linea (asse di simmetria) se giacciono su una linea perpendicolare a questa linea e alla stessa distanza dall'asse di simmetria.

Una figura è considerata simmetrica rispetto ad una linea retta se, per ciascun punto della figura considerata, su tale figura si trova anche un punto per essa simmetrico rispetto ad una determinata linea. La linea retta è in questo caso l'asse di simmetria della figura.

Le figure simmetriche rispetto ad una retta sono uguali. Se una figura geometrica è caratterizzata da simmetria assiale, la definizione dei punti speculari può essere visualizzata semplicemente piegandola lungo l’asse e mettendo le metà uguali “faccia a faccia”. I punti desiderati si toccheranno tra loro.

Esempi di asse di simmetria: la bisettrice di un angolo non sviluppato di un triangolo isoscele, qualsiasi linea retta passante per il centro di un cerchio, ecc. Se una figura geometrica è caratterizzata da simmetria assiale, la definizione dei punti speculari può essere visualizzata semplicemente piegandola lungo l’asse e mettendo le metà uguali “faccia a faccia”. I punti desiderati si toccheranno tra loro.

Le figure possono avere diversi assi di simmetria:

· l'asse di simmetria di un angolo è la retta su cui giace la sua bisettrice;

· l'asse di simmetria di una circonferenza e di un cerchio è una qualsiasi retta passante per il loro diametro;

· un triangolo isoscele ha un asse di simmetria, un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria;

· un rettangolo ha 2 assi di simmetria, un quadrato ne ha 4 e un rombo ha 2 assi di simmetria.

Un asse di simmetria è una linea immaginaria che divide un oggetto in parti simmetriche. È mostrato nel mio disegno per chiarezza.

Ci sono figure che non hanno un solo asse di simmetria. Tali figure includono un parallelogramma, diverso da un rettangolo e un rombo, e un triangolo scaleno.

Simmetria assiale in natura

La natura è saggia e razionale, quindi quasi tutte le sue creazioni hanno una struttura armoniosa. Questo vale sia per gli esseri viventi che per gli oggetti inanimati.

Un'osservazione attenta mostra che la base della bellezza di molte forme create dalla natura è la simmetria. Foglie, fiori e frutti hanno una simmetria pronunciata. La loro simmetria speculare, radiale, centrale, assiale è evidente. È in gran parte dovuto al fenomeno della gravità.

Le forme geometriche dei cristalli con le loro superfici piatte sono un fenomeno naturale sorprendente. Tuttavia la vera simmetria fisica di un cristallo si manifesta non tanto nel suo aspetto quanto nella struttura interna della sostanza cristallina.

Simmetria assiale nel regno animale

La simmetria nel mondo degli esseri viventi si manifesta nella disposizione regolare di parti identiche del corpo rispetto al centro o asse. La simmetria assiale è più comune in natura. Determina non solo la struttura generale dell'organismo, ma anche le possibilità del suo successivo sviluppo. Ogni specie animale ha un colore caratteristico. Se nella colorazione appare un motivo, di norma viene duplicato su entrambi i lati.

Simmetria assiale e uomo

Se guardi qualsiasi creatura vivente, la simmetria della struttura del corpo attira immediatamente la tua attenzione. Umano: due braccia, due gambe, due occhi, due orecchie e così via.

Ciò significa che esiste una certa linea lungo la quale gli animali e le persone possono essere visivamente "divisi" in due metà identiche, cioè la loro struttura geometrica si basa sulla simmetria assiale.

Come si può vedere dagli esempi sopra riportati, la natura crea qualsiasi organismo vivente non in modo caotico e insensato, ma secondo le leggi generali dell'ordine mondiale, perché nulla nell'Universo ha uno scopo puramente estetico e decorativo. Ciò è dovuto alla necessità naturale.

Certo, la natura è raramente caratterizzata dalla precisione matematica, ma la somiglianza degli elementi di un organismo è comunque sorprendente.

Simmetria in architettura

Sin dai tempi antichi, gli architetti erano ben consapevoli delle proporzioni e della simmetria matematiche e le utilizzavano nella costruzione di strutture architettoniche. Ad esempio, l'architettura delle chiese e delle cattedrali ortodosse russe nella Rus': il Cremlino, la Cattedrale di Cristo Salvatore a Mosca, le cattedrali di Kazan e di Sant'Isacco a San Pietroburgo, ecc.

Oltre ad altre attrazioni di fama mondiale, molte delle quali si trovano in tutti i paesi del mondo, possiamo ancora vedere: le piramidi egiziane, il Louvre, il Taj Mahal, la Cattedrale di Colonia, ecc. Tutti loro, come vediamo, hanno simmetria.

Simmetria nella musica

Studio in una scuola di musica ed è stato interessante per me trovare esempi di simmetria in quest'area. Non solo gli strumenti musicali hanno un'ovvia simmetria, ma anche parti di opere musicali suonano in un certo ordine, secondo la partitura e l'intenzione del compositore.

Ad esempio, reprise - (ripresa francese, da reprendre - rinnovare). Ripetizione di un argomento o gruppo di argomenti dopo la fase del suo (loro) sviluppo o presentazione di nuovo materiale tematico.

Inoltre, il principio musicale del ritmo consiste nella ripetizione unidimensionale nel tempo a intervalli uguali.

Simmetria nella tecnologia

Viviamo in una società dell’informazione e dell’alta tecnologia in rapida evoluzione e non pensiamo al motivo per cui alcuni oggetti e fenomeni intorno a noi risvegliano un senso di bellezza, mentre altri no. Non li notiamo, non pensiamo nemmeno alle loro proprietà.

Ma oltre a questo, questi dispositivi, parti, meccanismi, unità tecniche e meccaniche non saranno in grado di funzionare correttamente e funzionare affatto se non si rispetta la simmetria, o meglio, un certo asse, in meccanica questo è il centro di gravità.

L'equilibrio al centro, in questo caso, è un requisito tecnico obbligatorio, il cui rispetto è strettamente regolato da GOST o TU e deve essere rispettato.

Simmetria e oggetti spaziali

Ma, forse, gli oggetti più misteriosi che hanno preoccupato le menti di molti fin dai tempi antichi sono gli oggetti spaziali. Che hanno anche simmetria: il sole, la luna, i pianeti.

Questa catena può essere continuata, ma ora parliamo di qualcosa di unico: che la simmetria assiale è la legge fondamentale dell'universo, è la base della bellezza, dell'armonia e della proporzionalità, e nel suo rapporto con la matematica.

Parte pratica

Dopo aver trovato le informazioni necessarie e studiato la letteratura, mi sono convinto della correttezza della mia ipotesi e ho concluso che agli occhi di una persona l'asimmetria è spesso associata a irregolarità o inferiorità. Pertanto, nella maggior parte delle creazioni delle mani umane, la simmetria e l'armonia possono essere rintracciate come requisiti necessari e obbligatori.

Questo è ben visibile nel mio disegno, che raffigura un maiale con parti del corpo sproporzionate, che cattura subito l'attenzione!

E solo dopo averlo guardato un po' più a lungo lo considererai carino?

Nonostante questo argomento sia noto e ben studiato, tutti questi dati vengono considerati separatamente in ciascuna disciplina. Non mi sono imbattuto in dati generalizzati secondo cui viene utilizzato il principio di simmetria, ed è su di esso che si basano molte altre scienze e il loro rapporto con la matematica.

Pertanto, ho deciso di dimostrare la mia affermazione utilizzando il metodo più semplice e accessibile per me. Questa soluzione, credo, sarebbe quella di condurre un esperimento con test.

Per dimostrare chiaramente che i modelli asimmetrici non sono stabili, non hanno i requisiti necessari e le competenze vitali, e per confermare la mia ipotesi, ho bisogno di creare mestieri, disegni e composizioni:

Opzione 1 - simmetrica rispetto all'asse;

Opzione 2 - con una chiara violazione della simmetria.

Poiché credo che un tale squilibrio sarà chiaramente visibile nei seguenti esempi, per i quali ho creato degli origami (un aeroplano e una rana) da carta colorata. Per garantire la purezza dell'esperimento, sono stati realizzati con la stessa carta colorata e sono stati testati nelle stesse condizioni. E la composizione “Lighthouse”, dove il faro è costituito da una bottiglia di plastica vuota, ricoperta di carta colorata. Per decorare la composizione ho usato figure umane giocattolo, modelli di barche a vela e di barche, pietre decorative e per imitare la luce ho usato un elemento alimentato a batteria che si illumina.

Ho condotto dei test con questi mezzi, ho registrato tutti gli indicatori e li ho inseriti in una tabella (tutti gli indicatori possono essere visualizzati nell'Appendice n. 1, pp. 18 - 21).

Tutte le imbarcazioni sono state realizzate nel rispetto delle norme di sicurezza (Appendice n. 2 pag. 21)

Ho analizzato tutti i dati ricevuti e questo è ciò che mi è venuto in mente.

Analisi dei dati ricevuti

Esperimento n. 1

Prova- salto in lungo delle rane, misurando questa distanza.

La rana verde (simmetrica) salta dolcemente, per una distanza maggiore, ma quella rossa (non simmetrica) non salta mai dritta, sempre con una girata o una capriola di lato, una distanza 2 - 3 volte inferiore.

Quindi, possiamo concludere che un tale animale non sarà in grado di cacciare rapidamente o, al contrario, scappare, procurarsi efficacemente il cibo, il che riduce le possibilità di sopravvivenza, questo dimostra che in natura tutto è equilibrato, proporzionale, corretto - simmetrico .

Esperimento n. 2

Tipo di prova- lanciare l'aereo in volo e misurare la distanza della lunghezza del volo.

L'aereo n. 1 “Rosa” (simmetrico) vola 10 volte, 8 volte in modo fluido e dritto, fino alla sua lunghezza massima (cioè l'intera lunghezza della mia stanza), e la traiettoria di volo dell'aereo n. 2 “Arancione” (non simmetrico ) da 10 volte - non ha mai volato dritto, sempre con una virata o un salto mortale, su una distanza più breve. Cioè, se fosse un vero aereo, non sarebbe in grado di volare dolcemente nella giusta direzione. Un volo del genere sarebbe molto scomodo o addirittura pericoloso per gli esseri umani (così come per gli uccelli), e le automobili e altri veicoli non sarebbero in grado di guidare, nuotare, ecc. nella direzione richiesta.

Esperimento n. 3

Tipo di prova - verificare la stabilità dell'edificio Mayak quando l'angolo di inclinazione della struttura rispetto alla superficie diminuisce.

1. Dopo aver creato la composizione di "Mayak", l'ho installato direttamente, ad es. perpendicolare (con un angolo di 90 0) rispetto alle pareti della struttura rispetto alla superficie. Questa struttura è in piano e può supportare l'elemento luminoso installato e una figura umana.

2. Per portare avanti l'esperimento, avevo bisogno di disegnare la base della torre con angoli pari a 10 0.

Dopodiché ho tagliato dalla base un angolo pari a 10 0.

Con un angolo di 80 0, l'edificio si trova storto, oscilla, ma può sopportare il carico aggiuntivo.

3. Dopo aver tagliato altri 10 0, ho ottenuto un angolo di inclinazione di 70 0, in corrispondenza del quale tutta la mia struttura crolla.

Questa esperienza dimostra che la tradizione storicamente consolidata di costruire ad angolo retto e di mantenere la simmetria dell'edificio stesso è una condizione necessaria per la costruzione e il funzionamento sostenibili e affidabili di edifici e strutture architettoniche.

Per un chiaro esempio di simmetria assiale e prova dell'affermazione che una persona percepisce qualsiasi oggetto intorno a sé, immagini di animali, ecc. solo simmetricamente, cioè quando entrambi i lati, “metà”, sono uguali, uguali, ho creato un libro da colorare elettronico che può essere stampato, componendo un libro da colorare per bambini. Questo manuale aiuterà tutti coloro che desiderano comprendere meglio l'argomento, a trascorrere il proprio tempo libero in modo interessante e piacevole (Il frontespizio è mostrato in questa figura, le restanti figure si trovano nell'Appendice n. 3, pp. 21 -24).

Gli esperimenti da me condotti dimostrano che la simmetria non è solo un concetto matematico e geometrico, ma è una sfera, l'ambiente della nostra vita, un certo requisito tecnico e anche una condizione necessaria per la sopravvivenza in generale, sia per le persone che per gli animali. La simmetria riunisce tutto questo e va ben oltre la scienza ordinaria!

Conclusione

Conclusioni:

Ho scoperto che la simmetria è una delle componenti principali nella vita quotidiana umana, negli articoli per la casa, nell'architettura, nella tecnologia, nella natura, nella musica, nella scienza, ecc.

Risultato:

Ho trovato le informazioni necessarie, ho dimostrato la mia ipotesi, l'ho testata e confermata sperimentalmente. Ho creato creazioni, composizioni, disegni e un libro da colorare elettronico per condurre visivamente l'esperimento.

Ho scoperto che tutte le leggi della natura - biologiche, chimiche, genetiche, astronomiche - sono legate alla simmetria. In pratica, tutto ciò che ci circonda, cioè creato dall'uomo, è soggetto ai principi di simmetria comuni a tutti noi, poiché possiedono un sistema invidiabile. Pertanto, l’equilibrio, l’identità come principio ha una portata universale.

Possiamo dire che la simmetria è una legge fondamentale su cui si basano le leggi fondamentali della scienza? Forse si.

I grandi pensatori dell'umanità hanno cercato di comprendere questo mistero. Oggi anche noi siamo immersi nella risoluzione di questo mistero.

Uno dei famosi matematici Hermann Weil scrisse che “la simmetria è l’idea attraverso la quale l’uomo per secoli ha cercato di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione”.

Forse abbiamo trovato il segreto per creare bellezza, perfezione o persino creare le leggi fondamentali dell'universo? Forse è simmetria?

Applicazioni

Appendice n. 1 Tabella di prova:

Esperimento n. 1
Tentativo n.	Tipo di prova	"Rana verde" (simmetrico)	Risultato e caratteristiche del test "Rana Rossa" (non simmetrico)
	Salto in lungo della rana (misura in cm)		6.0 a sinistra
		14,4 con una leggera svolta a destra	9.0 capovolgimento inverso
		10,5 quasi esattamente	2.0 colpo di stato
		9,5 con una leggera svolta a destra	5,0 svoltare a sinistra
		10,6 con una leggera svolta a destra	3.0 a sinistra

		9.0 colpo di stato	9,0 svoltare a sinistra
		13,5 quasi esatto	1,5 indietro, girando a sinistra
			9,5 rimasti con un salto mortale
		21.2 quasi esattamente	4,5 a sinistra con capriola
Esperimento n. 2
		Aereo "Rosa" (simmetrico)	Aereo "Arancia" (Non simmetrico)
	Lancio dell'aereo Massimo (5,1 metri)	5.1 con 2 lanci	3.04 con capriole a destra
			2,78 con capriole a destra
		5.1 inclinato a destra	3,65 con capriole a destra
		5.1 inclinato a destra	1,51 quasi esattamente
		5.1 quasi esattamente	4.73 con capriole a destra
		5.1 con inclinazione a sinistra	3,82 svoltare a destra
		5.1 quasi esattamente	3.41 con capriole
		5.1 quasi esattamente	3,37 svoltare a sinistra
		5.1 con inversione	3,51 con capriole a sinistra
		5.1 quasi esattamente	3.19 con capriole a destra

Esperimento n. 3
Tentativo n.	Caratteristiche delle proprietà oggetto	Tipologia e caratteristiche della prova	Risultato
	L'edificio è in piedi perpendicolare alla superficie (cioè con un angolo di 90°)	Installazione di carico aggiuntivo: elemento luminoso e figura giocattolo di una persona	Il faro è livellato e sicuro
	Ad un angolo di 80 0	Dalla base del faro ho imbastito e tagliato un angolo di 10 0	Il faro può sopportare il carico, ma è inaffidabile e traballa
	Ad un angolo di 70 0	Dalla base del faro ho tagliato ancora una volta 10 0	L'edificio cade e crolla

Appendice n. 2

Durante la realizzazione dei miei mestieri, sono state osservate le precauzioni di sicurezza, vale a dire:

Le forbici o il coltello devono essere ben affilati e regolati.

Deve essere conservato in un luogo o in una scatola specifica e sicura.

Quando usi le forbici (coltello), non puoi essere distratto, devi essere il più attento e disciplinato possibile.

Quando si passano le forbici (coltello), tenerle per le lame chiuse (bordo).

Posiziona le forbici (coltello) sulla destra con le lame chiuse (bordo) dirette lontano da te.

Durante il taglio, la lama stretta delle forbici (la punta del coltello) dovrebbe trovarsi in basso.

Lavati le mani dopo aver usato la colla.

Appendice n. 3

Libro da colorare elettronico

Simmetria-

Ciò significa che una parte di un oggetto è simile a un'altra.

La simmetria assiale è la simmetria attorno a una linea retta (linea).

Un asse di simmetria è una linea immaginaria che divide un oggetto in parti simmetriche. È mostrato nelle immagini per chiarezza.

In questo libro devi completare i disegni unendo i punti.

Quindi puoi colorare ciò che hai.

Prova a completare questi disegni:

cuore

Triangolo Casa

Foglia di stella

Albero di Natale del topo

CaneSerratura

A Oltre alla simmetria assiale esiste anche la simmetria attorno a un punto.

Questa palla è simmetrica

E un altro tipo di simmetria è la simmetria speculare.

Simmetria speculare-

questa è simmetria rispetto al piano. Ad esempio, per quanto riguarda lo specchio.

La simmetria lo è -

Libri usati

2. Herman Weyl “Symmetry” (Casa editrice “Nauka”, la principale redazione di letteratura fisica e matematica, Mosca 1968)

4. I miei disegni e fotografie.

5. Manuale di ingegneria meccanica, volume 1, (casa editrice statale scientifica e tecnica di letteratura sull'ingegneria meccanica, Mosca 1960)

6. Foto e disegni da Internet.

« Simmetria"tradotto dal greco significa "proporzionalità" (ripetizione). Corpi e oggetti simmetrici sono costituiti da parti equivalenti che si ripetono regolarmente nello spazio. La simmetria dei cristalli è particolarmente varia. Cristalli diversi hanno più o meno simmetria. È la loro proprietà più importante e specifica, che riflette la regolarità della struttura interna.

Con una definizione più precisa simmetria- questa è la naturale ripetizione di elementi (o parti) di una figura o di qualsiasi corpo, in cui la figura si combina con se stessa sotto determinate trasformazioni (rotazione attorno ad un asse, riflessione su un piano). La stragrande maggioranza dei cristalli ha simmetria.

Il concetto di simmetria include le sue parti costitutive: elementi di simmetria. Ciò comprende piano di simmetria, Asse di simmetria, centro di simmetria, O centro di inversione.

Il piano di simmetria divide il cristallo in due parti speculari. È indicato dalla lettera P. Le parti in cui il piano di simmetria taglia il poliedro sono in relazione tra loro, come un oggetto con la sua immagine in uno specchio. I diversi cristalli hanno un diverso numero di piani di simmetria in cui è posto davanti alla lettera P. Il maggior numero di tali piani nei cristalli naturali è nove 9P . Ci sono 3P in un cristallo di zolfo, ma nel gesso ce n'è solo uno. Ciò significa che un cristallo può avere diversi piani di simmetria. In alcuni cristalli non esiste un piano di simmetria.

Rispetto agli elementi di vincolo, il piano di simmetria può occupare la seguente posizione:

passa attraverso le costole;
giacciono perpendicolari alle costole nei loro centri;
passare attraverso il bordo perpendicolare ad esso;
intersecano gli angoli delle facce ai loro vertici.

Nei cristalli sono possibili i seguenti numeri di piani di simmetria: 9P, 7P, 6P, 5P, 4P, 3P, 2P, P, nessun piano di simmetria.

Asse di simmetria

Asse di simmetria- un asse immaginario, quando ruotato attorno al quale, di un certo angolo, la figura è allineata con se stessa nello spazio. Si indica con la lettera L. Nei cristalli, quando ruotano attorno all'asse di simmetria per un giro completo, gli stessi elementi di vincolo (facce, spigoli, angoli) possono essere ripetuti solo 2, 3, 4, 6 volte. Di conseguenza, gli assi saranno chiamati assi di simmetria del secondo, terzo, quarto e sesto ordine e saranno designati: L2, L3, L4 e L6. L'ordine dell'asse è determinato dal numero di allineamenti quando ruotato di 360⁰С.

L'asse di simmetria del primo ordine non viene preso in considerazione, poiché non è affatto posseduto dalle figure, comprese quelle asimmetriche. Il numero di assi dello stesso ordine è scritto prima della lettera L: 6L6, 3L4, ecc.

Centro di simmetria

Centro di simmetria- questo è il punto all'interno del cristallo in cui le linee che collegano elementi identici del limite del cristallo (facce, bordi, angoli) si intersecano e si bisecano. Si indica con la lettera C. In pratica la presenza di un centro di simmetria si rifletterà nel fatto che ogni spigolo del poliedro ha uno spigolo parallelo a se stesso, ogni faccia ha la stessa faccia speculare inversa parallela a se stessa. Se un poliedro contiene facce che non hanno facce parallele, allora tale poliedro non ha un centro di simmetria.

È sufficiente posizionare il poliedro con la faccia sul tavolo per notare se c'è la stessa faccia speculare rovesciata parallela ad esso sopra. Naturalmente, è necessario verificare il parallelismo di tutti i tipi di facce.

Esistono numerosi modelli semplici in base ai quali gli elementi di simmetria sono combinati tra loro. Il significato di queste regole le rende più facili da trovare.

La linea di intersezione di due o più piani è l'asse di simmetria. L'ordine di tale asse è uguale al numero di piani che si intersecano in esso.
L6 può essere presente nel cristallo solo al singolare.
Né L4 né L3 possono essere combinati con L6, ma L2 può essere combinato e L6 e L2 devono essere perpendicolari; in questo caso è presente 6L2.
L4 può presentarsi al singolare o in tre assi reciprocamente perpendicolari.
L3 può presentarsi singolare o con 4L3.

Grado di simmetriaè la totalità di tutti gli elementi di simmetria posseduti da un dato cristallo.

Un cristallo a forma di cubo ha un alto grado di simmetria. Contiene tre assi di simmetria del quarto ordine (3L4) che passano per i punti medi delle facce del cubo, quattro assi di simmetria del terzo ordine (4L3) che passano per i vertici degli angoli threedrali e sei assi del secondo ordine (6L2) che passano per le facce del cubo. punti medi dei bordi. Nel punto di intersezione degli assi di simmetria si trova il centro di simmetria del cubo (C). Inoltre, in un cubo si possono disegnare nove piani di simmetria (9P). Gli elementi di simmetria di un cristallo possono essere rappresentati da una formula cristallografica.

Per un cubo la formula è: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Lo scienziato russo A.V. Gadolin dimostrò nel 1869 che i cristalli hanno 32 diverse combinazioni di elementi di simmetria che costituiscono classi (tipi) di simmetria. Pertanto, la classe unisce un gruppo di cristalli con lo stesso grado di simmetria.

“Simmetria intorno a noi” - Tutti i tipi di simmetria assiale. Rotazioni. La parola greca simmetria significa “proporzione”, “armonia”. Gratuito Centrale rispetto ad un punto. Simmetria nello spazio. Rotazione (rotatorio). In geometria ci sono figure che hanno... Simmetria. Assiale. Un tipo di simmetria. Intorno a noi. Centrale.

"Nel mondo della simmetria" - Ornamenti e fregi si basano su uno schema che si ripete periodicamente. Le forme di uno scarafaggio, di un verme, di un fungo, di una foglia, di un fiore, ecc. sono simmetriche. La maggior parte degli edifici sono simmetrici a specchio. Dovrebbe esserci simmetria in ogni cosa nella vita? Perché hai bisogno di conoscere la simmetria quando studi ingegneria? Cos'è la simmetria? Simmetria nella natura e nella tecnologia.

“Simmetria nell'arte” - Simmetria centro-assiale in architettura. II.1. Proporzione in architettura. Palazzo Spada (Roma). Per la natura delle sue capacità creative, la periodicità è un fenomeno universale. III. Le Corbuier. Il ritmo è uno degli elementi principali dell'espressività di una melodia. R. Cartesio. J. A. Fabr. Metodi geometrici per rappresentare figure spaziali:

“Punto di simmetria” - Figure che non hanno assi di simmetria. Il punto O è chiamato centro di simmetria. Due punti A e A1 si dicono simmetrici rispetto a O se O è il punto medio del segmento AA1. Un trapezio equilatero ha solo simmetria assiale. Simmetria in natura. Un rettangolo e un rombo, che non sono quadrati, hanno due assi di simmetria.

"Simmetria matematica" - Tuttavia, le molecole complesse generalmente mancano di simmetria. Palindromi. Assiale. Simmetria centrale. Simmetria assiale. Tipi di simmetria. Simmetria in biologia. Simmetria rotazionale. Simmetria nelle arti. HA MOLTO IN COMUNE CON LA SIMMETRIA PROGRESSALE IN MATEMATICA. Simmetria a spirale. Progressivo.

“Tipi di simmetria” - La simmetria centrale è movimento. Lo specchio gemello risulta essere “invertito” lungo la direzione perpendicolare al piano dello specchio. Anche la simmetria assiale è movimento. Teorema. Trasferimento parallelo. Simmetria centrale. Tipi di movimento. Il concetto di movimento. Il trasferimento parallelo è uno dei tipi di movimento.

Ci sono 11 presentazioni in totale

La moderna chimica organica è impensabile senza la conoscenza della struttura spaziale delle molecole e della sua influenza sul corso delle reazioni chimiche, che è oggetto della stereochimica. La stereochimica utilizza alcuni metodi per rappresentare le molecole, nonché la nomenclatura stereochimica. Lo scopo di questo manuale è quello di introdurre il lettore ai concetti base utilizzati nella stereochimica. Le informazioni di base sulla stereochimica sono presentate nelle sezioni I-IX. La sezione X contiene materiale aggiuntivo, la cui conoscenza aiuterà anche a studiare con successo il corso di chimica organica.

I. Elementi di simmetria.

Per descrivere la struttura spaziale delle molecole, è importante la conoscenza degli elementi di simmetria. Il termine "simmetria" è intuitivo. Solitamente questa parola è associata ad una pietra tagliata a fuoco, ad una struttura architettonica, ecc. Un oggetto simmetrico contiene uno o più elementi di simmetria, per i quali può essere data una definizione matematica rigorosa. Di seguito sono riportate le informazioni più semplici sugli elementi di simmetria.

Centro di simmetria (centro di inversione), io

Il centro di simmetria di un oggetto è un punto io, soddisfacendo le seguenti condizioni. Per ogni punto A appartenente a un oggetto, esiste sempre un punto A" appartenente anche a questo oggetto tale che:
a) punti A, io, A" giacciono sulla stessa retta;
b) i punti A e A" sono equidistanti dal punto io .

Esempi di oggetti a simmetria centrale:

Piano di simmetria

Un piano di simmetria è un piano che soddisfa le seguenti condizioni. Per ogni punto A appartenente a un oggetto, esiste sempre un punto A appartenente anche a questo oggetto tale che:
a) una retta passante per i punti A e A" sia perpendicolare al piano;
b) i punti A e A" sono equidistanti dal piano,

triangolo isoscele rettangolo

(piani di simmetria perpendicolare al piano del disegno e trasferirlo lungo le linee tratteggiate)

Asse di simmetria semplice di ordine ennesimo C n

Un asse di simmetria dell'ordine ennesimo è un asse che passa attraverso un dato oggetto e, quando ruotato attorno ad esso di un angolo di 360°/n, l'oggetto si allinea con se stesso.

L'asse di simmetria C 1 (rotazione di 360°) è chiamato elemento banale di simmetria. Esiste anche un asse di simmetria di ordine infinito C. La rotazione attorno a questo asse con qualsiasi angolo porta all'allineamento oggetto con se stesso (un asse passante per il centro del cerchio e perpendicolare al suo piano; qualsiasi asse passante per il centro della palla).

Asse di simmetria speculare-rotante dell'ordine ennesimo S n.

Si tratta di un elemento complesso di simmetria, comprendente due operazioni: rotazione attorno ad un asse per un angolo di 360°/ne riflessione in un piano perpendicolare a questo asse. Quando si eseguono operazioni corrispondenti all'asse Sn, l'oggetto viene allineato con se stesso.

Un esempio di oggetto che ha un asse di rotazione dello specchio è un quadrato di legno con quattro chiodi conficcati negli angoli: due in alto e due in basso. L'asse S 4 è perpendicolare al piano del quadrato e passa per il suo centro. Una rotazione attorno all'asse S 4 di 90° non è sufficiente affinché un dato oggetto coincida con se stesso. Ciò richiede la successiva riflessione su un piano perpendicolare all'asse S 4 e il taglio del quadrato a metà (la parte inferiore del quadrato sale durante la riflessione, la parte superiore verso il basso);

Oltre all'asse S4 Questo oggetto contiene anche un asse rotativo semplice C2 (rotazione di 180°), coincidente con l'asse S4.
È da notare che il piano di simmetria equivale ad un asse di rotazione dello specchio del primo ordine (rotazione di 360° e riflessione nel piano); ,

Allo stesso modo, il centro di simmetria è equivalente all'asse di simmetria S 2 (rotazione di 180 0 e riflessione su un piano perpendicolare all'asse):
"Quindi, gli elementi di simmetria formano un gruppo di assi rotanti a specchio.

P. Metodi per rappresentare la struttura spaziale delle molecole

Il modo usuale per rappresentare le molecole in chimica organica è tramite formule strutturali che trasmettono l'ordine dei legami degli atomi:

Nel caso di molecole con struttura piatta o lineare, la geometria delle molecole può essere adeguatamente descritta anche utilizzando tali formule, ad esempio:

Se la molecola contiene: atomi di carbonio ibridati sp 3 aventi un ambiente tetraedrico, la formula strutturale non può trasmettere la reale geometria delle molecole, cioè la disposizione degli atomi nello spazio. Questo obiettivo è meglio raggiunto dai modelli spaziali.

Modelli emisferici Stewart-Brigleb:

Sharo - modelli con canna:

Tuttavia, spesso è necessario rappresentare la struttura spaziale di una molecola su un piano. È chiaro che l'utilizzo dei disegni modello è scomodo e non tutti possono farlo. In questi casi ricorrono all'aiuto di varie formule di proiezione, che sono essenzialmente proiezioni di modelli a sfera e asta da un angolo o dall'altro.

Si può utilizzare etano e suoi derivati formule promettenti. Questi sono disegni di modelli a sfera e asta, in cui le sfere che simboleggiano gli atomi sono sostituite con simboli di elementi chimici. Nelle formule prospettiche, il legame C-C sembra allontanarsi dall’osservatore:

Tuttavia, questo metodo non è adatto per molecole più complesse, come il butano. In tali situazioni, la chiarezza è persa:

Le formule prospettiche sono spesso utilizzate per rappresentare molecole cicliche (vedi sotto, sezione X). Tipicamente, per rappresentare la struttura spaziale delle molecole su un piano vengono utilizzate una proiezione a cuneo e le formule di proiezione di Newman e Fisher. La più evidente è la proiezione a forma di cuneo.

1. Proiezione a cuneo.

Facciamo conoscenza con il principio di costruzione di questa proiezione usando l'esempio di una molecola di metano.

Posizioniamo mentalmente la molecola in modo che i legami CH 1 e CH 2 siano nel piano del disegno (due le linee che si intersecano definiscono un piano). Quindi l'atomo H 3 salirà sopra il piano del disegno, coprendolo è un atomo H 4, situato sotto l'aereo. Rappresentiamo il legame C-H 3 utilizzando un cuneo, con l'estremità larga diretta verso l'atomo H 3.

In sostanza otterremo una proiezione della molecola CH 4 sul piano del disegno, che in questo caso è il piano di simmetria della molecola. Affinché gli atomi H 3 e H 4 siano visibili contemporaneamente, distorciamo leggermente la proiezione. Lasciando invariati i legami del carbonio con H 1 e H 2, spostiamo leggermente l'atomo di H 3 verso il basso e l'atomo di H 4 verso l'alto. Il legame CH 4, situato sotto il piano del disegno, è rappresentato da una linea tratteggiata (I) o da un cuneo tratteggiato, che si assottiglia verso l'atono lontano (I"):

Le figure (I) e (I ") sono proiezioni a forma di cuneo di una molecola di metano. Quando si utilizzano queste proiezioni, è necessario ricordare che le connessioni rappresentate da un segmento di linea retta si trovano nel piano del disegno. I cunei solidi simboleggiano le connessioni dirette verso l'osservatore e linee tratteggiate - connessioni "che si estendono" oltre il piano del disegno.

La proiezione a forma di cuneo può essere ruotata di qualsiasi angolo rispetto a qualsiasi asse, ad esempio:

La proiezione (I"") corrisponde ad una disposizione della molecola di metano in cui nessuno degli atomi di idrogeno si trova nel piano del disegno.
La proiezione del cuneo di metano può essere utilizzata per costruire proiezioni di altri idrocarburi, ad esempio:

Si noti che nelle proiezioni (2) e (3) le connessioni CC si trovano nel piano del disegno. Sullo stesso piano ci sono solo due legami C-H. A volte viene raffigurata una proiezione di etano a forma di cuneo per una tale disposizione della molecola rispetto al piano del disegno, in cui né uno dei legami CH non è su questo piano (2"):

Le proiezioni a forma di cuneo degli idrocarburi lineari sono solitamente rappresentate come una catena a zigzag, tutti i legami C-C e due collegamenti terminali C-H dei quali si trovano nel piano del disegno. In questo caso, l'ambiente di ciascun legame C-C dovrebbe essere lo stesso della proiezione della molecola di etano (2). Non è necessario rappresentare gli atomi di carbonio stessi. Sono impliciti negli angoli dello zigzag:

Naturalmente, la proiezione a forma di cuneo può essere utilizzata per rappresentare non solo gli idrocarburi semplici, ma anche altri composti organici, ad esempio:

Attualmente si è diffusa una versione abbreviata delle proiezioni di molecole sotto forma di zigzag, negli angoli e nelle estremità delle quali sono implicati gli atomi di carbonio. I legami C-H non sono rappresentati: