Grado e sue proprietà. La guida completa (2019). Grado negativo

Formule di laurea utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disequazioni.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con i gradi.

1. Moltiplicando i gradi con la stessa base, si sommano i loro indicatori:

Sono·a n = a m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti:

3. Il grado del prodotto di 2 o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = a n /b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(a m) n = a m n .

Ciascuna formula sopra è vera nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con le radici.

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero radicale a questa potenza:

4. Se aumenti il ​​grado della radice in N una volta e allo stesso tempo incorporare N l'esima potenza è un numero radicale, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice in N estrarre contemporaneamente la radice N-esima potenza di un numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente non positivo (intero) è definita come quella divisa per la potenza dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche con M< N.

Per esempio. UN4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Alla formula Sono:a n = a m - nè diventato giusto quando m=n, è richiesta la presenza di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per aumentare un numero reale UN al grado m/n, devi estrarre la radice N° grado di M-esima potenza di questo numero UN.

Un numero elevato a una potenza Chiamano un numero che viene moltiplicato per se stesso più volte.

Potenza di un numero con valore negativo (UN) può essere determinato in modo simile a come viene determinata la potenza dello stesso numero con esponente positivo (UN) . Tuttavia, richiede anche una definizione aggiuntiva. La formula è definita come:

UN = (1/un)

Le proprietà delle potenze negative dei numeri sono simili alle potenze con esponente positivo. Equazione presentata UN m/a n= un m-n potrebbe essere giusto come

« Da nessuna parte, come in matematica, la chiarezza e l’accuratezza della conclusione consentono a una persona di divincolarsi dalla risposta ragionando sulla domanda».

A.D. Alexandrov

A N Di più M , e con M Di più N . Diamo un'occhiata ad un esempio: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Per prima cosa è necessario determinare il numero che funge da definizione della laurea. b=a(-n) . In questo esempio -N è un esponente B - il valore numerico desiderato, UN - la base della laurea sotto forma di valore numerico naturale. Determinare quindi il modulo, cioè il valore assoluto di un numero negativo, che funge da esponente. Calcola il grado di un dato numero rispetto a un numero assoluto, come indicatore. Il valore del grado si trova dividendo uno per il numero risultante.

Riso. 1

Considera la potenza di un numero con esponente frazionario negativo. Immaginiamo che il numero a sia un numero positivo qualsiasi, numeri N E M - numeri interi. Secondo definizione UN , che viene elevato al potere - è uguale a uno diviso per lo stesso numero con una potenza positiva (Figura 1). Quando la potenza di un numero è una frazione, in questi casi vengono utilizzati solo numeri con esponenti positivi.

Vale la pena ricordare che lo zero non può mai essere un esponente di un numero (la regola della divisione per zero).

La diffusione di un concetto come il numero divenne una manipolazione come i calcoli di misurazione, nonché lo sviluppo della matematica come scienza. L'introduzione dei valori negativi fu dovuta allo sviluppo dell'algebra, che fornì soluzioni generali ai problemi aritmetici, indipendentemente dal loro significato specifico e dai dati numerici originali. In India, nei secoli VI-XI, i numeri negativi venivano utilizzati sistematicamente per risolvere i problemi e venivano interpretati allo stesso modo di oggi. Nella scienza europea, i numeri negativi iniziarono ad essere ampiamente utilizzati grazie a R. Descartes, che diede un'interpretazione geometrica dei numeri negativi come direzioni dei segmenti. Fu Cartesio a proporre la designazione di un numero elevato a potenza da rappresentare come una formula a due piani UN .

In questo articolo scopriremo di cosa si tratta grado di. Qui daremo le definizioni della potenza di un numero, mentre considereremo in dettaglio tutti i possibili esponenti, iniziando dall'esponente naturale e finendo con quello irrazionale. Nel materiale troverai molti esempi di gradi, che coprono tutte le sottigliezze che si presentano.

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Potenza con esponente naturale, quadrato di un numero, cubo di un numero

Iniziamo con . Guardando al futuro, diciamo che per a è data la definizione della potenza di un numero a con esponente naturale n, che chiameremo base di laurea, e n, che chiameremo esponente. Notiamo anche che un grado con esponente naturale è determinato attraverso un prodotto, quindi per comprendere il materiale seguente è necessario avere una comprensione della moltiplicazione dei numeri.

Definizione.

Potenza di un numero con esponente naturale nè un'espressione della forma a n, il cui valore è uguale al prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a, cioè .
In particolare, la potenza di un numero a con esponente 1 è il numero a stesso, cioè a 1 =a.

Vale la pena menzionare subito le regole per leggere i titoli di studio. Il modo universale per leggere la notazione a n è: “a alla potenza di n”. In alcuni casi sono accettabili anche le seguenti opzioni: “a all'ennesima potenza” e “ennesima potenza di a”. Ad esempio, prendiamo la potenza 8 12, questo è "otto alla potenza di dodici", o "otto alla dodicesima potenza", o "dodicesima potenza di otto".

La seconda potenza di un numero, così come la terza potenza di un numero, hanno i propri nomi. Viene chiamata la seconda potenza di un numero elevare al quadrato il numero, ad esempio, 7 2 viene letto come “sette quadrati” o “il quadrato del numero sette”. Viene chiamata la terza potenza di un numero numeri al cubo, ad esempio, 5 3 può essere letto come “cinque cubi” oppure puoi dire “cubo del numero 5”.

È ora di portare esempi di gradi con esponenti naturali. Cominciamo con il grado 5 7, qui 5 è la base del grado e 7 è l'esponente. Facciamo un altro esempio: 4.32 è la base e il numero naturale 9 è l'esponente (4.32) 9 .

Tieni presente che nell'ultimo esempio tra parentesi è scritta la base della potenza 4,32: per evitare discrepanze metteremo tra parentesi tutte le basi della potenza diverse dai numeri naturali. Ad esempio, diamo i seguenti gradi con esponenti naturali , le loro basi non sono numeri naturali, quindi sono scritti tra parentesi. Ebbene, per completa chiarezza, a questo punto mostreremo la differenza contenuta nei record della forma (−2) 3 e −2 3. L'espressione (−2) 3 è una potenza di −2 con esponente naturale di 3, e l'espressione −2 3 (può essere scritta come −(2 3) ) corrisponde al numero, il valore della potenza 2 3 .

Nota che esiste una notazione per la potenza di un numero a con esponente n della forma a^n. Inoltre, se n è un numero naturale multivalore, l'esponente viene messo tra parentesi. Ad esempio, 4^9 è un'altra notazione per la potenza di 4 9 . Ed ecco alcuni altri esempi di scrittura dei gradi utilizzando il simbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Di seguito utilizzeremo principalmente la notazione dei gradi nella forma a n .

Uno dei problemi inversi all'elevazione a potenza con esponente naturale è il problema di trovare la base di una potenza a partire da un valore noto della potenza e da un esponente noto. Questo compito porta a .

È noto che l'insieme dei numeri razionali è costituito da numeri interi e frazioni, e ciascuna frazione può essere rappresentata come frazione ordinaria positiva o negativa. Abbiamo definito un grado con esponente intero nel paragrafo precedente, quindi, per completare la definizione di grado con esponente razionale, dobbiamo dare significato al grado del numero a con esponente frazionario m/n, dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Facciamolo.

Consideriamo un grado con esponente frazionario della forma . Perché la proprietà potere-potere rimanga valida, l’uguaglianza deve valere . Se prendiamo in considerazione l'uguaglianza risultante e il modo in cui l'abbiamo determinata , allora è logico accettarla a condizione che dati m, ne a l'espressione abbia senso.

È facile verificare che per tutte le proprietà di un grado con esponente intero sono valide (questo è stato fatto nella sezione proprietà di un grado con esponente razionale).

Il ragionamento sopra esposto ci permette di fare quanto segue conclusione: se dati m, ne a l'espressione ha senso, allora la potenza di a con esponente frazionario m/n è detta radice n-esima di a elevata a m.

Questa affermazione ci avvicina alla definizione di grado con esponente frazionario. Non resta che descrivere in quali m, n e a l'espressione ha senso. A seconda delle restrizioni poste su m, n e a, esistono due approcci principali.

Il modo più semplice è imporre un vincolo su a prendendo a≥0 per m positivo e a>0 per m negativo (poiché per m≤0 il grado 0 di m non è definito). Quindi otteniamo la seguente definizione di grado con esponente frazionario.

Definizione.

Potenza di un numero positivo a con esponente frazionario m/n, dove m è un intero en è un numero naturale, è chiamata radice n-esima del numero a elevata a m, cioè .

Anche la potenza frazionaria dello zero viene determinata con l'unica avvertenza che l'indicatore deve essere positivo.

Definizione.

Potenza dello zero con esponente positivo frazionario m/n, dove m è un intero positivo e n è un numero naturale, è definito come .
Quando il grado non è determinato, cioè il grado del numero zero con esponente negativo frazionario non ha senso.

Va notato che con questa definizione di grado con esponente frazionario, c'è un avvertimento: per alcuni a negativi e alcuni m e n, l'espressione ha senso, e abbiamo scartato questi casi introducendo la condizione a≥0. Ad esempio, le voci hanno un senso o , e la definizione data sopra ci costringe a dire che potenze con esponente frazionario della forma non ha senso, poiché la base non dovrebbe essere negativa.

Un altro approccio per determinare un grado con un esponente frazionario m/n consiste nel considerare separatamente gli esponenti pari e dispari della radice. Questo approccio richiede una condizione aggiuntiva: la potenza del numero a, il cui esponente è , è considerata la potenza del numero a, il cui esponente è la corrispondente frazione irriducibile (spiegheremo l'importanza di questa condizione più avanti ). Cioè, se m/n è una frazione irriducibile, allora per qualsiasi numero naturale k il grado viene prima sostituito da .

Per n pari e m positivo, l'espressione ha senso per qualsiasi a non negativo (una radice pari di un numero negativo non ha senso); per m negativo, il numero a deve essere comunque diverso da zero (altrimenti ci sarà divisione per zero). E per n dispari e m positivo, il numero a può essere qualsiasi (la radice di un grado dispari è definita per qualsiasi numero reale), e per m negativo, il numero a deve essere diverso da zero (in modo che non vi sia divisione per zero).

Il ragionamento precedente ci porta a questa definizione di grado con esponente frazionario.

Definizione.

Sia m/n una frazione irriducibile, m un numero intero e n un numero naturale. Per ogni frazione riducibile, il grado è sostituito da . La potenza di un numero con esponente frazionario irriducibile m/n è per



Spieghiamo perché un grado con esponente frazionario riducibile viene prima sostituito da un grado con esponente irriducibile. Se definissimo semplicemente il grado come , e non facessimo alcuna riserva sull’irriducibilità della frazione m/n, allora ci troveremmo di fronte a situazioni simili alla seguente: poiché 6/10 = 3/5, allora deve valere l’uguaglianza , Ma , UN .

In uno degli articoli precedenti abbiamo già menzionato la potenza di un numero. Oggi proveremo a navigare nel processo di ricerca del suo significato. Scientificamente parlando, scopriremo come elevare correttamente a una potenza. Scopriremo come si svolge questo processo e allo stesso tempo toccheremo tutti i possibili esponenti: naturale, irrazionale, razionale, intero.

Quindi, diamo uno sguardo più da vicino alle soluzioni degli esempi e scopriamo cosa significa:

1. Definizione del concetto.
2. Elevando a negativo l'art.
3. Un intero indicatore.
4. Elevare un numero a una potenza irrazionale.

Ecco una definizione che ne riflette accuratamente il significato: “L’elevamento a potenza è la definizione del valore della potenza di un numero”.

Pertanto, innalzando la cifra a di cui all'art. r e il processo per trovare il valore del grado a con l'esponente r sono concetti identici. Ad esempio, se l'attività è calcolare il valore della potenza (0,6)6", allora può essere semplificata nell'espressione "Elevare il numero 0,6 alla potenza di 6".

Successivamente, puoi procedere direttamente alle regole di costruzione.

Elevare a una potenza negativa

Per chiarezza, dovresti prestare attenzione alla seguente catena di espressioni:

110=0,1=1* 10 meno 1 cucchiaio,

1100=0,01=1*10 in meno 2 gradi,

11000=0,0001=1*10 in meno 3 m.,

110000=0,00001=1*10 a meno 4 gradi.

Grazie a questi esempi, puoi vedere chiaramente la capacità di calcolare istantaneamente 10 a qualsiasi potenza negativa. A questo scopo è sufficiente spostare semplicemente la componente decimale:

• 10 al grado -1 - prima dell'uno c'è 1 zero;
• in -3 - tre zeri prima dell'uno;
• in -9 ci sono 9 zeri e così via.

È anche facile capire da questo diagramma quanto saranno 10 meno 5 cucchiai. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Come elevare un numero a potenza naturale

Ricordando la definizione, teniamo conto che il numero naturale a dell'art. n è uguale al prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale a a. Illustriamo: (a*a*…a)n, dove n è il numero di numeri che vengono moltiplicati. Pertanto, per elevare a a n, è necessario calcolare il prodotto nella seguente forma: a*a*…a diviso per n volte.

Da questo diventa ovvio che rilancio a st naturale si basa sulla capacità di eseguire la moltiplicazione(questo materiale è trattato nella sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali). Diamo un'occhiata al problema:

Rilanciare -2 alla 4a.

Abbiamo a che fare con un indicatore naturale. Pertanto, l'iter della decisione sarà il seguente: (-2) all'art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Ora non resta che moltiplicare i numeri interi: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Ne ricaviamo 16.

Risposta al problema:

(-2) nell'art. 4=16.

Esempio:

Calcola il valore: tre virgola due settimi quadrati.

Questo esempio equivale al seguente prodotto: tre virgola due settimi moltiplicato per tre virgola due settimi. Ricordando come si moltiplicano i numeri misti, completiamo la costruzione:

• 3 virgola 2 settime moltiplicate per se stesse;
• equivale a 23 settimi moltiplicati per 23 settimi;
• equivale a 529 quarantanovesi;
• riduciamo e otteniamo 10 trentanove quarantanovesi.

Risposta: 10 39/49

Per quanto riguarda la questione dell'elevazione a un esponente irrazionale, va notato che i calcoli iniziano ad essere eseguiti dopo il completamento dell'arrotondamento preliminare della base del grado a qualsiasi cifra che consentirebbe di ottenere il valore con una determinata precisione. Ad esempio, dobbiamo elevare al quadrato il numero P (pi).

Iniziamo arrotondando P ai centesimi e otteniamo:

P al quadrato = (3,14)2=9,8596. Tuttavia, se riduciamo P a dieci millesimi, otteniamo P = 3,14159. Quindi la quadratura dà un numero completamente diverso: 9,8695877281.

Va notato qui che in molti problemi non è necessario elevare a potenze i numeri irrazionali. Di norma, la risposta viene inserita sotto forma del grado effettivo, ad esempio la radice di 6 alla potenza di 3, oppure, se l'espressione lo consente, viene eseguita la sua trasformazione: radice da 5 a 7 gradi = 125 radice di 5.

Come elevare un numero a potenza intera

Questa manipolazione algebrica è appropriata tenere conto dei seguenti casi:

• per numeri interi;
• per un indicatore zero;
• per un esponente intero positivo.

Poiché quasi tutti i numeri interi positivi coincidono con la massa dei numeri naturali, l'impostazione di una potenza intera positiva è la stessa procedura dell'impostazione dell'Art. naturale. Abbiamo descritto questo processo nel paragrafo precedente.

Ora parliamo del calcolo di st. nullo. Abbiamo già scoperto sopra che la potenza zero del numero a può essere determinata per qualsiasi a (reale) diverso da zero, mentre a nell'Art. 0 sarà uguale a 1.

Di conseguenza, elevando qualsiasi numero reale allo zero st. ne darà uno.

Ad esempio, 10 nella maglia 0=1, (-3,65)0=1 e 0 nella maglia. 0 non può essere determinato.

Per completare l'elevazione a potenza intera, resta da decidere sulle opzioni per i valori interi negativi. Ricordiamo che l'art. da a con esponente intero -z sarà definito come una frazione. Il denominatore della frazione è st. con un valore intero positivo, il cui valore abbiamo già imparato a trovare. Ora non resta che considerare un esempio di costruzione.

Esempio:

Calcola il valore del numero 2 al cubo con esponente intero negativo.

Processo di soluzione:

Secondo la definizione di grado con esponente negativo, denotiamo: due meno 3 gradi. è uguale a uno: due alla terza potenza.

Il denominatore si calcola semplicemente: due al cubo;

3 = 2*2*2=8.

Risposta: due alla meno 3a art. = un ottavo.

L'elevamento a potenza negativa è uno degli elementi base della matematica e si incontra spesso nella risoluzione di problemi algebrici. Di seguito sono riportate le istruzioni dettagliate.

Come elevare a potenza negativa - teoria

Quando eleviamo un numero a una potenza ordinaria, moltiplichiamo il suo valore più volte. Ad esempio, 3 3 = 3×3×3 = 27. Con una frazione negativa è vero il contrario. La forma generale della formula sarà la seguente: a -n = 1/a n. Pertanto, per elevare un numero a una potenza negativa, è necessario dividere uno per il numero indicato, ma a una potenza positiva.

Come elevare a potenza negativa - esempi su numeri ordinari

Tenendo presente la regola di cui sopra, risolviamo alcuni esempi.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Risposta: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Risposta -4 -2 = 1/16.

Ma perché le risposte nel primo e nel secondo esempio sono le stesse? Il fatto è che quando un numero negativo viene elevato a una potenza pari (2, 4, 6, ecc.), il segno diventa positivo. Se il grado fosse pari, rimarrebbe il meno:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Come elevare i numeri da 0 a 1 a una potenza negativa

Ricordiamo che quando un numero compreso tra 0 e 1 viene elevato a una potenza positiva, il valore diminuisce all'aumentare della potenza. Quindi, ad esempio, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Esempio 3: Calcola 0,5 -2
Soluzione: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Risposta: 0,5 -2 = 4

Analisi (sequenza di azioni):

• Converti la frazione decimale 0,5 nella frazione frazionaria 1/2. È più facile così.
  Aumenta di 1/2 a una potenza negativa. 1/(2) -2 . Dividi 1 per 1/(2) 2, otteniamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Esempio 4: Calcola 0,5 -3
Soluzione: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Esempio 5: Calcola -0,5 -3
Soluzione: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Risposta: -0,5 -3 = -8

Sulla base del 4° e 5° esempio, possiamo trarre diverse conclusioni:

• Per un numero positivo compreso tra 0 e 1 (esempio 4), elevato a una potenza negativa, non importa se la potenza è pari o dispari, il valore dell'espressione sarà positivo. Inoltre, maggiore è il grado, maggiore è il valore.
• Per un numero negativo compreso tra 0 e 1 (esempio 5), elevato a una potenza negativa, non importa se la potenza è pari o dispari, il valore dell'espressione sarà negativo. In questo caso, maggiore è il grado, minore è il valore.

Come elevare a una potenza negativa: una potenza sotto forma di numero frazionario

Espressioni di questo tipo hanno la seguente forma: a -m/n, dove a è un numero regolare, m è il numeratore del grado, n è il denominatore del grado.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Calcola: 8 -1/3

Soluzione (sequenza di azioni):

• Ricordiamo la regola per elevare un numero a una potenza negativa. Otteniamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Nota che il denominatore ha il numero 8 in una potenza frazionaria. La forma generale per calcolare una potenza frazionaria è la seguente: a m/n = n √8 m.
• Pertanto, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Otteniamo la radice cubica di otto, che è uguale a 2. Da qui, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Risposta: 8 -1/3 = 2