Matematico Yakov Perelman: contributo alla scienza. Famoso matematico russo Grigory Perelman

Il Clay Mathematics Institute ha assegnato a Grigory Perelman il Premio del Millennio, riconoscendo così ufficialmente la dimostrazione della congettura di Poincaré del matematico russo. È interessante notare che allo stesso tempo l'istituto ha dovuto violare le proprie regole: secondo loro, solo un autore che ha pubblicato i suoi lavori su riviste peer-reviewed può pretendere di ricevere circa un milione di dollari, questa è la dimensione del premio. Il lavoro di Grigory Perelman non ha mai visto formalmente la luce: è rimasto un insieme di diversi preprint sul sito web arXiv.org (uno, due e tre). Tuttavia, non è così importante ciò che ha causato la decisione dell'istituto: l'assegnazione del Premio del Millennio pone fine a una storia lunga più di 100 anni.

Una tazza, una ciambella e un po' di topologia

Prima di scoprire cos'è la congettura di Poincaré, è necessario capire che tipo di branca della matematica - la topologia - a cui appartiene proprio questa ipotesi. La topologia molteplice si occupa delle proprietà delle superfici che non cambiano sotto determinate deformazioni. Spieghiamo con un classico esempio. Supponiamo che il lettore abbia davanti a sé una ciambella e una tazza vuota. Dal punto di vista della geometria e del buon senso si tratta di oggetti diversi, se non altro perché non potrai bere il caffè da una ciambella anche se lo desideri.

Tuttavia, un topologo dirà che una tazza e una ciambella sono la stessa cosa. E lo spiegherà così: immaginiamo che la tazza e la ciambella siano superfici cave fatte di un materiale molto elastico (un matematico direbbe che esiste una coppia di varietà bidimensionali compatte). Conduciamo un esperimento speculativo: prima gonfiamo il fondo della tazza, poi il suo manico, dopodiché si trasformerà in un toro (questo è il nome matematico della forma di una ciambella). Puoi vedere come appare questo processo.

Naturalmente, il lettore curioso ha una domanda: poiché le superfici possono essere spiegazzate, come si possono distinguere? Dopotutto, ad esempio, è intuitivamente chiaro: non importa quanto sia grande il toro, non è possibile ricavarne una sfera senza rotture e incollaggi. È qui che entrano in gioco i cosiddetti invarianti - caratteristiche di una superficie che non cambiano durante la deformazione - concetto necessario per la formulazione dell'ipotesi di Poincaré.

Il buon senso ci dice che la differenza tra un toro e una sfera è un buco. Tuttavia, un buco è ben lungi dall’essere un concetto matematico, quindi deve essere formalizzato. Si fa in questo modo: immaginiamo che sulla superficie abbiamo un filo elastico molto sottile che forma un cappio (in questo esperimento speculativo, a differenza del precedente, consideriamo solida la superficie stessa). Sposteremo l'anello senza sollevarlo dalla superficie o strapparlo. Se il filo può essere tirato fino a formare un cerchio molto piccolo (quasi un punto), allora si dice che l'anello è contraibile. Altrimenti il ​​ciclo si dice non contrattabile.

Il gruppo fondamentale di un toro è indicato con n 1 (T 2). Poiché non è banale, le braccia del topo formano un anello non contraibile. La tristezza sul volto dell'animale è il risultato della realizzazione di questo fatto.

Quindi, è facile vedere che su una sfera qualsiasi anello è contraibile (puoi vedere come appare), ma per un toro questo non è più vero: su una ciambella ci sono due anelli: uno è infilato nel foro, e l'altro gira attorno al foro “lungo il perimetro”, - che non può essere sfilato. In questa immagine, esempi di anelli non estensibili sono mostrati rispettivamente in rosso e viola. Quando ci sono dei loop in superficie, i matematici dicono che “il gruppo fondamentale della varietà non è banale”, e se non ci sono tali loop, allora è banale.

Ora, per formulare onestamente la congettura di Poincaré, il lettore curioso deve pazientare ancora un po': dobbiamo capire cos'è una varietà tridimensionale in generale e una sfera tridimensionale in particolare.

Torniamo per un secondo alle superfici di cui abbiamo parlato sopra. Ognuno di essi può essere tagliato in pezzi così piccoli che ognuno assomiglierà quasi al pezzo di un aereo. Poiché il piano ha solo due dimensioni, dicono che la varietà è bidimensionale. Una varietà tridimensionale è una superficie che può essere tagliata in piccoli pezzi, ognuno dei quali è molto simile a un pezzo di spazio tridimensionale ordinario.

Il “carattere” principale dell’ipotesi è la sfera tridimensionale. Probabilmente è ancora impossibile immaginare una sfera tridimensionale come un analogo di una sfera ordinaria nello spazio quadridimensionale senza perdere la testa. Tuttavia, è abbastanza facile descrivere questo oggetto, per così dire, “in parti”. Chiunque abbia visto un globo sa che una sfera ordinaria può essere incollata insieme dagli emisferi settentrionale e meridionale lungo l'equatore. Quindi, una sfera tridimensionale è incollata insieme da due sfere (nord e sud) lungo una sfera, che è un analogo dell'equatore.

Sulle varietà tridimensionali possiamo considerare gli stessi cicli che abbiamo preso sulle superfici ordinarie. Quindi, la congettura di Poincaré afferma: “Se il gruppo fondamentale di una varietà tridimensionale è banale, allora è omeomorfo a una sfera”. La frase incomprensibile “omeomorfo a una sfera” tradotta in linguaggio informale significa che la superficie può essere deformata in una sfera.

Un po' di storia

In generale, in matematica è possibile formulare un gran numero di affermazioni complesse. Ma cosa rende grande questa o quella ipotesi, la distingue dal resto? Stranamente, la grande ipotesi si distingue per un gran numero di dimostrazioni errate, ognuna delle quali contiene un grande errore, un'inesattezza che spesso porta alla nascita di un ramo completamente nuovo della matematica.

Quindi, inizialmente Henri Poincaré, che si distingueva, tra le altre cose, per la sua capacità di commettere errori brillanti, formulò l'ipotesi in una forma leggermente diversa da quella che abbiamo scritto sopra. Qualche tempo dopo fornì un controesempio alla sua affermazione, che divenne nota come la 3-sfera omologa di Poincaré, e nel 1904 formulò l'ipotesi nella sua forma moderna. La sfera, tra l'altro, è stata recentemente utilizzata dagli scienziati in astrofisica: si è scoperto che l'Universo potrebbe rivelarsi una 3-sfera di Poincaré omologa.

Va detto che l'ipotesi non ha suscitato molto entusiasmo tra i colleghi geometri. Questo fu il caso fino al 1934, quando il matematico britannico John Henry Whitehead presentò la sua versione della dimostrazione dell'ipotesi. Ben presto, però, egli stesso trovò un errore nel suo ragionamento, che in seguito portò all'emergere dell'intera teoria delle varietà Whitehead.

Successivamente, l'ipotesi acquisì gradualmente la reputazione di un compito estremamente difficile. Molti grandi matematici hanno cercato di prenderlo d’assalto. Ad esempio, l'americano Er Ash Bing (R.H.Bing), un matematico, che (in modo assolutamente ufficiale) aveva scritte nei suoi documenti le iniziali al posto del suo nome. Ha fatto diversi tentativi infruttuosi per dimostrare l'ipotesi, formulando la propria affermazione durante questo processo - la cosiddetta "congettura della proprietà P" (congettura della proprietà P). È interessante notare che questa affermazione, considerata da Bing intermedia, si è rivelata quasi più difficile della dimostrazione della stessa congettura di Poincaré.

Tra gli scienziati c'erano anche persone che hanno dato la vita per dimostrare questo fatto matematico. Ad esempio, il famoso matematico di origine greca Christos Papakiriakopoulos. Per più di dieci anni, mentre lavorava a Princeton, tentò senza successo di dimostrare l'ipotesi. Morì di cancro nel 1976.

È interessante notare che la generalizzazione della congettura di Poincaré a varietà di dimensioni superiori a tre si è rivelata notevolmente più semplice dell'originale: le dimensioni extra hanno reso più facile la manipolazione delle varietà. Pertanto, per varietà n-dimensionali (per n almeno 5), la congettura fu dimostrata da Stephen Smale nel 1961. Per n = 4, la congettura è stata dimostrata utilizzando un metodo completamente diverso da quello di Smail nel 1982 da Michael Friedman. Per la sua dimostrazione, quest'ultimo ricevette la Medaglia Fields, il massimo riconoscimento per i matematici.

I lavori descritti non sono un elenco completo di tentativi di risolvere un'ipotesi più che secolare. E sebbene ciascuno dei lavori abbia portato all'emergere di un'intera direzione in matematica e possa essere considerato di successo e significativo in questo senso, solo il russo Grigory Perelman è riuscito finalmente a dimostrare la congettura di Poincaré.

Perelman e la prova

Nel 1992, Grigory Perelman, allora dipendente dell'Istituto di Matematica che porta il nome. Steklov, ha assistito a una conferenza di Richard Hamilton. Il matematico americano ha parlato dei flussi di Ricci - un nuovo strumento per studiare la congettura di geometrizzazione di Thurston - fatto da cui è derivata come semplice conseguenza la congettura di Poincaré. Questi flussi, in qualche modo analoghi alle equazioni del trasferimento di calore, hanno causato la deformazione delle superfici nel tempo più o meno allo stesso modo in cui abbiamo deformato le superfici bidimensionali all'inizio di questo articolo. Si è scoperto che in alcuni casi il risultato di tale deformazione era un oggetto la cui struttura era facile da comprendere. La difficoltà principale era che durante la deformazione si formarono caratteristiche con curvatura infinita, analoghe in un certo senso ai buchi neri in astrofisica.

Dopo la conferenza, Perelman si avvicinò a Hamilton. In seguito disse che Richard lo sorprese piacevolmente: "Sorrise ed era molto paziente. Mi raccontò anche diversi fatti che furono pubblicati solo pochi anni dopo. Lo fece senza esitazione. La sua apertura e gentilezza mi stupirono. Non posso dire basta." che la maggior parte dei matematici moderni si comporti in questo modo."

Dopo un viaggio negli Stati Uniti, Perelman tornò in Russia, dove iniziò a lavorare per risolvere il problema delle singolarità dei flussi di Ricci e per dimostrare segretamente a tutti l'ipotesi di geometrizzazione (e non la congettura di Poincaré). Non sorprende che la comparsa del primo preprint di Perelman l’11 novembre 2002 abbia scioccato la comunità matematica. Dopo un po 'apparvero un altro paio di lavori.

Dopodiché Perelman si ritirò dalla discussione delle dimostrazioni e, a quanto pare, smise addirittura di dedicarsi alla matematica. Non ha interrotto il suo stile di vita appartato nemmeno nel 2006, quando gli è stata assegnata la Medaglia Fields, il premio più prestigioso per i matematici. Non ha senso discutere le ragioni di questo comportamento dell'autore: un genio ha il diritto di comportarsi in modo strano (ad esempio, mentre in America Perelman non si tagliava le unghie, permettendo loro di crescere liberamente).

Comunque sia, la dimostrazione di Perelman assunse una vita separata da essa: tre preprint perseguitavano i matematici moderni. I primi risultati della verifica delle idee del matematico russo sono apparsi nel 2006: gli eminenti geometri Bruce Kleiner e John Lott dell'Università del Michigan hanno pubblicato una prestampa del proprio lavoro, più simile a un libro in termini di dimensioni - 213 pagine. In questo lavoro, gli scienziati hanno controllato attentamente tutti i calcoli di Perelman, spiegando in dettaglio varie affermazioni che sono state delineate solo brevemente nel lavoro del matematico russo. Il verdetto dei ricercatori è stato chiaro: le prove sono assolutamente corrette.

Una svolta inaspettata in questa storia arrivò nel luglio dello stesso anno. Nel diario Giornale asiatico di matematicaÈ apparso un articolo dei matematici cinesi Xiping Zhu e Huaidong Cao intitolato “Dimostrazione completa della congettura di geometrizzazione di Thurston e della congettura di Poincaré”. Nell'ambito di questo lavoro, i risultati di Perelman sono stati considerati importanti, utili, ma esclusivamente intermedi. Questo lavoro ha sorpreso gli specialisti in Occidente, ma ha ricevuto recensioni molto favorevoli in Oriente. In particolare, i risultati furono supportati da Shintan Yau, uno dei fondatori della teoria Calabi-Yau, che gettò le basi per la teoria delle stringhe, nonché insegnante di Cao e Ju. Per una felice coincidenza, era Yau il caporedattore della rivista Giornale asiatico di matematica, in cui è stata pubblicata l'opera.

Successivamente, il matematico iniziò a viaggiare per il mondo tenendo conferenze popolari, parlando dei risultati dei matematici cinesi. Di conseguenza, c'era il pericolo che molto presto i risultati di Perelman e persino di Hamilton passassero in secondo piano. Ciò è accaduto più di una volta nella storia della matematica: molti teoremi che portano i nomi di matematici specifici sono stati inventati da persone completamente diverse.

Tuttavia ciò non è avvenuto e probabilmente non accadrà adesso. La consegna del Premio Clay Perelman (anche se rifiutò) consolidò per sempre nella coscienza pubblica un fatto: il matematico russo Grigorij Perelman dimostrò la congettura di Poincaré. E non importa che in realtà abbia dimostrato un fatto più generale, sviluppando lungo il percorso una teoria completamente nuova sulle peculiarità dei flussi di Ricci. Almeno in questo modo. La ricompensa ha trovato l'eroe.

La storia dell'umanità conosce molte persone che, grazie alle loro eccezionali capacità, sono diventate famose. Tuttavia, vale la pena dire che raramente qualcuno di loro è riuscito a diventare una vera leggenda durante la sua vita e a raggiungere la fama non solo sotto forma di inserimento di ritratti nei libri di testo scolastici. Poche celebrità hanno raggiunto un tale livello di fama, come confermato dalle conversazioni sia della comunità scientifica globale che delle nonne sedute sulla panchina all'ingresso.

Ma in Russia esiste una persona simile. E vive nel nostro tempo. Questo è il matematico Grigory Yakovlevich Perelman. Il risultato principale di questo grande scienziato russo è stata la dimostrazione della congettura di Poincaré.

Anche qualsiasi spagnolo comune sa che Grigory Perelman è il matematico più famoso al mondo. Dopotutto, questo scienziato ha rifiutato di ricevere il Premio Fields, che avrebbe dovuto consegnargli lo stesso re di Spagna. E, senza dubbio, solo le persone più grandi sono capaci di questo.

Famiglia

Grigory Perelman è nato il 13 giugno 1966 nella capitale settentrionale della Russia, la città di Leningrado. Il padre del futuro genio era un ingegnere. Nel 1993 lasciò la famiglia ed emigrò in Israele.

La madre di Gregory, Lyubov Leibovna, lavorava come insegnante di matematica in una scuola professionale. Lei, suonando il violino, ha instillato in suo figlio l'amore per la musica classica.

Grigory Perelman non era l'unico figlio della famiglia. Ha una sorella che ha 10 anni meno di lui. Il suo nome è Elena. È anche matematica e si è laureata all'Università di San Pietroburgo (nel 1998). Nel 2003, Elena Perelman ha difeso la sua tesi di dottorato in filosofia presso l'Istituto Reizmann di Rehovot. Dal 2007 vive a Stoccolma, dove lavora come programmatrice.

Anni scolastici

Grigory Perelman, la cui biografia si è sviluppata in modo tale che oggi è il matematico più famoso al mondo, da bambino era un ragazzo ebreo timido e tranquillo. Tuttavia, nonostante ciò, era significativamente superiore ai suoi coetanei in termini di conoscenza. E questo gli ha permesso di comunicare con gli adulti quasi ad armi pari. I suoi coetanei giocavano ancora in cortile e preparavano torte di sabbia, ma Grisha aveva già compreso appieno le basi della scienza matematica. I libri che erano nella biblioteca di famiglia gli permettevano di farlo. All'acquisizione della conoscenza ha contribuito anche la madre del futuro scienziato, semplicemente innamorata di questa scienza esatta. Inoltre, il futuro matematico russo Grigory Perelman era appassionato di storia e giocava eccellenti a scacchi, cosa che suo padre gli aveva insegnato.

Nessuno ha costretto il ragazzo a sedersi sui libri di testo. I genitori di Grigory Perelman non hanno mai tormentato il figlio con insegnamenti morali secondo cui la conoscenza è potere. Ha scoperto il mondo della scienza in modo del tutto naturale e senza alcuna fatica. E questo è stato interamente facilitato dalla famiglia, il cui culto principale non era affatto il denaro, ma la conoscenza. I genitori non hanno mai rimproverato Grisha per un bottone perso o una manica sporca. Tuttavia, era considerato vergognoso, ad esempio, falsificare una melodia al violino.

Il futuro matematico Perelman andò a scuola all'età di sei anni. A questa età era perfettamente informato in tutte le materie. Grisha scriveva, leggeva ed eseguiva facilmente operazioni matematiche utilizzando numeri a tre cifre. E quello era il periodo in cui i suoi compagni di classe stavano appena imparando a contare fino a cento.

A scuola, il futuro matematico Perelman era uno degli studenti più forti. È diventato ripetutamente il vincitore di competizioni matematiche tutta russe. Fino alla nona elementare, il futuro scienziato russo frequentò una scuola superiore situata alla periferia di Leningrado, dove viveva la sua famiglia. Poi si è trasferito alla scuola 239. Aveva un background di fisica e matematica. Inoltre, dalla quinta elementare, Gregory frequentò il centro di matematica aperto presso il Palazzo dei Pionieri. Le lezioni qui sono state condotte sotto la guida di Sergei Rukshin, professore associato presso l'Università pedagogica statale russa. Gli studenti di questo matematico hanno vinto costantemente premi in varie Olimpiadi della matematica.

Nel 1982, Grigory, come parte di una squadra di scolari sovietici, difese l'onore del paese alle Olimpiadi internazionali della matematica, tenutesi in Ungheria. I nostri ragazzi hanno poi preso il primo posto. E Perelman, che ha ottenuto il numero massimo di punti possibili, ha ricevuto una medaglia d'oro per aver completato in modo impeccabile tutti i compiti proposti alle Olimpiadi. Oggi possiamo dire che questo è stato l'ultimo premio che ha accettato per il suo lavoro.

Sembrerebbe che Gregory, uno studente eccellente in tutte le materie, senza alcun dubbio avrebbe dovuto diplomarsi con una medaglia d'oro. Tuttavia, è stato deluso dall'educazione fisica, per la quale non è riuscito a superare lo standard richiesto. L'insegnante di classe doveva semplicemente pregare l'insegnante di dare al ragazzo una B sul suo certificato. Sì, a Grisha non piacevano le attività sportive. Tuttavia, non aveva assolutamente complessi al riguardo. L'educazione fisica semplicemente non lo interessava tanto quanto le altre discipline. Ha sempre detto di essere convinto che il nostro corpo abbia bisogno di allenamento, ma allo stesso tempo ha preferito allenare non le braccia e le gambe, ma il cervello.

Relazioni nella squadra

A scuola, il futuro matematico Perelman era uno dei preferiti. Non solo i suoi insegnanti, ma anche i suoi compagni di classe simpatizzavano con lui. Grisha non era un crammer o un nerd. Non si permetteva di mettere in mostra le conoscenze acquisite, la cui profondità a volte confondeva anche i suoi insegnanti. Era semplicemente un bambino di talento, interessato non solo alla dimostrazione di teoremi complessi, ma anche alla musica classica. Le ragazze apprezzavano il loro compagno di classe per la sua eccentricità e intelligenza, e i ragazzi per il suo carattere forte e calmo. Grisha non solo ha studiato con facilità. Ha anche aiutato i suoi compagni di classe in ritardo a padroneggiare la conoscenza.

In epoca sovietica, a ogni studente povero veniva assegnato uno studente forte che lo aiutava a migliorare in qualche materia. Lo stesso ordine fu dato a Gregorio. Doveva aiutare un compagno di classe che non era assolutamente interessato allo studio. Erano trascorsi meno di due mesi di lezione prima che Grisha trasformasse uno studente povero in uno studente solido. E questo non sorprende. Dopotutto, presentare materiale complesso a un livello accessibile è una delle abilità uniche del famoso matematico russo. In gran parte grazie a questa qualità, il teorema di Poincaré fu successivamente dimostrato da Gregory Perelman.

Anni da studente

Dopo essersi diplomato con successo a scuola, Grigory Perelman divenne studente presso l'Università statale di Leningrado. Senza alcun esame, è stato iscritto alla Facoltà di Matematica e Meccanica di questo istituto di istruzione superiore.

Perelman non ha perso il suo interesse per la matematica durante i suoi anni da studente. È diventato costantemente il vincitore delle Olimpiadi universitarie, cittadine e di tutta l'Unione. Il futuro matematico russo ha studiato con successo come a scuola. Per le sue eccellenti conoscenze gli è stata assegnata la borsa di studio Lenin.

Ulteriore allenamento

Dopo essersi laureato con lode all'università, Grigory Perelman è entrato nella scuola di specializzazione. Il suo supervisore scientifico in quegli anni era il famoso matematico A.D. Aleksandrov.

La scuola di specializzazione era situata presso la filiale di Leningrado dell'Istituto di Matematica da cui prende il nome. V.A. Steklova. Nel 1992, Grigory Yakovlevich ha difeso la sua tesi di dottorato. L'argomento del suo lavoro riguardava le superfici di sella negli spazi euclidei. Successivamente Perelman rimase a lavorare nello stesso istituto, assumendo la posizione di ricercatore senior nel laboratorio di fisica matematica. Durante questo periodo continuò a studiare la teoria dello spazio e fu in grado di dimostrare diverse ipotesi.

Lavorare negli Stati Uniti

Nel 1992, Grigory Perelman è stato invitato alla Stony Brook University e alla New York University. Queste istituzioni educative americane hanno offerto allo scienziato di trascorrere lì un semestre.

Nel 1993, Grigory Yakovlevich continuò a insegnare a Berkeley, conducendo contemporaneamente lavori scientifici lì. Fu in questo periodo che Grigory Perelman si interessò al teorema di Poincaré. Questo era il problema più complesso della matematica moderna che a quel tempo non fosse stato risolto.

Ritorno in Russia

Nel 1996, Grigory Yakovlevich tornò a San Pietroburgo. Ha nuovamente ricevuto una posizione di ricercatore presso l'Istituto. Steklova. Allo stesso tempo, lavorò da solo alla congettura di Poincaré.

Descrizione della teoria

Il problema sorse nel 1904. Fu allora che lo scienziato francese Andry Poincaré, considerato un matematico universalista nei circoli scientifici a causa dello sviluppo di nuovi metodi di meccanica celeste e della creazione della topologia, avanzò una nuova ipotesi matematica. Ha suggerito che lo spazio intorno a noi è una sfera tridimensionale.

È abbastanza difficile descrivere l'essenza dell'ipotesi per l'uomo comune. C'è troppa scienza in questo. Ad esempio, immagina un normale palloncino. Nel circo è possibile ricavarne un'ampia varietà di figure. Questi possono essere cani, conigli e fiori. Allora qual è il risultato? La palla resta la stessa. Non cambia né le sue proprietà fisiche né la composizione molecolare.

Lo stesso vale per questa ipotesi. Il suo argomento riguarda la topologia. Questa è una branca della geometria che studia la diversità degli oggetti spaziali. La topologia esamina vari oggetti esteriormente dissimili tra loro e trova in essi caratteristiche comuni.

Poincaré cercò di dimostrare il fatto che il nostro Universo ha la forma di una sfera. Secondo la sua teoria, tutte le varietà tridimensionali semplicemente connesse hanno la stessa struttura. Sono semplicemente collegati per la presenza di un'unica regione continua del corpo nella quale non sono presenti fori passanti. Potrebbe essere un pezzo di carta e un bicchiere, una corda e una mela. Ma uno scolapasta e una tazza con manico sono oggetti completamente diversi nella loro essenza.

Il concetto di geomorfismo deriva dalla topologia. Comprende il concetto di oggetti geomorfi, cioè quelli in cui uno può essere ottenuto da un altro stirando o comprimendo. Ad esempio, una palla (un pezzo di argilla) da cui un vasaio ricava un normale vaso. E se il prodotto non piace al maestro, può immediatamente trasformarlo di nuovo in una palla. Se il vasaio decide di realizzare una tazza, il manico dovrà essere realizzato separatamente. Crea cioè il suo oggetto in modo diverso, ottenendo non un prodotto solido, ma composito.

Supponiamo che tutti gli oggetti nel nostro mondo siano costituiti da una sostanza elastica, ma allo stesso tempo non appiccicosa. Questo materiale non ci consente di incollare singole parti e sigillare i fori. Può essere usato solo per spremere o spremere. Solo in questo caso si otterrà una nuova modulistica.

Questo è il significato principale della congettura di Poincaré. Dice che se prendi un oggetto tridimensionale che non abbia buchi, allora, quando si eseguono varie manipolazioni, ma senza incollare e tagliare, può assumere la forma di una palla.

Tuttavia, un'ipotesi è solo una versione dichiarata. E questo continua finché non viene trovata una spiegazione esatta. Le ipotesi di Poincaré rimasero tali finché non furono confermate dai calcoli precisi del giovane matematico russo.

Lavorare sul problema

Grigory Perelman trascorse diversi anni della sua vita a dimostrare la congettura di Poincaré. Per tutto questo tempo ha pensato solo al suo lavoro. Era costantemente alla ricerca dei modi e degli approcci giusti per risolvere il problema e si rese conto che la prova era da qualche parte nelle vicinanze. E il matematico non si sbagliava.

Anche durante i suoi anni da studente, al futuro scienziato piaceva spesso ripetere la frase secondo cui non esistono problemi irrisolvibili. Ci sono solo quelli intrattabili. Ha sempre creduto che tutto dipendesse solo dai dati iniziali e dal tempo impiegato nella ricerca di quelli mancanti.

Durante la sua permanenza in America, Grigory Yakovlevich ha spesso partecipato a vari eventi. Perelman era particolarmente interessato alle lezioni tenute dal matematico Richard Hamilton. Questo scienziato cercò anche di dimostrare la congettura di Poincaré. Hamilton sviluppò persino il proprio metodo dei flussi di Ricci, che, piuttosto, non apparteneva alla matematica, ma alla fisica. Tuttavia, tutto ciò interessava moltissimo Grigory Yakovlevich.

Dopo essere tornato in Russia, Perelman si è letteralmente buttato a capofitto nel lavorare sul problema. E dopo un breve periodo di tempo è riuscito a fare progressi significativi in ​​​​questa materia. Si è avvicinato alla soluzione del problema in un modo del tutto non convenzionale. Ha utilizzato i flussi di Ricci come strumento di prova.

Perelman inviò i suoi calcoli al collega americano. Tuttavia, non ha nemmeno provato ad approfondire i calcoli del giovane scienziato e ha rifiutato categoricamente di svolgere un lavoro congiunto.

Naturalmente, i suoi dubbi possono essere facilmente spiegati. Dopotutto, nel fornire le prove, Perelman si basava maggiormente sui postulati disponibili nella fisica teorica. Ha risolto il problema geometrico topologico con l'aiuto delle scienze correlate. A prima vista questo metodo era del tutto incomprensibile. Hamilton non capiva i calcoli ed era scettico riguardo all'inaspettata simbiosi usata come prova.

Ha fatto ciò che per lui era interessante

Per dimostrare il teorema di Poincaré (la formula matematica dell'Universo), Grigory Perelman non apparve nei circoli scientifici per sette lunghi anni. I colleghi non sapevano che tipo di sviluppo stesse facendo o quale fosse il suo campo di studi. Molti non sono riusciti nemmeno a rispondere alla domanda "Dov'è adesso Grigory Perelman?"

Tutto è stato risolto nel novembre 2002. Fu durante questo periodo che il lavoro di 39 pagine di Perelman apparve su una delle risorse scientifiche, dove si potevano conoscere gli ultimi sviluppi e articoli di fisici, in cui venivano fornite prove del teorema di geometrizzazione. La congettura di Poincaré è stata considerata un esempio particolare per spiegare l'essenza dello studio.

Contemporaneamente a questa pubblicazione, Grigory Yakovlevich inviò il lavoro che aveva completato a Richard Hamilton, nonché al matematico Ren Tian dalla Cina, con il quale aveva comunicato a New York. Anche molti altri scienziati, delle cui opinioni Perelman si fidava particolarmente, ricevettero una dimostrazione del teorema.

Perché il lavoro di diversi anni di vita di un matematico è stato pubblicato così facilmente, dal momento che queste prove avrebbero potuto semplicemente essere rubate? Tuttavia, Perelman, che ha completato un lavoro da un milione di dollari, non voleva affatto trarne profitto o enfatizzare la sua unicità. Credeva che se ci fosse stato un errore nelle sue prove, allora un altro scienziato avrebbe potuto prenderlo come base. E già questo gli darebbe soddisfazione.

Sì, Grigory Yakovlevich non è mai stato un nuovo arrivato. Sapeva sempre esattamente cosa voleva dalla vita e su ogni questione aveva la sua opinione, che spesso differiva da quella generalmente accettata.

I soldi non fanno la felicità

Per cosa è famoso Grigory Perelman? Non solo perché ha dimostrato un'ipotesi inclusa nell'elenco dei sette problemi matematici del millennio che non sono stati risolti dagli scienziati. Il fatto è che Grigorij Perelman rifiutò il bonus di un milione di dollari che il Boston Institute of Mathematics era pronto a pagargli. Argilla. E questo non era accompagnato da alcuna spiegazione.

Naturalmente Perelman voleva davvero dimostrare la congettura di Poincaré. Sognava di risolvere un enigma a cui nessuno aveva trovato la soluzione. E qui lo scienziato russo ha mostrato la passione di un ricercatore. Allo stesso tempo, era intrecciato con la sensazione inebriante di realizzarsi come scopritore.

L’interesse di Grigory Yakovlevich per l’ipotesi si è spostato nella categoria delle “cose fatte”. Un vero matematico ha bisogno di un milione di dollari? NO! La cosa principale per lui è la sensazione della propria vittoria. Ed è semplicemente impossibile misurarlo secondo gli standard terreni.

Secondo le regole, il Premio Clay può essere assegnato quando una persona che ha risolto uno o più “Problemi del Millennio” invia il suo articolo scientifico alla redazione della rivista dell’istituto. Qui viene esaminato in dettaglio e controllato attentamente. E solo dopo due anni si potrà emettere un verdetto che confermerà o smentirà la correttezza della decisione.

La verifica dei risultati ottenuti da Perelman è stata effettuata dal 2004 al 2006. Tre gruppi indipendenti di matematici sono stati impegnati in questo lavoro. Tutti giunsero alla conclusione inequivocabile che la congettura di Poincaré era completamente dimostrata.

Il premio è stato assegnato a Grigory Perelman nel marzo 2010. Per la prima volta nella storia, il premio sarebbe stato assegnato per aver risolto uno dei problemi inclusi nell'elenco dei "problemi matematici del millennio". Tuttavia, Perelman semplicemente non è venuto alla conferenza di Parigi. Il 1 luglio 2010 ha annunciato pubblicamente il suo rifiuto del premio.

Naturalmente, per molte persone il gesto di Perelman sembra inspiegabile. L'uomo rinunciò facilmente agli onori e alla gloria, e perse anche l'occasione di trasferirsi in America e vivere lì comodamente per il resto dei suoi giorni. Tuttavia, per Grigory Yakovlevich tutto ciò non ha alcun significato. Proprio come lo erano le lezioni di educazione fisica a scuola.

Reclusione

Oggi Grigory Perelman non ricorda se stesso né con le parole né con i fatti. Dove vive quest'uomo eccezionale? A Leningrado, in uno dei normali grattacieli di Kupchino. Grigory Perelman vive con sua madre. La sua vita personale non ha funzionato. Tuttavia, il matematico non rinuncia alla speranza di mettere su famiglia.

Grigory Yakovlevich non comunica con i giornalisti russi. Mantenne i contatti solo con la stampa estera. Tuttavia, nonostante la solitudine, l'interesse per questa persona non svanisce. Su di lui si scrivono libri. Grigory Perelman è spesso menzionato in articoli e saggi scientifici. Dov'è adesso Grigory Perelman? Ancora nella mia terra natale. Molti credono che sentiranno questo nome più di una volta, e forse in connessione con la soluzione del prossimo “problema del millennio”.

Il teorema di Poincaré è una formula matematica per l'“Universo”. Grigorij Perelman. Parte 1 (dalla serie “Il vero uomo nella scienza”)

Henri Poincaré (1854-1912), uno dei più grandi matematici, formulò la famosa idea di una sfera tridimensionale deformata nel 1904 e, sotto forma di una piccola nota a margine posta alla fine di un libro di 65 pagine articolo dedicato a una questione completamente diversa, scarabocchiava poche righe di un'ipotesi piuttosto strana con le parole: "Ebbene, questa domanda può portarci troppo lontano"...

Marcus Du Sautoy dell'Università di Oxford ritiene che il teorema di Poincaré "è problema centrale della matematica e della fisica, un tentativo di capire quale forma Forse Universo, è molto difficile avvicinarsi a lei.

Una volta alla settimana, Grigory Perelman si recava a Princeton per partecipare a un seminario presso l'Institute for Advanced Study. Al seminario, uno dei matematici dell'Università di Harvard risponde alla domanda di Perelman: “La teoria di William Thurston (1946-2012, matematico, lavora nel campo della “Geometria e topologia tridimensionale”), chiamata ipotesi di geometrizzazione, descrive tutti possibili superfici tridimensionali e rappresenta un passo avanti rispetto alla congettura di Poincaré. Se dimostri l’ipotesi di William Thurston, allora la congettura di Poincaré ti aprirà tutte le sue porte, e inoltre la sua soluzione cambierà l’intero panorama topologico della scienza moderna».

Nel marzo del 2003, sei importanti università americane invitarono Perelman a tenere una serie di conferenze in cui spiegava il suo lavoro. Nell'aprile 2003 Perelman fece un tour scientifico. Le sue lezioni diventano un evento scientifico eccezionale. John Ball (presidente dell'Unione Matematica Internazionale), Andrew Wiles (matematico, lavora nel campo dell'aritmetica delle curve ellittiche, ha dimostrato il teorema di Fermat nel 1994), John Nash (matematico che lavora nel campo della teoria dei giochi e della geometria differenziale) arrivano a ascoltatelo a Princeton.

Grigory Perelman è riuscito a risolvere uno dei sette problemi del millennio E descrivere matematicamente cosiddetto formula dell'universo, dimostrare la congettura di Poincaré. Le menti più brillanti lottano da più di 100 anni con questa ipotesi, per la cui dimostrazione la comunità matematica mondiale (il Clay Mathematical Institute) ha promesso 1 milione di dollari. La sua presentazione è avvenuta l'8 giugno 2010. Grigory Perelman non si è presentato e la comunità matematica mondiale “ha lasciato a bocca aperta”.

Nel 2006, il matematico ha ricevuto il più alto riconoscimento matematico, la Medaglia Fields, per aver risolto la congettura di Poincaré. John Ball ha visitato personalmente San Pietroburgo per convincerlo ad accettare il premio. Si rifiutò di accettarlo con le parole: "È improbabile che la società sia in grado di valutare seriamente il mio lavoro".

“La Medaglia Fields (e la medaglia) viene assegnata una volta ogni 4 anni in ogni congresso internazionale di matematica a giovani scienziati (sotto i 40 anni di età) che hanno dato un contributo significativo allo sviluppo della matematica. Oltre alla medaglia, i destinatari ricevono 15mila dollari canadesi (13.000 dollari).”

Nella sua formulazione originale, la congettura di Poincaré recita come segue: “Ogni varietà tridimensionale compatta semplicemente connessa senza confine è omeomorfa a una sfera tridimensionale”. Tradotto nel linguaggio comune, ciò significa che qualsiasi oggetto tridimensionale, ad esempio un bicchiere, può trasformarsi in una palla per sola deformazione, cioè non avrà bisogno di essere tagliato o incollato insieme. In altre parole, Poincaré lo supponeva lo spazio non è tridimensionale, ma contiene un numero significativamente maggiore di dimensioni e Perelman 100 anni dopo lo ha dimostrato matematicamente.

L'espressione di Grigory Perelman del teorema di Poincaré sulla trasformazione della materia in un altro stato, la forma, è simile alla conoscenza presentata nel libro di Anastasia Novykh “Sensei IV”: “In effetti, questo intero Universo, infinito per noi, occupa uno spazio miliardi di volte più piccolo della punta degli aghi medici più sottili". Ed anche la capacità di controllare l'Universo materiale attraverso trasformazioni introdotte dall'Osservatore dalle dimensioni controllanti superiori alla sesta (da 7 a 72 comprese) (rapporto “FISICA DEL PRIMODIUM ALLATRA” argomento “Reticolo Ezoosmico”).

Grigory Perelman si è distinto per l'ascetismo della sua vita e la severità delle esigenze etiche poste sia a se stesso che agli altri. Guardandolo si ha la sensazione che sia giusto vive corporalmente in generale con tutti gli altri contemporanei spazio, UN Spiritualmente in qualche altro modo, dove anche per $ 1 milione non vanno il più "innocente" compromessi con la coscienza. E che razza di spazio è questo, ed è possibile guardarlo con la coda dell'occhio?...

L'eccezionale importanza dell'ipotesi avanzata circa un secolo fa dal matematico Poincaré riguarda le strutture tridimensionali e costituisce un elemento chiave della ricerca moderna fondamenti dell'universo. Questo indovinello, secondo gli esperti del Clay Institute, è uno dei sette di fondamentale importanza per lo sviluppo della matematica futura.

Perelman, rifiutando medaglie e premi, chiede: “Perché ne ho bisogno? Non mi servono affatto. Tutti capiscono che se le prove sono corrette, non è richiesto alcun altro riconoscimento. Fino a quando non ho sviluppato sospetti, ho potuto scegliere se parlare ad alta voce della disintegrazione della comunità matematica nel suo insieme, a causa del suo basso livello morale, o non dire nulla e permettermi di essere trattato come bestiame. Ora che sono diventato più che sospettoso, non posso restare un bestiame e continuare a tacere, quindi tutto ciò che posso fare è andarmene”.

Per impegnarsi nella matematica moderna occorre avere una mente totalmente pura, senza la minima mescolanza che la disintegra, la disorienta, si sostituisce ai valori, e accettare questo premio significa dimostrare debolezza. Uno scienziato ideale è impegnato solo nella scienza, non si preoccupa di nient'altro (potere e capitale), deve avere una mente pura e per Perelman non c'è maggiore importanza che vivere secondo questo ideale. L'intera idea dei milioni è utile per la matematica e un vero scienziato ha bisogno di un tale incentivo? E questo desiderio del capitale di comprare e sottomettere tutto in questo mondo non è offensivo? Oppure puoi vendere la tua purezza per un milione? Il denaro, non importa quanto ce ne sia, è equivalente la verità dell'Anima? Dopotutto si tratta di una valutazione a priori di problemi con i quali il denaro semplicemente non dovrebbe avere nulla a che fare, non è vero?! Guadagnare qualcosa come un lotto-milione o scommettere con tutto questo significa assecondare la disintegrazione del sistema scientifico, e comunità umana nel suo insieme(vedi il rapporto “PRIMODIUM FISICA DI ALLATRA” e nel libro “AllatRa” le ultime 50 pagine sul percorso per costruire una società creativa). E il denaro (energia) che gli uomini d'affari sono pronti a dare alla scienza, se ha bisogno di essere usato, dovrebbe essere usato correttamente, o qualcosa del genere, senza umiliare Spirito di vero servizio, non importa come lo guardi, inestimabile in termini monetari: “ Cos'è un milione in confronto?, con purezza o grandezza quelle sfere (sulle dimensioni dell’Universo globale e del mondo spirituale, vedere il libro"AllatRa" e riferire"FISICA DEL PRIMODIUM ALLATRA"), in cui incapace di penetrare anche umano immaginazione (mente)?! Cosa sono un milione di cieli stellati in rapporto al tempo?!”

Diamo un'interpretazione dei restanti termini che compaiono nella formulazione dell'ipotesi:

Topologia - (dal greco topos - luogo e logos - insegnamento) - una branca della matematica che studia le proprietà topologiche delle figure, ad es. proprietà che non cambiano sotto eventuali deformazioni prodotte senza rotture e incollaggi (più precisamente, con mappature uno a uno e continue). Esempi di proprietà topologiche delle figure sono la dimensione, il numero di curve che delimitano una data area, ecc. Pertanto, un cerchio, un'ellisse e il contorno di un quadrato hanno le stesse proprietà topologiche, perché tali linee possono essere deformate l'una nell'altra nel modo sopra descritto; allo stesso tempo, l'anello e il cerchio hanno proprietà topologiche diverse: il cerchio è limitato da un contorno e l'anello da due.

L'omeomorfismo (dal greco ομοιο - simile, μορφη - forma) è una corrispondenza biunivoca tra due spazi topologici, in cui entrambe le mappe reciprocamente inverse definite da questa corrispondenza sono continue. Queste mappature sono chiamate omeomorfe, o mappature topologiche, così come omeomorfismi, e si dice che gli spazi appartengano allo stesso tipo topologico e sono chiamati omeomorfi, o topologicamente equivalenti.

Collettore tridimensionale senza bordo. Questo è un oggetto geometrico in cui ogni punto ha un quartiere sotto forma di una palla tridimensionale. Esempi di varietà 3 includono, in primo luogo, l'intero spazio tridimensionale, indicato con R3, così come qualsiasi insieme aperto di punti in R3, ad esempio l'interno di un toro solido (ciambella). Se consideriamo un toro solido chiuso, cioè aggiungiamo i suoi punti di confine (la superficie del toro), quindi otteniamo una varietà con un bordo: i punti del bordo non hanno quartieri a forma di palla, ma solo a forma di mezza palla.

Un toro solido (toro solido) è un corpo geometrico omeomorfo al prodotto di un disco bidimensionale e di un cerchio D2*S1. Informalmente, un toro solido è una ciambella, mentre un toro è solo la sua superficie (la camera cava di una ruota).

Semplicemente connesso. Ciò significa che qualsiasi curva chiusa continua situata interamente all'interno di una data varietà può essere contratta senza problemi fino a un punto senza lasciare questa varietà. Ad esempio, una normale sfera bidimensionale in R3 è semplicemente connessa (un elastico, posizionato in qualsiasi modo sulla superficie di una mela, può essere tirato dolcemente insieme fino a un punto senza strappare l'elastico dalla mela). D'altra parte, il cerchio e il toro non sono semplicemente collegati.

Compatto. Una varietà è compatta se una qualsiasi delle sue immagini omeomorfe ha dimensioni limitate. Ad esempio, un intervallo aperto su una linea (tutti i punti di un segmento tranne le sue estremità) non è compatto, poiché può essere esteso con continuità fino a una linea infinita. Ma un segmento chiuso (con estremità) è una varietà compatta con un bordo: per ogni deformazione continua, le estremità vanno in alcuni punti specifici, e l'intero segmento deve andare in una curva delimitata che collega questi punti.

Continua...

Ilnaz Basharov

Letteratura:

– Rapporto “PRIMODIUM ALLATRA FISICA” di un gruppo internazionale di scienziati del Movimento Sociale Internazionale “ALLATRA”, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Nuovi. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- Nuovi. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Dottore in Fisica e Matematica. Scienze, ricercatore senior presso la filiale di San Pietroburgo dell'Istituto di matematica dell'Accademia russa delle scienze

Grigory Perelman è finalmente e irrevocabilmente entrato nella storia.

Il Clay Mathematics Institute ha assegnato a Grigory Perelman il Premio del Millennio, riconoscendo così ufficialmente la dimostrazione della congettura di Poincaré del matematico russo. È interessante notare che allo stesso tempo l'istituto ha dovuto violare le proprie regole: secondo loro, solo un autore che ha pubblicato i suoi lavori su riviste peer-reviewed può pretendere di ricevere circa un milione di dollari, questa è la dimensione del premio. Il lavoro di Grigory Perelman non ha mai visto formalmente la luce: è rimasto un insieme di diversi preprint sul sito web arXiv.org (uno, due e tre). Tuttavia, non è così importante ciò che ha causato la decisione dell'istituto: l'assegnazione del Premio del Millennio pone fine a una storia lunga più di 100 anni.

Una tazza, una ciambella e un po' di topologia

Prima di scoprire cos'è la congettura di Poincaré, è necessario capire che tipo di branca della matematica - la topologia - a cui appartiene proprio questa ipotesi. La topologia molteplice si occupa delle proprietà delle superfici che non cambiano sotto determinate deformazioni. Spieghiamo con un classico esempio. Supponiamo che il lettore abbia davanti a sé una ciambella e una tazza vuota. Dal punto di vista della geometria e del buon senso si tratta di oggetti diversi, se non altro perché non potrai bere il caffè da una ciambella anche se lo desideri.

Tuttavia, un topologo dirà che una tazza e una ciambella sono la stessa cosa. E lo spiegherà così: immaginiamo che la tazza e la ciambella siano superfici cave fatte di un materiale molto elastico (un matematico direbbe che esiste una coppia di varietà bidimensionali compatte). Conduciamo un esperimento speculativo: prima gonfiamo il fondo della tazza, poi il suo manico, dopodiché si trasformerà in un toro (questo è il nome matematico della forma di una ciambella). Puoi vedere come appare questo processo qui.

Naturalmente, il lettore curioso ha una domanda: poiché le superfici possono essere spiegazzate, come si possono distinguere? Dopotutto, ad esempio, è intuitivamente chiaro: non importa quanto sia grande il toro, non è possibile ricavarne una sfera senza rotture e incollaggi. È qui che entrano in gioco i cosiddetti invarianti - caratteristiche di una superficie che non cambiano durante la deformazione - concetto necessario per la formulazione dell'ipotesi di Poincaré.

Il buon senso ci dice che la differenza tra un toro e una sfera è un buco. Tuttavia, un buco è ben lungi dall’essere un concetto matematico, quindi deve essere formalizzato. Si fa in questo modo: immaginiamo che sulla superficie abbiamo un filo elastico molto sottile che forma un cappio (in questo esperimento speculativo, a differenza del precedente, consideriamo solida la superficie stessa). Sposteremo l'anello senza sollevarlo dalla superficie o strapparlo. Se il filo può essere tirato fino a formare un cerchio molto piccolo (quasi un punto), allora si dice che l'anello è contraibile. Altrimenti il ​​ciclo si dice non contrattabile.

Quindi, è facile vedere che su una sfera qualsiasi anello è contrattabile (puoi vedere come appare approssimativamente qui), ma per un toro non è più così: su una ciambella ci sono due anelli interi - uno è infilato il buco, e l'altro gira attorno al perimetro del buco" - che non possono essere messi insieme. In questa immagine, esempi di anelli non estensibili sono mostrati rispettivamente in rosso e viola. Quando ci sono dei loop in superficie, i matematici dicono che “il gruppo fondamentale della varietà non è banale”, e se non ci sono tali loop, allora è banale.

Ora, per formulare onestamente la congettura di Poincaré, il lettore curioso deve pazientare ancora un po': dobbiamo capire cos'è una varietà tridimensionale in generale e una sfera tridimensionale in particolare.

Torniamo per un secondo alle superfici di cui abbiamo parlato sopra. Ognuno di essi può essere tagliato in pezzi così piccoli che ognuno assomiglierà quasi al pezzo di un aereo. Poiché il piano ha solo due dimensioni, dicono che la varietà è bidimensionale. Una varietà tridimensionale è una superficie che può essere tagliata in piccoli pezzi, ognuno dei quali è molto simile a un pezzo di spazio tridimensionale ordinario.

Il “carattere” principale dell’ipotesi è la sfera tridimensionale. Probabilmente è ancora impossibile immaginare una sfera tridimensionale come un analogo di una sfera ordinaria nello spazio quadridimensionale senza perdere la testa. Tuttavia, è abbastanza facile descrivere questo oggetto, per così dire, “in parti”. Chiunque abbia visto un globo sa che una sfera ordinaria può essere incollata insieme dagli emisferi settentrionale e meridionale lungo l'equatore. Quindi, una sfera tridimensionale è incollata insieme da due sfere (nord e sud) lungo una sfera, che è un analogo dell'equatore.

Sulle varietà tridimensionali possiamo considerare gli stessi cicli che abbiamo preso sulle superfici ordinarie. Quindi, la congettura di Poincaré afferma: “Se il gruppo fondamentale di una varietà tridimensionale è banale, allora è omeomorfo a una sfera”. La frase incomprensibile “omeomorfo a una sfera” tradotta in linguaggio informale significa che la superficie può essere deformata in una sfera.

Un po' di storia

In generale, in matematica è possibile formulare un gran numero di affermazioni complesse. Ma cosa rende grande questa o quella ipotesi, la distingue dal resto? Stranamente, la grande ipotesi si distingue per un gran numero di dimostrazioni errate, ognuna delle quali contiene un grande errore, un'inesattezza che spesso porta alla nascita di un ramo completamente nuovo della matematica.

Quindi, inizialmente Henri Poincaré, che si distingueva, tra le altre cose, per la sua capacità di commettere errori brillanti, formulò l'ipotesi in una forma leggermente diversa da quella che abbiamo scritto sopra. Qualche tempo dopo fornì un controesempio alla sua affermazione, che divenne nota come la 3-sfera omologa di Poincaré, e nel 1904 formulò l'ipotesi nella sua forma moderna. La sfera, tra l'altro, è stata recentemente utilizzata dagli scienziati in astrofisica: si è scoperto che l'Universo potrebbe rivelarsi una 3-sfera di Poincaré omologa.

Va detto che l'ipotesi non ha suscitato molto entusiasmo tra i colleghi geometri. Questo fu il caso fino al 1934, quando il matematico britannico John Henry Whitehead presentò la sua versione della dimostrazione dell'ipotesi. Ben presto, però, egli stesso trovò un errore nel suo ragionamento, che in seguito portò all'emergere dell'intera teoria delle varietà Whitehead.

Successivamente, l'ipotesi acquisì gradualmente la reputazione di un compito estremamente difficile. Molti grandi matematici hanno cercato di prenderlo d’assalto. Ad esempio, l'americano Er Ash Bing (R.H.Bing), un matematico, che (in modo assolutamente ufficiale) aveva scritte nei suoi documenti le iniziali al posto del suo nome. Ha fatto diversi tentativi infruttuosi per dimostrare l'ipotesi, formulando la propria affermazione durante questo processo - la cosiddetta "congettura della proprietà P" (congettura della proprietà P). È interessante notare che questa affermazione, considerata da Bing intermedia, si è rivelata quasi più difficile della dimostrazione della stessa congettura di Poincaré.

Tra gli scienziati c'erano anche persone che hanno dato la vita per dimostrare questo fatto matematico. Ad esempio, il famoso matematico di origine greca Christos Papakiriakopoulos. Per più di dieci anni, mentre lavorava a Princeton, tentò senza successo di dimostrare l'ipotesi. Morì di cancro nel 1976.

I lavori descritti non sono un elenco completo di tentativi di risolvere un'ipotesi più che secolare. E sebbene ciascuno dei lavori abbia portato all'emergere di un'intera direzione in matematica e possa essere considerato di successo e significativo in questo senso, solo il russo Grigory Perelman è riuscito finalmente a dimostrare la congettura di Poincaré.

Perelman e la prova

Nel 1992, Grigory Perelman, allora dipendente dell'Istituto di Matematica. Steklov, ha assistito a una conferenza di Richard Hamilton. Il matematico americano ha parlato dei flussi di Ricci - un nuovo strumento per studiare la congettura di geometrizzazione di Thurston - fatto da cui è derivata come semplice conseguenza la congettura di Poincaré. Questi flussi, in qualche modo analoghi alle equazioni del trasferimento di calore, hanno causato la deformazione delle superfici nel tempo più o meno allo stesso modo in cui abbiamo deformato le superfici bidimensionali all'inizio di questo articolo. Si è scoperto che in alcuni casi il risultato di tale deformazione era un oggetto la cui struttura era facile da comprendere. La difficoltà principale era che durante la deformazione si formarono caratteristiche con curvatura infinita, analoghe in un certo senso ai buchi neri in astrofisica.

Dopo la conferenza, Perelman si avvicinò a Hamilton. In seguito disse che Richard lo sorprese piacevolmente: "Sorrise ed era molto paziente. Mi raccontò anche diversi fatti che furono pubblicati solo pochi anni dopo. Lo fece senza esitazione. La sua apertura e gentilezza mi stupirono. Non posso dire basta." che la maggior parte dei matematici moderni si comporti in questo modo."

Dopo un viaggio negli Stati Uniti, Perelman tornò in Russia, dove iniziò a lavorare per risolvere il problema delle singolarità dei flussi di Ricci e per dimostrare segretamente a tutti l'ipotesi di geometrizzazione (e non la congettura di Poincaré). Non sorprende che la comparsa del primo preprint di Perelman l’11 novembre 2002 abbia scioccato la comunità matematica. Dopo un po 'apparvero un altro paio di lavori.

Dopodiché Perelman si ritirò dalla discussione delle dimostrazioni e, a quanto pare, smise addirittura di dedicarsi alla matematica. Non ha interrotto il suo stile di vita appartato nemmeno nel 2006, quando gli è stata assegnata la Medaglia Fields, il premio più prestigioso per i matematici. Non ha senso discutere le ragioni di questo comportamento dell'autore: un genio ha il diritto di comportarsi in modo strano (ad esempio, mentre in America Perelman non si tagliava le unghie, permettendo loro di crescere liberamente).

Comunque sia, la dimostrazione di Perelman assunse una vita separata da essa: tre preprint perseguitavano i matematici moderni. I primi risultati della verifica delle idee del matematico russo sono apparsi nel 2006: gli eminenti geometri Bruce Kleiner e John Lott dell'Università del Michigan hanno pubblicato una prestampa del proprio lavoro, più simile a un libro in termini di dimensioni - 213 pagine. In questo lavoro, gli scienziati hanno controllato attentamente tutti i calcoli di Perelman, spiegando in dettaglio varie affermazioni che sono state delineate solo brevemente nel lavoro del matematico russo. Il verdetto dei ricercatori è stato chiaro: le prove sono assolutamente corrette.

Una svolta inaspettata in questa storia arrivò nel luglio dello stesso anno. L’Asian Journal of Mathematics ha pubblicato un articolo dei matematici cinesi Xiping Zhu e Huaidong Cao intitolato “Una prova completa della congettura di geometrizzazione di Thurston e della congettura di Poincaré”. Nell'ambito di questo lavoro, i risultati di Perelman sono stati considerati importanti, utili, ma esclusivamente intermedi. Questo lavoro ha sorpreso gli specialisti in Occidente, ma ha ricevuto recensioni molto favorevoli in Oriente. In particolare, i risultati furono supportati da Shintan Yau, uno dei fondatori della teoria Calabi-Yau, che gettò le basi per la teoria delle stringhe, nonché insegnante di Cao e Ju. Per una felice coincidenza, fu Yau il redattore capo dell'Asian Journal of Mathematics, su cui fu pubblicato il lavoro.

Successivamente, il matematico iniziò a viaggiare per il mondo tenendo conferenze popolari, parlando dei risultati dei matematici cinesi. Di conseguenza, c'era il pericolo che molto presto i risultati di Perelman e persino di Hamilton passassero in secondo piano. Ciò è accaduto più di una volta nella storia della matematica: molti teoremi che portano i nomi di matematici specifici sono stati inventati da persone completamente diverse.

Tuttavia ciò non è avvenuto e probabilmente non accadrà adesso. La consegna del Premio Clay Perelman (anche se rifiutò) consolidò per sempre nella coscienza pubblica un fatto: il matematico russo Grigorij Perelman dimostrò la congettura di Poincaré. E non importa che in realtà abbia dimostrato un fatto più generale, sviluppando lungo il percorso una teoria completamente nuova sulle peculiarità dei flussi di Ricci. Almeno in questo modo. La ricompensa ha trovato l'eroe.

"Perché mi serve un milione?"

Il mondo intero conosce la storia del brillante matematico Grigory Perelman, che dimostrò la congettura di Poincaré e rifiutò un milione di dollari. Recentemente, lo scienziato solitario ha finalmente spiegato perché non ha vinto il meritato premio.

Tutto è iniziato con il fatto che il giornalista e produttore della compagnia cinematografica "President Film" Alexander Zabrovsky ha intuito di contattare la madre di Grigory Yakovlevich attraverso la comunità ebraica di San Pietroburgo. Dopotutto, prima di questo, tutti i giornalisti si sono seduti senza successo sui gradini della casa del grande matematico per intervistarlo. La madre ha parlato con suo figlio, dando una buona descrizione al giornalista, e solo dopo Perelman ha accettato l'incontro.

Secondo Zabrovsky, Grigory Yakovlevich è una persona completamente sana e adeguata, e tutto ciò che è stato detto prima su di lui è una stronzata. Vede davanti a sé un obiettivo specifico e sa come raggiungerlo.

La compagnia cinematografica "President Film", con il consenso di Perelman, ha in programma di realizzare un lungometraggio su di lui, "Formula of the Universe". Il matematico è entrato in contatto per il bene di questo film, che non riguarderà lui, ma la cooperazione e il confronto delle tre principali scuole matematiche mondiali: russa, cinese e americana, le più avanzate nel percorso di studio e gestione dell'Universo . Alla domanda sul milione, che preoccupava così tanto tutti i sorpresi e i curiosi, Perelman ha risposto: “So come gestire l'Universo. E dimmi, perché dovrei candidarmi per un milione?"

Lo scienziato ha anche parlato del motivo per cui non comunica con i giornalisti. Il motivo è che non si preoccupano della scienza, ma della loro vita personale: tagliare le unghie e un milione. Si offende quando la stampa lo chiama Grisha; il matematico considera tale familiarità come una mancanza di rispetto per se stesso.

Fin dai suoi anni scolastici, Grigory Perelman era abituato ad "allenare il suo cervello", cioè a risolvere problemi che lo costringevano a pensare in modo astratto. E per trovare la giusta soluzione era necessario immaginare un “pezzo di mondo”. Ad esempio, a un matematico è stato chiesto di calcolare quanto velocemente Gesù Cristo dovette camminare sulle acque per non cadere. Da qui è nato il desiderio di Perelman di studiare le proprietà dello spazio tridimensionale dell'Universo.

Perché è stato necessario lottare per tanti anni per dimostrare la congettura di Poincaré? La sua essenza è questa: se una superficie tridimensionale è in qualche modo simile a una sfera, allora può essere raddrizzata in una sfera. L'affermazione di Poincaré è chiamata la “Formula dell'Universo” per la sua importanza nello studio dei processi fisici complessi nella teoria dell'universo e perché fornisce una risposta alla domanda sulla forma dell'Universo.

Grigory Yakovlevich ha raggiunto una tale super conoscenza che aiuta a comprendere l'universo. E ora il matematico è costantemente sotto la sorveglianza dei servizi segreti russi e stranieri: e se Perelman rappresentasse una minaccia per l'umanità? Dopotutto, se con l'aiuto della sua conoscenza fosse possibile collassare l'Universo in un punto e poi espanderlo, allora potremmo morire o rinascere in una veste diversa? E poi saremo noi? E abbiamo davvero bisogno di controllare l’Universo?

Una prova che dura un secolo

Grigory Perelman è finalmente e irrevocabilmente entrato nella storia

Il Clay Mathematics Institute ha assegnato a Grigory Perelman il Premio del Millennio, riconoscendo così ufficialmente la dimostrazione della congettura di Poincaré del matematico russo. È interessante notare che allo stesso tempo l'istituto ha dovuto violare le proprie regole: secondo loro, solo un autore che ha pubblicato i suoi lavori su riviste peer-reviewed può pretendere di ricevere circa un milione di dollari, questa è la dimensione del premio. Il lavoro di Grigory Perelman non ha mai visto formalmente la luce: è rimasto un insieme di diversi preprint sul sito web arXiv.org (uno, due e tre). Tuttavia, non è così importante ciò che ha causato la decisione dell'istituto: l'assegnazione del Premio del Millennio pone fine a una storia lunga più di 100 anni.

Una tazza, una ciambella e un po' di topologia

Prima di scoprire cos'è la congettura di Poincaré, è necessario capire che tipo di branca della matematica - la topologia - a cui appartiene proprio questa ipotesi. La topologia molteplice si occupa delle proprietà delle superfici che non cambiano sotto determinate deformazioni. Spieghiamo con un classico esempio. Supponiamo che il lettore abbia davanti a sé una ciambella e una tazza vuota. Dal punto di vista della geometria e del buon senso si tratta di oggetti diversi, se non altro perché non potrai bere il caffè da una ciambella anche se lo desideri.

Tuttavia, un topologo dirà che una tazza e una ciambella sono la stessa cosa. E lo spiegherà così: immaginiamo che la tazza e la ciambella siano superfici cave fatte di un materiale molto elastico (un matematico direbbe che esiste una coppia di varietà bidimensionali compatte). Conduciamo un esperimento speculativo: prima gonfiamo il fondo della tazza, poi il suo manico, dopodiché si trasformerà in un toro (questo è il nome matematico della forma di una ciambella). Puoi vedere come appare questo processo.

Naturalmente, il lettore curioso ha una domanda: poiché le superfici possono essere spiegazzate, come si possono distinguere? Dopotutto, ad esempio, è intuitivamente chiaro: non importa quanto sia grande il toro, non è possibile ricavarne una sfera senza rotture e incollaggi. È qui che entrano in gioco i cosiddetti invarianti - caratteristiche di una superficie che non cambiano durante la deformazione - concetto necessario per la formulazione dell'ipotesi di Poincaré.

Il buon senso ci dice che la differenza tra un toro e una sfera è un buco. Tuttavia, un buco è ben lungi dall’essere un concetto matematico, quindi deve essere formalizzato. Si fa in questo modo: immaginiamo che sulla superficie abbiamo un filo elastico molto sottile che forma un cappio (in questo esperimento speculativo, a differenza del precedente, consideriamo solida la superficie stessa). Sposteremo l'anello senza sollevarlo dalla superficie o strapparlo. Se il filo può essere tirato fino a formare un cerchio molto piccolo (quasi un punto), allora si dice che l'anello è contraibile. Altrimenti il ​​ciclo si dice non contrattabile.

Quindi, è facile vedere che su una sfera qualsiasi anello è contraibile (puoi vedere come appare approssimativamente), ma per un toro questo non è più vero: su una ciambella ci sono due anelli interi - uno è infilato nel foro , e l'altro gira attorno al buco “attorno al perimetro”, - che non può essere tirato fuori.

In questa immagine, esempi di anelli non estensibili sono mostrati rispettivamente in rosso e viola. Quando ci sono dei loop in superficie, i matematici dicono che “il gruppo fondamentale della varietà non è banale”, e se non ci sono tali loop, allora è banale.

Il gruppo fondamentale del toro è indicato con n1 (T2). Poiché non è banale, le braccia del topo formano un anello non contraibile. La tristezza sul volto dell'animale è il risultato della realizzazione di questo fatto.

Quindi, è facile vedere che su una sfera qualsiasi anello è contraibile, ma per un toro non è più così: su una ciambella ci sono due anelli interi: uno è infilato nel foro e l'altro gira attorno al foro. "attorno al perimetro" - che non può essere stretto. In questa immagine, esempi di anelli non estensibili sono mostrati rispettivamente in rosso e viola.

Ora, per formulare onestamente la congettura di Poincaré, il lettore curioso deve pazientare ancora un po': dobbiamo capire cos'è una varietà tridimensionale in generale e una sfera tridimensionale in particolare.

Torniamo per un secondo alle superfici di cui abbiamo parlato sopra. Ognuno di essi può essere tagliato in pezzi così piccoli che ognuno assomiglierà quasi al pezzo di un aereo. Poiché il piano ha solo due dimensioni, dicono che la varietà è bidimensionale. Una varietà tridimensionale è una superficie che può essere tagliata in piccoli pezzi, ognuno dei quali è molto simile a un pezzo di spazio tridimensionale ordinario.

Il “carattere” principale dell’ipotesi è la sfera tridimensionale. Probabilmente è ancora impossibile immaginare una sfera tridimensionale come un analogo di una sfera ordinaria nello spazio quadridimensionale senza perdere la testa. Tuttavia, è abbastanza facile descrivere questo oggetto, per così dire, “in parti”. Chiunque abbia visto un globo sa che una sfera ordinaria può essere incollata insieme dagli emisferi settentrionale e meridionale lungo l'equatore. Quindi, una sfera tridimensionale è incollata insieme da due sfere (nord e sud) lungo una sfera, che è un analogo dell'equatore.

Sulle varietà tridimensionali possiamo considerare gli stessi cicli che abbiamo preso sulle superfici ordinarie. Quindi, la congettura di Poincaré afferma: “Se il gruppo fondamentale di una varietà tridimensionale è banale, allora è omeomorfo a una sfera”. La frase incomprensibile “omeomorfo a una sfera” tradotta in linguaggio informale significa che la superficie può essere deformata in una sfera.

Un po' di storia

Nel 1887 Poincaré presentò un'opera a un concorso matematico dedicato al 60° compleanno del re Oscar II di Svezia. In esso è stato scoperto un errore che ha portato alla nascita della teoria del caos.

In generale, in matematica è possibile formulare un gran numero di affermazioni complesse. Ma cosa rende grande questa o quella ipotesi, la distingue dal resto? Stranamente, la grande ipotesi si distingue per un gran numero di dimostrazioni errate, ognuna delle quali contiene un grande errore, un'inesattezza che spesso porta alla nascita di un ramo completamente nuovo della matematica.

Quindi, inizialmente Henri Poincaré, che si distingueva, tra le altre cose, per la sua capacità di commettere errori brillanti, formulò l'ipotesi in una forma leggermente diversa da quella che abbiamo scritto sopra. Qualche tempo dopo fornì un controesempio alla sua affermazione, che divenne nota come la 3-sfera omologa di Poincaré, e nel 1904 formulò l'ipotesi nella sua forma moderna. La sfera, tra l'altro, è stata recentemente utilizzata dagli scienziati in astrofisica: si è scoperto che l'Universo potrebbe rivelarsi una 3-sfera di Poincaré omologa.

Va detto che l'ipotesi non ha suscitato molto entusiasmo tra i colleghi geometri. Questo fu il caso fino al 1934, quando il matematico britannico John Henry Whitehead presentò la sua versione della dimostrazione dell'ipotesi. Ben presto, però, egli stesso trovò un errore nel suo ragionamento, che in seguito portò all'emergere dell'intera teoria delle varietà Whitehead.

Successivamente, l'ipotesi acquisì gradualmente la reputazione di un compito estremamente difficile. Molti grandi matematici hanno cercato di prenderlo d’assalto. Ad esempio, l'americano Er Ash Bing (R.H.Bing), un matematico, che (in modo assolutamente ufficiale) aveva scritte nei suoi documenti le iniziali al posto del suo nome. Ha fatto diversi tentativi infruttuosi per dimostrare l'ipotesi, formulando la propria affermazione durante questo processo - la cosiddetta "congettura della proprietà P" (congettura della proprietà P). È interessante notare che questa affermazione, considerata da Bing intermedia, si è rivelata quasi più difficile della dimostrazione della stessa congettura di Poincaré.

Tra gli scienziati c'erano anche persone che hanno dato la vita per dimostrare questo fatto matematico. Ad esempio, il famoso matematico di origine greca Christos Papakiriakopoulos. Per più di dieci anni, è interessante notare che la generalizzazione della congettura di Poincaré a varietà di dimensioni superiori a tre si è rivelata notevolmente più semplice dell'originale: le dimensioni extra hanno reso più facile la manipolazione delle varietà. Pertanto, per varietà n-dimensionali (per n almeno 5), la congettura fu dimostrata da Stephen Smale nel 1961. Per n = 4, la congettura è stata dimostrata utilizzando un metodo completamente diverso da quello di Smail nel 1982 da Michael Friedman. Per la sua dimostrazione, quest'ultimo ricevette la Medaglia Fields, il massimo riconoscimento per i matematici. Mentre lavorava a Princeton, tentò senza successo di dimostrare l'ipotesi. Morì di cancro nel 1976. È interessante notare che la generalizzazione della congettura di Poincaré a varietà di dimensioni superiori a tre si è rivelata notevolmente più semplice dell'originale: le dimensioni extra hanno reso più facile la manipolazione delle varietà. Pertanto, per varietà n-dimensionali (per n almeno 5), la congettura fu dimostrata da Stephen Smale nel 1961. Per n = 4, la congettura è stata dimostrata utilizzando un metodo completamente diverso da quello di Smail nel 1982 da Michael Friedman.
I lavori descritti non sono un elenco completo di tentativi di risolvere un'ipotesi più che secolare. E sebbene ciascuno dei lavori abbia portato all'emergere di un'intera direzione in matematica e possa essere considerato di successo e significativo in questo senso, solo il russo Grigory Perelman è riuscito finalmente a dimostrare la congettura di Poincaré.

Perelman e la prova

Nel 1992, Grigory Perelman, allora dipendente dell'Istituto di Matematica che porta il nome. Steklov, ha assistito a una conferenza di Richard Hamilton. Il matematico americano ha parlato dei flussi di Ricci - un nuovo strumento per studiare la congettura di geometrizzazione di Thurston - fatto da cui è derivata come semplice conseguenza la congettura di Poincaré. Questi flussi, in qualche modo analoghi alle equazioni del trasferimento di calore, hanno causato la deformazione delle superfici nel tempo più o meno allo stesso modo in cui abbiamo deformato le superfici bidimensionali all'inizio di questo articolo. Si è scoperto che in alcuni casi il risultato di tale deformazione era un oggetto la cui struttura era facile da comprendere. La difficoltà principale era che durante la deformazione si formarono caratteristiche con curvatura infinita, analoghe in un certo senso ai buchi neri in astrofisica.

Dopo la conferenza, Perelman si avvicinò a Hamilton. In seguito disse che Richard lo sorprese piacevolmente: "Sorrise ed era molto paziente. Mi raccontò anche diversi fatti che furono pubblicati solo pochi anni dopo. Lo fece senza esitazione. La sua apertura e gentilezza mi stupirono. Non posso dire basta." che la maggior parte dei matematici moderni si comporti in questo modo."

Dopo un viaggio negli Stati Uniti, Perelman tornò in Russia, dove iniziò a lavorare per risolvere il problema delle singolarità dei flussi di Ricci e per dimostrare segretamente a tutti l'ipotesi di geometrizzazione (e non la congettura di Poincaré). Non sorprende che la comparsa del primo preprint di Perelman l’11 novembre 2002 abbia scioccato la comunità matematica. Dopo un po 'apparvero un altro paio di lavori.

Dopodiché Perelman si ritirò dalla discussione delle dimostrazioni e, a quanto pare, smise addirittura di dedicarsi alla matematica. Non ha interrotto il suo stile di vita appartato nemmeno nel 2006, quando gli è stata assegnata la Medaglia Fields, il premio più prestigioso per i matematici. Non ha senso discutere le ragioni di questo comportamento dell'autore: un genio ha il diritto di comportarsi in modo strano (ad esempio, mentre in America Perelman non si tagliava le unghie, permettendo loro di crescere liberamente).

Comunque sia, la prova di Perelman è guarita
una vita separata da lui: tre preprint perseguitavano i matematici moderni. I primi risultati della verifica delle idee del matematico russo sono apparsi nel 2006: gli eminenti geometri Bruce Kleiner e John Lott dell'Università del Michigan hanno pubblicato una prestampa del proprio lavoro, più simile a un libro in termini di dimensioni - 213 pagine. In questo lavoro, gli scienziati hanno controllato attentamente tutti i calcoli di Perelman, spiegando in dettaglio varie affermazioni che sono state delineate solo brevemente nel lavoro del matematico russo. Il verdetto dei ricercatori è stato chiaro: le prove sono assolutamente corrette.

Una svolta inaspettata in questa storia arrivò nel luglio dello stesso anno. L’Asian Journal of Mathematics ha pubblicato un articolo dei matematici cinesi Xiping Zhu e Huaidong Cao intitolato “Una prova completa della congettura di geometrizzazione di Thurston e della congettura di Poincaré”. Nell'ambito di questo lavoro, i risultati di Perelman sono stati considerati importanti, utili, ma esclusivamente intermedi. Questo lavoro ha sorpreso gli specialisti in Occidente, ma ha ricevuto recensioni molto favorevoli in Oriente. In particolare, i risultati furono supportati da Shintan Yau, uno dei fondatori della teoria Calabi-Yau, che gettò le basi per la teoria delle stringhe, nonché insegnante di Cao e Ju. Per una felice coincidenza, fu Yau il redattore capo dell'Asian Journal of Mathematics, su cui fu pubblicato il lavoro.

Successivamente, il matematico iniziò a viaggiare per il mondo tenendo conferenze popolari, parlando dei risultati dei matematici cinesi. Di conseguenza, c'era il pericolo che molto presto i risultati di Perelman e persino di Hamilton passassero in secondo piano. Ciò è accaduto più di una volta nella storia della matematica: molti teoremi che portano i nomi di matematici specifici sono stati inventati da persone completamente diverse.

Tuttavia ciò non è avvenuto e probabilmente non accadrà adesso. La consegna del Premio Clay Perelman (anche se rifiutò) consolidò per sempre nella coscienza pubblica un fatto: il matematico russo Grigorij Perelman dimostrò la congettura di Poincaré. E non importa che in realtà abbia dimostrato un fatto più generale, sviluppando lungo il percorso una teoria completamente nuova sulle peculiarità dei flussi di Ricci. Almeno in questo modo. La ricompensa ha trovato l'eroe.
Andrej Konjaev

Preparato da: Sergey Koval