Sviluppo della superficie. Metodi per costruire scansioni. Costruire uno sviluppo conico Concetti generali sullo sviluppo superficiale

Lo sviluppo della superficie di un cono è una figura piana ottenuta unendo la superficie laterale e la base del cono con un determinato piano.

Opzioni per costruire una scansione:

Sviluppo di un cono circolare retto

Lo sviluppo della superficie laterale di un cono circolare retto è un settore circolare, il cui raggio è uguale alla lunghezza della generatrice della superficie conica l, e l'angolo al centro φ è determinato dalla formula φ=360*R/ l, dove R è il raggio del cerchio di base del cono.

In numerosi problemi di geometria descrittiva, la soluzione preferita è quella di approssimare (sostituire) un cono con inscritta una piramide e costruire uno sviluppo approssimato, sul quale conviene tracciare linee giacenti sulla superficie conica.

Algoritmo di costruzione

1. Inseriamo una piramide poligonale in una superficie conica. Quanto più facce laterali ha una piramide inscritta, tanto più precisa è la corrispondenza tra lo sviluppo reale e quello approssimativo.
2. Costruiamo lo sviluppo della superficie laterale della piramide utilizzando il metodo del triangolo. Colleghiamo i punti appartenenti alla base del cono con una curva morbida.

Esempio

Nella figura sottostante, una piramide esagonale regolare SABCDEF è inscritta in un cono circolare retto, e lo sviluppo approssimativo della sua superficie laterale è costituito da sei triangoli isosceli - le facce della piramide.

Considera il triangolo S 0 A 0 B 0 . Le lunghezze dei suoi lati S 0 A 0 e S 0 B 0 sono pari alla generatrice l della superficie conica. Il valore A 0 B 0 corrisponde alla lunghezza A’B’. Per costruire un triangolo S 0 A 0 B 0 in un posto arbitrario nel disegno, lasciamo il segmento S 0 A 0 =l, dopodiché dai punti S 0 e A 0 disegniamo cerchi con raggio S 0 B 0 =l e A 0 B 0 = A'B' rispettivamente. Colleghiamo il punto di intersezione dei cerchi B 0 con i punti A 0 e S 0.

Costruiamo le facce S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 della piramide SABCDEF analogamente al triangolo S 0 A 0 B0.

I punti A, B, C, D, E ed F, che si trovano alla base del cono, sono collegati da una curva morbida - un arco di cerchio, il cui raggio è uguale a l.

Sviluppo del cono inclinato

Consideriamo la procedura per costruire una scansione della superficie laterale di un cono inclinato utilizzando il metodo dell'approssimazione (approssimazione).

Algoritmo

1. Inscriviamo nella circonferenza della base del cono l'esagono 123456. Colleghiamo i punti 1, 2, 3, 4, 5 e 6 con il vertice S. La piramide S123456, così costruita, con un certo grado di approssimazione è sostituisce la superficie conica e viene utilizzato come tale in ulteriori costruzioni.
2. Determiniamo i valori naturali degli spigoli della piramide utilizzando il metodo della rotazione attorno alla linea proiettante: nell'esempio viene utilizzato l'asse i, perpendicolare al piano di proiezione orizzontale e passante per il vertice S.
   Pertanto, a seguito della rotazione del bordo S5, la sua nuova proiezione orizzontale S’5’ 1 assume una posizione parallela al piano frontale π 2. Di conseguenza, S’’5’’ 1 è la dimensione effettiva di S5.
3. Costruiamo una scansione della superficie laterale della piramide S123456, composta da sei triangoli: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . La costruzione di ciascun triangolo viene eseguita su tre lati. Ad esempio, △S 0 1 0 6 0 ha lunghezza S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

La misura in cui lo sviluppo approssimativo corrisponde a quello reale dipende dal numero di facce della piramide inscritta. Il numero di facce viene scelto in base alla facilità di lettura del disegno, ai requisiti per la sua accuratezza, alla presenza di punti e linee caratteristici che devono essere trasferiti allo sviluppo.

Trasferimento di una linea dalla superficie di un cono ad uno sviluppo

La linea n che giace sulla superficie del cono si forma come risultato della sua intersezione con un determinato piano (figura sotto). Consideriamo l'algoritmo per costruire la riga n su una scansione.

Algoritmo

1. Troviamo le proiezioni dei punti A, B e C in cui la linea n interseca gli spigoli della piramide S123456 inscritta nel cono.
2. Determiniamo la dimensione naturale dei segmenti SA, SB, SC ruotando attorno alla retta sporgente. Nell’esempio in esame SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Troviamo la posizione dei punti A 0 , B 0 , C 0 sui corrispondenti spigoli della piramide, tracciando sulla scansione i segmenti S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Colleghiamo i punti A 0 , B 0 , C 0 con una linea morbida.

Sviluppo di un tronco di cono

Il metodo di seguito descritto per costruire lo sviluppo di un tronco di cono circolare retto si basa sul principio di similitudine.

Le dimensioni principali di una transizione a cono rotondo (Fig. 129) sono: diametro D della base inferiore; d-diametro della base superiore; h - l'altezza della transizione e l'angolo di apertura della transizione, formato dall'intersezione delle facce laterali della vista laterale della transizione mentre continuano.

Riso. 129. Sviluppo di coni pieni e troncati

Si presuppone che l'angolo di apertura nelle transizioni sia di 25-35°, a meno che non siano previste indicazioni particolari nei disegni.

Con un angolo di apertura di 25-35° l'altezza di transizione è di circa 2 (D-d).

Le transizioni dalla sezione trasversale rotonda a quella circolare possono avere vertici accessibili e inaccessibili. Nel primo caso, i bordi laterali del tipo di transizione laterale si intersecano all'interno del foglio quando vengono continuati, nel secondo caso - oltre i suoi confini.

La produzione di una transizione da una sezione tonda a una sezione rotonda inizia con la costruzione dello sviluppo e il taglio dei singoli elementi della transizione.

Consideriamo le tecniche per costruire una scansione di transizioni coniche, che sono un tronco di cono.

Un cono completo è il corpo mostrato in Fig. 129,a, con diametro base D e sommità O.

Se fate rotolare un cono su un piano attorno ai vertici O, otterrete una traccia, che sarà lo sviluppo del cono. La lunghezza dell'arco costituente la traccia del cerchio di base del cono di diametro D è pari a D, e il raggio di dimensione R è pari alla lunghezza del lato generatrice del cono 1.

Spiegamento di una transizione in avanti con un vertice accessibile. Se tagliamo il cono parallelamente alla base, otterremo un tronco di cono (Fig. 129, b).

Per disegnare lo sviluppo di un tronco di cono costruiamo la sua vista laterale (ABVG in Fig. 129, c) in base al diametro della base inferiore D = 320 mm, della base superiore d = 145 mm e dell'altezza h = 270 mm dato per questo esempio.

Per costruire una scansione, continuiamo le linee AG e BV finché non si intersecano nel punto O (Fig. 129, c). Se la costruzione viene eseguita correttamente, il punto O deve trovarsi sulla linea centrale.

Posizioniamo un compasso nel punto O e disegniamo due archi: uno passante per il punto A e l'altro passante per il punto D; da un punto arbitrario B 1 sull'arco inferiore tracciamo la circonferenza della base del cono, che si determina moltiplicando il diametro D per 3,14. I punti B 1 e H sono collegati al vertice O. La figura D 1 B 1 HH 1 sarà lo sviluppo di un tronco di cono. Allo sviluppo risultante aggiungiamo i margini per le pieghe, come mostrato in figura.

Il metodo sopra descritto per costruire lo sviluppo di un tronco di cono è possibile a condizione che le generatrici laterali AG e BV, quando estese, si intersechino ad una distanza accessibile dalla base del cono, cioè in corrispondenza di un vertice accessibile del cono.

Sviluppo di una transizione diretta con vertice inaccessibile. Se il diametro del cerchio superiore del cono differisce leggermente dal diametro del cerchio inferiore, le linee rette AG e BV non si intersecheranno all'interno dell'immagine. In questi casi, per disegnare lo sviluppo vengono utilizzate costruzioni approssimative.

Uno dei metodi più semplici per costruire approssimativamente lo sweep di una transizione con una piccola rastremazione è il metodo di L.A. Laptop.

Ad esempio, costruiamo una scansione di transizione con altezza h = 750 mm, diametro della base inferiore D = 570 mm e diametro della base superiore d = 450 mm. Per determinare l'altezza dello sviluppo I disegniamo una vista laterale della transizione secondo le dimensioni indicate, come mostrato in Fig. 130, a. La lunghezza I della generatrice laterale della vista laterale della transizione sarà l'altezza della scansione. La costruzione dello spazzamento di questa transizione secondo il metodo di L. A. Lapshov (Fig. 130, b) viene eseguita come segue.

Riso. 130. Sviluppo di una transizione a sezione trasversale circolare secondo il metodo di L. A. Lapshov

Per prima cosa determiniamo le dimensioni approssimative dello sviluppo, in modo che quando si disegna lo sviluppo sia possibile posizionarlo correttamente sulle lastre di acciaio della copertura in modo da ridurre gli sprechi e risparmiare materiali. Per fare ciò, calcoliamo la larghezza della transizione alle basi inferiore e superiore.

La larghezza dello sviluppo alla base inferiore è 3,14 x P = 3,14 x 570 = 1.790 mm, la larghezza dello sviluppo alla base superiore è 3,14 x d = 3,14 x 450 = 1.413 mm.

Poiché la larghezza dello sviluppo è maggiore della lunghezza del foglio (1.420 mm), e l'altezza è maggiore della larghezza del foglio (710 mm), il disegno della transizione lungo la lunghezza e la larghezza sarà composto da un foglio con estensioni.

La larghezza totale dell'immagine con i margini di piegatura (piega singola di chiusura larga 10 mm e doppia piega intermedia larga 13 mm) sarà pari a 1.790 + 25 + 43 = 1.858 mm.

Per costruire una scansione nella foto disegniamo l'asse O-O ad una distanza di circa 930 mm dal bordo (1.858:2), ad una distanza di 20 mm dal bordo inferiore del foglio trascuriamo l'altezza del scansione, la cui dimensione prendiamo dalla vista laterale e troviamo i punti A e B, come mostrato in Fig. 130, b. I punti A e B saranno i punti estremi dell'asse di scansione di transizione. Dal punto B a sinistra su una linea perpendicolare ad essa, traccia un segmento uguale a 0,2 (D - d), trova il punto B e collegalo in linea retta con il punto A. Nel nostro esempio, questo segmento è uguale a 0,2 (570 - 450) = 24 mm. Questo valore è una correzione per la precisione delle marcature ed è determinato praticamente: dai punti A e B tracciamo linee perpendicolari a sinistra e mettiamo su di esse i valori 3,14 x d / 8 e 3,14 x D / 8, cioè 1/ 8 della spazzata. Otteniamo i punti 3, 3 1 che colleghiamo con una linea retta. Allo stesso modo costruiamo altre tre volte a sinistra lungo 1/8 della spazzata di transizione e otteniamo la metà della spazzata di sinistra.

Costruiamo le curve che formano gli archi di spazzata superiore e inferiore utilizzando una squadra e un righello, come mostrato in Fig. 130, b.

Alle curve risultanti aggiungiamo la larghezza della flangia alle flange e tagliamo la linea di taglio con le forbici

Quindi pieghiamo la parte tagliata del materiale sul lato destro dello sviluppo secondo la sagoma (ombreggiata in figura) e tagliamo il materiale in eccesso. Allo sviluppo risultante aggiungiamo un margine per la piega di chiusura longitudinale.

Sviluppo di una transizione obliqua di sezione trasversale circolare. Una transizione obliqua è quella in cui i centri delle basi superiore e inferiore giacciono su assi diversi in uno o due piani. La distanza tra questi assi è chiamata offset centrale.

I passaggi obliqui a sezione circolare vengono utilizzati per collegare l'apertura di aspirazione rotonda del ventilatore con condotti dell'aria a sezione rotonda se i loro centri si trovano su assi diversi.

Lo sviluppo di una transizione obliqua di una sezione trasversale circolare, la cui superficie è la superficie laterale di un tronco di cono, viene eseguito dividendo l'intera superficie della transizione obliqua in triangoli ausiliari.

Dobbiamo costruire uno sviluppo di una transizione obliqua con altezza H = 400 mm; diametro della base inferiore D = 600 mm; diametro della base superiore d = 280 mm; spostamento dei centri su un piano / = 300 mm.

Costruiamo una vista laterale della transizione obliqua (Fig. 131, a). Per fare ciò, mettere da parte la linea AB = 600 mm. Dal centro di questa linea - la base inferiore del cono - tracciamo l'asse O 1 -O 1 e tracciamo su di esso l'altezza H = 400 mm. Dal punto superiore dell'altezza H, traccia una linea orizzontale e segna su di essa la dimensione dell'offset a sinistra - 300 mm, trova il centro O - la base superiore. Dal centro O partiamo 140 mm a sinistra e a destra - metà del diametro della base superiore - e troviamo i punti estremi B e D. Colleghiamo i punti A e B, B e D con linee rette e otteniamo un lato vista della transizione obliqua AVGB.

Riso. 131. Sviluppo di una transizione obliqua di sezione circolare con spostamento dei centri delle basi superiore ed inferiore nello stesso piano

Per costruire uno sviluppo della metà della transizione, dividiamo la sua superficie in una serie di triangoli ausiliari.

Per fare ciò, dividiamo i semicerchi grandi e piccoli, ciascuno in 6 parti uguali, e i punti di divisione del semicerchio piccolo sono designati dai numeri 1", 3", 5", 7", 9", 11" e 13" , e i punti di divisione del semicerchio grande con i numeri 1 ", 3", 5", 7", 9", 11" e 13",

Collegando i punti 1"-1", 1"-3", 3"-3", 3"-5", ecc., otteniamo le linee 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1 , 7 1, 8 1, 9 1, 10 1, 11 1, 12 1 e 13 1, che dividono la superficie laterale di metà della transizione in triangoli ausiliari, su tre lati dei quali ci sono 1"-1", 1" -3" E 3"-1", ecc. - puoi costruire uno sviluppo di questi triangoli.

In questi triangoli le uniche vere dimensioni in pianta sono i lati 1"-3", 3"-5", 1"-3", 3"-5", ecc.

I lati dei triangoli, indicati sulla pianta dalle linee sotto i numeri 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, ecc., non sono vere quantità, e quindi sono rappresentati sulla pianta in forma abbreviata (proiezioni).

I veri valori di questi lati saranno l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, in cui una gamba è uguale all'altezza di transizione H e l'altra gamba è uguale alle dimensioni delle linee 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, ecc. (Fig. 131, e).

Per determinare i veri valori di queste linee, costruiamo una serie di triangoli rettangoli con le gambe a-b uguali a H e le gambe b - 1 1, b - 2 1, b - 3 1, b - 4 1, ecc. ., pari alle linee 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, ecc. In questi triangoli (Fig. 131, c) troviamo le lunghezze delle ipotenuse 1, 2, 3, 4, ecc.

Per non oscurare la costruzione, le dimensioni delle linee con numeri dispari 1 1, 3 1, 5 1, ecc. sono poste su un lato della gamba b-a, e con numeri pari 2 1, 4 1, ecc. - sull'altro l'altra gamba laterale b-a.

Costruiamo lo sviluppo della metà della transizione obliqua come segue (Fig. 131, d).

Disegniamo la linea centrale O-O e su di essa stendiamo una linea 1"-1", uguale all'ipotenusa 1. Dal punto 1" con raggio pari a 1"-3", tracciamo una tacca con un compasso, e dal punto 1" con un raggio pari all'ipotenusa 2, tracciamo un'altra tacca nel compasso e troviamo il punto 3". Il triangolo 1" 1" 3" sarà il primo triangolo della scansione. Allo stesso modo, ad esso è attaccato un secondo triangolo lungo i lati 1"-3" e l'ipotenusa 3. I restanti triangoli sono costruiti allo stesso modo. I punti risultanti 1", 3", 5", ecc., così come i punti 1", 3", 5", ecc., sono collegati da curve morbide, come mostrato nella figura.

Al contorno risultante dello sviluppo della metà della transizione obliqua vengono aggiunti margini per pieghe e flange.

Utilizzando questo motivo, viene ritagliata la seconda metà simmetrica del motivo.

Sviluppo di una transizione obliqua con spostamento dei centri delle basi superiore e inferiore su due piani. Supponiamo di dover costruire la scansione di una transizione obliqua avente un centro offset nel piano orizzontale e = 300 mm ed un centro offset nel piano verticale e 1 = 150 mm; diametro della base inferiore D = 700 mm; diametro della base superiore d = 400 mm; altezza H = 400 mm.

Costruiamo una vista laterale, come descritto sopra (Fig. 132, a).

Riso. 132. Vista laterale e pianta di una transizione obliqua di una sezione trasversale circolare con centri sfalsati delle basi superiore ed inferiore su due piani

Per costruire un piano (Fig. 132, b) procediamo come segue.

Costruiamo un rettangolo con un lato orizzontale pari a 300 mm (spostamento e) e un lato verticale pari a 150 mm (spostamento e 1). Posizioniamo il lato orizzontale del rettangolo tra gli assi delle basi superiore e inferiore, come mostrato in Fig. 132, b.

I centri delle basi superiore e inferiore della transizione obliqua con uno spostamento su due piani si troveranno ai vertici degli angoli opposti del rettangolo lungo la diagonale. Disegniamo l'asse O-O su questa diagonale e costruiamo su di esso un piano per metà della transizione obliqua. La divisione del piano in triangoli separati e la costruzione dello sviluppo vengono eseguite allo stesso modo di una transizione obliqua con uno spostamento su un piano.

Dopo aver effettuato le transizioni, su di esse vengono posizionate le flange, come indicato sopra.

Scopo della lezione:studio delle proprietà di sviluppo e metodi per costruire sviluppi di poliedri e superfici di rivoluzione

· Sviluppo delle superfici. Concetti generali.

· Metodi di costruzione degli sviluppi: triangolazione, sezione normale e metodi di laminazione.

· Costruzione di sviluppi di superfici sfaccettate e superfici di rivoluzione.

Sviluppo delle superfici. Concetti generali

Scansione

una figura piana ottenuta accostando la superficie di un corpo geometrico con un piano (senza sovrapporre facce o altri elementi superficiali l'uno sull'altro). Lo sviluppo può essere considerato come una pellicola flessibile, inestensibile. Alcune delle superfici presentate in questo modo possono essere combinate con un piano mediante piegatura. Inoltre, se un compartimento di superficie può essere combinato con un piano senza strappi o incollaggi, viene chiamata tale superficie svolgersi, e la figura piatta risultante è la sua spazzare.

Proprietà di scansione di base

1 Le lunghezze delle due linee corrispondenti della superficie e del suo sviluppo sono uguali tra loro; 2 L'angolo formato dalle linee sulla superficie è uguale all'angolo formato dalle linee corrispondenti sullo sviluppo; 3 Ad una retta sulla superficie corrisponde anche una retta sullo sviluppo; 4 A linee parallele sulla superficie corrispondono anche linee parallele sullo sviluppo; 5 Se una linea appartenente ad una superficie e che collega due punti sulla superficie corrisponde ad una linea retta su uno sviluppo, allora questa linea è una geodetica.

Metodi di triangolazione, sezione normale e laminazione

Costruzione di sviluppi di superfici sfaccettate e superfici di rivoluzione

a) Sviluppo della superficie di un poliedro.

Lo sviluppo di una superficie poliedrica è una figura piana ottenuta unendo in sequenza tutte le facce della superficie con il piano.

Poiché tutte le facce di una superficie poliedrica sono rappresentate su uno sviluppo a grandezza naturale, la sua costruzione si riduce alla determinazione della dimensione delle singole facce della superficie: poligoni piatti.

Metodo della triangolazione

Esempio 1. Sviluppo della piramide (Figura 13.1).

Quando si costruisce lo sviluppo di una piramide, viene utilizzato il metodo del triangolo. Lo sviluppo della superficie laterale della piramide è una figura piatta composta da triangoli - le facce della piramide e da un poligono - la base. Pertanto, costruire lo sviluppo di una piramide si riduce a determinare la dimensione naturale della base e delle facce della piramide. Le facce della piramide possono essere costruite utilizzando i tre lati dei triangoli che le compongono.

Figura 13.1. La piramide e il suo sviluppo

Per fare ciò è necessario conoscere la dimensione effettiva delle nervature e dei lati della base. L’algoritmo di costruzione può essere formulato come segue (Figura 13.2):

Figura 13.2. Determinazione del vero valore

base e spigoli della piramide

I punti situati all'interno del contorno di scansione si trovano in corrispondenza biunivoca con i punti della superficie del poliedro. Ma ad ogni punto degli spigoli lungo i quali è tagliato il poliedro, corrispondono sullo sviluppo due punti appartenenti al contorno dello sviluppo. Un esempio del primo punto nelle figure è il punto A 0 E A Î TRISTE , e il secondo caso è illustrato dai punti M 0 E M 0 * . Per determinare un punto A 0 sullo sviluppo è stato necessario ricavare le lunghezze dei segmenti utilizzando le sue proiezioni ortogonali SONO (metodo di sostituzione dei piani di proiezione) e SK (metodo di rotazione). Questi segmenti sono stati poi utilizzati per costruire, innanzitutto, una linea retta sullo sviluppo S 0 M 0 e infine i punti A 0 .

Figura 13.3. Costruzione di una spazzata piramidale

Metodo della sezione normale

In generale, un prisma viene scansionato come segue. Trasforma il diagramma in modo che i bordi del prisma diventino paralleli al nuovo piano di proiezione. Quindi le costole vengono proiettate su questo piano a grandezza naturale.

Esempio 2. Sviluppo del prisma (Figura 13.4).

Intersezione di un prisma con un piano ausiliario α , perpendicolarmente ai suoi bordi laterali (metodo della sezione normale), costruisci proiezioni di una figura a sezione normale - un triangolo 1 , 2 , 3 , e quindi determinare il vero valore di questa sezione. Nell'esempio è stato trovato con il metodo della rotazione.

Successivamente costruiamo un segmento 1 0 -1 0 * , pari al perimetro della sezione normale. Attraverso punti 1 0 , 2 0 , 3 0 E 1 0 * tracciare linee rette perpendicolari 1 0 -1 0 * , su cui sono adagiate le corrispondenti sezioni dei bordi laterali del prisma, prelevandole dalla nuova proiezione frontale. Quindi, sulla perpendicolare passante per il punto 1 0 , i segmenti vengono posticipati 1 0 D 0 =1 4 D 4 E 1 0 UN 0 =1 4 UN 4 .. Collegando le estremità dei segmenti rinviati si ottiene uno sviluppo della superficie laterale del prisma. Quindi la base è completata.

Metodo di rotolamento

Esempio 3. Sviluppo di un prisma, un caso speciale quando la base del prisma viene proiettata a grandezza naturale su uno dei piani di proiezione (Figura 13.5).

Lo sviluppo della superficie laterale di tale prisma viene effettuato mediante srotolamento. Questo metodo è il seguente. Innanzitutto, come nell'esempio precedente, i diagrammi vengono trasformati in modo che i bordi laterali del prisma diventino paralleli a uno dei piani di proiezione.

Figura 13.4. Sviluppo di un prisma con il metodo della sezione normale

Figura 13.5. Sviluppo del prisma utilizzando il metodo rolling

La nuova proiezione del prisma viene quindi ruotata attorno al bordo CON 4 F 4 fino al bordo ACDF non diventerà parallelo al piano P 4 .

In questo caso, la posizione della costola CON 4 F 4 rimane invariato e i punti appartenenti al bordo ANNO DOMINI muoversi lungo cerchi, il cui raggio è determinato dalla dimensione naturale dei segmenti AC. E DF (poiché le basi del prisma sono parallele P 1 quindi vengono proiettati su questo piano di proiezione senza distorsioni, cioè R=UN 1 C 1 =D 1 F 1 ), situato su piani perpendicolari al bordo CON 4 F 4 .

Quindi, le traiettorie dei punti UN E D all'aereo P 4 proiettato in linee rette perpendicolari al bordo CON 4 F 4 .

Quando il bordo ACDF diventerà parallelo al piano P 4 , viene proiettato su di esso senza distorsioni, ad es. picchi UN E D sarà lontano dai vertici fissi C E F ad una distanza pari alla dimensione naturale dei segmenti AC. E DF . Quindi, notando le perpendicolari lungo le quali si muovono i punti UN 4 E D 4 arco di raggio R=UN 1 C 1 =D 1 F 1 , è possibile ottenere la posizione desiderata dei punti di scansione UN 0 E D 0 .

Bordo successivo ABDE ruotare attorno al bordo ANNO DOMINI . Sulle perpendicolari lungo le quali si muovono i punti B 4 E E 4 creare serif dai punti UN 0 E D0 arco di raggio R=UN 1 B 1 =D 1 E 1 . Lo sviluppo dell'ultima faccia laterale del prisma è costruito in modo simile.

Il processo di ricerca sequenziale delle facce di un prisma mediante rotazione attorno ai bordi può essere rappresentato come lo srotolamento di un prisma su un piano parallelo P 4 e passando attraverso la costola CON 4 F 4 .

Costruire un punto su uno sweep A , appartenente alla faccia laterale ABDE, chiaro dalla foto. In precedenza, attraverso questo punto lungo il bordo veniva tracciata una linea retta NM , parallelamente ai bordi laterali, su cui viene poi realizzato lo sviluppo.

b) Sviluppo di una superficie cilindrica.

Lo sviluppo di una superficie cilindrica si effettua in modo simile allo sviluppo di un prisma. Un prisma n-gonale viene prima inserito in un dato cilindro (Figura 13.6). Maggiore è il numero di angoli nel prisma, più accurata sarà la scansione (con n→ il prisma si trasforma in un cilindro).

V ) Sviluppo di una superficie conica

Lo sviluppo di una superficie conica viene effettuato in modo simile allo sviluppo di una piramide, previa inscrizione nel cono di una piramide n-gonale (Figura 13.6).

Data la superficie di un cono rettilineo, allora lo sviluppo della sua superficie laterale rappresenta un settore circolare, il cui raggio è uguale alla lunghezza della generatrice della superficie conica l e l'angolo al centro φ =360 o R/l , Dove R – raggio del cerchio della base del cono.

Figura 13.6. Sviluppo di una superficie cilindrica

Figura 13.7. Sviluppo di una superficie conica

Domande di controllo

1 Come si chiama uno sviluppo superficiale?

2 Quali superfici sono chiamate sviluppabili e quali sono chiamate non sviluppabili?

3 Specificare le proprietà di base delle estrusioni

4 Indicare la sequenza delle costruzioni grafiche degli sviluppi delle superfici di un cono e di un cilindro.

5 Quali metodi di costruzione degli sviluppi dei poliedri conosci?

Uno sviluppo è una figura ottenuta combinando una superficie con un piano. Naturalmente non è possibile combinare una superficie chiusa con un piano privo di discontinuità. La superficie viene prima tagliata lungo determinate linee e poi allineata al piano. La costruzione di sviluppi superficiali è di grande interesse pratico nella progettazione di varie strutture e prodotti realizzati con materiale in fogli. Lo sviluppo memorizza le lunghezze delle linee stese sulla superficie, i valori degli angoli tra le linee e le aree delle figure formate da linee chiuse. Per costruire uno sviluppo di superficie è necessario conoscere la legge di trasformazione delle linee guida superficiali in linee sul piano di sviluppo e la legge di distribuzione delle rette corrispondenti alle generatrici della superficie. La legge per convertire una superficie in uno sviluppo può essere specificata sia mediante dipendenze analitiche che mediante un algoritmo grafico.

Già nei primissimi lavori di geometria descrittiva erano ben sviluppati algoritmi per costruire sviluppi precisi di un cilindro, di un cono e del tronco di un elicoide (una superficie elicoidale aperta). Per sviluppo superficiale si intende l'allineamento di una parte (compartimento) di una superficie con un piano. Parte del cilindro viene tagliata da una delle generatrici e allineata al piano. Lo sviluppo della superficie laterale di un cilindro circolare retto è rappresentato come un rettangolo con un'altezza l e lunghezza πd, Dove l– lunghezza della generatrice della superficie cilindrica, D– diametro della base del cilindro (Fig. 5.19).

Riso. 5.19. Sviluppo di un cilindro circolare retto

Oltre alle linee rette di flessione e torsione, su uno sviluppo si possono tracciare molte altre linee rette, che corrispondono a linee geodetiche sulla superficie che determinano le distanze più brevi tra i punti sulla superficie. Su una superficie cilindrica e conica, la linea geodetica è un'elica.

Lo sviluppo di un cono circolare retto è un settore di cerchio con raggio l e angolo φ , uguale a o 2π∙cosβ, Dove l– lunghezza della generatrice, D– diametro della base del cono (Fig. 5.20). Il cono e il cilindro sono considerati come un caso speciale di superficie con un bordo di ritorno, quando il bordo di ritorno degenera in un punto finito e infinitamente distante. Anche la superficie conica ha due piani che giacciono sui lati opposti della sommità del cono.

Riso. 5.20. Sviluppo di un cono circolare retto

Nella fig. 5. 21 mostra un esempio di costruzione di uno sviluppo di un piano di un elicoide limitato da un bordo di ritorno (helis - linea elicoidale cilindrica di diametro D), piani orizzontali con una distanza tra uguali H(altezza H). La superficie viene tagliata lungo il bordo di ritorno e una delle generatrici e allineata al piano. L'elica sullo sviluppo viene trasformata in un arco circolare con raggio ρ e angolo φ . La lunghezza dell'arco circolare è uguale alla lunghezza dell'elica ( L=πd/cosβ). Valore del raggio ρ determiniamo dall'uguaglianza 2 π ρ φ/360°= π d/ cosβ. Dove ρ = d 180°/ cosβ∙φ. Le generatrici dell'elicoide sono parallele alle generatrici del cono di guida, quindi la somma degli angoli tra le generatrici dell'elicoide è uguale alla somma degli angoli tra le guide del cono ( φ = 2π∙cosβ). Se invece φ sostituisci il suo valore, otteniamo ρ = d/2cosβ2.

Una superficie con bordo di ritorno ha due pavimenti che giacciono su lati diversi rispetto ai punti di contatto. Se il bordo di ritorno è una linea curva piatta, la superficie diventa piana.

Sulle superfici rigate di tipo generale si possono distinguere linee di compressione (la gola di un iperboloide a foglio singolo, la linea di restringimento di un piano obliquo, le linee di restrizione di un cilindroide, ecc.), in cui si intersecano superfici generatrici vicine. Le linee di compressione sono un analogo del bordo di ritorno, con l'unica differenza che i generatori non toccano la linea di compressione, ma la intersecano con una certa angolazione. Superfici cilindriche, coniche e di ritorno possono essere ottenute dal piano di sviluppo utilizzando la deformazione a flessione. Le superfici rigate di forma generale sono ottenute dal piano di sviluppo mediante deformazioni torsionali e flessionali. Notiamo inoltre che è possibile ottenere una superficie dal piano di sviluppo sfruttando la flessione solo teoricamente, ma nella pratica la presenza di deformazioni di compressione e tensione è inevitabile, poiché non esistono prodotti privi di spessore.

Riso. 5. 21. Sviluppo di un elicoide evolvente (aperto).

Sviluppo della superficie di un compartimento elicoidale rettilineo chiuso con gradino N e il diametro dell'elica cilindrica Dè un anello incompleto (Fig. 5.22). Il passo della superficie elicoidale si sviluppa nella lunghezza di un arco di cerchio di diametro d1, Poi, Í = π d 1 ∙ φ/360°. Determiniamo l'angolo φ dalla dipendenza ottenuta: φ = N ∙360°/π d 1.La linea elicoidale si sviluppa nella lunghezza di un arco di cerchio di diametro D. Poi, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = d + d 1. Sostituiamo il valore D nell'espressione precedente: L = πd/cosβ = π(d + d 1) ∙ φ/360°. Determiniamo l'angolo φ , φ = πd360°/cosβ(d + d 1). Misura del diametro d1 può essere determinato da un confronto di formule per determinare l'angolo φ : d 1 = Íd cosβ/(π 2 d – Ícosβ) O d 1 = d sinβ/(π –sinβ).

Riso. 5.22. Sviluppo di un elicoide rettilineo chiuso

Sviluppo della superficie di un compartimento di un elicoide anulare chiuso a gradino N e i diametri delle linee elicoidali cilindriche interne ed esterne D E D Anche ׳ è un anello incompleto (vedi Fig. 5.22). L'elica interna si sviluppa nella lunghezza di un arco di cerchio con un diametro D'.Poi, l׳ = πd/cosβ = πd׳ ∙φ/360°. Determiniamo l'angolo φ , φ = d360°/cosβ d׳. L'elica esterna si sviluppa nella lunghezza di un arco di cerchio con un diametro D. Poi, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = (d-d׳ ) + d1. Sostituiamo il valore D nell'espressione precedente: L = πd/cosβ = π(d – d׳ + d1) ∙ φ/360°. Determiniamo l'angolo φ , φ = d360°/cosβ(d – d׳ + d1).

Lo sviluppo della superficie di un compartimento di un elicoide chiuso obliquo è un anello ritorto; le superfici formanti sullo sviluppo toccano un cerchio di un certo raggio. Anche lo sviluppo della superficie di un compartimento di un iperboloide di rivoluzione a foglio singolo è un anello ritorto, le superfici formanti sullo sviluppo toccano un cerchio di un certo raggio. La gola della superficie si dispiega nell'arco circolare dell'arco circolare interno, e la base dell'iperboloide a foglio singolo si dispiega nell'arco circolare dell'arco circolare esterno. Per costruire uno sviluppo di una superficie rigata è necessario conoscere la legge di trasformazione delle linee guida della superficie in linee sul piano di sviluppo e la legge di distribuzione delle rette corrispondenti alle generatrici della superficie. La legge per convertire una superficie in uno sviluppo può essere specificata sia mediante dipendenze analitiche che mediante un algoritmo grafico. Per un piano di una parte limitata della superficie si realizza uno sviluppo di superficie rigata. La suddivisione della superficie in solai avviene lungo la linea di compressione.

Se lo schema di transizione dalla superficie allo sviluppo non è noto, viene costruito uno sviluppo approssimativo. Per fare ciò si sostituisce la superficie con una superficie poliedrica inscritta o circoscritta e se ne costruisce lo sviluppo. Se la superficie è divisa in tanti triangoli, il metodo si chiama triangolazione. La costruzione di uno sviluppo è associata alla determinazione della dimensione naturale di ciascuna faccia. I problemi metrici discussi nelle lezioni precedenti sono parte integrante della costruzione di uno sviluppo. La costruzione di spazzate è un compito metrico complesso in cui è importante organizzare razionalmente le costruzioni grafiche per ottenere precisione e velocità di costruzione.

Per un cilindro tronco e un cono, così come per le superfici cilindriche e coniche inclinate e altre superfici, si costruiscono sviluppi approssimati, poiché le problematiche costruttive degli sviluppi non sono state sufficientemente studiate: è necessario stabilire un rapporto di proiezione geometrica tra superfici e i loro sviluppi.

Consideriamo un esempio di costruzione di uno sviluppo di un prisma utilizzando il metodo della laminazione e quello della sezione normale. Tagliamo il prisma lungo il bordo aa׳ e ne ruoteremo le facce attorno ai bordi finché non si allineeranno con il piano frontale passante per il bordo aa׳. Punti IN, IN ׳ , CON E CON Quando ruotano, si muovono su piani perpendicolari alle nervature (Fig. 5.23). Dal punto Un 2 traccia un arco di raggio A1B1 all'intersezione con la perpendicolare da ALLE 2 A A2A2׳ e otteniamo V o. Otteniamo i punti rimanenti allo stesso modo. Attacchiamo le basi inferiore e superiore e otteniamo uno sviluppo completo del prisma. Tagliamo il prisma con una pialla α , perpendicolari alle nervature, e determinano la dimensione naturale della sezione A"B"C" ׳ , ad esempio, combinandolo con π1. Una sezione normale si sviluppa in una linea retta A o B o C o.

C2 ׳

Riso. 5.23. Sviluppo di un prisma inclinato

In pratica, gli sviluppi vengono costruiti anche per superfici non rigate e non espandibili; a questo scopo vengono approssimati da superfici sviluppabili (vengono divise in parti, che vengono sostituite da piani o superfici sviluppabili, cioè più superfici cilindriche, coniche o altro) le superfici sono inscritte o descritte attorno ad esse), e poi vengono costruite delle espansioni per esse. Lo sviluppo che ne risulta dell'intera superficie è condizionato, poiché è costituita da tante singole figure piane; per ottenere una superficie, queste devono essere incollate tra loro e le singole sezioni devono essere sottoposte a compressione e tensione. Maggiore è il numero delle partizioni, più piccoli saranno i pezzi in cui si scompone la superficie. Questa è la differenza fondamentale tra spazzate condizionali e approssimative.