Perché non puoi dividere per zero? Un buon esempio. È possibile dividere per zero? Un matematico risponde

Questo non è un test, non una prova delle tue conoscenze. Questo è un invito alla discussione. Scegli una delle opzioni possibili e prova a continuarla, giustificando il tuo punto di vista.

Perché non puoi dividere per zero?

Perché. . .

A volte puoi condividere. Risulta essere infinito.

Credo che. . .

Commenti: 13

1. 1 Signor Nessuno:

   E i veri matematici redneck sanno che se definiamo l'operazione di divisione per zero, risulta che tutti i numeri sono uguali, quindi è meglio non dividere affatto per zero...
   Infatti, abbiamo due numeri arbitrari diversi, a e b, e sappiamo come dividere per zero:
   0 * a = 0
   0 * b = 0
   0*a = 0*b
   dividi per 0 e ottieni
   un = b
   Questo “dimostra” che 2 + 2 = n. (dove n è un numero qualsiasi)
   0 = 0
   (2 + 2) *0 = n*0
   dividi per 0 e ottieni
   2 + 2 = n
   Tuttavia, va notato che quando si dividono i numeri razionali per zero, i numeri “a” e “b” che risultano uguali tra loro appartengono esclusivamente all'insieme dei numeri interi. (Divisione per zero.) Pertanto, la divisione per zero si trasforma in un altro metodo per dimostrare che l'insieme dei numeri razionali è un insieme numerabile[SHIT?]. Pertanto possiamo tranquillamente affermare che, anche se è vietata, la divisione per zero ha un senso matematico.
   Puoi dividere per una funzione infinitesima e ottieni una funzione infinitamente grande, quindi tutto è abbastanza banale. Ma il rapporto tra gli infinitesimi (0/0) è comunemente chiamato incertezza. Per queste due funzioni, questa incertezza può talvolta essere rivelata anche utilizzando la regola di L'Hopital (prendendo la derivata del numeratore e del denominatore, a volte più di una volta), così come il primo e il secondo limite notevole e altre trasformazioni matematiche. Per i dettagli consultare la letteratura pertinente. Ma, come sai, tutto questo è considerato sotto il segno del limite e non ha nulla a che fare con la divisione per zero. Infinitesimale? Non zero, ma da qualche parte vicino.

   Fonte:http://lurkmore.to/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B0_%D0%BD %D0%BE%D0%BB%D1%8C

2. 2Vladimir:

   Non sarebbe male escludere lo zero dalla circolazione. Non ci sono zeri in natura; bisogna avvicinarsi alla natura il più vicino possibile per riflettere il più possibile le sue proprietà.

3. 3Vladimir:

   È più corretto che la matematica non operi con i numeri ideali. Quanto più le nostre conoscenze si avvicinano alla comprensione del processo, la spiegazione dovrebbe essere il più fedele possibile.

4. 4 Vyacheslav:

   È impossibile escludere lo zero non solo dalla matematica, ma anche a livello quotidiano. Se quando arrivano gli ospiti metti diverse mele in un vaso e gli ospiti mangiano tutto, cosa rimane nel vaso? Puoi dire che non è niente, o che il vaso è vuoto, o che è rimasto solo un po' di rafano, e popoli diversi hanno le loro espressioni su questo argomento. Per tutte queste espressioni, i matematici hanno proposto un termine universale “zero”, comprensibile in qualsiasi lingua.

5. 5 zbil:

   È corretto dire: la divisione per zero non è definita. Ma insegnarlo in questa forma è estremamente dannoso, perché i bambini non ne comprendono l'essenza. Ecco perché dicono “non puoi dividere per zero”. È brutto quando non dicono perché no. Io continuerei la frase così: perché altrimenti sbaglieresti. Per esempio.

Anche nelle classi inferiori della scuola vige un severo divieto di dividere per zero. I bambini di solito non pensano alle ragioni, ma in realtà sapere perché qualcosa è proibito è interessante e utile.

Operazioni aritmetiche

Le operazioni aritmetiche studiate a scuola non sono equivalenti dal punto di vista dei matematici. Riconoscono valide solo due di queste operazioni: addizione e moltiplicazione. Sono inclusi nel concetto stesso di numero e tutte le altre azioni con i numeri sono in un modo o nell'altro basate su questi due. Cioè, non solo la divisione per zero è impossibile, ma la divisione in generale è impossibile.

Sottrazione e divisione

Cosa manca al resto delle azioni? Ancora una volta, sappiamo dalla scuola che, ad esempio, sottrarre quattro a sette significa prendere sette caramelle, mangiarne quattro e contare quelle che restano. Ma i matematici, quando mangiano i dolci e in generale, li percepiscono in modo completamente diverso. Per loro c'è solo l'addizione, cioè la notazione 7 - 4 significa un numero che, se aggiunto al numero 4, sarà uguale a 7. Cioè, per i matematici, 7 - 4 è una breve notazione dell'equazione : x + 4 = 7. Questa non è una sottrazione, ma un problema: trova il numero che deve essere messo al posto di x.

Lo stesso vale per la divisione e la moltiplicazione. Dividendo dieci per due, uno studente junior mette dieci caramelle in due pile identiche. Anche qui il matematico vede l'equazione: 2 x = 10.

Questo spiega perché la divisione per zero è vietata: è semplicemente impossibile. La voce 6: 0 dovrebbe trasformarsi nell'equazione 0 · x = 6. Cioè, devi trovare un numero che può essere moltiplicato per zero e ottenere 6. Ma è noto che la moltiplicazione per zero dà sempre zero. Questa è la proprietà essenziale dello zero.

Pertanto non esiste un numero che, moltiplicato per zero, dia un numero diverso da zero. Ciò significa che questa equazione non ha soluzione, non esiste un numero che possa essere correlato alla notazione 6: 0, cioè non ha senso. Parlano della sua insensatezza quando è vietata la divisione per zero.

Lo zero è divisibile per zero?

È possibile dividere zero per zero? L'equazione 0 · x = 0 non causa alcuna difficoltà e puoi prendere proprio questo zero per x e ottenere 0 · 0 = 0. Allora 0: 0 = 0? Ma se, ad esempio, prendiamo uno come x, otteniamo anche 0 1 = 0. Puoi prendere qualsiasi numero per x e dividerlo per zero, e il risultato rimarrà lo stesso: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51 e così via.

Pertanto, è possibile inserire assolutamente qualsiasi numero in questa equazione ed è impossibile sceglierne uno specifico, è impossibile determinare quale numero è indicato dalla notazione 0: 0. Cioè, anche questa notazione non ha senso e la divisione per zero è ancora impossibile: non è nemmeno divisibile per se stesso.

Questa è una caratteristica importante dell'operazione di divisione, cioè la moltiplicazione e il numero zero associato.

Resta la domanda: è possibile sottrarlo? Si potrebbe dire che la vera matematica inizia con questa domanda interessante. Per trovare la risposta, è necessario apprendere le definizioni matematiche formali degli insiemi di numeri e acquisire familiarità con le operazioni su di essi. Ad esempio, non ce ne sono solo di semplici, ma anche la cui divisione differisce dalla divisione di quelli ordinari. Questo non è incluso nel curriculum scolastico, ma le lezioni universitarie di matematica iniziano con questo.

Ognuno di noi ha imparato a scuola almeno due regole incrollabili: "zhi e shi - scrivi con la lettera I" e " Non puoi dividere per zero". E se la prima regola può essere spiegata dalle peculiarità della lingua russa, la seconda solleva una domanda del tutto logica: "Perché?"

Perché non puoi dividere per zero?

Non è del tutto chiaro il motivo per cui non ne parlano a scuola, ma da un punto di vista aritmetico la risposta è molto semplice.

Prendiamo un numero 10 e dividerlo per 2 . Ciò implica che abbiamo preso 10 eventuali oggetti e sistemarli secondo 2 gruppi uguali, cioè 10: 2 = 5 (Di 5 elementi del gruppo). Lo stesso esempio può essere scritto utilizzando l'equazione x*2 = 10(E X qui sarà uguale 5 ).

Ora immaginiamo per un secondo di poter dividere per zero e proviamo 10 dividi per 0 .

Otterrai quanto segue: 10: 0 =x, quindi x*0 = 10. Ma i nostri calcoli non possono essere corretti, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0 funziona sempre 0 . In matematica non esiste un numero tale che, moltiplicato per 0 darebbe qualcosa di diverso da 0 . Pertanto, le equazioni 10: 0 =x E x*0 = 10 non ho una soluzione In considerazione di ciò, dicono che non è possibile dividere per zero.

Quando puoi dividere per zero?

Esiste un'opzione in cui la divisione per zero ha ancora senso. Se dividiamo lo zero stesso, otteniamo quanto segue 0: 0 =x, che significa x*0 = 0.

Facciamo finta che x=0, allora l'equazione non solleva dubbi, tutto quadra perfettamente 0: 0 = 0 , e quindi 0 * 0 = 0 .

Ma cosa succederebbe se? X≠ 0 ? Facciamo finta che x = 9? Poi 9 * 0 = 0 E 0: 0 = 9 ? E se x=45, Quello 0: 0 = 45 .

Possiamo davvero condividere 0 SU 0 . Ma questa equazione avrà un numero infinito di soluzioni, da allora 0: 0 = qualsiasi cosa.

Perché 0: 0 = NaN

Hai mai provato a dividere? 0 SU 0 su uno smartphone? Poiché zero diviso zero dà assolutamente qualsiasi numero, i programmatori hanno dovuto cercare una via d'uscita da questa situazione, perché la calcolatrice non può ignorare le tue richieste. E hanno trovato una via d'uscita unica: quando dividi zero per zero, ottieni NaN (non un numero).

Perché x: 0 =∞ UN X: -0 = — ∞

Se provi a dividere un numero qualsiasi per zero sul tuo smartphone, la risposta sarà uguale a infinito. Il fatto è che in matematica 0 talvolta considerato non come “niente”, ma come “quantità infinitesimale”. Pertanto, se un numero qualsiasi viene diviso per un valore infinitesimo, il risultato è un valore infinitamente grande (∞) .

Quindi è possibile dividere per zero?

La risposta, come spesso accade, è ambigua. A scuola è meglio annotarlo sul naso Non puoi dividere per zero- questo ti salverà da difficoltà inutili. Ma se ti iscrivi al dipartimento di matematica di un'università, dovrai comunque dividere per zero.

Dicono che puoi dividere per zero se determini il risultato della divisione per zero. Devi solo espandere l'algebra. Per una strana coincidenza, non è possibile trovare almeno qualche, o meglio comprensibile e semplice, esempio di tale estensione. Per riparare Internet, è necessaria una dimostrazione di uno dei metodi per tale estensione o una descrizione del motivo per cui ciò non è possibile.

L'articolo è stato scritto in continuità con la tendenza:

Disclaimer

Lo scopo di questo articolo è spiegare in “linguaggio umano” come funzionano i principi fondamentali della matematica, strutturare la conoscenza e ripristinare le relazioni causa-effetto mancate tra i rami della matematica. Ogni ragionamento è filosofico; in alcuni giudizi divergono da quelli generalmente accettati (quindi non pretendono di essere matematicamente rigorosi). L'articolo è pensato per il livello del lettore che "ha superato la torre molti anni fa".

La comprensione dei principi dell'aritmetica, dell'algebra elementare, generale e lineare, dell'analisi matematica e non standard, della teoria degli insiemi, della topologia generale, della geometria proiettiva e affine è auspicabile, ma non obbligatoria.

Nessun infinito è stato danneggiato durante gli esperimenti.

Prologo

Andare “oltre i confini” è un processo naturale di ricerca di nuove conoscenze. Ma non tutte le ricerche portano nuove conoscenze e quindi benefici.

1. In realtà, tutto è già stato diviso davanti a noi!

1.1 Estensione affine della linea numerica

Cominciamo da dove probabilmente iniziano tutti gli avventurieri quando dividono per zero. Ricordiamo il grafico della funzione .

A sinistra e a destra dello zero, la funzione va in diverse direzioni di “non esistenza”. In fondo c'è una "piscina" generale e non si vede nulla.

Invece di precipitarci a capofitto nella piscina, guardiamo cosa vi scorre dentro e cosa ne esce. Per fare ciò, utilizzeremo il limite, lo strumento principale dell'analisi matematica. Il "trucco" principale è che il limite ti consente di avvicinarti il ​​più possibile a un dato punto, ma non di "calpestarlo". Un tale "recinto" davanti alla "piscina".

Originale

Ok, il "recinto" è stato eretto. Non è più così spaventoso. Abbiamo due percorsi per la piscina. Andiamo a sinistra - una ripida discesa, a destra - una ripida salita. Non importa quanto cammini verso il “recinto”, esso non si avvicina mai. Non c’è modo di attraversare il “nulla” inferiore e superiore. Nascono i sospetti: forse stiamo girando in tondo? Anche se no, i numeri cambiano, il che significa che non sono in un cerchio. Frughiamo ancora un po' nello scrigno degli strumenti di analisi matematica. Oltre ai limiti con un "recinto", il kit comprende infiniti positivi e negativi. Le quantità sono completamente astratte (non numeri), ben formalizzate e pronte per l'uso! Ci va bene. Integriamo il nostro “essere” (l'insieme dei numeri reali) con due infiniti firmati.

Nel linguaggio matematico:

È questa estensione che permette di prendere un limite quando l'argomento tende all'infinito e di ottenere l'infinito come risultato della presa del limite.

Esistono due rami della matematica che descrivono la stessa cosa utilizzando una terminologia diversa.

Riassumiamo:

La conclusione è. I vecchi approcci non funzionano più. La complessità del sistema, sotto forma di un insieme di “se”, “per tutti ma”, ecc., è aumentata. Avevamo solo due incertezze 1/0 e 0/0 (non abbiamo considerato le operazioni di potenza), quindi erano cinque. La rivelazione di un’incertezza ha creato ancora più incertezze.

1.2 Ruota

Non si è fermato con l'introduzione dell'infinito senza segno. Per uscire dalle incertezze, hai bisogno di una seconda ventata.

Quindi abbiamo un insieme di numeri reali e due incertezze 1/0 e 0/0. Per eliminare il primo, abbiamo effettuato un'espansione proiettiva della retta numerica (ovvero abbiamo introdotto l'infinito senza segno). Proviamo ad affrontare la seconda incertezza della forma 0/0. Facciamo lo stesso. Aggiungiamo un nuovo elemento all'insieme dei numeri, che rappresenta la seconda incertezza.

La definizione dell'operazione di divisione si basa sulla moltiplicazione. Questo non ci va bene. Disaccoppiamo le operazioni l'una dall'altra, ma manteniamo il comportamento abituale per i numeri reali. Definiamo un'operazione di divisione unaria, indicata dal segno "/".

Definiamo le operazioni.

Questa struttura è chiamata “Ruota”. Il termine è stato preso per la sua somiglianza con l'immagine topologica dell'estensione proiettiva della linea numerica e del punto 0/0.

Sembra che tutto vada bene, ma il diavolo è nei dettagli:

Per stabilire tutte le caratteristiche, oltre all'espansione dell'insieme degli elementi, viene aggiunto un bonus sotto forma di non una, ma due identità che descrivono la legge distributiva.

Nel linguaggio matematico:

Dal punto di vista dell’algebra generale, abbiamo operato con il campo. E sul campo, come sai, vengono definite solo due operazioni (addizione e moltiplicazione). Il concetto di divisione deriva dagli elementi inversi e, ancora più profondamente, dagli elementi unitari. Le modifiche apportate trasformano il nostro sistema algebrico in un monoide sia per l'operazione di addizione (con zero come elemento neutro) che per l'operazione di moltiplicazione (con uno come elemento neutro).

Le opere dei pionieri non utilizzano sempre i simboli ∞ e ⊥. Puoi invece trovare voci nella forma /0 e 0/0.

Il mondo non è più così meraviglioso, vero? Tuttavia, non è necessario affrettarsi. Verifichiamo se le nuove identità della legge distributiva possono far fronte al nostro insieme esteso .

Questa volta il risultato è decisamente migliore.

Riassumiamo:

La conclusione è. L'algebra funziona alla grande. Tuttavia, come base è stato preso il concetto di “indefinito”, che hanno iniziato a considerare come qualcosa di esistente e ad operare con esso. Un giorno qualcuno dirà che va tutto male e che bisogna scomporre questo “indefinito” in tanti altri “indefiniti”, ma più piccoli, l’algebra generale dirà: “Nessun problema, fratello!”
Questo è approssimativamente il modo in cui vengono postulate le unità immaginarie aggiuntive (j e k) nei quaternioni. Aggiungi tag

Evgeniy Shiryaev, insegnante e direttore del Laboratorio di Matematica del Museo Politecnico, ha detto ad AiF.ru sulla divisione per zero:

1. Competenza in materia

D'accordo, ciò che rende la norma particolarmente provocatoria è il divieto. Come non è possibile farlo? Chi ha vietato? E i nostri diritti civili?

Né la Costituzione della Federazione Russa, né il Codice Penale, e nemmeno lo statuto della vostra scuola si oppongono all'azione intellettuale che ci interessa. Ciò significa che il divieto non ha valore legale e nulla ti impedisce di provare a dividere qualcosa per zero proprio qui, sulle pagine di AiF.ru. Ad esempio, mille.

2. Dividiamo come insegnato

Ricorda, quando hai imparato a dividere per la prima volta, i primi esempi sono stati risolti controllando la moltiplicazione: il risultato moltiplicato per il divisore doveva essere uguale al divisibile. Se non corrispondeva, non decidevano.

Esempio 1. 1000: 0 =...

Dimentichiamo per un momento la regola proibita e facciamo diversi tentativi per indovinare la risposta.

Quelli errati verranno eliminati dall'assegno. Prova le seguenti opzioni: 100, 1, −23, 17, 0, 10000. Per ciascuna di esse, il controllo darà lo stesso risultato:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Moltiplicando lo zero tutto si trasforma in se stesso e mai in mille. La conclusione è facile da formulare: nessun numero supererà la prova. Cioè, nessun numero può essere il risultato della divisione di un numero diverso da zero per zero. Tale divisione non è vietata, ma semplicemente non ha alcun risultato.

3. Sfumatura

Abbiamo quasi perso un'occasione per confutare il divieto. Sì, ammettiamo che un numero diverso da zero non può essere diviso per 0. Ma forse lo 0 stesso può farlo?

Esempio 2. 0: 0 = ...

Quali sono i tuoi suggerimenti per il privato? 100? Per favore: il quoziente di 100 moltiplicato per il divisore 0 è uguale al dividendo 0.

Più opzioni! 1? Si adatta anche. E -23 e 17, e basta. In questo esempio, il test risulterà positivo per qualsiasi numero. E ad essere onesti, la soluzione in questo esempio non dovrebbe essere chiamata un numero, ma un insieme di numeri. Tutti. E non ci vuole molto per concordare sul fatto che Alice non è Alice, ma Mary Ann, ed entrambe sono il sogno di ogni coniglio.

4. E la matematica superiore?

Il problema è stato risolto, si è tenuto conto delle sfumature, i punti sono stati posizionati, tutto è diventato chiaro: la risposta all'esempio con divisione per zero non può essere un solo numero. Risolvere tali problemi è senza speranza e impossibile. Il che significa... interessante! Prendi due.

Esempio 3. Scopri come dividere 1000 per 0.

Ma assolutamente no. Ma 1000 può essere facilmente diviso per altri numeri. Bene, facciamo almeno quello che possiamo, anche se cambiamo il compito da svolgere. E poi, vedi, ci lasciamo trasportare e la risposta apparirà da sola. Dimentichiamo per un minuto lo zero e dividiamo per cento:

Cento sono lontani da zero. Facciamo un passo avanti diminuendo il divisore:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

La dinamica è ovvia: quanto più il divisore è vicino a zero, tanto maggiore è il quoziente. La tendenza può essere osservata ulteriormente passando alle frazioni e continuando a ridurre il numeratore:

Resta da notare che possiamo avvicinarci allo zero quanto vogliamo, aumentando il quoziente quanto vogliamo.

In questo processo non esiste lo zero e non esiste l'ultimo quoziente. Abbiamo indicato il movimento verso di essi sostituendo il numero con una sequenza convergente al numero che ci interessa:

Ciò implica una sostituzione simile per il dividendo:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Non per niente le frecce sono a doppia faccia: alcune sequenze possono convergere in numeri. Quindi possiamo associare la sequenza al suo limite numerico.

Consideriamo la sequenza dei quozienti:

Cresce illimitatamente, senza aspirare a nessun numero e superandolo. I matematici aggiungono simboli ai numeri ∞ per poter mettere una freccia a doppia punta accanto a tale sequenza:

Il confronto con i numeri di sequenze che hanno limite ci permette di proporre una soluzione al terzo esempio:

Dividendo elementalmente una sequenza convergente a 1000 per una sequenza di numeri positivi convergenti a 0, otteniamo una sequenza convergente a ∞.

5. Ed ecco la sfumatura con due zeri

Qual è il risultato della divisione di due sequenze di numeri positivi che convergono a zero? Se sono uguali, l'unità è identica. Se la sequenza dei dividendi converge a zero più velocemente, nel quoziente la sequenza ha un limite pari a zero. E quando gli elementi del divisore diminuiscono molto più velocemente di quelli del dividendo, la sequenza del quoziente crescerà notevolmente:

Situazione incerta. Ed è così che si chiama: incertezza del tipo 0/0 . Quando i matematici vedono sequenze che si adattano a tale incertezza, non si affrettano a dividere due numeri identici tra loro, ma a capire quale delle sequenze corre più velocemente verso lo zero e come esattamente. E ogni esempio avrà la sua risposta specifica!

6. Nella vita

La legge di Ohm mette in relazione corrente, tensione e resistenza in un circuito. Spesso è scritto in questa forma:

Permettiamoci di ignorare la chiara comprensione fisica e consideriamo formalmente il lato destro come il quoziente di due numeri. Immaginiamo di risolvere un problema scolastico sull'elettricità. La condizione fornisce la tensione in volt e la resistenza in ohm. La domanda è ovvia, la soluzione è in un’unica azione.

Vediamo ora la definizione di superconduttività: questa è la proprietà di alcuni metalli di avere resistenza elettrica pari a zero.

Bene, risolviamo il problema per un circuito superconduttore? Basta impostarlo R= 0 Se non funziona, la fisica solleva un problema interessante, dietro il quale, ovviamente, c’è una scoperta scientifica. E le persone che in questa situazione sono riuscite a dividere per zero hanno ricevuto il Premio Nobel. È utile poter aggirare eventuali divieti!