Come trovare il valore medio di una caratteristica. Valori medi e indicatori di variazione

In matematica, la media aritmetica dei numeri (o semplicemente la media) è la somma di tutti i numeri di un dato insieme divisa per il numero di numeri. Questo è il concetto più generalizzato e diffuso di valore medio. Come hai già capito, per trovarlo devi sommare tutti i numeri che ti sono stati dati e dividere il risultato risultante per il numero di termini.

Qual è la media aritmetica?

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1. Dati i numeri: 6, 7, 11. Devi trovare il loro valore medio.

Soluzione.

Innanzitutto, troviamo la somma di tutti questi numeri.

Ora dividi la somma risultante per il numero di termini. Poiché abbiamo tre termini, divideremo quindi per tre.

Pertanto la media dei numeri 6, 7 e 11 è 8. Perché 8? Sì, perché la somma di 6, 7 e 11 sarà uguale a tre otto. Questo può essere visto chiaramente nell'illustrazione.

La media è un po’ come “uniformare” una serie di numeri. Come puoi vedere, le pile di matite sono diventate allo stesso livello.

Diamo un'occhiata a un altro esempio per consolidare le conoscenze acquisite.

Esempio 2. Dati i numeri: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Devi trovare la loro media aritmetica.

Soluzione.

Trova l'importo.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Dividere per il numero di termini (in questo caso - 15).

Pertanto, il valore medio di questa serie di numeri è 22.

Ora diamo un'occhiata ai numeri negativi. Ricordiamo come riassumerli. Ad esempio, hai due numeri 1 e -4. Troviamo la loro somma.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Sapendo questo, guardiamo un altro esempio.

Esempio 3. Trova il valore medio di una serie di numeri: 3, -7, 5, 13, -2.

Soluzione.

Trova la somma dei numeri.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Poiché i termini sono 5, dividi la somma risultante per 5.

Pertanto, la media aritmetica dei numeri 3, -7, 5, 13, -2 è 2,4.

Nel nostro tempo di progresso tecnologico, è molto più conveniente utilizzare programmi per computer per trovare il valore medio. Microsoft Office Excel è uno di questi. Trovare la media in Excel è semplice e veloce. Inoltre, questo programma è incluso nel pacchetto software Microsoft Office. Diamo un'occhiata a una breve istruzione, il valore dell'utilizzo di questo programma.

Per calcolare il valore medio di una serie di numeri, è necessario utilizzare la funzione MEDIA. La sintassi per questa funzione è:
= Media(argomento1, argomento2, ... argomento255)
dove argomento1, argomento2, ... argomento255 sono numeri o riferimenti a celle (le celle si riferiscono a intervalli e matrici).

Per renderlo più chiaro, proviamo la conoscenza che abbiamo acquisito.

1. Inserisci i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16 nelle celle C1 - C6.
2. Seleziona la cella C7 facendo clic su di essa. In questa cella visualizzeremo il valore medio.
3. Fare clic sulla scheda Formule.
4. Selezionare Altre funzioni > Statistiche per aprire
5. Seleziona MEDIA. Successivamente, dovrebbe aprirsi una finestra di dialogo.
6. Seleziona e trascina lì le celle C1-C6 per impostare l'intervallo nella finestra di dialogo.
7. Conferma le tue azioni con il pulsante "OK".
8. Se hai fatto tutto correttamente, dovresti avere la risposta nella cella C7 - 13.7. Quando fai clic sulla cella C7, la funzione (=Media(C1:C6)) verrà visualizzata nella barra della formula.

Questa funzionalità è molto utile per la contabilità, le fatture o quando hai semplicemente bisogno di trovare la media di una serie molto lunga di numeri. Pertanto, viene spesso utilizzato negli uffici e nelle grandi aziende. Ciò ti consente di mantenere i tuoi registri in ordine e rende possibile calcolare rapidamente qualcosa (ad esempio, il reddito mensile medio). Puoi anche utilizzare Excel per trovare il valore medio di una funzione.

5.1. Il concetto di media

Valore medio - Si tratta di un indicatore generale che caratterizza il livello tipico del fenomeno. Esprime il valore di una caratteristica per unità di popolazione.

La media generalizza sempre la variazione quantitativa di un tratto, cioè nei valori medi vengono eliminate le differenze individuali tra unità della popolazione dovute a circostanze casuali. A differenza della media, il valore assoluto che caratterizza il livello di una caratteristica di una singola unità di una popolazione non consente di confrontare i valori di una caratteristica tra unità appartenenti a popolazioni diverse. Pertanto, se è necessario confrontare i livelli di retribuzione dei lavoratori di due imprese, non è possibile confrontare su questa base due dipendenti di diverse imprese. La retribuzione dei lavoratori selezionati per il confronto potrebbe non essere tipica di queste imprese. Se confrontiamo l'entità dei fondi salariali nelle imprese considerate, il numero dei dipendenti non viene preso in considerazione e quindi è impossibile determinare dove il livello dei salari è più alto. In definitiva, è possibile confrontare solo gli indicatori medi, vale a dire Quanto guadagna in media un dipendente in ciascuna impresa? Pertanto, è necessario calcolare il valore medio come caratteristica generalizzante della popolazione.

Il calcolo della media è una delle tecniche di generalizzazione comuni; l'indicatore medio nega ciò che è comune (tipico) a tutte le unità della popolazione studiata, mentre allo stesso tempo ignora le differenze delle singole unità. In ogni fenomeno e nel suo sviluppo c'è una combinazione di caso e necessità. Nel calcolo delle medie, a causa dell'azione della legge dei grandi numeri, la casualità si annulla e si bilancia, quindi è possibile astrarre dalle caratteristiche non importanti del fenomeno, dai valori quantitativi della caratteristica in ogni caso specifico . La capacità di astrarre dalla casualità dei valori e delle fluttuazioni individuali risiede nel valore scientifico delle medie come caratteristiche generalizzanti degli aggregati.

Affinché la media sia veramente rappresentativa, deve essere calcolata tenendo conto di alcuni principi.

Soffermiamoci su alcuni principi generali per l'uso delle medie.
1. La media deve essere determinata per popolazioni costituite da unità qualitativamente omogenee.
2. La media deve essere calcolata per una popolazione costituita da un numero sufficientemente elevato di unità.
3. La media deve essere calcolata per una popolazione le cui unità si trovano in uno stato naturale normale.
4. La media dovrebbe essere calcolata tenendo conto del contenuto economico dell'indicatore in esame.

5.2. Tipi di medie e metodi per calcolarle

Consideriamo ora i tipi di valori medi, le caratteristiche del loro calcolo e le aree di applicazione. I valori medi si dividono in due grandi classi: medie di potenza, medie strutturali.

A potenza media Questi includono i tipi più conosciuti e utilizzati frequentemente, come la media geometrica, la media aritmetica e la media quadratica.

COME medie strutturali vengono considerate la moda e la mediana.

Concentriamoci sulle medie di potenza. Le medie di potenza, a seconda della presentazione dei dati di origine, possono essere semplici o ponderate. Media semplice Viene calcolato sulla base di dati non raggruppati e ha la seguente forma generale:

dove X i è la variante (valore) della caratteristica mediata;

n – opzione numero.

Media ponderata viene calcolato in base a dati raggruppati e ha un aspetto generale

,

dove X i è la variante (valore) della caratteristica mediata o il valore medio dell'intervallo in cui viene misurata la variante;
m – indice medio dei titoli di studio;
f i – frequenza che mostra quante volte si verifica il valore i-e della caratteristica media.

Diamo come esempio il calcolo dell'età media degli studenti in un gruppo di 20 persone:

Calcoliamo l'età media utilizzando la formula media semplice:

Raggruppiamo i dati di origine. Otteniamo la seguente serie di distribuzione:

Come risultato del raggruppamento, otteniamo un nuovo indicatore: la frequenza, che indica il numero di studenti di X anni. Pertanto l’età media degli studenti del gruppo verrà calcolata utilizzando la formula della media ponderata:

Le formule generali per il calcolo delle medie di potenza hanno un esponente (m). A seconda del valore che assume si distinguono le seguenti tipologie di medie di potenza:
media armonica se m = -1;
media geometrica, se m –> 0;
media aritmetica se m = 1;
radice quadrata media se m = 2;
cubo medio se m = 3.

Le formule per le medie di potenza sono riportate nella tabella. 4.4.

Se calcoli tutti i tipi di medie per gli stessi dati iniziali, i loro valori risulteranno diversi. Qui vale la regola della maggioranza delle medie: all’aumentare dell’esponente m aumenta anche il corrispondente valore medio:

Nella pratica statistica, le medie aritmetiche e le medie ponderate armoniche vengono utilizzate più spesso rispetto ad altri tipi di medie ponderate.

Tabella 5.1

Tipi di mezzi di potere

Tipo di potere media	Indice grado (m)	Formula di calcolo
		Semplice	Ponderato
Armonico	-1
Geometrico	0
Aritmetica	1
Quadratico	2
Cubo	3

La media armonica ha una struttura più complessa della media aritmetica. La media armonica viene utilizzata per i calcoli quando come pesi non vengono utilizzate le unità della popolazione - i portatori della caratteristica, ma il prodotto di queste unità per i valori della caratteristica (cioè m = Xf). Si dovrebbe ricorrere alla media armonica semplice nei casi di determinazione, ad esempio, del costo medio della manodopera, del tempo, dei materiali per unità di produzione, per una parte per due (tre, quattro, ecc.) Imprese, lavoratori impegnati nella produzione dello stesso tipo di prodotto, della stessa parte, di prodotto.

Il requisito principale per la formula per il calcolo del valore medio è che tutte le fasi del calcolo abbiano una giustificazione realmente significativa; il valore medio risultante dovrebbe sostituire i singoli valori dell'attributo per ciascun oggetto senza interrompere la connessione tra gli indicatori individuali e quelli sintetici. In altre parole, il valore medio deve essere calcolato in modo tale che quando ogni singolo valore dell'indicatore medio viene sostituito dal suo valore medio, qualche indicatore riassuntivo finale, collegato in un modo o nell'altro al valore medio, rimanga invariato. Questo totale è chiamato definendo poiché la natura del suo rapporto con i valori individuali determina la formula specifica per il calcolo del valore medio. Dimostriamo questa regola usando l'esempio della media geometrica.

Formula della media geometrica

utilizzato più spesso quando si calcola il valore medio in base alla dinamica relativa individuale.

La media geometrica viene utilizzata se viene data una sequenza di dinamiche relative a catena, che indica, ad esempio, un aumento della produzione rispetto al livello dell'anno precedente: i 1, i 2, i 3,..., i n. Ovviamente il volume della produzione nell'ultimo anno è determinato dal suo livello iniziale (q 0) e dal successivo aumento nel corso degli anni:

q n =q 0 × io 1 × io 2 ×...×io n .

Prendendo q n come indicatore determinante e sostituendo i singoli valori degli indicatori dinamici con quelli medi, arriviamo alla relazione

Da qui

5.3. Medie strutturali

Un tipo speciale di valori medi - medie strutturali - viene utilizzato per studiare la struttura interna delle serie di distribuzione dei valori degli attributi, nonché per stimare il valore medio (tipo di potenza), se, secondo i dati statistici disponibili, il suo il calcolo non può essere eseguito (ad esempio, se nell'esempio considerato non ci fossero dati sia sul volume di produzione che sull'importo dei costi per gruppo di imprese).

Gli indicatori vengono spesso utilizzati come medie strutturali moda - il valore ripetuto più frequentemente dell'attributo – e mediane – il valore di una caratteristica che divide la sequenza ordinata dei suoi valori in due parti uguali. Di conseguenza, per la metà delle unità della popolazione il valore dell'attributo non supera il livello mediano e per l'altra metà non è inferiore ad esso.

Se la caratteristica oggetto di studio ha valori discreti, non ci sono particolari difficoltà nel calcolo della moda e della mediana. Se i dati sui valori dell'attributo X sono presentati sotto forma di intervalli ordinati della sua variazione (serie di intervalli), il calcolo della moda e della mediana diventa un po' più complicato. Poiché il valore mediano divide l'intera popolazione in due parti uguali, finisce in uno degli intervalli della caratteristica X. Utilizzando l'interpolazione, il valore della mediana si trova in questo intervallo mediano:

,

dove X Me è il limite inferiore dell'intervallo mediano;
h Me – il suo valore;
(Somma m)/2 – metà del numero totale di osservazioni o metà del volume dell'indicatore utilizzato come ponderazione nelle formule per il calcolo del valore medio (in termini assoluti o relativi);
S Me-1 – la somma delle osservazioni (o il volume dell'attributo di ponderazione) accumulate prima dell'inizio dell'intervallo mediano;
m Me – il numero di osservazioni o il volume della caratteristica di ponderazione nell'intervallo mediano (anche in termini assoluti o relativi).

Nel nostro esempio si possono ottenere anche tre valori mediani, in base al numero di imprese, al volume di produzione e ai costi di produzione totali:

Pertanto, nella metà delle imprese il costo per unità di produzione supera i 125,19 mila rubli, la metà del volume totale dei prodotti viene prodotta con un costo per prodotto superiore a 124,79 mila rubli. e il 50% dei costi totali si forma quando il costo di un prodotto supera i 125,07 mila rubli. Si noti inoltre che esiste una certa tendenza all'aumento dei costi, poiché Me 2 = 124,79 mila rubli e il livello medio è di 123,15 mila rubli.

Quando si calcola il valore modale di una caratteristica sulla base dei dati di una serie di intervalli, è necessario prestare attenzione al fatto che gli intervalli sono identici, poiché da questo dipende l'indicatore di ripetibilità dei valori della caratteristica X. Per una serie di intervalli con intervalli uguali, la grandezza della moda è determinata come

dove X Mo è il valore inferiore dell'intervallo modale;
m Mo – numero di osservazioni o volume della caratteristica di ponderazione nell'intervallo modale (in termini assoluti o relativi);
m Mo -1 – idem per l'intervallo precedente quello modale;
m Mo+1 – idem per l'intervallo successivo a quello modale;
h – il valore dell'intervallo di cambiamento della caratteristica nei gruppi.

Per il nostro esempio, possiamo calcolare tre valori modali in base alle caratteristiche del numero di imprese, del volume dei prodotti e dell'importo dei costi. In tutti e tre i casi, l’intervallo modale è lo stesso, poiché per lo stesso intervallo il numero di imprese, il volume della produzione e l’importo totale dei costi di produzione sono maggiori:

Pertanto, molto spesso ci sono imprese con un livello di costo di 126,75 mila rubli, molto spesso i prodotti vengono realizzati con un livello di costo di 126,69 mila rubli e molto spesso i costi di produzione sono spiegati da un livello di costo di 123,73 mila rubli.

5.4. Indicatori di variazione

Le condizioni specifiche in cui si trova ciascuno degli oggetti studiati, nonché le caratteristiche del proprio sviluppo (sociale, economico, ecc.) sono espresse dai corrispondenti livelli numerici degli indicatori statistici. Così, variazione, quelli. la discrepanza tra i livelli dello stesso indicatore in diversi oggetti è di natura oggettiva e aiuta a comprendere l'essenza del fenomeno studiato.

Esistono diversi metodi utilizzati per misurare la variazione nelle statistiche.

Il più semplice è calcolare l'indicatore intervallo di variazione H come differenza tra i valori massimo (X max) e minimo (X min) osservati della caratteristica:

H=Xmax - Xmin .

Tuttavia, l’intervallo di variazione mostra solo i valori estremi del tratto. La ripetibilità dei valori intermedi non viene presa in considerazione qui.

Le caratteristiche più stringenti sono indicatori di variabilità rispetto al livello medio dell'attributo. L'indicatore più semplice di questo tipo è deviazione lineare media L come media aritmetica delle deviazioni assolute di una caratteristica dal suo livello medio:

Quando i singoli valori X sono ripetibili, utilizzare la formula della media aritmetica ponderata:

(Ricordiamo che la somma algebrica delle deviazioni dal livello medio è zero.)

L'indicatore di deviazione lineare media è ampiamente utilizzato nella pratica. Con il suo aiuto, ad esempio, vengono analizzati la composizione dei lavoratori, il ritmo di produzione, l'uniformità delle forniture di materiali e vengono sviluppati sistemi di incentivi materiali. Ma, sfortunatamente, questo indicatore complica i calcoli probabilistici e complica l'uso di metodi statistici matematici. Pertanto, nella ricerca scientifica statistica, l’indicatore più spesso utilizzato per misurare la variazione è varianze.

La varianza della caratteristica (s 2) è determinata in base alla media della potenza quadratica:

.

Viene chiamato l'indicatore s uguale a deviazione standard.

Nella teoria generale della statistica, l'indicatore di dispersione è una stima dell'omonimo indicatore della teoria della probabilità e (come somma dei quadrati delle deviazioni) una stima della dispersione nella statistica matematica, che consente di utilizzare le disposizioni di questi discipline teoriche per l'analisi dei processi socio-economici.

Se la variazione viene stimata da un piccolo numero di osservazioni prese da una popolazione illimitata, il valore medio della caratteristica viene determinato con qualche errore. Il valore calcolato della dispersione risulta spostato verso una diminuzione. Per ottenere una stima imparziale, la varianza campionaria ottenuta utilizzando le formule precedentemente fornite deve essere moltiplicata per il valore n / (n - 1). Di conseguenza, con un piccolo numero di osservazioni (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Di solito, già per n > (15÷20), la discrepanza tra le stime distorte e quelle imparziali diventa insignificante. Per lo stesso motivo, la distorsione solitamente non viene presa in considerazione nella formula per aggiungere le varianze.

Se si prelevano più campioni dalla popolazione generale e ogni volta si determina il valore medio di una caratteristica, allora si pone il problema di valutare la variabilità delle medie. Varianza di stima valore medioè possibile sulla base di una sola osservazione del campione utilizzando la formula

,

dove n è la dimensione del campione; s 2 – varianza della caratteristica calcolata dai dati campione.

Grandezza è chiamato errore medio di campionamento ed è una caratteristica della deviazione del valore medio campionario dell'attributo X dal suo valore medio reale. L'indicatore di errore medio viene utilizzato per valutare l'affidabilità dei risultati dell'osservazione del campione.

Indicatori di dispersione relativa. Per caratterizzare la misura della variabilità della caratteristica studiata, gli indicatori di variabilità vengono calcolati in valori relativi. Permettono di confrontare la natura della dispersione in diverse distribuzioni (diverse unità di osservazione della stessa caratteristica in due popolazioni, con valori medi diversi, quando si confrontano popolazioni con nomi diversi). Il calcolo degli indicatori della misura di dispersione relativa viene effettuato come rapporto tra l'indicatore di dispersione assoluta e la media aritmetica, moltiplicato per il 100%.

1. Coefficiente di oscillazione riflette la fluttuazione relativa dei valori estremi della caratteristica attorno alla media

.

2. L'arresto lineare relativo caratterizza la proporzione del valore medio del segno delle deviazioni assolute dal valore medio

.

3. Coefficiente di variazione:

è la misura di variabilità più comune utilizzata per valutare la tipicità dei valori medi.

Nelle statistiche, le popolazioni con un coefficiente di variazione maggiore del 30-35% sono considerate eterogenee.

Questo metodo di valutazione della variazione presenta anche uno svantaggio significativo. Infatti, supponiamo, ad esempio, che la popolazione originaria di lavoratori con un'esperienza media di 15 anni, con una deviazione standard di s = 10 anni, “invecchi” di altri 15 anni. Ora = 30 anni e la deviazione standard è ancora 10. La popolazione precedentemente eterogenea (10/15 × 100 = 66,7%), risultando quindi abbastanza omogeneo nel tempo (10/30×100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Studi teorici in statistica: sab. Scientifico Trudov.-M.: Statistica, 1974. pagine 19–57.

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Come calcolare la media dei numeri in Excel

Puoi trovare la media aritmetica dei numeri in Excel utilizzando la funzione.

Sintassi MEDIA

=MEDIA(numero1,[numero2],…) - Versione russa

Argomenti MEDIA

• numero 1– il primo numero o intervallo di numeri per il calcolo della media aritmetica;
• numero 2(Facoltativo) – il secondo numero o intervallo di numeri per il calcolo della media aritmetica. Il numero massimo di argomenti della funzione è 255.

Per calcolare, attenersi alla seguente procedura:

• Seleziona una cella qualsiasi;
• Scrivi la formula al suo interno =MEDIA(
• Seleziona l'intervallo di celle per il quale vuoi effettuare un calcolo;
• Premi il tasto "Invio" sulla tastiera

La funzione calcolerà il valore medio nell'intervallo specificato tra le celle che contengono numeri.

Come trovare il testo medio dato

Se nell'intervallo dati sono presenti righe o testo vuoti, la funzione li tratta come "zero". Se tra i dati ci sono espressioni logiche FALSO o VERO, la funzione percepisce FALSO come "zero" e VERO come "1".

Come trovare la media aritmetica per condizione

Per calcolare la media per condizione o criterio, viene utilizzata la funzione. Ad esempio, immagina di avere dati sulle vendite dei prodotti:

Il nostro compito è calcolare il valore medio delle vendite di penne. Per fare ciò, eseguiremo i seguenti passaggi:

• In una cella A13 scrivere il nome del prodotto “Penne”;
• In una cella B13 introduciamo la formula:

=MEDIA.SE(A2:A10;A13;B2:B10)

Intervallo di celle “ A2:A10” indica un elenco di prodotti in cui cercheremo la parola “Penne”. Discussione A13 questo è un collegamento a una cella con testo che cercheremo nell'intero elenco di prodotti. Intervallo di celle “ B2:B10" è una gamma con i dati di vendita dei prodotti, tra i quali la funzione troverà "Maniglie" e calcolerà il valore medio.

I valori medi si riferiscono a indicatori statistici generali che forniscono una caratteristica riassuntiva (finale) dei fenomeni sociali di massa, poiché sono costruiti sulla base di un gran numero di valori individuali di caratteristiche variabili. Per chiarire l'essenza del valore medio, è necessario considerare le peculiarità della formazione dei valori dei segni di quei fenomeni, in base ai dati di cui viene calcolato il valore medio.

È noto che le unità di ciascun fenomeno di massa hanno numerose caratteristiche. Qualunque di queste caratteristiche prendiamo, i suoi valori saranno diversi per le singole unità; cambiano o, come si dice in statistica, variano da un'unità all'altra. Ad esempio, lo stipendio di un dipendente è determinato dalle sue qualifiche, dalla natura del lavoro, dall’anzianità di servizio e da una serie di altri fattori, e quindi varia entro limiti molto ampi. L'influenza combinata di tutti i fattori determina l'importo dei guadagni di ciascun dipendente, tuttavia possiamo parlare dello stipendio mensile medio dei lavoratori in diversi settori dell'economia. Qui operiamo con un valore tipico, caratteristico di una caratteristica variabile, assegnato a un'unità di una grande popolazione.

Il valore medio lo riflette generale, che è tipico di tutte le unità della popolazione studiata. Allo stesso tempo, bilancia l'influenza di tutti i fattori che agiscono sul valore delle caratteristiche delle singole unità della popolazione, come se si estinguessero a vicenda. Il livello (o la dimensione) di qualsiasi fenomeno sociale è determinato dall'azione di due gruppi di fattori. Alcuni di essi sono generali e principali, costantemente operativi, strettamente correlati alla natura del fenomeno o del processo studiato e formano il tipico per tutte le unità della popolazione studiata, che si riflette nel valore medio. Altri sono individuale, il loro effetto è meno pronunciato ed è episodico, casuale. Agiscono nella direzione opposta, provocando differenze tra le caratteristiche quantitative delle singole unità della popolazione, cercando di modificare il valore costante delle caratteristiche studiate. L'effetto delle caratteristiche individuali si estingue nel valore medio. Nell'influenza combinata di fattori tipici e individuali, che nelle caratteristiche generali si equilibrano e si annullano a vicenda, il principio fondamentale conosciuto dalla statistica matematica si manifesta in forma generale. legge dei grandi numeri.

Nel complesso, i valori individuali delle caratteristiche si fondono in una massa comune e, per così dire, si dissolvono. Quindi valore medio agisce come “impersonale”, che può discostarsi dai valori individuali delle caratteristiche senza coincidere quantitativamente con nessuna di esse. Il valore medio riflette il generale, caratteristico e tipico dell'intera popolazione a causa della reciproca cancellazione delle differenze casuali e atipiche tra le caratteristiche delle sue singole unità, poiché il suo valore è determinato come dalla risultante comune di tutte le cause.

Tuttavia, affinché il valore medio rifletta il valore più tipico di una caratteristica, esso non dovrebbe essere determinato per nessuna popolazione, ma solo per popolazioni costituite da unità qualitativamente omogenee. Questo requisito è la condizione principale per l'uso scientificamente fondato delle medie e implica una stretta connessione tra il metodo delle medie e il metodo dei raggruppamenti nell'analisi dei fenomeni socioeconomici. Di conseguenza, il valore medio è un indicatore generale che caratterizza il livello tipico di una caratteristica variabile per unità di una popolazione omogenea in specifiche condizioni di luogo e di tempo.

Nel definire così l'essenza dei valori medi, è necessario sottolineare che il corretto calcolo di qualsiasi valore medio presuppone il rispetto dei seguenti requisiti:

• l'omogeneità qualitativa della popolazione da cui si calcola il valore medio. Ciò significa che il calcolo dei valori medi dovrebbe basarsi sul metodo del raggruppamento, che garantisce l’identificazione di fenomeni omogenei e simili;
• escludendo l'influenza di cause e fattori casuali e puramente individuali sul calcolo del valore medio. Ciò si ottiene nel caso in cui il calcolo della media si basi su materiale sufficientemente massiccio in cui si manifesta l'azione della legge dei grandi numeri e ogni casualità si annulla;
• Quando si calcola il valore medio, è importante stabilire lo scopo del suo calcolo e il cosiddetto indicatore di definizione(proprietà) a cui dovrebbe essere orientato.

L'indicatore di definizione può agire come la somma dei valori della caratteristica media, la somma dei suoi valori inversi, il prodotto dei suoi valori, ecc. La relazione tra l'indicatore di definizione e il valore medio è espressa come segue: se tutti i valori della caratteristica mediata vengono sostituiti dal valore medio, la loro somma o prodotto in questo caso non modificherà l'indicatore di definizione. Sulla base di questo collegamento tra l'indicatore determinante e il valore medio, viene costruita una prima relazione quantitativa per il calcolo diretto del valore medio. Viene chiamata la capacità dei valori medi di preservare le proprietà delle popolazioni statistiche definizione della proprietà.

Viene chiamato il valore medio calcolato per l'intera popolazione media generale; valori medi calcolati per ciascun gruppo - medie di gruppo. La media generale riflette le caratteristiche generali del fenomeno studiato, la media del gruppo fornisce una caratteristica del fenomeno che si sviluppa nelle condizioni specifiche di un dato gruppo.

I metodi di calcolo possono essere diversi, quindi in statistica esistono diversi tipi di medie, le principali sono la media aritmetica, la media armonica e la media geometrica.

Nell'analisi economica, l'uso delle medie è lo strumento principale per valutare i risultati del progresso scientifico e tecnologico, gli eventi sociali e la ricerca di riserve per lo sviluppo economico. Allo stesso tempo, va ricordato che un eccessivo affidamento agli indicatori medi può portare a conclusioni distorte quando si conducono analisi economiche e statistiche. Ciò è dovuto al fatto che i valori medi, essendo indicatori generali, estinguono e ignorano quelle differenze nelle caratteristiche quantitative delle singole unità della popolazione che effettivamente esistono e possono avere interesse indipendente.

Tipi di medie

In statistica si utilizzano vari tipi di medie, che si dividono in due grandi classi:

• medie di potenza (media armonica, media geometrica, media aritmetica, media quadratica, media cubica);
• mezzi strutturali (modalità, mediana).

Calcolare medie di potenzaè necessario utilizzare tutti i valori caratteristici disponibili. Moda E mediano sono determinati solo dalla struttura della distribuzione, quindi sono chiamati medie strutturali e posizionali. La mediana e la moda sono spesso utilizzate come caratteristiche medie in quelle popolazioni in cui il calcolo della media della potenza è impossibile o poco pratico.

Il tipo più comune di media è la media aritmetica. Sotto significato aritmeticoè inteso come il valore di una caratteristica che ciascuna unità della popolazione avrebbe se la somma totale di tutti i valori della caratteristica fosse distribuita equamente tra tutte le unità della popolazione. Il calcolo di questo valore si riduce alla somma di tutti i valori della caratteristica variabile e alla divisione dell'importo risultante per il numero totale di unità della popolazione. Ad esempio, cinque lavoratori hanno eseguito un ordine per la produzione di parti, mentre il primo ha prodotto 5 parti, il secondo - 7, il terzo - 4, il quarto - 10, il quinto - 12. Poiché nei dati di origine il valore di ciascuno Se l'opzione si è verificata una sola volta, per determinare la produzione media di un lavoratore è necessario applicare la semplice formula della media aritmetica:

cioè nel nostro esempio, la produzione media di un lavoratore è pari a

Insieme alla semplice media aritmetica, studiano media aritmetica ponderata. Ad esempio, calcoliamo l'età media degli studenti in un gruppo di 20 persone, la cui età varia dai 18 ai 22 anni, dove xi- varianti della caratteristica mediata, fi- frequenza, che mostra quante volte si verifica i-esimo valore complessivo (Tabella 5.1).

Tabella 5.1

Età media degli studenti

Applicando la formula della media aritmetica ponderata, otteniamo:

Esiste una certa regola per scegliere una media aritmetica ponderata: se c'è una serie di dati su due indicatori, per uno dei quali è necessario calcolare

valore medio, e allo stesso tempo i valori numerici del denominatore della sua formula logica sono noti, e i valori del numeratore sono sconosciuti, ma possono essere trovati come il prodotto di questi indicatori, quindi il valore medio dovrebbe essere calcolati utilizzando la formula della media aritmetica ponderata.

In alcuni casi, la natura dei dati statistici iniziali è tale che il calcolo della media aritmetica perde il suo significato e l'unico indicatore generalizzante può essere solo un altro tipo di media - media armonica. Attualmente, le proprietà computazionali della media aritmetica hanno perso la loro rilevanza nel calcolo degli indicatori statistici generali a causa della diffusa introduzione della tecnologia informatica elettronica. La media armonica, che può essere anche semplice e ponderata, ha acquisito grande importanza pratica. Se i valori numerici del numeratore di una formula logica sono noti e i valori del denominatore sono sconosciuti, ma possono essere trovati come divisione parziale di un indicatore per un altro, il valore medio viene calcolato utilizzando l'armonica formula della media ponderata.

Ad esempio, si sappia che l'auto ha percorso i primi 210 km ad una velocità di 70 km/he i restanti 150 km ad una velocità di 75 km/h. È impossibile determinare la velocità media di un'auto lungo l'intero percorso di 360 km utilizzando la formula della media aritmetica. Poiché le opzioni sono velocità nelle singole sezioni xj= 70 km/h e X2= 75 km/h, e i pesi (fi) sono considerati i tratti corrispondenti del percorso, allora i prodotti delle opzioni e dei pesi non avranno né significato fisico né economico. In questo caso i quozienti acquistano significato dividendo i tratti del percorso nelle corrispondenti velocità (opzioni xi), ovvero il tempo impiegato per percorrere i singoli tratti del percorso (fi / xi). Se le sezioni del percorso sono indicate con fi, allora l'intero percorso è espresso come Σfi e il tempo trascorso sull'intero percorso è espresso come Σ fi / xi , Quindi la velocità media può essere trovata come il quoziente dell'intero percorso diviso per il tempo totale impiegato:

Nel nostro esempio otteniamo:

Se, quando si utilizza la media armonica, i pesi di tutte le opzioni (f) sono uguali, allora al posto di quello ponderato è possibile utilizzare media armonica semplice (non ponderata):

dove xi sono le opzioni individuali; N- numero di varianti della caratteristica media. Nell'esempio della velocità, si potrebbe applicare la media armonica semplice se i segmenti del percorso percorsi a velocità diverse fossero uguali.

Qualsiasi valore medio deve essere calcolato in modo tale che, quando sostituisce ciascuna variante della caratteristica media, il valore di qualche indicatore generale finale associato all'indicatore medio non cambi. Pertanto, quando si sostituiscono le velocità effettive sui singoli tratti del percorso con il loro valore medio (velocità media), la distanza totale non dovrebbe cambiare.

La forma (formula) del valore medio è determinata dalla natura (meccanismo) della relazione di questo indicatore finale con quello medio, quindi l'indicatore finale, il cui valore non dovrebbe cambiare quando si sostituiscono le opzioni con il loro valore medio, è chiamato indicatore di definizione. Per ricavare la formula della media, è necessario creare e risolvere un'equazione utilizzando la relazione tra l'indicatore medio e quello determinante. Questa equazione viene costruita sostituendo le varianti della caratteristica (indicatore) mediate con il loro valore medio.

Oltre alla media aritmetica e alla media armonica, nelle statistiche vengono utilizzati altri tipi (forme) di media. Sono tutti casi particolari potenza media. Se calcoliamo tutti i tipi di medie di potenza per gli stessi dati, allora i valori

risulteranno essere gli stessi, qui vale la regola tasso maggiore media. All’aumentare dell’esponente della media aumenta il valore medio stesso. Le formule più frequentemente utilizzate per il calcolo di vari tipi di medie di potenza nella ricerca pratica sono presentate nella tabella. 5.2.

Tabella 5.2

La media geometrica viene utilizzata quando esiste N coefficienti di crescita, mentre i valori individuali della caratteristica sono, di regola, valori dinamici relativi, costruiti sotto forma di valori a catena, come rapporto con il livello precedente di ciascun livello nella serie dinamica. La media caratterizza quindi il tasso di crescita medio. Geometria media semplice calcolato dalla formula

Formula media geometrica ponderata ha la seguente forma:

Le formule di cui sopra sono identiche, ma una viene applicata ai coefficienti attuali o ai tassi di crescita, e la seconda ai valori assoluti dei livelli di serie.

Quadrato medio utilizzato nei calcoli con i valori delle funzioni quadratiche, utilizzato per misurare il grado di fluttuazione dei singoli valori di una caratteristica attorno alla media aritmetica nella serie di distribuzione ed è calcolato dalla formula

Media quadrata ponderata calcolato utilizzando un'altra formula:

Cubicità media viene utilizzato quando si calcola con valori di funzioni cubiche e viene calcolato dalla formula

cubatura media ponderata:

Tutti i valori medi discussi sopra possono essere presentati come una formula generale:

dov'è il valore medio; - significato individuale; N- numero di unità della popolazione oggetto di studio; K- esponente che determina il tipo di media.

Quando si utilizzano gli stessi dati di origine, tanto più K nella formula generale della media della potenza, maggiore è il valore medio. Ne consegue che esiste una relazione naturale tra i valori delle medie di potenza:

I valori medi sopra descritti danno un'idea generalizzata della popolazione studiata e, da questo punto di vista, il loro significato teorico, applicato ed educativo è indiscutibile. Ma succede che il valore medio non coincide con nessuna delle opzioni effettivamente esistenti, quindi, oltre alle medie considerate, nell'analisi statistica è consigliabile utilizzare i valori di opzioni specifiche che occupano una posizione molto specifica nel serie ordinata (classificata) di valori di attributo. Tra queste quantità, le più comunemente utilizzate sono strutturale, O descrittivo, medio- modalità (Mo) e mediana (Me).

Moda- il valore di una caratteristica che si riscontra più spesso in una determinata popolazione. In relazione a una serie variazionale, la moda è il valore che ricorre più frequentemente della serie classificata, ovvero l'opzione con la frequenza più alta. La moda può essere utilizzata per determinare i negozi visitati più spesso e il prezzo più comune per qualsiasi prodotto. Mostra la dimensione di una caratteristica caratteristica di una parte significativa della popolazione ed è determinata dalla formula

dove x0 è il limite inferiore dell'intervallo; H- dimensione dell'intervallo; FM- frequenza dell'intervallo; fm_ 1 - frequenza dell'intervallo precedente; FM+ 1 - frequenza dell'intervallo successivo.

Mediano viene richiamata l'opzione situata al centro della riga classificata. La mediana divide la serie in due parti uguali in modo che vi sia lo stesso numero di unità di popolazione su entrambi i lati. In questo caso, metà delle unità della popolazione ha un valore della caratteristica variabile inferiore alla mediana, mentre l'altra metà ha un valore maggiore di essa. La mediana viene utilizzata quando si studia un elemento il cui valore è maggiore o uguale o allo stesso tempo inferiore o uguale alla metà degli elementi di una serie di distribuzione. La mediana dà un’idea generale di dove sono concentrati i valori degli attributi, in altre parole, dove si trova il loro centro.

La natura descrittiva della mediana si manifesta nel fatto che essa caratterizza il limite quantitativo dei valori di una caratteristica variabile che possiede la metà delle unità della popolazione. Il problema di trovare la mediana per una serie di variazioni discrete è facilmente risolvibile. Se a tutte le unità della serie vengono assegnati numeri di serie, allora il numero di serie dell'opzione mediana viene determinato come (n + 1) / 2 con un numero dispari di membri pari a n. Se il numero di membri della serie è un numero pari , la mediana sarà il valore medio di due opzioni che hanno numeri di serie N/2 e N / 2 + 1.

Quando si determina la mediana nelle serie di variazioni di intervallo, determinare innanzitutto l'intervallo in cui si trova (intervallo mediano). Questo intervallo è caratterizzato dal fatto che la somma accumulata delle frequenze è pari o superiore alla metà della somma di tutte le frequenze della serie. La mediana di una serie di variazioni di intervallo viene calcolata utilizzando la formula

Dove X0- limite inferiore dell'intervallo; H- dimensione dell'intervallo; FM- frequenza dell'intervallo; F- numero dei membri della serie;

∫m-1 è la somma dei termini accumulati della serie precedente a quella data.

Insieme alla mediana, per caratterizzare più compiutamente la struttura della popolazione studiata, vengono utilizzati anche altri valori di opzioni che occupano una posizione ben specifica nelle serie classificate. Questi includono quartili E decili. I quartili dividono la serie in base alla somma delle frequenze in 4 parti uguali e i decili in 10 parti uguali. Ci sono tre quartili e nove decili.

La mediana e la moda, a differenza della media aritmetica, non eliminano le differenze individuali nei valori di una caratteristica variabile e quindi sono caratteristiche aggiuntive e molto importanti della popolazione statistica. In pratica, vengono spesso utilizzati al posto della media o insieme ad essa. È particolarmente consigliabile calcolare la mediana e la moda nei casi in cui la popolazione in studio contiene un certo numero di unità con un valore molto grande o molto piccolo della caratteristica variabile. Questi valori delle opzioni, poco caratteristici della popolazione, pur influenzando il valore della media aritmetica, non influiscono sui valori della mediana e della moda, il che rende questi ultimi indicatori molto preziosi per i fini economici e statistici. analisi.

Indicatori di variazione

Lo scopo della ricerca statistica è identificare le proprietà e i modelli di base della popolazione statistica studiata. Nel processo di elaborazione sommaria dei dati di osservazione statistica, costruiscono serie di distribuzione. Esistono due tipi di serie distributive: attributiva e variazionale, a seconda che la caratteristica presa a base del raggruppamento sia qualitativa o quantitativa.

Variazionale sono chiamate serie di distribuzione costruite su base quantitativa. I valori delle caratteristiche quantitative nelle singole unità della popolazione non sono costanti, differiscono più o meno tra loro. Questa differenza nel valore di una caratteristica viene chiamata variazioni. Vengono chiamati i valori numerici individuali di una caratteristica trovata nella popolazione studiata varianti di valori. La presenza di variazione nelle singole unità della popolazione è dovuta all'influenza di un gran numero di fattori sulla formazione del livello del tratto. Lo studio della natura e del grado di variazione delle caratteristiche nelle singole unità della popolazione è la questione più importante di qualsiasi ricerca statistica. Gli indici di variazione vengono utilizzati per descrivere la misura della variabilità dei tratti.

Un altro compito importante della ricerca statistica è determinare il ruolo dei singoli fattori o dei loro gruppi nella variazione di determinate caratteristiche della popolazione. Per risolvere questo problema la statistica utilizza particolari metodi di studio della variazione, basati sull'utilizzo di un sistema di indicatori con cui viene misurata la variazione. In pratica, un ricercatore si trova di fronte a un numero abbastanza elevato di varianti dei valori degli attributi, che non dà un'idea della distribuzione delle unità per valore degli attributi nell'aggregato. Per fare ciò, disponi tutte le varianti dei valori caratteristici in ordine crescente o decrescente. Questo processo si chiama classifica la serie La serie classificata dà subito un’idea generale dei valori che la feature assume nel complesso.

L'insufficienza del valore medio per una descrizione esaustiva della popolazione ci costringe a integrare i valori medi con indicatori che permettano di valutare la tipicità di queste medie misurando la variabilità (variazione) della caratteristica oggetto di studio. L'uso di questi indicatori di variazione consente di rendere l'analisi statistica più completa e significativa e quindi di acquisire una comprensione più profonda dell'essenza dei fenomeni sociali studiati.

I segni più semplici di variazione sono minimo E massimo - questo è il valore più piccolo e più grande dell'attributo nell'aggregato. Viene chiamato il numero di ripetizioni delle singole varianti dei valori caratteristici frequenza di ripetizione. Indichiamo la frequenza di ripetizione del valore dell'attributo fi, la somma delle frequenze pari al volume della popolazione oggetto di studio sarà:

Dove K- numero di opzioni per i valori degli attributi. È conveniente sostituire le frequenze con frequenze - wi. Frequenza- indicatore di frequenza relativa - può essere espresso in frazioni di unità o percentuale e consente di confrontare serie di variazioni con diversi numeri di osservazioni. Formalmente abbiamo:

Per misurare la variazione di una caratteristica vengono utilizzati diversi indicatori assoluti e relativi. Gli indicatori assoluti di variazione includono la deviazione lineare media, l'intervallo di variazione, la dispersione e la deviazione standard.

Gamma di variazione(R) rappresenta la differenza tra i valori massimo e minimo dell'attributo nella popolazione oggetto di studio: R= Xmax - Xmin. Questo indicatore dà solo un'idea più generale della variabilità della caratteristica studiata, poiché mostra la differenza solo tra i valori massimi delle opzioni. È completamente estraneo alle frequenze della serie di variazioni, cioè alla natura della distribuzione, e la sua dipendenza può conferirgli un carattere instabile e casuale solo dai valori estremi della caratteristica. L'intervallo di variazione non fornisce alcuna informazione sulle caratteristiche delle popolazioni oggetto di studio e non consente di valutare il grado di tipicità dei valori medi ottenuti. L’ambito di applicazione di questo indicatore è limitato a popolazioni abbastanza omogenee; più precisamente, caratterizza la variazione di una caratteristica, indicatore basato sulla presa in considerazione della variabilità di tutti i valori della caratteristica.

Per caratterizzare la variazione di una caratteristica, è necessario generalizzare le deviazioni di tutti i valori da qualsiasi valore tipico della popolazione studiata. Tali indicatori

le variazioni, come la deviazione lineare media, la dispersione e la deviazione standard, si basano sulla considerazione delle deviazioni dei valori caratteristici delle singole unità della popolazione dalla media aritmetica.

Deviazione lineare media rappresenta la media aritmetica dei valori assoluti delle deviazioni delle singole opzioni dalla loro media aritmetica:

Il valore assoluto (modulo) della deviazione della variante dalla media aritmetica; F- frequenza.

La prima formula viene applicata se ciascuna delle opzioni si verifica in totale solo una volta e la seconda in serie con frequenze disuguali.

Esiste un altro modo per calcolare la media delle deviazioni delle opzioni dalla media aritmetica. Questo metodo molto comune in statistica si riduce al calcolo degli scostamenti quadratici delle opzioni dal valore medio con la successiva media. In questo caso, otteniamo un nuovo indicatore di variazione: dispersione.

Dispersione(σ 2) - la media delle deviazioni quadrate delle opzioni del valore dell'attributo dal loro valore medio:

La seconda formula viene applicata se le opzioni hanno pesi propri (o frequenze delle serie di variazioni).

Nell'analisi economica e statistica, è consuetudine valutare la variazione di una caratteristica molto spesso utilizzando la deviazione standard. Deviazione standard(σ) è la radice quadrata della varianza:

Le deviazioni lineari e standard medie mostrano quanto il valore di una caratteristica fluttua in media tra le unità della popolazione studiata e sono espresse nelle stesse unità di misura delle opzioni.

Nella pratica statistica, spesso è necessario confrontare la variazione di caratteristiche diverse. Ad esempio, è di grande interesse confrontare le variazioni nell'età del personale e nelle sue qualifiche, anzianità di servizio e salari, ecc. Per tali confronti, gli indicatori di variabilità assoluta delle caratteristiche - media lineare e deviazione standard - non sono adatti. È infatti impossibile paragonare la fluttuazione dell'anzianità di servizio, espressa in anni, con la fluttuazione dei salari, espressa in rubli e copeche.

Quando si confronta la variabilità di varie caratteristiche insieme, è conveniente utilizzare misure relative di variazione. Questi indicatori sono calcolati come rapporto tra indicatori assoluti e media aritmetica (o mediana). Utilizzando l'intervallo di variazione, la deviazione lineare media e la deviazione standard come indicatore assoluto di variazione, si ottengono indicatori relativi di variabilità:

L'indicatore più comunemente utilizzato di variabilità relativa, che caratterizza l'omogeneità della popolazione. La popolazione è considerata omogenea se il coefficiente di variazione non supera il 33% per distribuzioni prossime alla norma.

Per trovare il valore medio in Excel (non importa se si tratta di un valore numerico, di testo, percentuale o altro), ci sono molte funzioni. E ognuno di loro ha le sue caratteristiche e vantaggi. In effetti, in questo compito possono essere poste alcune condizioni.

Ad esempio, i valori medi di una serie di numeri in Excel vengono calcolati utilizzando funzioni statistiche. Puoi anche inserire manualmente la tua formula. Consideriamo varie opzioni.

Come trovare la media aritmetica dei numeri?

Per trovare la media aritmetica, devi sommare tutti i numeri dell'insieme e dividere la somma per la quantità. Ad esempio, i voti di uno studente in informatica: 3, 4, 3, 5, 5. Cosa è compreso nel trimestre: 4. Abbiamo trovato la media aritmetica utilizzando la formula: =(3+4+3+5+5) /5.

Come farlo rapidamente utilizzando le funzioni di Excel? Prendiamo ad esempio una serie di numeri casuali in una stringa:

Oppure: crea la cella attiva e inserisci semplicemente la formula manualmente: = MEDIA (A1: A8).

Ora vediamo cos'altro può fare la funzione MEDIA.

Troviamo la media aritmetica dei primi due e degli ultimi tre numeri. Formula: =MEDIA(A1:B1;F1:H1). Risultato:



Condizioni nella media

La condizione per trovare la media aritmetica può essere un criterio numerico o testuale. Utilizzeremo la funzione: =MEDIA.SE().

Trova la media aritmetica dei numeri maggiori o uguali a 10.

Funzione: =MEDIA.SE(A1:A8;">=10")

Il risultato dell'utilizzo della funzione MEDIA.SE nella condizione ">=10":

Il terzo argomento – “Intervallo di media” – viene omesso. Innanzitutto non è obbligatorio. In secondo luogo, l'intervallo analizzato dal programma contiene SOLO valori numerici. Le celle specificate nel primo argomento verranno cercate in base alla condizione specificata nel secondo argomento.

Attenzione! Il criterio di ricerca può essere specificato nella cella. E crea un collegamento ad esso nella formula.

Troviamo il valore medio dei numeri utilizzando il criterio del testo. Ad esempio, le vendite medie dei prodotti “tavoli”.

La funzione sarà simile a questa: =MEDIA.SE($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Gamma: una colonna con i nomi dei prodotti. Il criterio di ricerca è un collegamento ad una cella con la parola “tabelle” (puoi inserire la parola “tabelle” al posto del collegamento A7). Intervallo di media: quelle celle da cui verranno presi i dati per calcolare il valore medio.

Come risultato del calcolo della funzione, otteniamo il seguente valore:

Attenzione! Per un criterio testuale (condizione), è necessario specificare l'intervallo della media.

Come calcolare il prezzo medio ponderato in Excel?

Come abbiamo scoperto il prezzo medio ponderato?

Formula: =SOMMAPRODOTTO(C2:C12;B2:B12)/SOMMA(C2:C12).

Utilizzando la formula SUMPRODOTTO, troviamo le entrate totali dopo aver venduto l'intera quantità di beni. E la funzione SOMMA riassume la quantità di beni. Dividendo i ricavi totali derivanti dalla vendita di beni per il numero totale di unità di beni, abbiamo ottenuto il prezzo medio ponderato. Questo indicatore tiene conto del “peso” di ciascun prezzo. La sua quota nella massa totale dei valori.

Deviazione standard: formula in Excel

Esistono deviazioni standard per la popolazione generale e per il campione. Nel primo caso, questa è la radice della varianza generale. Nel secondo, dalla varianza campionaria.

Per calcolare questo indicatore statistico, viene compilata una formula di dispersione. Da esso si estrae la radice. Ma in Excel esiste una funzione già pronta per trovare la deviazione standard.

La deviazione standard è legata alla scala dei dati di origine. Ciò non è sufficiente per una rappresentazione figurata della variazione dell'intervallo analizzato. Per ottenere il livello relativo di dispersione dei dati, viene calcolato il coefficiente di variazione:

deviazione standard/media aritmetica

La formula in Excel è simile alla seguente:

DEV.ST (intervallo di valori) / MEDIA (intervallo di valori).

Il coefficiente di variazione è calcolato in percentuale. Pertanto, impostiamo il formato percentuale nella cella.