Quali punti sono chiamati critici. Punti critici sul grafico di una funzione

Dominio di una funzione, calcola la sua derivata, trova il dominio di una derivata di una funzione, trova punti portando la derivata a zero, dimostrare che i punti trovati appartengono al dominio di definizione della funzione originaria.

Esempio 1 Identificare le criticità punti funzioni y = (x - 3)²·(x-2).

Soluzione Trovare il dominio di definizione della funzione, in questo caso non ci sono restrizioni: x ∈ (-∞; +∞); Calcolare la derivata y’. Secondo le regole per differenziare il prodotto di due, abbiamo: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Quindi otteniamo un’equazione quadratica: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Trovare il dominio di definizione della derivata della funzione: x ∈ (-∞; +∞). Risolvi l'equazione 3 x² – 16 x + 21 = 0 per trovare in cui diventa zero: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Quindi la derivata va a zero per valori di x pari a 3 e 7/3.

Determina se quelli trovati appartengono punti dominio di definizione della funzione originaria. Poiché x (-∞; +∞), allora entrambi punti sono critici.

Esempio 2: identificare le criticità punti funzioni y = x² – 2/x.

SoluzioneDominio della funzione: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), poiché x è al denominatore. Calcola la derivata y’ = 2 x + 2/x².

Il dominio di definizione della derivata della funzione è lo stesso dell'originale: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Risolvi l'equazione 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Quindi la derivata va a zero in x = -1. La condizione necessaria ma non sufficiente per la criticità è soddisfatta. Poiché x=-1 rientra nell'intervallo (-∞; 0) ∪ (0; +∞), allora questo punto è critico.

Fonti:

• Volume critico delle vendite, pcsThreshold

Molte donne soffrono di sindrome premestruale, che si manifesta non solo con sensazioni dolorose, ma anche con un aumento dell'appetito. Di conseguenza, i giorni critici possono rallentare significativamente il processo di perdita di peso.

Ragioni per l'aumento dell'appetito durante i periodi mestruali

La ragione dell'aumento dell'appetito durante i periodi mestruali è un cambiamento nei livelli ormonali generali nel corpo femminile. Pochi giorni prima dell'inizio delle mestruazioni, il livello dell'ormone progesterone aumenta, il corpo si adatta alla possibilità e cerca di creare ulteriori riserve energetiche sotto forma di depositi di grasso, anche se la donna è seduta. Pertanto, le variazioni di peso nei giorni critici sono normali.

Come mangiare durante il ciclo

Cerca di non mangiare dolci, dolciumi e altri cibi ipercalorici contenenti cibi "veloci" in questi giorni. Il loro eccesso si depositerà immediatamente nel grasso. In questo periodo molte donne hanno davvero voglia di mangiare cioccolato; in questo caso potete acquistare del cioccolato fondente e concedervi qualche fetta, ma non di più. Durante il ciclo mestruale non dovresti consumare bevande alcoliche, marinate, sottaceti, carne affumicata, semi e noci. In generale, i sottaceti e i cibi affumicati dovrebbero essere limitati nella dieta 6-8 giorni prima dell'inizio delle mestruazioni, poiché tali prodotti aumentano le riserve idriche nel corpo e questo periodo è caratterizzato da un maggiore accumulo di liquidi. Per ridurre la quantità di sale nella tua dieta, aggiungine quantità minime ai cibi preparati.

Si consiglia di consumare latticini a basso contenuto di grassi, alimenti vegetali e cereali. Fagioli, patate bollite, riso: saranno utili prodotti che contengono carboidrati "lenti". Frutti di mare, fegato, pesce, manzo, pollame, uova, legumi e frutta secca aiuteranno a reintegrare le perdite di ferro. La crusca di frumento sarà utile. Una reazione naturale durante le mestruazioni è il gonfiore. Erbe diuretiche leggere aiuteranno a correggere la condizione: basilico, aneto, prezzemolo, sedano. Possono essere usati come condimento. Nella seconda metà del ciclo, si consiglia di consumare cibi proteici (carne e pesce magri, latticini) e la quantità di carboidrati nella dieta dovrebbe essere ridotta il più possibile.

Concetto economico di volume critico saldi corrisponde alla posizione dell'impresa nel mercato, in cui i ricavi derivanti dalla vendita di beni sono minimi. Questa situazione è chiamata punto di pareggio, quando la domanda di prodotti diminuisce e i profitti coprono a malapena i costi. Determinare il volume critico saldi, utilizzare diversi metodi.

Istruzioni

Il ciclo lavorativo non si limita alle sue attività: produzione o servizi. Si tratta di un lavoro complesso di una certa struttura, compreso il lavoro del personale principale, del personale dirigente, del personale dirigente, ecc., nonché degli economisti, il cui compito è l'analisi finanziaria dell'impresa.

Lo scopo di questa analisi è calcolare determinate quantità che, in un modo o nell'altro, influenzano l'entità del profitto finale. Si tratta di vari tipi di volumi di produzione e vendita, completi e medi, indicatori di domanda, ecc. Il compito principale è identificare il volume di produzione al quale si stabilisce una relazione stabile tra costi e profitti.

Volume minimo saldi, in cui il reddito copre completamente i costi, ma non aumenta il capitale proprio della società, è chiamato volume critico saldi. Esistono tre metodi per calcolare il metodo di questo indicatore: il metodo delle equazioni, del reddito marginale e del grafico.

Determinare il volume critico saldi secondo il primo metodo, creare un’equazione della forma: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, dove: Вп – entrate da saldi e ;Zper e Zpos – costi variabili e costanti; Pp – profitto da saldi E.

Secondo un altro metodo, il primo termine, entrate da saldi, presentatelo come il prodotto del reddito marginale per unità di bene e volume saldi lo stesso vale per i costi variabili. I costi fissi si applicano all’intero lotto di merci, quindi lascia questo componente comune: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Esprimi il valore di N da questa equazione e ottieni il volume critico saldi:N = Zpos/(MD – Zper1), dove Zper1 sono i costi variabili per unità di bene.

Il metodo grafico prevede la costruzione. Disegna due linee sul piano delle coordinate: la funzione di ricavo da saldi meno sia la funzione di costo che quella di profitto. Sull'asse delle ascisse traccia il volume della produzione e sull'asse delle ordinate il reddito derivante dalla corrispondente quantità di beni, espresso in unità monetarie. Il punto di intersezione di queste linee corrisponde al volume critico saldi, posizione di pareggio.

Fonti:

• come definire il lavoro critico

Il pensiero critico è un insieme di giudizi sulla base dei quali si formano determinate conclusioni e viene effettuata una valutazione degli oggetti della critica. È particolarmente caratteristico dei ricercatori e degli scienziati di tutti i rami della scienza. Il pensiero critico occupa un livello più alto rispetto al pensiero ordinario.

Il valore dell’esperienza nello sviluppo del pensiero critico

È difficile analizzare e trarre conclusioni su qualcosa che non capisci bene. Pertanto, per imparare a pensare in modo critico, è necessario studiare gli oggetti in tutti i tipi di connessioni e relazioni con altri fenomeni. Di grande importanza in questa materia è anche il possesso di informazioni su tali oggetti, la capacità di costruire catene logiche di giudizi e trarre conclusioni ragionevoli.

Ad esempio, si può giudicare il valore di un'opera d'arte solo conoscendo molti altri frutti dell'attività letteraria. Allo stesso tempo, è bello essere un esperto di storia dello sviluppo umano, della formazione della letteratura e della critica letteraria. Isolata dal contesto storico, un'opera può perdere il significato previsto. Affinché la valutazione di un'opera d'arte sia sufficientemente completa e giustificata, è anche necessario utilizzare le proprie conoscenze letterarie, che comprendono le regole per costruire un testo letterario all'interno dei singoli generi, un sistema di varie tecniche letterarie, classificazione e analisi degli stili e delle tendenze esistenti nella letteratura, ecc. Allo stesso tempo, è anche importante studiare la logica interna della trama, la sequenza delle azioni, la disposizione e l'interazione dei personaggi nell'opera d'arte.

Caratteristiche del pensiero critico

Altre caratteristiche del pensiero critico includono quanto segue:
- la conoscenza dell'oggetto studiato è solo un punto di partenza per un'ulteriore attività cerebrale associata alla costruzione di catene logiche;
- il ragionamento coerente e basato sul buon senso porta all'identificazione di informazioni vere ed errate sull'oggetto studiato;
- il pensiero critico è sempre associato alla valutazione delle informazioni disponibili su un dato oggetto e alle conclusioni corrispondenti, la valutazione, a sua volta, è associata alle competenze esistenti.

A differenza del pensiero ordinario, il pensiero critico non è soggetto alla fede cieca. Il pensiero critico consente, con l'aiuto di un intero sistema di giudizi sull'oggetto della critica, di comprenderne l'essenza, identificare la vera conoscenza al riguardo e confutare quelle false. Si basa su logica, profondità e completezza di studio, veridicità, adeguatezza e coerenza dei giudizi. In questo caso, affermazioni ovvie e provate da tempo sono accettate come postulati e non richiedono prove e valutazioni ripetute.

Considera la figura seguente.

Mostra il grafico della funzione y = x^3 – 3*x^2. Consideriamo un intervallo contenente il punto x = 0, ad esempio da -1 a 1. Tale intervallo è chiamato anche intorno al punto x = 0. Come si vede nel grafico, in questo intorno la funzione y = x ^3 – 3*x^2 assume il valore massimo proprio nel punto x = 0.

Funzioni massime e minime

In questo caso il punto x = 0 è detto punto massimo della funzione. Per analogia con questo, il punto x = 2 è chiamato punto di minimo della funzione y = x^3 – 3*x^2. Perché c'è un intorno di questo punto in cui il valore in questo punto sarà minimo tra tutti gli altri valori di questo intorno.

Punto massimo la funzione f(x) è detta punto x0, a condizione che esista un intorno del punto x0 tale che per tutti gli x diversi da x0 di questo intorno, vale la disuguaglianza f(x)< f(x0).

Punto minimo la funzione f(x) è detta punto x0, a condizione che esista un intorno del punto x0 tale che per tutti gli x diversi da x0 di questo intorno, vale la disuguaglianza f(x) > f(x0).

Nei punti di massimo e minimo delle funzioni il valore della derivata della funzione è zero. Ma questa non è una condizione sufficiente per l'esistenza di una funzione nel punto di massimo o di minimo.

Ad esempio, la funzione y = x^3 nel punto x = 0 ha derivata uguale a zero. Ma il punto x = 0 non è il punto minimo o massimo della funzione. Come sai, la funzione y = x^3 aumenta lungo tutto l'asse numerico.

Pertanto, i punti di minimo e massimo saranno sempre tra le radici dell’equazione f’(x) = 0. Ma non tutte le radici di questa equazione saranno punti di massimo o di minimo.

Punti stazionari e critici

I punti in cui il valore della derivata della funzione è zero si chiamano punti stazionari. Possono esserci anche punti di massimo o di minimo in cui la derivata della funzione non esiste affatto. Ad esempio, y = |x| nel punto x = 0 ha un minimo, ma la derivata in questo punto non esiste. Questo punto sarà il punto critico della funzione.

I punti critici di una funzione sono i punti in cui la derivata è uguale a zero, oppure la derivata non esiste in questo punto, cioè la funzione in questo punto non è differenziabile. Per trovare il massimo o il minimo di una funzione è necessario che sia soddisfatta una condizione sufficiente.

Sia f(x) una funzione differenziabile sull'intervallo (a;b). A questo intervallo appartiene il punto x0 e f’(x0) = 0. Allora:

1. se, passando per un punto stazionario x0, la funzione f(x) e la sua derivata cambiano segno, da “più” a “meno”, allora il punto x0 è il punto massimo della funzione.

2. se, passando per un punto stazionario x0, la funzione f(x) e la sua derivata cambiano segno, da “meno” a “più”, allora il punto x0 è il punto di minimo della funzione.

Definizioni:

Estremo chiamare il valore massimo o minimo di una funzione su un dato insieme.

Punto estremoè il punto in cui viene raggiunto il valore massimo o minimo della funzione.

Punto massimoè il punto in cui viene raggiunto il valore massimo della funzione.

Punto minimoè il punto in cui viene raggiunto il valore minimo della funzione.

Spiegazione.

Nella figura, in prossimità del punto x = 3, la funzione raggiunge il suo valore massimo (cioè in prossimità di questo particolare punto non esiste punto più alto). Nell'intorno di x = 8 ha ancora un valore massimo (chiariamo ancora una volta: è in questo intorno che non esiste punto più alto). In questi punti l’aumento lascia il posto ad una diminuzione. Sono i punti massimi:

x massimo = 3, x massimo = 8.

In prossimità del punto x = 5 viene raggiunto il valore minimo della funzione (cioè in prossimità di x = 5 non esiste alcun punto al di sotto). A questo punto la diminuzione lascia il posto ad un aumento. È il punto minimo:

I punti massimo e minimo sono punti estremi della funzione, e i valori della funzione in questi punti sono i suoi estremi.

Punti critici e stazionari della funzione:

Condizione necessaria per un estremo:

Condizione sufficiente per un estremo:

Su un segmento la funzione sì = F(X) può raggiungere il suo valore minimo o massimo sia nei punti critici che alle estremità del segmento.

Algoritmo per lo studio di una funzione continuasì = F(X) per monotonia ed estremi:

Punti critici– questi sono i punti in cui la derivata di una funzione è uguale a zero o non esiste. Se la derivata è uguale a 0 allora la funzione a questo punto assume minimo o massimo locale. Nel grafico in tali punti la funzione ha un asintoto orizzontale, cioè la tangente è parallela all'asse del bue.

Tali punti sono chiamati stazionario. Se vedi una “gobba” o un “buco” sul grafico di una funzione continua, ricorda che il massimo o il minimo vengono raggiunti in un punto critico. Prendiamo come esempio il seguente compito.

Esempio 1. Trova i punti critici della funzione y=2x^3-3x^2+5.
Soluzione. L'algoritmo per trovare i punti critici è il seguente:

Quindi la funzione ha due punti critici.

Successivamente, se devi studiare una funzione, determiniamo il segno della derivata a sinistra e a destra del punto critico. Se la derivata cambia segno da “-” a “+” quando passa per il punto critico, la funzione assume minimo locale. Se da “+” a “-” dovrebbe massimo locale.

Seconda tipologia di punti critici questi sono gli zeri del denominatore delle funzioni frazionarie e irrazionali

Funzioni logaritmiche e trigonometriche che non sono definite in questi punti


Terza tipologia di punti critici hanno funzioni e moduli continui a tratti.
Ad esempio, qualsiasi funzione del modulo ha un minimo o un massimo nel punto di interruzione.

Ad esempio modulo y = | x-5 | nel punto x = 5 ha un minimo (punto critico).
La derivata non esiste in esso, ma a destra e a sinistra assume rispettivamente il valore 1 e -1.

Prova a determinare i punti critici delle funzioni

1)
2)
3)
4)
5)

Se la risposta è y ottieni il valore
1)x=4;
2)x=-1;x=1;
3)x=9;
4) x=Pi*k;
5)x=1.
allora lo sai già come trovare i punti critici ed essere in grado di affrontare uno o più test semplici.

Punti stazionari di una funzione. Una condizione necessaria per un estremo locale di una funzione

La prima condizione sufficiente per un estremo locale

Seconda e terza condizione sufficiente per un estremo locale

I valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento

Funzioni convesse e punti di flesso

1. Punti stazionari della funzione. Una condizione necessaria per un estremo locale di una funzione

Definizione 1 . Lascia che la funzione sia definita
. Punto chiamato punto stazionario della funzione
, Se
differenziato in un punto E
.

Teorema 1 (condizione necessaria per l'estremo locale di una funzione) . Lasciamo la funzione
determinato su
e ha al punto
estremo locale. Allora una delle condizioni è soddisfatta:

Pertanto, per trovare punti sospetti per un estremo, è necessario trovare punti stazionari della funzione e punti in cui non esiste la derivata della funzione, ma che appartengono al dominio di definizione della funzione.

Esempio . Permettere
. Trova i punti che sono sospetti per l'estremo. Per risolvere il problema troviamo innanzitutto il dominio di definizione della funzione:
. Cerchiamo ora la derivata della funzione:

Punti in cui la derivata non esiste:
. Punti funzione stazionaria:

Dal e
, E
appartengono al dominio di definizione della funzione, allora entrambi saranno sospettati di un estremo. Ma per concludere se ci sarà davvero un estremo lì, è necessario applicare condizioni sufficienti per l’estremo.

2. La prima condizione sufficiente per un estremo locale

Teorema 1 (prima condizione sufficiente per estremo locale) . Lasciamo la funzione
determinato su
e differenziato su questo intervallo ovunque tranne, forse, il punto
, ma a questo punto funzione
è continuo. Se esistono semiquartieri destro e sinistro di un punto , in ognuno dei quali
conserva un certo segno, quindi

1) funzione
ha un estremo locale nel punto , Se
assume valori di segni diversi nei semiquartieri corrispondenti;

2) funzione
non ha un estremo locale nel punto , se a destra e a sinistra del punto
ha lo stesso segno.

Prova . 1) Supponiamo che in un semi-quartiere
derivato
, e dentro

.

Quindi al punto funzione
ha un estremo locale, cioè un massimo locale, che era ciò che doveva essere dimostrato.

2) Supponiamo che a sinistra e a destra del punto la derivata mantiene il segno, ad esempio,
. Poi via
E
funzione
aumenta in modo strettamente monotono, cioè:

Quindi l'estremo punto funzione
non ha, ed era ciò che doveva essere dimostrato.

Nota 1 . Se il derivato
quando si passa per un punto cambia segno da “+” a “-”, quindi al punto funzione
ha un massimo locale e se il segno cambia da "-" a "+", allora c'è un minimo locale.

Nota 2 . Una condizione importante è la continuità della funzione
al punto . Se questa condizione non è soddisfatta, il Teorema 1 potrebbe non reggere.

Esempio . La funzione è considerata (Fig. 1):

Questa funzione è definita su ed è continua ovunque tranne che in un punto
, dove ha uno spazio rimovibile. Quando si passa per un punto

cambia segno da “-” a “+”, ma la funzione non ha un minimo locale a questo punto, ma ha un massimo locale per definizione. In effetti, vicino al punto
è possibile costruire un intorno in modo tale che per tutti gli argomenti di questo intorno i valori della funzione siano inferiori al valore
. Il Teorema 1 non ha funzionato perché al punto
la funzione aveva una lacuna.

Nota 3 . La prima condizione sufficiente per un estremo locale non può essere utilizzata quando si tratta della derivata della funzione
cambia segno in ogni semiintorno sinistro e destro di un punto .

Esempio . La funzione considerata è:

Perché il
, Quello
, e quindi
, Ma
. Così:

,

quelli. al punto
funzione
ha un minimo locale per definizione. Vediamo se qui funziona la prima condizione sufficiente per un estremo locale.

Per
:

Per il primo termine a destra della formula risultante abbiamo:

,

e quindi in un piccolo intorno del punto
il segno della derivata è determinato dal segno del secondo termine, ovvero:

,

il che significa che in qualsiasi intorno del punto

assumerà sia valori positivi che negativi. Consideriamo infatti un intorno arbitrario del punto
:
. Quando

,

Quello

(Fig. 2), e qui cambia segno infinite volte. Pertanto, la prima condizione sufficiente per un estremo locale non può essere utilizzata nell'esempio fornito.