Come aprire 3 parentesi. Risoluzione di semplici equazioni lineari

Passeremo ora all'apertura delle parentesi nelle espressioni in cui l'espressione tra parentesi viene moltiplicata per un numero o un'espressione. Formuliamo una regola per aprire le parentesi precedute da un segno meno: le parentesi insieme al segno meno vengono omesse, e i segni di tutti i termini tra parentesi vengono sostituiti con quelli opposti.

Un tipo di trasformazione dell'espressione è l'espansione delle parentesi. Le espressioni numeriche, letterali e variabili possono essere scritte utilizzando parentesi, che possono indicare l'ordine delle azioni, contenere un numero negativo, ecc. Supponiamo che nelle espressioni sopra descritte, invece di numeri e variabili, possano esserci espressioni.

E prestiamo attenzione a un altro punto riguardante le peculiarità della scrittura di una soluzione quando si aprono le parentesi. Nel paragrafo precedente ci siamo occupati delle cosiddette parentesi aperte. Per fare ciò, esistono regole per l'apertura delle parentesi, che ora esamineremo. Questa regola è dettata dal fatto che i numeri positivi vengono solitamente scritti senza parentesi; in questo caso le parentesi non sono necessarie. L'espressione (−3.7)−(−2)+4+(−9) può essere scritta senza parentesi come −3.7+2+4−9.

Infine, la terza parte della regola è dovuta semplicemente alla particolarità di scrivere i numeri negativi a sinistra nell'espressione (di cui abbiamo parlato nella sezione relativa alle parentesi per scrivere i numeri negativi). Potresti incontrare espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. Se apri le parentesi, passando dall'interno all'esterno, la soluzione sarà la seguente: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Come aprire le parentesi?

Ecco una spiegazione: −(−2 x) è +2 x e poiché questa espressione viene prima, +2 x può essere scritto come 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x e −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La prima parte della regola scritta per aprire le parentesi deriva direttamente dalla regola per moltiplicare i numeri negativi. La sua seconda parte è una conseguenza della regola per moltiplicare i numeri con segni diversi. Passiamo agli esempi di apertura di parentesi nei prodotti e quozienti di due numeri con segni diversi.

Parentesi di apertura: regole, esempi, soluzioni.

La regola di cui sopra tiene conto dell'intera catena di queste azioni e accelera notevolmente il processo di apertura delle parentesi. La stessa regola consente di aprire parentesi nelle espressioni che sono prodotti ed espressioni parziali con un segno meno che non sono somme e differenze.

Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione di questa regola. Diamo la regola corrispondente. Sopra abbiamo già incontrato espressioni della forma −(a) e −(−a), che senza parentesi si scrivono rispettivamente come −a e a. Ad esempio, −(3)=3 e. Questi sono casi speciali della regola stabilita. Ora diamo un'occhiata agli esempi di apertura delle parentesi quando contengono somme o differenze. Mostriamo esempi di utilizzo di questa regola. Indichiamo l'espressione (b1+b2) come b, dopodiché usiamo la regola di moltiplicare la parentesi per l'espressione del paragrafo precedente, abbiamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Per induzione, questa affermazione può essere estesa a un numero arbitrario di termini in ciascuna parentesi. Resta da aprire le parentesi nell'espressione risultante, utilizzando le regole dei paragrafi precedenti, alla fine otteniamo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

La regola in matematica è aprire le parentesi se ci sono (+) e (-) davanti alle parentesi.

Questa espressione è il prodotto di tre fattori (2+4), 3 e (5+7·8). Dovrai aprire le parentesi in sequenza. Ora usiamo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, abbiamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con esponenti naturali, possono essere considerati come il prodotto di più parentesi.

Ad esempio, trasformiamo l'espressione (a+b+c)2. Per prima cosa lo scriviamo come prodotto di due parentesi (a+b+c)·(a+b+c), ora moltiplichiamo una parentesi per una parentesi, otteniamo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Diremo anche che per elevare a potenza naturale le somme e le differenze di due numeri è consigliabile utilizzare la formula binomiale di Newton. Ad esempio, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Non è meno conveniente sostituire prima la divisione con la moltiplicazione, quindi utilizzare la regola corrispondente per aprire le parentesi nel prodotto.

Resta da capire l'ordine di apertura delle parentesi utilizzando gli esempi. Prendiamo l'espressione (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Sostituiamo questi risultati nell'espressione originale: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Non resta che finire di aprire le parentesi, di conseguenza abbiamo −5+3·2:4+6·7. Ciò significa che quando ci si sposta dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra, si verifica l'apertura delle parentesi.

Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Per prima cosa aggiungi 445 a 889. Questa azione può essere eseguita mentalmente, ma non è molto semplice. Apriamo le parentesi e vediamo che la procedura modificata semplificherà notevolmente i calcoli.

Come espandere le parentesi ad un altro grado

Esempio e regola illustrativi. Consideriamo un esempio: . Puoi trovare il valore di un'espressione sommando 2 e 5, quindi prendendo il numero risultante con il segno opposto. La regola non cambia se tra parentesi non ci sono due, ma tre o più termini. Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini. Per aprire le parentesi occorre in questo caso ricordare la proprietà distributiva.

Per i singoli numeri tra parentesi

Il tuo errore non è nei segni, ma nella gestione errata delle frazioni? In prima media abbiamo imparato a conoscere i numeri positivi e negativi. Come risolveremo esempi ed equazioni?

Quanto c'è tra parentesi? Cosa puoi dire di queste espressioni? Naturalmente, il risultato del primo e del secondo esempio è lo stesso, il che significa che possiamo mettere un segno di uguale tra loro: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Cosa abbiamo fatto con le parentesi?

Dimostrazione della diapositiva 6 con regole per l'apertura delle parentesi. Pertanto, le regole per aprire le parentesi ci aiuteranno a risolvere esempi e semplificare le espressioni. Successivamente, agli studenti viene chiesto di lavorare in coppia: devono utilizzare le frecce per collegare l'espressione contenente parentesi con la corrispondente espressione senza parentesi.

Diapositiva 11 Una volta a Sunny City, Znayka e Dunno hanno discusso su chi di loro avesse risolto correttamente l'equazione. Successivamente, gli studenti risolvono l'equazione da soli utilizzando le regole per l'apertura delle parentesi. Risoluzione di equazioni” Obiettivi della lezione: formativi (rafforzamento delle conoscenze sull'argomento: “Apertura di parentesi.

Argomento della lezione: “Apertura di parentesi. In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Per prima cosa vengono presi i primi due fattori, racchiusi in un'altra parentesi, e all'interno di queste parentesi le parentesi vengono aperte secondo una delle regole già note.

rawalan.freezeet.ru

Parentesi di apertura: regole ed esempi (grado 7)

La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori espressioni numeriche . Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Tuttavia, se abbiamo a che fare con espressione algebrica contenente variabile- ad esempio, in questo modo: \(2(x-3)\) - allora è impossibile calcolare il valore tra parentesi, la variabile è d'intralcio. Pertanto, in questo caso, le parentesi vengono “aperte” utilizzando le apposite regole.

Regole per aprire le parentesi

Se c'è un segno più davanti alla parentesi, la parentesi viene semplicemente rimossa, l'espressione in essa contenuta rimane invariata. In altre parole:

Qui è necessario chiarire che in matematica, per abbreviare le notazioni, è consuetudine non scrivere il segno più se compare per primo nell'espressione. Ad esempio, se sommiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, allora non scriviamo \(+7+3\), ma semplicemente \(7+3\), nonostante anche sette sia un numero positivo . Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione \((5+x)\), sappilo prima della parentesi c'è un più, che non è scritto.

Esempio . Apri la parentesi e inserisci termini simili: \((x-11)+(2+3x)\).
Soluzione : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Se c'è un segno meno davanti alla parentesi, quando la parentesi viene rimossa, ogni termine dell'espressione al suo interno cambia segno nel contrario:

Qui è necessario chiarire che mentre a era tra parentesi, c'era un segno più (semplicemente non l'hanno scritto), e dopo aver rimosso la parentesi, questo più è cambiato in meno.

Esempio : Semplifica l'espressione \(2x-(-7+x)\).
Soluzione : all'interno della parentesi ci sono due termini: \(-7\) e \(x\), e prima della parentesi c'è un segno meno. Ciò significa che i segni cambieranno: il sette ora sarà un più e la x sarà un meno. Aprire la staffa e presentiamo termini simili .

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Se c'è un fattore davanti alla parentesi, allora ogni membro della parentesi viene moltiplicato per esso, ovvero:

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi e moltiplica ciascun membro per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Cominciando dall'inizio...

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato, puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
— aprire le parentesi in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Iniziamo l'attività aprendo la staffa interna (quella all'interno). Espandendolo, abbiamo a che fare solo con ciò che è direttamente correlato ad esso: questa è la parentesi stessa e il segno meno davanti ad essa (evidenziato in verde). Riscriviamo tutto il resto (non evidenziato) nello stesso modo in cui era.

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Prodotto di un monomio e di un polinomio. Il concetto di polinomio

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:

La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini di un polinomio si chiamano termini del polinomio. I monomi sono anche classificati come polinomi, considerando che un monomio è un polinomio costituito da un membro.

Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi della forma standard:

Presentiamo termini simili nel polinomio risultante:

Il risultato è un polinomio, i cui termini sono tutti monomi della forma standard e tra questi non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Dietro grado del polinomio di una forma standard assumono i più alti poteri dei suoi membri. Quindi un binomio ha il terzo grado e un trinomio il secondo.

Tipicamente, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente di esponenti. Per esempio:

La somma di più polinomi può essere trasformata (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i termini di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché racchiudere parentesi è la trasformazione inversa dell'apertura di parentesi, è facile da formulare regole per l'apertura delle parentesi:

Se prima delle parentesi si mette il segno “+”, i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.

Se prima delle parentesi si mette il segno "-", i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, puoi trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato di regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, devi moltiplicare il monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo già utilizzato più volte questa regola per moltiplicare per una somma.

Prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ciascun termine dell'altro.

Di solito viene utilizzata la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma dei quadrati, differenze e differenza di quadrati

Devi avere a che fare con alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono u, cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e la differenza dei quadrati. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, ad esempio, questo non è, ovviamente, solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di aeb. Tuttavia, il quadrato della somma di aeb non si trova molto spesso; di regola, invece delle lettere aeb, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.

Le espressioni possono essere facilmente convertite (semplificate) in polinomi della forma standard; infatti, hai già riscontrato un compito simile moltiplicando i polinomi:

È utile ricordare le identità risultanti e applicarle senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

- il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e del doppio prodotto.

- il quadrato della differenza è uguale alla somma dei quadrati senza il doppio prodotto.

- la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza e della somma.

Queste tre identità consentono di sostituire le parti di sinistra con quelle di destra nelle trasformazioni e viceversa: le parti di destra con quelle di sinistra. La cosa più difficile è vedere le espressioni corrispondenti e capire come in esse vengono sostituite le variabili a e b. Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.

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Parentesi espandibili

Continuiamo a studiare le basi dell'algebra. In questa lezione impareremo come espandere le parentesi nelle espressioni. Espandere le parentesi significa rimuovere le parentesi da un'espressione.

Per aprire le parentesi, devi memorizzare solo due regole. Con la pratica regolare, puoi aprire le parentesi con gli occhi chiusi e quelle regole che dovevano essere apprese a memoria possono essere tranquillamente dimenticate.

La prima regola per aprire le parentesi

Consideriamo la seguente espressione:

Il valore di questa espressione è 2 . Apriamo le parentesi in questa espressione. Espandere le parentesi significa eliminarle senza alterare il significato dell'espressione. Cioè, dopo aver eliminato le parentesi, il valore dell'espressione 8+(−9+3) dovrebbe essere ancora uguale a due.

La prima regola per aprire le parentesi è la seguente:

Quando si aprono le parentesi, se c'è un segno più davanti alle parentesi, questo segno più viene omesso insieme alle parentesi.

Quindi, lo vediamo nell'espressione 8+(−9+3) C'è un segno più prima delle parentesi. Questo più deve essere omesso insieme alle parentesi. In altre parole, le parentesi scompariranno insieme al segno più che si trovava davanti a loro. E ciò che era tra parentesi verrà scritto senza modifiche:

8−9+3 . Questa espressione è uguale a 2 , come l'espressione precedente tra parentesi, era uguale a 2 .

8+(−9+3) E 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 3 + (−1 − 4)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi rimarrà invariato:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 + (−1)

In questo esempio, aprire le parentesi è diventata una sorta di operazione inversa che consiste nel sostituire la sottrazione con l'addizione. Cosa significa?

Nell'espressione 2−1 avviene la sottrazione, ma può essere sostituita dall'addizione. Quindi otteniamo l'espressione 2+(−1) . Ma se nell'espressione 2+(−1) apri le parentesi e ottieni l'originale 2−1 .

Pertanto, la prima regola per l'apertura delle parentesi può essere utilizzata per semplificare le espressioni dopo alcune trasformazioni. Cioè, liberalo dalle parentesi e rendilo più semplice.

Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2a+a−5b+b .

Per semplificare questa espressione si possono usare termini simili. Ricordiamo che per ridurre i termini simili è necessario sommare i coefficienti dei termini simili e moltiplicare il risultato per la parte comune della lettera:

Ho un'espressione 3a+(−4b). Rimuoviamo le parentesi in questa espressione. C'è un segno più davanti alle parentesi, quindi usiamo la prima regola per aprire le parentesi, cioè omettiamo le parentesi insieme al segno più che precede queste parentesi:

Quindi l'espressione 2a+a−5b+b semplifica a 3a-4b .

Dopo aver aperto alcune parentesi, potresti incontrarne altre lungo il percorso. Ad essi applichiamo le stesse regole che ai primi. Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione:

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. In questo caso si applica la prima regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno più che le precede:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 6+(−3)+(−2)

In entrambi i punti in cui sono presenti parentesi, queste sono precedute da un segno più. Anche in questo caso vale la prima regola dell'apertura delle parentesi:

A volte il primo termine tra parentesi è scritto senza segno. Ad esempio, nell'espressione 1+(2+3−4) primo termine tra parentesi 2 scritto senza segno. Sorge la domanda: quale segno apparirà davanti ai due dopo che le parentesi e il segno più davanti alle parentesi sono stati omessi? La risposta suggerisce se stessa: ci sarà un vantaggio tra i due.

Infatti anche essendo tra parentesi c’è un più davanti ai due, ma non lo vediamo perché non è scritto. Abbiamo già detto come appare la notazione completa dei numeri positivi +1, +2, +3. Ma secondo la tradizione, i vantaggi non vengono scritti, motivo per cui vediamo i numeri positivi che ci sono familiari 1, 2, 3 .

Pertanto, per espandere le parentesi nell'espressione 1+(2+3−4) , come al solito, devi omettere le parentesi insieme al segno più davanti a queste parentesi, ma scrivi il primo termine tra parentesi con un segno più:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −5 + (2 − 3)

C'è un più davanti alle parentesi, quindi applichiamo la prima regola per l'apertura delle parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al più che precede queste parentesi. Ma il primo termine, che scriviamo tra parentesi con il segno più:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione (−5)

C'è un più davanti alle parentesi, ma non è scritto perché prima non c'erano altri numeri o espressioni. Il nostro compito è rimuovere le parentesi applicando la prima regola di apertura delle parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme a questo più (anche se è invisibile)

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (-6a + b)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ci sono due punti in questa espressione in cui è necessario espandere le parentesi. In entrambe le sezioni c'è un segno più prima delle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La seconda regola per aprire le parentesi

Ora diamo un'occhiata alla seconda regola per aprire le parentesi. Si usa quando c'è un segno meno prima delle parentesi.

Se c'è un segno meno prima delle parentesi, questo segno meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno al contrario.

Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione

Vediamo che c'è un segno meno prima delle parentesi. Ciò significa che è necessario applicare la seconda regola di espansione, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti a queste parentesi. In questo caso, i termini tra parentesi cambieranno il loro segno in quello opposto:

Abbiamo un'espressione senza parentesi 5+2+3 . Questa espressione è uguale a 10, proprio come l'espressione precedente tra parentesi era uguale a 10.

Quindi, tra le espressioni 5−(−2−3) E 5+2+3 puoi mettere un segno di uguale, poiché sono uguali allo stesso valore:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 6 − (−2 − 5)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al meno che precede queste parentesi. In questo caso scriviamo i termini che erano tra parentesi con segni opposti:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 − (7 + 3)

C'è un segno meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi:

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −(−3 + 4)

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la seconda regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione +(−9−2) devi applicare la prima regola:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione −(−a − 1)

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione −(4a + 3)

Esempio 8. Espandi le parentesi nell'espressione UN − (4b + 3) + 15

Esempio 9. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la prima regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione −(3c+5) devi applicare la seconda regola:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Esempio 10. Espandi le parentesi nell'espressione −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ci sono tre punti in cui è necessario aprire le parentesi. Per prima cosa devi applicare la seconda regola per aprire le parentesi, poi la prima e poi ancora la seconda:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a+ 4a − 6b + 8c − 15

Meccanismo di apertura della staffa

Le regole per aprire le parentesi che abbiamo ora esaminato si basano sulla legge distributiva della moltiplicazione:

Infatti parentesi aperteè la procedura in cui il fattore comune viene moltiplicato per ciascun termine tra parentesi. Come risultato di questa moltiplicazione, le parentesi scompaiono. Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Pertanto, se devi moltiplicare un numero per un'espressione tra parentesi (o moltiplicare un'espressione tra parentesi per un numero), devi dire apriamo le parentesi.

Ma in che modo la legge distributiva della moltiplicazione è collegata alle regole per aprire le parentesi che abbiamo esaminato in precedenza?

Il fatto è che prima di ogni parentesi c'è un fattore comune. Nell'esempio 3×(4+5) il fattore comune è 3 . E nell'esempio un(b+c) il fattore comune è una variabile UN.

Se non ci sono numeri o variabili prima delle parentesi, allora lo è il fattore comune 1 O −1 , a seconda del segno che si trova davanti alle parentesi. Se c'è un più davanti alle parentesi, allora il fattore comune è 1 . Se c'è un segno meno prima delle parentesi, allora il fattore comune è −1 .

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione −(3b−1). C'è un segno meno davanti alle parentesi, quindi è necessario utilizzare la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti alle parentesi. E scrivi l'espressione tra parentesi con i segni opposti:

Abbiamo espanso le parentesi utilizzando la regola per espandere le parentesi. Ma queste stesse parentesi possono essere aperte utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. Per fare ciò, scrivi prima tra parentesi il fattore comune 1, che non è stato scritto:

Il segno meno che prima stava prima delle parentesi si riferiva a questa unità. Ora puoi aprire le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. A questo scopo il fattore comune −1 devi moltiplicare per ciascun termine tra parentesi e aggiungere i risultati.

Per comodità, sostituiamo la differenza tra parentesi con l'importo:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Come l'ultima volta che abbiamo ricevuto l'espressione −3b+1. Tutti concorderanno sul fatto che questa volta è stato dedicato più tempo alla risoluzione di un esempio così semplice. Pertanto, è più saggio utilizzare le regole già pronte per l'apertura delle parentesi, di cui abbiamo discusso in questa lezione:

Ma non fa male sapere come funzionano queste regole.

In questa lezione abbiamo imparato un'altra trasformazione identica. Insieme all'apertura delle parentesi, alla messa tra parentesi del generale e all'introduzione di termini simili, è possibile ampliare leggermente la gamma dei problemi da risolvere. Per esempio:

Qui devi eseguire due azioni: prima aprire le parentesi e quindi inserire termini simili. Quindi, in ordine:

1) Apri le parentesi:

2) Presentiamo termini simili:

Nell'espressione risultante −10b+(−1) puoi espandere le parentesi:

Esempio 2. Apri le parentesi e aggiungi termini simili nella seguente espressione:

1) Apriamo le parentesi:

2) Presentiamo termini simili. Questa volta, per risparmiare tempo e spazio, non scriveremo come vengono moltiplicati i coefficienti per la parte comune della lettera

Esempio 3. Semplificare un'espressione 8m+3m e trovarne il valore m=−4

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione. Per semplificare l'espressione 8m+3m, puoi eliminare il fattore comune in esso M fuori parentesi:

2) Trova il valore dell'espressione m(8+3) A m=−4. Per fare questo, nell'espressione m(8+3) invece di una variabile M sostituire il numero −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

In questo video analizzeremo tutta una serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.

Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?

Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:

1. Espandi le parentesi, se presenti;
2. Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
3. Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
4. Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

1. L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
2. La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

Ora vediamo come funziona tutto questo utilizzando esempi di vita reale.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:

1. Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
2. Quindi combina simili
3. Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso alla variabile, i termini in cui è contenuta, e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.

Quindi, di regola, è necessario portarne di simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti più esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in ​​equazioni lineari abbastanza semplici. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con i compiti più semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

1. Espandi le parentesi, se presenti.
2. Isoliamo le variabili, cioè Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
3. Presentiamo termini simili.
4. Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.

Naturalmente, questo schema non sempre funziona, contiene alcune sottigliezze e trucchi e ora li conosceremo.

Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito n. 1

Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di termini individuali. Scriviamolo:

Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Quindi abbiamo ottenuto la risposta.

Compito n. 2

Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:

Eccone alcuni simili:

Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito n.3

La terza equazione lineare è più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da segni diversi. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Facciamo i conti:

Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:

• Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
• Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.

Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando fare queste cose è dato per scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno sicuramente.

Esempio n. 1

Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora diamo un'occhiata alla privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:

\[\nulla\]

oppure non ci sono radici.

Esempio n.2

Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:

\[\nulla\],

oppure non ci sono radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse

Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito n. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:

Facciamo un po' di privacy:

Eccone alcuni simili:

Completiamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.

Compito n. 2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ciascun elemento della prima parentesi per ciascun elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:

Ora eseguiamo attentamente la moltiplicazione in ciascun termine:

Spostiamo i termini con "X" a sinistra e quelli senza - a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con quest’ultimo esempio vorrei ricordare agli studenti cos’è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.

Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risoluzione di equazioni con le frazioni

Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:

1. Apri le parentesi.
2. Variabili separate.
3. Portatene di simili.
4. Dividi per il rapporto.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:

1. Sbarazzarsi delle frazioni.
2. Apri le parentesi.
3. Variabili separate.
4. Portatene di simili.
5. Dividi per il rapporto.

Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio n. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ora espandiamo:

Escludiamo la variabile:

Eseguiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio n.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Il problema è risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.

Punti chiave

I risultati principali sono:

• Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
• Possibilità di aprire parentesi.
• Non preoccuparti se da qualche parte hai funzioni quadratiche: molto probabilmente verranno ridotte nel processo di ulteriori trasformazioni.
• Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!

Quella parte dell'equazione è l'espressione tra parentesi. Per aprire le parentesi, guarda il segno davanti alle parentesi. Se c'è un segno più, l'apertura delle parentesi nell'espressione non cambierà nulla: basta rimuovere le parentesi. Se è presente un segno meno, quando si aprono le parentesi è necessario sostituire tutti i segni originariamente tra parentesi con quelli opposti. Ad esempio, -(2x-3)=-2x+3.

Moltiplicazione di due parentesi.
Se l'equazione contiene il prodotto di due parentesi, espandi le parentesi secondo la regola standard. Ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda parentesi. I numeri risultanti vengono riassunti. In questo caso, il prodotto di due “più” o di due “meno” dà al termine un segno “più” e, se i fattori hanno segni diversi, riceve un segno “meno”.
Consideriamo.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Aprendo le parentesi, a volte elevando un'espressione a . Le formule per il quadrato e il cubo devono essere conosciute a memoria e ricordate.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Le formule per costruire un'espressione maggiore di tre possono essere eseguite utilizzando il triangolo di Pascal.

Fonti:

• formula di espansione delle parentesi

Le operazioni matematiche racchiuse tra parentesi possono contenere variabili ed espressioni di vari gradi di complessità. Per moltiplicare tali espressioni dovrai cercare una soluzione in forma generale, aprendo le parentesi e semplificando il risultato. Se le parentesi contengono operazioni senza variabili, solo con valori numerici, non è necessario aprire le parentesi, poiché se si dispone di un computer, il suo utente ha accesso a risorse informatiche molto significative: è più facile usarle che semplificare l'espressione.

Istruzioni

Moltiplica in sequenza ciascuno (o minuendo con ) contenuto in una parentesi per il contenuto di tutte le altre parentesi se vuoi ottenere il risultato in forma generale. Ad esempio, supponiamo che l'espressione originale sia scritta come segue: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Quindi la moltiplicazione sequenziale (cioè l'apertura delle parentesi) darà il seguente risultato: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Semplifica il risultato abbreviando le espressioni. Ad esempio, l'espressione ottenuta nel passaggio precedente può essere semplificata come segue: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗x² - 8∗x³ - x∗x³.

Usa una calcolatrice se devi moltiplicare x uguale a 4,75, ovvero (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Per calcolare questo valore, vai sul sito del motore di ricerca Google o Nigma e inserisci l'espressione nel campo della query nella sua forma originale (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google mostrerà immediatamente 82.265625, senza fare clic su un pulsante, ma Nigma deve inviare i dati al server con un clic di un pulsante.

Nel V secolo a.C., l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la Tartaruga”. Ecco come sembra:

Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.

Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.

Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:

Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in effetti, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.

Mercoledì 4 luglio 2018

Le differenze tra set e multiset sono descritte molto bene su Wikipedia. Vediamo.

Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.

C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.

Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.

Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.

Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi è unica per ogni moneta...

E ora mi sorge la domanda più interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.

Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.

Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".

Domenica 18 marzo 2018

La somma delle cifre di un numero è una danza degli sciamani con il tamburello, che non ha nulla a che vedere con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma è per questo che sono sciamani, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.

Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. In matematica non esiste una formula che possa essere utilizzata per trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri, e nel linguaggio della matematica il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo facilmente.

Scopriamo cosa e come fare per trovare la somma delle cifre di un dato numero. Quindi, prendiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.

1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo numerico grafico. Questa non è un'operazione matematica.

2. Tagliamo l'immagine risultante in più immagini contenenti i singoli numeri. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.

3. Converti i singoli simboli grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.

4. Aggiungi i numeri risultanti. Questa è matematica.

La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i “corsi di taglio e cucito” tenuti dagli sciamani e utilizzati dai matematici. Ma non è tutto.

Da un punto di vista matematico, non importa in quale sistema numerico scriviamo un numero. Quindi, in sistemi numerici diversi la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. Con il numero grande 12345, non voglio ingannarmi, consideriamo il numero 26 dell'articolo su. Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non esamineremo ogni passaggio al microscopio; lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.

Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se determinassi l’area di un rettangolo in metri e centimetri, otterresti risultati completamente diversi.

Lo zero ha lo stesso aspetto in tutti i sistemi numerici e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che. Domanda per i matematici: come si designa in matematica qualcosa che non è un numero? Che dire, per i matematici non esiste altro che i numeri? Posso permetterlo agli sciamani, ma non agli scienziati. La realtà non è solo una questione di numeri.

Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averle confrontate, ciò non ha nulla a che fare con la matematica.

Cos'è la vera matematica? Ciò accade quando il risultato di un'operazione matematica non dipende dalla dimensione del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.

Firma sulla porta Apre la porta e dice:

OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per lo studio della santità indefila delle anime durante la loro ascensione al cielo! Alone in alto e freccia verso l'alto. Quale altro bagno?

Femmina... L'alone in alto e la freccia in basso sono maschili.

Se una simile opera d'arte di design lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,

Allora non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua macchina:

Personalmente mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (una composizione di più foto: un segno meno, il numero quattro, una designazione di gradi). E non penso che questa ragazza sia una sciocca che non conosce la fisica. Ha solo un forte stereotipo nella percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.

1A non è “meno quattro gradi” o “uno a”. Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" in notazione esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente con questo sistema numerico percepiscono automaticamente un numero e una lettera come un simbolo grafico.

La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori. Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Esempio. Espandi la parentesi: \(-(4m+3)\).
Soluzione : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Esempio. Semplifica l'espressione: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluzione : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi - moltiplica ciascuno dei suoi termini per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Cominciando dall'inizio...

Poi il secondo.

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato, puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
- aprire le staffe in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluzione :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Qui c'è un triplo annidamento di parentesi. Cominciamo da quello più interno (evidenziato in verde). C'è un vantaggio davanti alla staffa, quindi si stacca semplicemente.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Adesso bisogna aprire la seconda staffa, quella intermedia. Ma prima semplificheremo l’espressione dei termini fantasmatici in questa seconda parentesi.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ora apriamo la seconda parentesi (evidenziata in blu). Prima della parentesi c'è un fattore, quindi ogni termine nella parentesi viene moltiplicato per esso.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		E apri l'ultima parentesi. C'è un segno meno davanti alla parentesi, quindi tutti i segni sono invertiti.

Espandere le parentesi è un'abilità di base in matematica. Senza questa abilità, è impossibile avere un voto superiore al C in 8° e 9° grado. Pertanto, ti consiglio di comprendere bene questo argomento.