Dalla storia delle equazioni quadratiche e delle equazioni quadratiche nell'antica Babilonia. Dalla storia dell'emergere di equazioni quadratiche

Dalla storia delle equazioni quadratiche.

a) Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado, già nell'antichità, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di scavo di carattere militare, nonché come con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. Babilonesi. Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

x2 + x = , x2 – x = 14

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Problema 2. "Trova due numeri, sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96."

Diofanto ragiona così: dalle condizioni del problema ne consegue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Quindi, uno di essi sarà maggiore di metà della loro somma, cioè 0,10 + x. L'altro è inferiore, cioè 10 - x. La differenza tra loro è 2x. Da qui l'equazione:

(10+x)(10-x) =96,

O

100 -x2 = 96.

Quindi x = 2. Uno dei numeri richiesti è 12, l'altro è 8. La soluzione x = - 2 non esiste per Diofanto, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolvi questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, puoi arrivare alla soluzione dell'equazione:

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla risoluzione di un'equazione quadratica incompleta.
b) Equazioni quadratiche in India.

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), stabilì una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica

OH 2 + Bx = c, a > 0

Nell'equazione, i coefficienti eccetto UN, potrebbe essere negativo. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

Compito 3.

La soluzione di Bhaskara indica che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori.

L'equazione corrispondente al problema 3 è:

Bhaskara scrive sotto mentite spoglie:

x2 - 64x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, somma 32 2 ad entrambi i lati, ottenendo quindi:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

c) Equazioni quadratiche di Al-Khorezmi

Il trattato algebrico di Al-Khwarizmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendoli come segue:

1. 
   “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè ax 2 = bx.
2. 
   “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax 2 = c.
3. 
   "Le radici sono uguali al numero", cioè ax = c.
4. 
   “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax 2 + c = bx.
5. 
   "I quadrati e le radici sono uguali al numero", cioè ax 2 + bx = c.
6. 
   "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioè bx + c == ax 2.

Per Al-Khwarizmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-mukabal. La sua decisione, ovviamente, non coincide del tutto con la nostra. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo, Al-Khorezmi, come tutti i matematici fino al XVII secolo, non tiene conto dello zero soluzione, probabilmente perché nella pratica specifica non ha importanza nei compiti. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete, Al-Khwarizmi stabilisce le regole per risolverle utilizzando particolari esempi numerici e quindi le loro dimostrazioni geometriche.

Facciamo un esempio.

Problema 4. “Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice” (ovvero la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

Soluzione: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, ciò che rimane è 4. Prendi la radice da 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, ottieni 3, questo sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che dà 7, anche questa è una radice.

Il trattato di Al-Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, che espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e fornisce formule per la loro soluzione.

d) Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XIII-XVII.

Le formule per risolvere le equazioni quadratiche seguendo il modello di al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro, che riflette l'influenza della matematica sia dei paesi islamici che dell'antica Grecia, si distingue per la sua completezza e chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XVI-XVII. e in parte XVIII.

Regola generale per la risoluzione di equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica

x2 + bx = c,

per tutte le possibili combinazioni di segni di coefficiente B, Con fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile in Vieta, ma Vieta riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie ai lavori di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Le origini dei metodi algebrici per risolvere problemi pratici sono associate alla scienza del mondo antico. Come è noto dalla storia della matematica, una parte significativa dei problemi di natura matematica, risolti dagli scribi-calcolatori egiziani, sumeri e babilonesi (XX-VI secolo a.C.), erano di natura computazionale. Tuttavia, anche allora, di tanto in tanto, sorgevano problemi in cui il valore desiderato di una quantità era specificato da determinate condizioni indirette che, dal nostro punto di vista moderno, richiedevano la composizione di un'equazione o di un sistema di equazioni. Inizialmente, per risolvere tali problemi venivano utilizzati metodi aritmetici. Successivamente iniziarono a formarsi gli inizi dei concetti algebrici. Ad esempio, i calcolatori babilonesi erano in grado di risolvere problemi che, dal punto di vista della classificazione moderna, possono essere ridotti a equazioni di secondo grado. È stato creato un metodo per risolvere i problemi delle parole, che in seguito è servito come base per isolare la componente algebrica e il suo studio indipendente.

Questo studio fu condotto in un'altra epoca, prima da matematici arabi (VI-X secolo d.C.), che individuarono le azioni caratteristiche mediante le quali le equazioni venivano portate a una forma standard: riportare termini simili, trasferire termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. E poi dai matematici europei del Rinascimento, che, come risultato di una lunga ricerca, crearono il linguaggio dell'algebra moderna, l'uso delle lettere, l'introduzione di simboli per le operazioni aritmetiche, parentesi, ecc. A cavallo del XVI- XVII secolo. l'algebra come parte specifica della matematica, con la propria materia, metodo e aree di applicazione, era già formata. Il suo ulteriore sviluppo, fino ai nostri giorni, è consistito nel migliorare i metodi, ampliare il campo delle applicazioni, chiarire i concetti e le loro connessioni con concetti di altri rami della matematica.

Pertanto, data l'importanza e la vastità del materiale relativo al concetto di equazione, il suo studio nei moderni metodi matematici è associato a tre aree principali della sua origine e funzionamento.

La necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado, già nell'antichità, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di scavo di carattere militare, nonché come con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. e. Babilonesi.

Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14,5

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Problema 11.“Trova due numeri, sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96”

Diofanto ragiona così: dalle condizioni del problema ne consegue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Quindi, uno di essi sarà maggiore di metà della loro somma, cioè . 10+x, l'altro è minore, cioè 10. La differenza tra loro 2x.

Da qui l'equazione:

(10 + x)(10 - x) = 96

Da qui x = 2. Uno dei numeri richiesti è uguale a 12 , altro 8 . Soluzione x = -2 poiché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolviamo questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, arriveremo alla soluzione dell'equazione

y(20 - y) = 96,

A 2 - 20° + 96 = 0. (2)

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla soluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).

Equazioni quadratiche in India

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica:

OH 2 + bх = с, а > 0. (1)

Nell'equazione (1), i coefficienti, eccetto UN, può anche essere negativo. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

Nell’antica India erano comuni i concorsi pubblici per risolvere problemi difficili. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: "Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la gloria di un altro nelle assemblee pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici". I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

Problema 13.

“Uno stormo di scimmie allegre, e dodici lungo le vigne...

Le autorità, dopo aver mangiato, si sono divertite. Hanno cominciato a saltare, ad impiccarsi...

Ci sono loro in piazza, parte ottava Quante scimmie c'erano?

Mi stavo divertendo nella radura. Dimmi, in questo pacchetto?

La soluzione di Bhaskara indica che sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori (Fig. 3).

L’equazione corrispondente al problema 13 è:

(x/8) 2 +12 =x

Bhaskara scrive sotto mentite spoglie:

X 2 -64x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione al quadrato, somma a entrambi i lati 32 2 , ottenendo quindi:

X 2 -64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x-32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

X 1 = 16,x 2 = 48.

1.1. Dalla storia dell'emergere di equazioni quadratiche

L'algebra è nata in relazione alla risoluzione di vari problemi utilizzando le equazioni. Tipicamente, i problemi richiedono la ricerca di una o più incognite, pur conoscendo i risultati di alcune azioni eseguite sulle quantità desiderate e date. Tali problemi si riducono alla risoluzione di una o di un sistema di più equazioni, alla ricerca di quelle richieste utilizzando operazioni algebriche su determinate quantità. L'algebra studia le proprietà generali delle operazioni sulle quantità.

Alcune tecniche algebriche per risolvere equazioni lineari e quadratiche erano conosciute 4000 anni fa nell'antica Babilonia.

Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado, già nell'antichità, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di scavo di carattere militare, nonché come con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. I babilonesi furono in grado di risolvere equazioni quadratiche intorno al 2000 a.C. Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati. Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra a Babilonia, nei testi cuneiformi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Problema 2. "Trova due numeri, sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96."

Diofanto ragiona così: dalle condizioni del problema ne consegue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Quindi, uno di essi sarà maggiore di metà della loro somma, cioè 0,10 + x. L'altro è inferiore, cioè 10 - x. La differenza tra loro è 2x. Da qui l'equazione:

(10+x)(10-x) =96,

Quindi x = 2. Uno dei numeri richiesti è 12, l'altro è 8. La soluzione x = - 2 non esiste per Diofanto, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolvi questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, puoi arrivare alla soluzione dell'equazione:

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla risoluzione di un'equazione quadratica incompleta.

Equazioni quadratiche in India

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

Nell'equazione (1), i coefficienti possono anche essere negativi. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

La soluzione di Bhaskara indica che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori.

L'equazione corrispondente al problema 3 è:

Bhaskara scrive sotto mentite spoglie:

x2 - 64x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, somma 32 2 ad entrambi i lati, ottenendo quindi:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Equazioni quadratiche di Al-Khwarizmi

Il trattato algebrico di Al-Khwarizmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendoli come segue:

1) “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè ax 2 = bx.

2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax 2 = c.

3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax = c.

4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax 2 + c = bx.

5) “I quadrati e le radici sono uguali al numero”, cioè ax 2 + bx = c.

6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c == ax 2.

Per Al-Khwarizmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-mukabal. La sua decisione, ovviamente, non coincide del tutto con la nostra. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo, Al-Khorezmi, come tutti i matematici fino al XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché nella pratica specifica non ha importanza nei compiti. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete, Al-Khwarizmi stabilisce le regole per risolverle utilizzando particolari esempi numerici e quindi le loro dimostrazioni geometriche.

Facciamo un esempio.

Problema 4. “Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice” (ovvero la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

Soluzione: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, ciò che rimane è 4. Prendi la radice da 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, ottieni 3, questo sarà la radice che stai cercando. Oppure aggiungi 2 a 5, che dà 7, anche questa è una radice.

Il trattato di Al-Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, che espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e fornisce formule per la loro soluzione.

Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XII-XVII.

Le forme per risolvere le equazioni quadratiche seguendo il modello di Al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202. Matematico italiano Leonardo Fibonacci. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi.

Questo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi di questo libro furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XIV-XVII. La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica x 2 + bх = с per tutte le possibili combinazioni di segni e coefficienti b, c fu formulata in Europa nel 1544 da M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile presso Viète, ma Viète riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie ai lavori di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Le origini dei metodi algebrici per risolvere problemi pratici sono associate alla scienza del mondo antico. Come è noto dalla storia della matematica, una parte significativa dei problemi matematici risolti dagli scribi e dai calcolatori egiziani, sumeri e babilonesi (XX-VI secolo aC) erano di natura calcolatrice. Tuttavia, anche allora, di tanto in tanto, sorgevano problemi in cui il valore desiderato di una quantità era specificato da determinate condizioni indirette che, dal nostro punto di vista moderno, richiedevano la composizione di un'equazione o di un sistema di equazioni. Inizialmente, per risolvere tali problemi venivano utilizzati metodi aritmetici. Successivamente iniziarono a formarsi gli inizi dei concetti algebrici. Ad esempio, i calcolatori babilonesi erano in grado di risolvere problemi che, dal punto di vista della classificazione moderna, possono essere ridotti a equazioni di secondo grado. È stato creato un metodo per risolvere i problemi delle parole, che in seguito è servito come base per isolare la componente algebrica e il suo studio indipendente.

Questo studio fu condotto in un'altra epoca, prima da matematici arabi (VI-X secolo d.C.), che individuarono le azioni caratteristiche mediante le quali le equazioni venivano portate a una forma standard: riportare termini simili, trasferire termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. E poi dai matematici europei del Rinascimento, che, come risultato di una lunga ricerca, crearono il linguaggio dell'algebra moderna, l'uso delle lettere, l'introduzione di simboli per le operazioni aritmetiche, parentesi, ecc. A cavallo del XVI- XVII secolo. l'algebra come parte specifica della matematica, con la propria materia, metodo e aree di applicazione, era già formata. Il suo ulteriore sviluppo, fino ai nostri giorni, è consistito nel migliorare i metodi, ampliare il campo delle applicazioni, chiarire i concetti e le loro connessioni con concetti di altri rami della matematica.

Pertanto, data l'importanza e la vastità del materiale relativo al concetto di equazione, il suo studio nei moderni metodi matematici è associato a tre aree principali della sua origine e funzionamento.

Kovalčuk Kirill

Il progetto "Equazioni quadratiche attraverso secoli e paesi" presenta gli studenti agli scienziati matematici le cui scoperte sono alla base del progresso scientifico e tecnologico, sviluppa l'interesse per la matematica come materia basata sulla familiarità con il materiale storico, amplia gli orizzonti degli studenti, stimola la loro attività cognitiva e creatività.

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Lavoro di progetto di uno studente dell'ottavo anno della scuola secondaria dell'istituto scolastico municipale n. 17 nel villaggio di Borisovka Kirill Kovalchuk Supervisore G.V. Mulyukova

Equazioni quadratiche attraverso secoli e paesi

Obiettivo del progetto: presentare agli studenti gli scienziati matematici, le cui scoperte sono la base del progresso scientifico e tecnologico. Mostrare l'importanza del lavoro degli scienziati per lo sviluppo della geometria e della fisica.??????????? Dimostra visivamente l'applicazione delle scoperte scientifiche nella vita. Sviluppare l'interesse per la matematica come materia basata sulla familiarità con il materiale storico. Ampliare gli orizzonti degli studenti, stimolare la loro attività cognitiva e creatività

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo grado, ma anche di secondo, nell'antichità era causata dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca delle aree dei terreni, con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. e. Babilonesi. Le regole per risolvere queste equazioni stabilite nei testi babilonesi sono essenzialmente le stesse di quelli moderni, ma in questi testi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

. (365-300 a.C. circa) - matematico greco antico, autore dei primi trattati teorici di matematica giunti fino a noi. Euclide, o Euclide

Gli inizi di Euclide Dove il Nilo si fonde con il mare, Nell'antica terra calda delle piramidi viveva il matematico greco: il sapiente e saggio Euclide. Ha studiato geometria, ha insegnato geometria. Ha scritto una grande opera. Il titolo di questo libro è "Inizi".

Euclide III secolo a.C Euclide risolveva equazioni quadratiche utilizzando un metodo geometrico. Ecco uno dei problemi dell'antico trattato greco: “C'è una città con un confine a forma di quadrato con un lato di dimensione sconosciuta, al centro di ogni lato c'è una porta. C'è un pilastro a una distanza di 20bu (1bu=1,6 m) dalla porta settentrionale. Se cammini direttamente dalla porta sud 14bu, poi giri a ovest e prosegui per un altro 1775bu, puoi vedere un pilastro. La domanda è: da che parte del confine della città? »

Per determinare il lato incognito del quadrato, otteniamo l'equazione quadratica x ² +(k+l)x-2kd =0. In questo caso, l'equazione è x ² +34x-71000=0, da cui x=250bu l x d k

Equazioni quadratiche in India Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano anche nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta, stabilì una regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica: ax ² +bx=c , a>0 Nell'antica India, erano comuni concorsi pubblici per risolvere problemi difficili. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: "Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la gloria di un altro nelle assemblee pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici".

Uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo Bhaskara Uno stormo di scimmie vivaci, dopo aver mangiato a loro piacimento, si sono divertiti. Parte otto di loro in piazza Mi stavo divertendo nella radura. E dodici sulle viti... Cominciarono a saltare appesi... Quante scimmie c'erano, ditemi, in questo gregge?

Soluzione. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, quindi D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Risposta: C'erano 16 o 48 scimmie. Risolviamolo.

La formula per le radici di un'equazione quadratica è stata “riscoperta” più volte. Una delle prime derivazioni di questa formula sopravvissuta fino ai giorni nostri appartiene al matematico indiano Brahmagupta. Lo scienziato centroasiatico al-Khwarizmi, nel suo trattato “Kitab al-jerb wal-mukabala”, ottenne questa formula con il metodo di isolare un quadrato completo.

Come ha risolto al-Khorezmi questa equazione? Scrisse: “La regola è questa: raddoppia il numero di radici, x = 2x · 5 in questo problema ottieni cinque, moltiplica 5 per questo uguale ad esso, diventa venticinque, 5 · 5 = 25 aggiungi questo a trenta -nove, 25 + 39 diventa sessantaquattro , 64 prendi la radice da questo, sarà otto, 8 e sottrai da questa metà il numero di radici, cioè cinque, 8-5 rimarranno tre - questo è e 3 sarà la radice del quadrato che stavi cercando." E la seconda radice? La seconda radice non è stata trovata poiché non si conoscevano i numeri negativi. x2 +10 x = 39

Equazioni quadratiche in Europa 13-17 secoli. Le formule per risolvere le equazioni quadratiche sul modello di al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro, che riflette l'influenza della matematica sia dei paesi islamici che dell'antica Grecia, si distingue sia per la completezza che per la chiarezza della presentazione. L'autore sviluppò autonomamente alcune nuove soluzioni algebriche ai problemi e fu il primo in Europa a introdurre i numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei del XVI e XVII secolo. e parzialmente 18.

Francois Viète - il più grande matematico del XVI secolo

Prima di F. Vieta, la risoluzione di un'equazione quadratica veniva eseguita secondo le proprie regole sotto forma di argomenti e descrizioni verbali molto lunghi, azioni piuttosto macchinose. Non riuscivano nemmeno a scrivere l’equazione stessa; ciò richiedeva una descrizione verbale piuttosto lunga e complessa. Ha coniato il termine "coefficiente". Propose che le quantità richieste fossero indicate con vocali e i dati con consonanti. Grazie al simbolismo di Vieta possiamo scrivere l'equazione quadratica nella forma: ax 2 + bx + c =0. Teorema: La somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Nonostante il fatto che questo teorema si chiami “Teorema di Vieta”, era noto prima di lui e lui lo trasformò solo nella sua forma moderna. Vieta è chiamato il "padre dell'algebra"

L’umanità ha fatto molta strada dall’ignoranza alla conoscenza, sostituendo continuamente la conoscenza incompleta e imperfetta con una conoscenza sempre più completa e perfetta lungo il percorso. Parola finale

Noi, che viviamo all'inizio del 21° secolo, siamo attratti dall'antichità. Nei nostri antenati notiamo prima di tutto ciò che manca loro da un punto di vista moderno, e di solito non notiamo ciò che manca a noi stessi rispetto a loro.

Non dimentichiamoci di loro...

Grazie per l'attenzione!

Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche. Da qui l'equazione: (10+x)(10 -x) =96 ovvero: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) La soluzione x = -2 non esiste per Diofanto, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Equazioni quadratiche in India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Equazioni quadratiche in al-Khorezmi. 1) “I quadrati sono radici uguali”, cioè ax2 + c = bx. 2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax2 = c. 3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax = c. 4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax2 + c = bx. 5) “Quadrati e radici sono uguali al numero”, cioè ax2 + bx = c. 6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c = ax2.

Equazioni quadratiche in Europa nei secoli XIII e XVII. x2 + bx = c, per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti b, c fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Sul teorema di Vieta. "Se B + D per A - A 2 è uguale a BD, allora A è uguale a B ed è uguale a D." Nel linguaggio dell'algebra moderna, la formulazione Vieta di cui sopra significa: se (a + b)x - x2 = ab, cioè x2 - (a + b)x + ab = 0, allora x1 = a, x2 = b.

Metodi per risolvere equazioni quadratiche. 1. METODO: Fattorizzare il lato sinistro dell'equazione. Risolviamo l'equazione x2 + 10 x - 24 = 0. Fattorizziamo il membro sinistro: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x-2). Pertanto, l'equazione può essere riscritta come segue: (x + 12)(x - 2) = 0 Poiché il prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero. Pertanto, il lato sinistro dell'equazione diventa zero in x = 2, e anche in x = - 12. Ciò significa che i numeri 2 e - 12 sono le radici dell'equazione x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODO: Metodo di estrazione del quadrato completo. Risolviamo l'equazione x2 + 6 x - 7 = 0. Seleziona un quadrato completo sul lato sinistro. Per fare ciò, scriviamo l'espressione x2 + 6 x nella seguente forma: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Nell'espressione risultante, il primo termine è il quadrato del numero x e il secondo è il doppio prodotto di x per 3. Pertanto, per ottenere un quadrato completo, è necessario aggiungere 32, poiché x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Ora trasformiamo il lato sinistro dell'equazione x2 + 6 x - 7 = 0, sommandolo e sottraendo 32. Abbiamo: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Pertanto, questa equazione può essere scritta come segue: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Pertanto, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, oppure x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando la formula. Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 per 4 a e in sequenza abbiamo: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 AC,

4. METODO: Risoluzione di equazioni utilizzando il teorema di Vieta. Come è noto, l'equazione quadratica ridotta ha la forma x2 + px + c = 0. (1) Le sue radici soddisfano il teorema di Vieta, che per a = 1 ha la forma x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 e x 2 = 1, poiché q = 2 > 0 e p = - 3 0 e p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 e x 2 = 1, poiché q= - 5 0; x2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 e x 2 = - 1, poiché q = - 9

5. METODO: Risoluzione di equazioni utilizzando il metodo del “lancio”. Consideriamo l'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0. Moltiplicando entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione a 2 x2 + abx + ac = 0. Sia ax = y, da cui x = y/a; quindi arriviamo all'equazione y2 + by + ac = 0, che è equivalente a quella data. Troviamo le sue radici y1 e y2 usando il teorema di Vieta. Alla fine otteniamo x1 = y1/a e x1 = y2/a.

Esempio. Risolviamo l'equazione 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Soluzione. "Lanciamo" il coefficiente 2 al termine libero, di conseguenza otteniamo l'equazione y2 – 11 y + 30 = 0. Secondo il teorema di Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Risposta: 2, 5; 3.x1 = 2.5x2 = 3.

6. METODO: Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica. A. Sia data l’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0. 1) Se a + b + c = 0 (cioè la somma dei coefficienti è zero), allora x1 = 1, x2 = circa. Prova. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per a ≠ 0, otteniamo l'equazione quadratica ridotta x 2 + b/a x + c/a = 0. Secondo il teorema di Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Per condizione, a – b + c = 0, da cui b = a + c. Quindi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), cioè x1 = -1 e x2 = c/ a, che è cosa doveva essere dimostrato.

B. Se il secondo coefficiente b = 2 k è un numero pari, allora la formula per le radici B. L'equazione sopra x2 + px + q = 0 coincide con un'equazione generale in cui a = 1, b = p e c = Q. Pertanto, per l'equazione quadratica ridotta, la formula radice è

7. METODO: Soluzione grafica di un'equazione quadratica. Se nell'equazione x2 + px + q = 0 spostiamo il secondo e il terzo termine a destra, otteniamo x2 = - px - q. Costruiamo i grafici della dipendenza y = x2 e y = - px - q.

Esempio 1) Risolviamo graficamente l'equazione x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma x2 = 3 x + 4. Costruiamo una parabola y = x2 e una retta y = 3 x + 4. La retta y = 3 x + 4 può essere costruita utilizzando due punti M (0; 4) e N (3; 13) . Risposta: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando compasso e righello. trovare le radici di un compasso e di un righello (Fig. 5). equazioni Allora, per il teorema delle secanti, abbiamo OB OD = OA OC, da cui OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 utilizzando

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Il raggio del cerchio è maggiore dell'ordinata del centro (AS > SK, o R > un+"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODO: Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma. z 2 + pz + q = 0. La scala curvilinea del nomogramma è costruita secondo le formule (Fig. 11): Assumendo OS = p, ED = q, OE = a (tutti in cm), Dalla somiglianza dei triangoli SAN e CDF otteniamo la proporzione

Esempi. 1) Per l'equazione z 2 - 9 z + 8 = 0, il nomogramma dà le radici z 1 = 8, 0 e z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) Usando un nomogramma, risolviamo l'equazione 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Dividendo i coefficienti di questa equazione per 2, otteniamo l'equazione z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Il nomogramma dà il radici z 1 = 4 e z 2 = 0, 5. 3) Per l'equazione z 2 - 25 z + 66 = 0, i coefficienti p e q sono fuori scala, eseguiamo la sostituzione z = 5 t, otteniamo la equazione t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, che risolviamo utilizzando nomogrammi e otteniamo t 1 = 0,6 e t 2 = 4,4, da cui z 1 = 5 t 1 = 3,0 e z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODO: Metodo geometrico per la risoluzione di equazioni quadratiche. Esempi. 1) Risolviamo l'equazione x2 + 10 x = 39. Nell'originale, questo problema è formulato così: “La radice quadrata e dieci radici sono uguali a 39” (Fig. 15). Per il lato x richiesto del quadrato originale otteniamo

y2 + 6 y - 16 = 0. La soluzione è mostrata in Fig. 16, dove y2 + 6 y = 16, oppure y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Soluzione. Le espressioni y2 + 6 y + 9 e 16 + 9 rappresentano geometricamente lo stesso quadrato e l'equazione originale y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 è la stessa equazione. Da ciò otteniamo che y + 3 = ± 5, ovvero y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).