Abstract: Equazioni quadratiche ed equazioni di ordine superiore. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche. Da qui l'equazione: (10+x)(10 -x) =96 ovvero: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) La soluzione x = -2 non esiste per Diofanto, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Equazioni quadratiche in India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Equazioni quadratiche in al-Khorezmi. 1) “I quadrati sono radici uguali”, cioè ax2 + c = bx. 2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax2 = c. 3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax = c. 4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax2 + c = bx. 5) “Quadrati e radici sono uguali al numero”, cioè ax2 + bx = c. 6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c = ax2.

Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XIII e XVII. x2 + bx = c, per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti b, c fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Sul teorema di Vieta. "Se B + D per A - A 2 è uguale a BD, allora A è uguale a B ed è uguale a D." Nel linguaggio dell'algebra moderna, la formulazione Vieta di cui sopra significa: se (a + b)x - x2 = ab, cioè x2 - (a + b)x + ab = 0, allora x1 = a, x2 = b.

Metodi per risolvere equazioni quadratiche. 1. METODO: Fattorizzare il lato sinistro dell'equazione. Risolviamo l'equazione x2 + 10 x - 24 = 0. Fattorizziamo il membro sinistro: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x-2). Pertanto, l'equazione può essere riscritta come segue: (x + 12)(x - 2) = 0 Poiché il prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero. Pertanto, il lato sinistro dell'equazione diventa zero in x = 2, e anche in x = - 12. Ciò significa che i numeri 2 e - 12 sono le radici dell'equazione x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODO: Metodo di estrazione del quadrato completo. Risolviamo l'equazione x2 + 6 x - 7 = 0. Seleziona un quadrato completo sul lato sinistro. Per fare ciò, scriviamo l'espressione x2 + 6 x nella seguente forma: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Nell'espressione risultante, il primo termine è il quadrato del numero x e il secondo è il doppio prodotto di x per 3. Pertanto, per ottenere un quadrato completo, è necessario aggiungere 32, poiché x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Ora trasformiamo il lato sinistro dell'equazione x2 + 6 x - 7 = 0, sommandolo e sottraendo 32. Abbiamo: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Pertanto, questa equazione può essere scritta come segue: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Pertanto, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, oppure x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando la formula. Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 per 4 a e in sequenza abbiamo: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 AC,

4. METODO: Risoluzione di equazioni utilizzando il teorema di Vieta. Come è noto, l'equazione quadratica ridotta ha la forma x2 + px + c = 0. (1) Le sue radici soddisfano il teorema di Vieta, che per a = 1 ha la forma x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 e x 2 = 1, poiché q = 2 > 0 e p = - 3 0 e p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 e x 2 = 1, poiché q= - 5 0; x2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 e x 2 = - 1, poiché q = - 9

5. METODO: Risoluzione di equazioni utilizzando il metodo del “lancio”. Consideriamo l'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0. Moltiplicando entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione a 2 x2 + abx + ac = 0. Sia ax = y, da cui x = y/a; quindi arriviamo all'equazione y2 + by + ac = 0, che è equivalente a quella data. Troviamo le sue radici y1 e y2 usando il teorema di Vieta. Alla fine otteniamo x1 = y1/a e x1 = y2/a.

Esempio. Risolviamo l'equazione 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Soluzione. "Lanciamo" il coefficiente 2 al termine libero, di conseguenza otteniamo l'equazione y2 – 11 y + 30 = 0. Secondo il teorema di Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Risposta: 2, 5; 3.x1 = 2.5x2 = 3.

6. METODO: Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica. A. Sia data l’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0. 1) Se a + b + c = 0 (cioè la somma dei coefficienti è zero), allora x1 = 1, x2 = circa. Prova. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per a ≠ 0, otteniamo l'equazione quadratica ridotta x 2 + b/a x + c/a = 0. Secondo il teorema di Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Per condizione, a – b + c = 0, da cui b = a + c. Quindi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), cioè x1 = -1 e x2 = c/ a, che è cosa doveva essere dimostrato.

B. Se il secondo coefficiente b = 2 k è un numero pari, allora la formula per le radici B. L'equazione sopra x2 + px + q = 0 coincide con un'equazione generale in cui a = 1, b = p e c = Q. Pertanto, per l'equazione quadratica ridotta, la formula radice è

7. METODO: Soluzione grafica di un'equazione quadratica. Se nell'equazione x2 + px + q = 0 spostiamo il secondo e il terzo termine a destra, otteniamo x2 = - px - q. Costruiamo i grafici della dipendenza y = x2 e y = - px - q.

Esempio 1) Risolviamo graficamente l'equazione x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma x2 = 3 x + 4. Costruiamo una parabola y = x2 e una retta y = 3 x + 4. La retta y = 3 x + 4 può essere costruita utilizzando due punti M (0; 4) e N (3; 13) . Risposta: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando compasso e righello. trovare le radici di un compasso e di un righello (Fig. 5). equazioni Allora, per il teorema delle secanti, abbiamo OB OD = OA OC, da cui OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 utilizzando

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Il raggio del cerchio è maggiore dell'ordinata del centro (AS > SK, o R > un+"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma. z 2 + pz + q = 0. La scala curvilinea del nomogramma è costruita secondo le formule (Fig. 11): Assumendo OS = p, ED = q, OE = a (tutti in cm), Dalla somiglianza dei triangoli SAN e CDF otteniamo la proporzione

Esempi. 1) Per l'equazione z 2 - 9 z + 8 = 0, il nomogramma dà le radici z 1 = 8, 0 e z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) Usando un nomogramma, risolviamo l'equazione 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Dividendo i coefficienti di questa equazione per 2, otteniamo l'equazione z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Il nomogramma dà il radici z 1 = 4 e z 2 = 0, 5. 3) Per l'equazione z 2 - 25 z + 66 = 0, i coefficienti p e q sono fuori scala, eseguiamo la sostituzione z = 5 t, otteniamo la equazione t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, che risolviamo utilizzando nomogrammi e otteniamo t 1 = 0,6 e t 2 = 4,4, da cui z 1 = 5 t 1 = 3,0 e z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODO: Metodo geometrico per la risoluzione di equazioni quadratiche. Esempi. 1) Risolviamo l'equazione x2 + 10 x = 39. Nell'originale, questo problema è formulato così: “La radice quadrata e dieci radici sono uguali a 39” (Fig. 15). Per il lato x richiesto del quadrato originale otteniamo

y2 + 6 y - 16 = 0. La soluzione è mostrata in Fig. 16, dove y2 + 6 y = 16, oppure y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Soluzione. Le espressioni y2 + 6 y + 9 e 16 + 9 rappresentano geometricamente lo stesso quadrato e l'equazione originale y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 è la stessa equazione. Da ciò otteniamo che y + 3 = ± 5, ovvero y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).

Dalla storia delle equazioni quadratiche.

a) Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado, già nell'antichità, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di scavo di carattere militare, nonché come con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. Babilonesi. Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

x2 + x = , x2 – x = 14

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Problema 2. "Trova due numeri, sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96."

Diofanto ragiona così: dalle condizioni del problema ne consegue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Quindi, uno di essi sarà maggiore di metà della loro somma, cioè 0,10 + x. L'altro è inferiore, cioè 10 - x. La differenza tra loro è 2x. Da qui l'equazione:

(10+x)(10-x) =96,

O

100 -x2 = 96.

Quindi x = 2. Uno dei numeri richiesti è 12, l'altro è 8. La soluzione x = - 2 non esiste per Diofanto, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolvi questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, puoi arrivare alla soluzione dell'equazione:

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla risoluzione di un'equazione quadratica incompleta.
b) Equazioni quadratiche in India.

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), stabilì una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica

OH 2 + Bx = c, a > 0

Nell'equazione, i coefficienti eccetto UN, potrebbe essere negativo. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

Compito 3.

La soluzione di Bhaskara indica che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori.

L'equazione corrispondente al problema 3 è:

Bhaskara scrive sotto mentite spoglie:

x2 - 64x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, somma 32 2 ad entrambi i lati, ottenendo quindi:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

c) Equazioni quadratiche di Al-Khorezmi

Il trattato algebrico di Al-Khwarizmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendoli come segue:

1. 
   “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè ax 2 = bx.
2. 
   “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax 2 = c.
3. 
   "Le radici sono uguali al numero", cioè ax = c.
4. 
   “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax 2 + c = bx.
5. 
   "I quadrati e le radici sono uguali al numero", cioè ax 2 + bx = c.
6. 
   "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioè bx + c == ax 2.

Per Al-Khwarizmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-mukabal. La sua decisione, ovviamente, non coincide del tutto con la nostra. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo, Al-Khorezmi, come tutti i matematici fino al XVII secolo, non tiene conto dello zero soluzione, probabilmente perché nella pratica specifica non ha importanza nei compiti. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete, Al-Khwarizmi stabilisce le regole per risolverle utilizzando particolari esempi numerici e quindi le loro dimostrazioni geometriche.

Facciamo un esempio.

Problema 4. “Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice” (ovvero la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

Soluzione: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, ciò che rimane è 4. Prendi la radice da 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, ottieni 3, questo sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che dà 7, anche questa è una radice.

Il trattato di Al-Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, che espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e fornisce formule per la loro soluzione.

d) Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XIII-XVII.

Le formule per risolvere le equazioni quadratiche sul modello di al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro, che riflette l'influenza della matematica sia dei paesi islamici che dell'antica Grecia, si distingue per la sua completezza e chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XVI-XVII. e in parte XVIII.

Regola generale per la risoluzione di equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica

x2 + bx = c,

per tutte le possibili combinazioni di segni di coefficiente B, Con fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile in Vieta, ma Vieta riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie ai lavori di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Le origini dei metodi algebrici per risolvere problemi pratici sono associate alla scienza del mondo antico. Come è noto dalla storia della matematica, una parte significativa dei problemi di natura matematica, risolti dagli scribi-calcolatori egiziani, sumeri e babilonesi (XX-VI secolo a.C.), erano di natura computazionale. Tuttavia, anche allora, di tanto in tanto, sorgevano problemi in cui il valore desiderato di una quantità era specificato da determinate condizioni indirette che richiedevano, dal nostro punto di vista moderno, la composizione di un'equazione o di un sistema di equazioni. Inizialmente, per risolvere tali problemi venivano utilizzati metodi aritmetici. Successivamente iniziarono a formarsi gli inizi dei concetti algebrici. Ad esempio, i calcolatori babilonesi erano in grado di risolvere problemi che, dal punto di vista della classificazione moderna, possono essere ridotti a equazioni di secondo grado. È stato creato un metodo per risolvere i problemi delle parole, che in seguito è servito come base per isolare la componente algebrica e il suo studio indipendente.

Questo studio fu condotto in un'altra epoca, prima da matematici arabi (VI-X secolo d.C.), che individuarono le azioni caratteristiche mediante le quali le equazioni venivano portate a una forma standard: riportare termini simili, trasferire termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. E poi dai matematici europei del Rinascimento, che, come risultato di una lunga ricerca, crearono il linguaggio dell'algebra moderna, l'uso delle lettere, l'introduzione di simboli per le operazioni aritmetiche, parentesi, ecc. A cavallo del XVI- XVII secolo. l'algebra come parte specifica della matematica, con la propria materia, metodo e aree di applicazione, era già formata. Il suo ulteriore sviluppo, fino ai nostri giorni, è consistito nel migliorare i metodi, ampliare il campo delle applicazioni, chiarire i concetti e le loro connessioni con concetti di altri rami della matematica.

Pertanto, data l'importanza e la vastità del materiale relativo al concetto di equazione, il suo studio nei moderni metodi matematici è associato a tre aree principali della sua origine e funzionamento.

Ricerca

Sull'argomento

"Metodi per risolvere le equazioni quadratiche"

Eseguita:
gruppo 8 classe "G".

Responsabile del lavoro:
Benkovskaja Maria Michajlovna

Scopi e obiettivi del progetto.

1. Dimostrare che la matematica, come ogni altra scienza, ha i suoi misteri irrisolti.
2. Sottolineare che i matematici si distinguono per il pensiero non standard. E a volte l'ingegno e l'intuizione di un buon matematico ti stupiscono semplicemente!
3. Mostrare che il tentativo stesso di risolvere equazioni quadratiche ha contribuito allo sviluppo di nuovi concetti e idee in matematica.
4. Impara a lavorare con varie fonti di informazione.
5. Continuare il lavoro di ricerca in matematica

Fasi della ricerca

1. Storia dell'emergere di equazioni quadratiche.

2. Definizione di equazione quadratica e sue tipologie.

3. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando la formula discriminante.

4. Francois Viète e il suo teorema.

5. Proprietà dei coefficienti per trovare rapidamente le radici di un'equazione quadratica.

6. Orientamento pratico.

Attraverso equazioni, teoremi

Ho risolto molti problemi.

(Chaucer, poeta inglese, Medioevo.)

palcoscenico. La storia dell'emergere delle equazioni quadratiche.

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo, ma anche di secondo grado, anche in tempi antichi, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca di aree di terreni e lavori di sterro di natura militare, nonché con lo sviluppo dell’astronomia e della matematica stessa.

I babilonesi furono in grado di risolvere equazioni quadratiche intorno al 2000 a.C. La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quelli moderni, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a trovare la regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado, ma non contiene una presentazione sistematica dell'algebra.

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nei trattati astronomici “Aryabhattiam”, compilati nel 499. Matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica:

Il trattato algebrico di Al-Khwarizmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore elenca 6 tipi di equazioni. Per al-Khwarizmi, che non conosceva i numeri negativi, i termini di ciascuna equazione sono addendi, non sottrattivi. Allo stesso tempo, le equazioni che non hanno soluzioni positive ovviamente non vengono prese in considerazione; quando si risolve un'equazione quadratica incompleta, al-Khorezmi, come tutti gli scienziati fino al XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero.

Il trattato di Al-Khwarizmi è il primo libro che ci è pervenuto, in cui espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e delle formule per la loro soluzione.

Le formule per risolvere le equazioni quadratiche sul modello di al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel Libro dell'Abaco, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro si distingue per la sua completezza e chiarezza di presentazione. L'autore sviluppò in modo indipendente alcuni nuovi metodi algebrici per risolvere i problemi e fu il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del "Libro dell'Abaco" furono trasferiti a quasi tutti i libri di testo europei del XVI-XVII secolo e in parte del XVIII secolo.

Regola generale per la risoluzione di equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti b, c fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile presso Viète, ma Viète riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo a tenere conto non solo delle radici positive, ma anche di quelle negative. Solo nel XVII secolo, grazie alle opere di Girrard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assunse la sua forma moderna.

RISULTA:

Problemi riguardanti le equazioni quadratiche furono riscontrati già nel 499.

Nell'antica India erano comuni gare pubbliche per risolvere problemi difficili: le OLIMPIADI .

©2015-2019 sito
Tutti i diritti appartengono ai loro autori. Questo sito non ne rivendica la paternità, ma ne fornisce l'uso gratuito.
Data di creazione della pagina: 2016-04-11

Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Repubblica del Tatarstan

Istituzione educativa di bilancio comunale

"Scuola Secondaria di Usad

Distretto municipale di Vysokogorsky della Repubblica del Tatarstan"

Lavoro di ricerca:

"Storia emergenzapiazza equazioni»

Completato da: Andreeva Ekaterina,

Studente di grado 8B

Consulente scientifico:

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

insegnante di matematica

introduzione

Chi vuole limitarsi al presente?

senza conoscenza del passato,

non lo capirà mai.

G.V. Leibniz

Le equazioni occupano un posto di primo piano nel corso di matematica scolastica, ma nessuno dei tipi di equazioni ha trovato un'applicazione così ampia come le equazioni quadratiche.

Le persone erano in grado di risolvere equazioni di secondo grado o equazioni quadratiche già nell'antica Babilonia nel II millennio a.C. I problemi che portano alle equazioni quadratiche sono discussi in molti antichi manoscritti e trattati di matematica. E oggigiorno molti problemi di algebra, geometria e fisica vengono risolti anche utilizzando equazioni quadratiche. Risolvendoli, le persone trovano risposte a varie domande della scienza e della tecnologia.

Bersaglio Questo studio è quello di studiare la storia dell'emergere di equazioni quadratiche.

Per raggiungere questo obiettivo, è necessario risolvere i seguenti compiti:

1. Studiare la letteratura scientifica sull'argomento.
2. Traccia la storia dell'emergere delle equazioni quadratiche.

Oggetto di studio: equazioni quadratiche.

Materia di studio: storia dell'emergere delle equazioni quadratiche.

Pertinenza dell'argomento :

1. Le persone hanno risolto equazioni quadratiche fin dai tempi antichi. Volevo conoscere la storia delle equazioni quadratiche.
2. Non ci sono informazioni nei libri di testo scolastici sulla storia delle equazioni quadratiche.

Metodi di ricerca:

1. Lavorare con la letteratura scientifica educativa e divulgativa.
2. Osservazione, confronto, analisi.

Il valore scientifico del lavoro, a mio avviso, sta nel fatto che questo materiale può interessare gli scolari interessati alla matematica e gli insegnanti delle classi extrascolastiche.

Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia.

Nell'Antica Babilonia, la necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento delle aree di terreno e ai lavori di scavo di carattere militare, nonché con la sviluppo dell’astronomia e della matematica stessa.

Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

x2 - x = 14,5

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

Un esempio tratto da una delle tavolette d'argilla di questo periodo.

"L'area della somma di due quadrati è 1000. Il lato di uno dei quadrati è il lato dell'altro quadrato ridotto di 10. Quali sono i lati dei quadrati?"

Ciò porta ad equazioni la cui soluzione si riduce alla risoluzione di un'equazione quadratica con radice positiva.

In realtà la soluzione nel testo cuneiforme si limita, come in tutti i problemi orientali, ad un semplice elenco dei passaggi di calcolo necessari per risolvere l'equazione quadratica:

“Piazza 10; questo dà 100; sottrarre 100 da 1000; questo dà 900" eccetera

Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche

Diofanto presenta uno dei misteri più difficili della storia della scienza. Fu uno dei matematici greci antichi più originali, Diofanto di Alessandria, le cui opere furono di grande importanza per l'algebra e la teoria dei numeri. Né l'anno di nascita né la data di morte di Diofanto sono stati ancora chiariti. Il periodo di tempo in cui Diofanto avrebbe potuto vivere è mezzo millennio! Si ritiene che sia vissuto nel III secolo d.C. Ma il luogo di residenza di Diofanto è ben noto: questa è la famosa Alessandria, il centro del pensiero scientifico del mondo ellenistico.

Delle opere di Diofanto, la più importante è l'Aritmetica, di cui solo 6 sono sopravvissuti fino ad oggi di 13 libri.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Compito: “Trova due numeri, sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96”

Diofanto ragiona così: dalle condizioni del problema ne consegue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Quindi, uno di essi sarà maggiore di metà della loro somma, cioè . 10+x, l'altro è minore, cioè 10. La differenza tra loro 2x.

Da qui l'equazione:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 -x2 = 96

x2 - 4 = 0 (1)

Da qui x = 2. Uno dei numeri richiesti è uguale a 12 , altro 8 . Soluzione x = -2 poiché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolviamo questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, arriveremo alla soluzione dell'equazione

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla soluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).

Equazioni quadratiche dall'aritmetica di Diofanto:

1. 12x2 +x = 1
2. 630x2+73x=6.

Anche nell'antichità l'India era famosa per le sue conoscenze nel campo dell'astronomia, della grammatica e di altre scienze.

Gli scienziati indiani hanno ottenuto il massimo successo in questo campo matematici. Furono i fondatori dell'aritmetica e dell'algebra, nel cui sviluppo andarono oltre i Greci.

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499. Matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò la regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica: ax 2 + bx = c, a> 0.

La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.
I concorsi pubblici erano comuni nell’antica India
nella risoluzione di problemi difficili. Uno dei vecchi libri indiani dice quanto segue su tali competizioni: “Proprio come il sole supera le stelle con il suo splendore, così un uomo dotto eclisserà la gloria di un altro nelle assemblee pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici”.

I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.
Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskar:

« Uno stormo di scimmie allegre,

Dopo aver mangiato a mio piacimento, mi sono divertito.

Ci sono otto parti quadrate,

Mi stavo divertendo nella radura.

E dodici lungo le vigne...

Hanno cominciato a saltare, ad impiccarsi...

Quante scimmie c'erano?

Dimmi, in questo pacchetto?

La soluzione di Bhaskara indica che sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori.

L'equazione corrispondente al problema

Bhaskara scrive nella forma x 2 - 64x = -768 e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, aggiungi 32 2 ad entrambi i lati, ottenendo quindi:

x2 -64x+322 = -768+1024,

x1 =16, x2 =48.

Equazioni quadratiche in Cina (I millennio aC).

I primi monumenti scritti cinesi giunti fino a noi risalgono all'epoca Shang (XVIII-XII secolo a.C.). E già sulle ossa della predizione del futuro del XIV secolo. AVANTI CRISTO AC, trovato nell'Henan, le designazioni dei numeri sono state conservate. Ma il vero fiorire della scienza iniziò dopo il XII secolo. AVANTI CRISTO e. La Cina fu conquistata dai nomadi Zhou. Durante questi anni, la matematica e l'astronomia cinesi emersero e raggiunsero vette sorprendenti. Apparvero i primi calendari accurati e libri di testo di matematica. Sfortunatamente, lo “sterminio dei libri” da parte dell’imperatore Qin Shi Huang (Shi Huangdi) non ha permesso che i primi libri arrivassero fino a noi, ma molto probabilmente costituirono la base per i lavori successivi.

"La matematica in nove libri" è la prima opera matematica di una serie di classici dell'antica Cina, un notevole monumento dell'antica Cina durante la prima dinastia Han (206 a.C. - 7 d.C.). Questo saggio contiene materiale matematico vario e ricco, comprese le equazioni quadratiche.

Sfida cinese: “C'è un serbatoio con un lato di 10 cm. Al suo centro c'è una canna che sporge sopra l'acqua di 1 ora. Se tiri la canna verso la riva, la toccherà semplicemente. La domanda è: qual è la profondità dell'acqua e qual è la lunghezza delle canne?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x2 +2x+1= x2 +25,

Risposta: 12chi; 13:00

Equazioni quadratiche di al-Khwarizmi

"Ho compilato un breve libro sul calcolo dell'algebra e dell'almukabala, contenente domande di aritmetica semplici e complesse, perché questo è necessario per le persone." Al-Khorezmi Mohammed ben Musa.

Al-Khorezmi (Uzbekistan) è meglio conosciuto per il suo “Libro del completamento e dell’opposizione” (“Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala”), dal cui nome deriva la parola “algebra”. derivato. Questo trattato è il primo libro che ci è pervenuto, che espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e fornisce formule per la loro soluzione.

Nella parte teorica del suo trattato, al-Khorezmi fornisce una classificazione delle equazioni di 1° e 2° grado e identifica sei dei loro tipi:

1) “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè ax 2 = bx. (esempio:)

2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax 2 = s. (esempio:)

3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax = c. (esempio:)

4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax 2 + c = bx. (esempio:)

5) “I quadrati e le radici sono uguali al numero”, cioè ax 2 + bx = c.

6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c == ax 2. (esempio:)

Per al-Khwarizmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-mukabal. La sua decisione, ovviamente, non coincide del tutto con la nostra. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando si risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo, al-Khorezmi, come tutti i matematici fino al XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché nella pratica specifica non ha importanza nei compiti. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete, al-Khwarizmi stabilisce le regole per risolverle utilizzando particolari esempi numerici e quindi le loro dimostrazioni geometriche.

Facciamo un esempio.

“Il quadrato e il numero 21 equivalgono a 10 radici. Trova la radice"(implicando la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

La soluzione dell'autore è più o meno questa: “Dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, ciò che rimane è 4. Prendi la radice da 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, ottieni 3, questa sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che dà 7, anche questa è una radice.

La famosa equazione di Al-Khwarizmi: "Un quadrato e dieci radici equivalgono a 39." X 2 + 10X= 39 (IX secolo). Nel suo trattato scrive: “La regola è questa: raddoppiando il numero delle radici, in questo problema se ne ottengono cinque. Aggiungendolo a trentanove, diventa sessantaquattro. Prendi la radice di questo, diventa otto, e sottrai da questo la metà del numero di radici, cioè cinque, rimane tre: questa sarà la radice del quadrato che stavi cercando.”

Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XII-XVII.

Le forme per risolvere le equazioni quadratiche seguendo il modello di Al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202. Matematico italiano Leonardo Fibonacci. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi.

Questo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi di questo libro furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XIV-XVII. La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte alla forma x 2 + bх = с per tutte le possibili combinazioni di segni e coefficienti b, c fu formulata in Europa nel 1544 da M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile presso Viète, ma Viète riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie ai lavori di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Conclusione.

Le equazioni quadratiche sono il fondamento su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Varie equazioni, sia quadratiche che equazioni di grado superiore, furono risolte dai nostri lontani antenati. Queste equazioni sono state risolte in paesi molto diversi e lontani. Il bisogno di equazioni era grande. Le equazioni venivano utilizzate nell'edilizia, negli affari militari e nelle situazioni quotidiane.

Al giorno d'oggi, la capacità di risolvere equazioni quadratiche è necessaria per tutti. La capacità di risolvere rapidamente, razionalmente e correttamente le equazioni quadratiche rende più facile completare molti argomenti in un corso di matematica. Le equazioni quadratiche vengono risolte non solo nelle lezioni di matematica, ma anche in quelle di fisica, chimica e informatica. La maggior parte dei problemi pratici nel mondo reale si riducono anche alla risoluzione di equazioni quadratiche.

Letteratura

1. Bashmakova I. G. Diofanto ed equazioni diofantee. M.: Nauka, 1972.
2. Berezkina E.I. Matematica dell'antica Cina - M.: Nauka, 1980
3. Pichurin L.F. Dietro le pagine di un libro di testo di algebra: Libro. per studenti

7-9 gradi media scolastica - M.: Educazione, 1990

1. Glazer G.I. Storia della matematica nella scuola VII - VIII gradi. Manuale per gli insegnanti. - M.: Educazione, 1982.

Dalla storia delle equazioni quadratiche Autore: studentessa della 9a classe “A” Svetlana Radchenko Supervisore: Alabugina I.A. insegnante di matematica MBOU “Scuola secondaria n. 5 di Guryevsk” Regione di Kemerovo Area tematica della presentazione: matematica Realizzato per aiutare l'insegnante Totale 20 diapositive Contenuto Introduzione……………… …………… ……………3 Dalla storia dell'emergere delle equazioni quadratiche Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia…………….4 Equazioni quadratiche in India……………… …………...5 Equazioni quadratiche in Al-Khwarizmi……………6 Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche……… ..... 7 Le equazioni quadratiche in Europa Xll – XVll secoli……………...8 3. Le equazioni quadratiche oggi…………… …………… .10 Metodologia per lo studio delle equazioni quadratiche………………11 10 modi per risolvere le equazioni quadratiche…………… .12 Algoritmo per risolvere equazioni quadratiche incomplete………… ………………13 Algoritmo per risolvere un'equazione quadratica completa…………..14 Risolvere le equazioni quadratiche date……………… …………………15 4. Applicazioni pratiche delle equazioni quadratiche per la risoluzione di problemi applicati……………………………… .16 5. Conclusione. ……………………………………………………………………18 1. 2. 6. Elenco dei riferimenti utilizzati………………… ………………… …………….19 2 Introduzione Considera infelice quel giorno o quell'ora in cui non hai imparato nulla di nuovo, non ha aggiunto nulla alla tua educazione. Jan Amos Comenius 3 Le equazioni quadratiche sono il fondamento su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Sono ampiamente utilizzati nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trascendenti. Le equazioni quadratiche occupano un posto di primo piano nel corso di algebra scolastica. Molto tempo nel corso di matematica della scuola è dedicato al loro studio. Fondamentalmente, le equazioni quadratiche servono a scopi pratici specifici. La maggior parte dei problemi relativi alle forme spaziali e alle relazioni quantitative nel mondo reale si riducono alla risoluzione di vari tipi di equazioni, comprese quelle quadratiche. Padroneggiando i modi per risolverli, le persone trovano risposte a varie domande della scienza e della tecnologia. Dalla storia dell'emergere delle equazioni quadratiche Antica Babilonia: già circa 2000 anni aC, i Babilonesi sapevano come risolvere le equazioni quadratiche. Erano noti metodi per risolvere equazioni quadratiche sia complete che incomplete. Ad esempio, nell'antica Babilonia furono risolte le seguenti equazioni quadratiche: 4 India I problemi risolti utilizzando equazioni quadratiche si trovano nel trattato di astronomia "Aryabhattiam", scritto dall'astronomo e matematico indiano Aryabhatta nel 499 d.C. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta, delineò una regola universale per risolvere un'equazione quadratica ridotta alla sua forma canonica: ax2+bx=c; Inoltre, si presumeva che tutti i coefficienti in esso contenuti, ad eccezione di “a”, potessero essere negativi. La regola formulata dallo scienziato coincide sostanzialmente con quella moderna. 5 Equazioni quadratiche in Al-Khorezmi: Nel trattato algebrico di Al-Khorezmi viene fornita una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendole come segue: "I quadrati sono uguali alle radici", cioè ax2 = bx.; “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax2 = c; “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax = c; "I quadrati e i numeri sono uguali alle radici", cioè ax2 + c = bx; “I quadrati e le radici sono uguali al numero”, cioè ax2 + bx = c; "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioè bx + c = ax2. 6 Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche: uno dei matematici greci antichi più singolari fu Diofanto di Alessandria. Né l'anno di nascita né la data di morte di Diofanto sono stati chiariti; Si ritiene che sia vissuto nel 3° secolo. ANNO DOMINI Delle opere di Diofanto, la più importante è l'Aritmetica, di cui solo 6 sono sopravvissuti fino ad oggi di 13 libri. L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado. Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione. 7 Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XII-XVII: il matematico italiano Leonardo Fibonacci sviluppò in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici per risolvere problemi e fu il primo in Europa a introdurre i numeri negativi. La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica x2 + bх = с per tutte le possibili combinazioni di segni e coefficienti b, c fu formulata in Europa nel 1544 da Michael Stiefel. 8 François Viète Il matematico francese F. Viète (1540-1603), introdusse un sistema di simboli algebrici e sviluppò i fondamenti dell'algebra elementare. Fu uno dei primi a denotare i numeri con lettere, il che sviluppò in modo significativo la teoria delle equazioni. La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile presso Viète, ma Viète riconosceva solo radici positive. 9 Equazioni quadratiche oggi La capacità di risolvere equazioni quadratiche serve come base per risolvere altre equazioni e i loro sistemi. Imparare a risolvere le equazioni inizia con i loro tipi più semplici e il programma determina l'accumulo graduale di entrambi i tipi e il "fondo" di trasformazioni identiche ed equivalenti, con l'aiuto del quale è possibile ridurre un'equazione arbitraria alla più semplice. In questa direzione dovrebbe essere costruito anche il processo di sviluppo di tecniche generalizzate per la risoluzione di equazioni in un corso di algebra scolastica. In un corso di matematica delle scuole superiori, gli studenti si trovano di fronte a nuove classi di equazioni, sistemi o con uno studio approfondito di equazioni già conosciute 10 Metodi per studiare le equazioni quadratiche Con l'inizio dello studio di un corso di algebra sistematica, l'attenzione principale è pagato ai metodi di risoluzione delle equazioni quadratiche, che diventano un oggetto speciale di studio. Questo argomento è caratterizzato da una grande profondità di presentazione e dalla ricchezza delle connessioni stabilite con il suo aiuto nell'insegnamento, e dalla validità logica della presentazione. Pertanto occupa una posizione eccezionale nella linea delle equazioni e delle disuguaglianze. Un punto importante nello studio delle equazioni quadratiche è la considerazione del teorema di Vieta, che afferma l'esistenza di una relazione tra radici e coefficienti dell'equazione quadratica ridotta. La difficoltà di padroneggiare il teorema di Vieta è dovuta a diverse circostanze. Innanzitutto è necessario tenere conto della differenza tra il teorema diretto e quello inverso. 11 10 modi per risolvere equazioni quadratiche: Fattorizzare il lato sinistro dell'equazione. Metodo per selezionare un quadrato completo. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando la formula. Risoluzione di equazioni utilizzando il teorema di Vieta. Risoluzione di equazioni mediante il metodo del “lancio”.Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica. Soluzione grafica di un'equazione quadratica. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando compasso e righello. 12 Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma. Metodo geometrico per la risoluzione di equazioni quadratiche. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche incomplete 1) se l'equazione ha la forma ax2 = 0, allora ha una radice x = 0; 2) se l'equazione ha la forma ax2 + bx = 0, allora viene utilizzato il metodo della fattorizzazione: x (ax + b) = 0; questo significa x = 0 oppure ax + b = 0. Di conseguenza, otteniamo due radici: x1 = 0; x2 = 3) se l'equazione ha la forma ax2 + c = 0, allora viene trasformata nella forma ax2 = - c e poi x2.= Nel caso in cui -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, cioè - = m, dove m>0, l'equazione x2 = m ha due radici. Pertanto, un'equazione quadratica incompleta può avere due radici, una radice o nessuna radice. 13 Algoritmo per risolvere un'equazione quadratica completa. Queste sono equazioni della forma ax2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri e ≠ 0, x è un'incognita. Qualsiasi equazione quadratica completa può essere convertita in forma per determinare il numero di radici dell'equazione quadratica e trovare queste radici. Vengono considerati i seguenti casi di risoluzione di equazioni quadratiche complete: D< 0, D = 0, D >0. 1. Se D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, allora l'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 ha due radici, che si trovano dalle formule: ; 14 Soluzione di equazioni quadratiche ridotte Teorema di F. Vieta: La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. In altre parole, se x1 e x2 sono le radici dell'equazione x2 +px + q = 0, allora x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Teorema inverso del teorema di Vieta: Se le formule (*) sono valide per i numeri x1, x2, p, q, allora x1 e x2 sono le radici dell'equazione x2 +px + q = 0. 15 Applicazioni pratiche di equazioni quadratiche per la risoluzione di problemi applicati Bhaskar ( 1114-1185) - il più grande matematico e astronomo indiano del XII secolo. Ha diretto l'osservatorio astronomico di Ujjain. Bhaskara scrisse il trattato “Siddhanta-shiromani” (“Corona dell'insegnamento”), composto da quattro parti: “Lilavati” è dedicato all'aritmetica, “Bizhaganita” - all'algebra, “Goladhaya” - alle sfere, “Granhaganita” - alla teoria dei moti planetari. Bhaskara ottenne le radici negative delle equazioni, sebbene dubitasse del loro significato. Possiede uno dei primi progetti di una macchina a moto perpetuo. 16 Uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskara: la soluzione di Bhaskara mostra che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori. 17 Conclusione Lo sviluppo della scienza della risoluzione delle equazioni quadratiche ha percorso un percorso lungo e spinoso. Solo dopo i lavori di Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Cartesio e Newton la scienza della risoluzione delle equazioni quadratiche assunse la sua forma moderna. Il significato delle equazioni quadratiche non risiede solo nell'eleganza e nella brevità della risoluzione dei problemi, sebbene anche questo sia molto importante. È altrettanto importante che, come risultato dell'uso delle equazioni quadratiche nella risoluzione dei problemi, vengano spesso scoperti nuovi dettagli, si possano fare generalizzazioni interessanti e si possano fare chiarimenti, suggeriti dall'analisi delle formule e delle relazioni risultanti. Studiando la letteratura e le risorse Internet relative alla storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche, mi sono chiesto: "Cosa ha motivato gli scienziati che hanno vissuto in un momento così difficile a impegnarsi nella scienza, anche sotto la minaccia di morte?" Probabilmente, prima di tutto, è la curiosità della mente umana la chiave per lo sviluppo della scienza. Domande sull'essenza del mondo, sul posto dell'uomo in questo mondo perseguitano in ogni momento le persone pensanti, curiose e intelligenti. Le persone hanno sempre cercato di comprendere se stesse e il proprio posto nel mondo. Guardati dentro, forse la tua naturale curiosità sta soffrendo perché hai ceduto alla quotidianità e alla pigrizia? I destini di molti scienziati sono 18 esempi da seguire. Non tutti i nomi sono conosciuti e popolari. Pensaci: come sono per le persone a me vicine? Ma la cosa più importante è come mi sento riguardo a me stesso, sono degno di rispetto? Pensateci... Riferimenti 1. Zvavich L.I. "Algebra 8th grade", M., 2002. 2. Savin Yu.P. "Dizionario enciclopedico di un giovane matematico", M., 1985. 3. Yu. N. Makarychev "Algebra 8th grade", M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index- 2427. html 19 Grazie per l'attenzione 20