Sistema decisionale fondamentale (esempio specifico). Sistemi omogenei di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari omogenee- ha la forma ∑a K i x i = 0. dove m > n oppure m Un sistema omogeneo di equazioni lineari è sempre coerente, poiché rangA = rangB. Ovviamente ha una soluzione composta da zeri, che si chiama banale.

Scopo del servizio. Il calcolatore online è pensato per trovare una soluzione non banale e fondamentale allo SLAE. La soluzione risultante viene salvata in un file Word (vedi soluzione di esempio).

Istruzioni. Seleziona la dimensione della matrice:

Proprietà dei sistemi di equazioni lineari omogenee

Affinché il sistema abbia soluzioni non banali, è necessario e sufficiente che il rango della sua matrice sia inferiore al numero di incognite.

Teorema. Un sistema nel caso m=n ha una soluzione non banale se e solo se il determinante di questo sistema è uguale a zero.

Teorema. Qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di un sistema è anche una soluzione di quel sistema.
Definizione. Si chiama l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee sistema fondamentale di soluzioni, se questo insieme è costituito da soluzioni linearmente indipendenti e qualsiasi soluzione del sistema è una combinazione lineare di queste soluzioni.

Teorema. Se il rango r della matrice del sistema è inferiore al numero n di incognite, allora esiste un sistema fondamentale di soluzioni costituito da (n-r) soluzioni.

Algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari omogenee

Trovare il rango della matrice.
Selezioniamo il minore di base. Distinguiamo incognite dipendenti (di base) e libere.
Cancelliamo quelle equazioni del sistema i cui coefficienti non sono compresi nella base minore, poiché sono conseguenze delle altre (secondo il teorema sulla base minore).
Spostiamo i termini delle equazioni contenenti incognite libere sul lato destro. Di conseguenza, otteniamo un sistema di r equazioni con r incognite, equivalente a quello dato, il cui determinante è diverso da zero.
Risolviamo il sistema risultante eliminando le incognite. Troviamo relazioni che esprimono variabili dipendenti attraverso quelle libere.
Se il rango della matrice non è uguale al numero di variabili, allora troviamo la soluzione fondamentale del sistema.
Nel caso rang = n abbiamo una soluzione banale.

Esempio. Trovare la base del sistema di vettori (a 1, a 2,...,am), classificare ed esprimere i vettori in base alla base. Se a 1 =(0,0,1,-1), e 2 =(1,1,2,0), e 3 =(1,1,1,1), e 4 =(3,2,1 ,4) e 5 =(2,1,0,3).
Scriviamo la matrice principale del sistema:

Moltiplica la terza riga per (-3). Aggiungiamo la quarta riga alla terza:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Moltiplica la quarta riga per (-2). Moltiplichiamo la quinta riga per (3). Aggiungiamo la quinta riga alla quarta:
Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:
Troviamo il rango della matrice.
Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale ed ha la forma:
-x3 = -x4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Utilizzando il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo una soluzione non banale:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono le variabili dipendenti x 1 , x 2 , x 3 tramite quelle libere x 4 , cioè abbiamo trovato una soluzione generale:
x3 = x4
x2 = -x4
x1 = -x4

Continueremo a perfezionare la nostra tecnologia trasformazioni elementari SU sistema omogeneo di equazioni lineari.
Sulla base dei primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e mediocre, ma questa impressione è ingannevole. Oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, ci saranno molte nuove informazioni, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta suggerisce se stessa. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine è libero tutti l'equazione del sistema è zero. Per esempio:

Questo è assolutamente chiaro un sistema omogeneo è sempre coerente, cioè ha sempre una soluzione. E, prima di tutto, ciò che attira la tua attenzione è il cosiddetto banale soluzione . Banale, per chi non capisce affatto il significato dell'aggettivo, significa senza ostentazione. Non accademicamente, ovviamente, ma intelligibilmente =) ...Perché girare intorno al cespuglio, vediamo se questo sistema ha altre soluzioni:

Esempio 1

Soluzione: per risolvere un sistema omogeneo è necessario scrivere matrice del sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari portalo a una forma graduale. Tieni presente che qui non è necessario annotare la barra verticale e la colonna zero dei termini liberi: dopotutto, qualunque cosa tu faccia con gli zeri, rimarranno zeri:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato delle trasformazioni elementari, si ottiene un sistema omogeneo equivalente , e, utilizzando il metodo gaussiano inverso, è facile verificare che la soluzione è unica.

Risposta:

Formuliamo un criterio ovvio: ha un sistema omogeneo di equazioni lineari solo una soluzione banale, Se rango della matrice del sistema(in questo caso 3) è uguale al numero di variabili (in questo caso – 3 pezzi).

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio sull'onda delle trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Per consolidare finalmente l’algoritmo, analizziamo il compito finale:

Esempio 7

Risolvi un sistema omogeneo, scrivi la risposta in forma vettoriale.

Soluzione: scriviamo la matrice del sistema e, mediante trasformazioni elementari, portiamola nella forma graduale:

(1) È stato cambiato il segno della prima riga. Ancora una volta attiro l'attenzione su una tecnica riscontrata molte volte, che consente di semplificare notevolmente l'azione successiva.

(1) La prima riga è stata aggiunta alla 2a e alla 3a riga. La prima riga, moltiplicata per 2, è stata aggiunta alla quarta riga.

(3) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse sono state soppresse.

Di conseguenza, si ottiene una matrice a gradini standard e la soluzione continua lungo il percorso zigrinato:

– variabili di base;
– variabili libere.

Esprimiamo le variabili di base in termini di variabili libere. Dalla 2a equazione:

– sostituisci nella prima equazione:

Quindi la soluzione generale è:

Poiché nell'esempio in esame le variabili libere sono tre, il sistema fondamentale contiene tre vettori.

Sostituiamo una tripla di valori nella soluzione generale e ottenere un vettore le cui coordinate soddisfano ciascuna equazione del sistema omogeneo. E ancora, ripeto che è altamente consigliabile controllare ogni vettore ricevuto: non ci vorrà molto tempo, ma ti proteggerà completamente dagli errori.

Per un triplo di valori trova il vettore

E infine per i tre otteniamo il terzo vettore:

Risposta: , Dove

Chi volesse evitare valori frazionari può considerare le terzine e ottenere la risposta in forma equivalente:

A proposito di frazioni. Consideriamo la matrice ottenuta nel problema e chiediamoci: è possibile semplificare l'ulteriore soluzione? Dopotutto, qui abbiamo prima espresso la variabile di base attraverso le frazioni, poi la variabile di base attraverso le frazioni e, devo dire, questo processo non è stato dei più semplici e nemmeno dei più piacevoli.

Seconda soluzione:

L'idea è provare scegli altre variabili di base. Diamo un'occhiata alla matrice e notiamo due nella terza colonna. Allora perché non avere uno zero in alto? Eseguiamo un'altra trasformazione elementare:

Puoi ordinare una soluzione dettagliata al tuo problema!!!

Per capire di cosa si tratta sistema decisionale fondamentale puoi guardare un video tutorial per lo stesso esempio facendo clic. Passiamo ora alla descrizione vera e propria di tutto il lavoro necessario. Questo ti aiuterà a comprendere l'essenza di questo problema in modo più dettagliato.

Come trovare il sistema fondamentale delle soluzioni di un'equazione lineare?

Prendiamo ad esempio il seguente sistema di equazioni lineari:

Troviamo la soluzione di questo sistema lineare di equazioni. Per cominciare, noi è necessario scrivere la matrice dei coefficienti del sistema.

Trasformiamo questa matrice in una triangolare. Riscriviamo la prima riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(11)$ devono essere azzerati. Per creare uno zero al posto dell'elemento $a_(21)$, devi sottrarre il primo dalla seconda riga e scrivere la differenza nella seconda riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, devi sottrarre il primo dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(41)$, devi sottrarre il primo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, devi sottrarre il primo moltiplicato per 2 dalla quinta riga e scrivere la differenza nella quinta riga.

Riscriviamo la prima e la seconda riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(22)$ devono essere azzerati. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(32)$, devi sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(42)$, devi sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(52)$, devi sottrarre il secondo moltiplicato per 3 dalla quinta riga e scrivere la differenza nella quinta riga.

Lo vediamo le ultime tre righe sono le stesse, quindi se sottrai la terza dalla quarta e dalla quinta, diventeranno zero.

Secondo questa matrice scrivere un nuovo sistema di equazioni.

Vediamo che abbiamo solo tre equazioni linearmente indipendenti e cinque incognite, quindi il sistema fondamentale di soluzioni sarà costituito da due vettori. Quindi noi dobbiamo spostare le ultime due incognite a destra.

Ora cominciamo ad esprimere quelle incognite che si trovano sul lato sinistro attraverso quelle che si trovano sul lato destro. Iniziamo con l'ultima equazione, prima esprimiamo $x_3$, poi sostituiamo il risultato risultante nella seconda equazione ed esprimiamo $x_2$, quindi nella prima equazione e qui esprimiamo $x_1$. Pertanto, abbiamo espresso tutte le incognite che si trovano sul lato sinistro attraverso le incognite che si trovano sul lato destro.

Quindi, invece di $x_4$ e $x_5$, possiamo sostituire qualsiasi numero e trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Ognuno di questi cinque numeri sarà le radici del nostro sistema originale di equazioni. Per trovare i vettori inclusi in FSR dobbiamo sostituire 1 invece di $x_4$ e sostituire 0 invece di $x_5$, trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$, e quindi viceversa $x_4=0$ e $x_5=1$.

Esempio 1. Trovare una soluzione generale e un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema

Soluzione trovare utilizzando una calcolatrice. L'algoritmo di soluzione è lo stesso dei sistemi di equazioni lineari non omogenee.
Operando solo con righe troviamo il rango della matrice, la base minore; Dichiariamo incognite dipendenti e libere e troviamo una soluzione generale.

La prima e la seconda riga sono proporzionali, cancelliamone una:

.
Variabili dipendenti – x 2, x 3, x 5, libere – x 1, x 4. Dalla prima equazione 10x 5 = 0 troviamo quindi x 5 = 0

; .
La soluzione generale è:

Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni. Nel nostro caso n=5, r=3, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è costituito da due soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti. Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia pari al numero di righe, cioè 2. Basta dare le incognite libere x 1 e x 4 valori dalle righe del determinante del secondo ordine, diverso da zero, e calcolare x 2 , x 3 , x 5 . Il determinante più semplice diverso da zero è .
Quindi la prima soluzione è:

, secondo –

.
Queste due decisioni costituiscono un sistema decisionale fondamentale. Nota che il sistema fondamentale non è unico (puoi creare tutti i determinanti diversi da zero che desideri).

Esempio 2. Trovare la soluzione generale e il sistema fondamentale delle soluzioni del sistema
Soluzione.

,
ne consegue che il rango della matrice è 3 e pari al numero di incognite. Ciò significa che il sistema non ha incognite libere e quindi ha una soluzione unica, banale.

Esercizio . Esplorare e risolvere un sistema di equazioni lineari.
Esempio 4

Esercizio . Trovare le soluzioni generali e particolari di ciascun sistema.
Soluzione. Scriviamo la matrice principale del sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

Riduciamo la matrice alla forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungerla a un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e sommarla con un'altra equazione, il che non cambia la soluzione della sistema.
Moltiplica la seconda riga per (-5). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Moltiplichiamo la seconda riga per (6). Moltiplica la terza riga per (-1). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:
Troviamo il rango della matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

Il minore selezionato ha l'ordine più alto (tra i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale inversa), quindi rang(A) = 2.
Questo minore è basilare. Include coefficienti per le incognite x 1 , x 2 , il che significa che le incognite x 1 , x 2 sono dipendenti (di base) e x 3 , x 4 , x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la base minore.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x1	x2	x4	x3	x5

Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale ed ha la forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Utilizzando il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo soluzione non banale:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono le variabili dipendenti x 1 , x 2 tramite quelle libere x 3 , x 4 , x 5 , cioè abbiamo trovato decisione comune:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x1 = - 0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni.
Nel nostro caso n=5, r=2, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è formato da 3 soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti.
Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta da elementi di riga sia pari al numero di righe, cioè 3.
È sufficiente dare alle incognite libere i valori x 3 , x 4 , x 5 dalle linee del determinante di 3° ordine, diversi da zero, e calcolare x 1 , x 2 .
Il determinante diverso da zero più semplice è la matrice identità.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Compito . Trovare l'insieme fondamentale delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari.

Un sistema omogeneo è sempre coerente e ha una soluzione banale
. Affinché esista una soluzione non banale, è necessario che il rango della matrice era inferiore al numero di incognite:

Sistema fondamentale di soluzioni sistema omogeneo
chiamare un sistema di soluzioni sotto forma di vettori colonna
, che corrispondono alla base canonica, cioè base in cui costanti arbitrarie
sono alternativamente posti uguali a uno, mentre i restanti sono posti a zero.

Allora la soluzione generale del sistema omogeneo ha la forma:

Dove
- costanti arbitrarie. In altre parole, la soluzione complessiva è una combinazione lineare del sistema fondamentale di soluzioni.

Pertanto, le soluzioni di base possono essere ottenute dalla soluzione generale se alle incognite libere viene assegnato a turno il valore di uno, ponendo tutte le altre uguali a zero.

Esempio. Troviamo una soluzione al sistema

Accettiamo , quindi otteniamo una soluzione nella forma:

Costruiamo ora un sistema fondamentale di soluzioni:

La soluzione generale verrà scritta come:

Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee hanno le seguenti proprietà:

In altre parole, qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di un sistema omogeneo è ancora una soluzione.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

La risoluzione dei sistemi di equazioni lineari interessa i matematici da diversi secoli. I primi risultati furono ottenuti nel XVIII secolo. Nel 1750 G. Kramer (1704–1752) pubblicò i suoi lavori sui determinanti delle matrici quadrate e propose un algoritmo per trovare la matrice inversa. Nel 1809 Gauss delineò un nuovo metodo di soluzione noto come metodo di eliminazione.

Il metodo di Gauss, o il metodo di eliminazione sequenziale delle incognite, consiste nel fatto che, utilizzando trasformazioni elementari, un sistema di equazioni viene ridotto a un sistema equivalente di forma a gradini (o triangolare). Tali sistemi consentono di trovare in sequenza tutte le incognite in un certo ordine.

Supponiamo che nel sistema (1)
(cosa sempre possibile).

(1)

Moltiplicando la prima equazione una per una per la cosiddetta numeri adatti

e sommando il risultato della moltiplicazione con le corrispondenti equazioni del sistema, otteniamo un sistema equivalente in cui in tutte le equazioni tranne la prima non ci sarà alcuna incognita X 1

(2)

Moltiplichiamo ora la seconda equazione del sistema (2) per numeri opportuni, assumendo che

e sommandolo a quelli inferiori, eliminiamo la variabile da tutte le equazioni, a partire dalla terza.

Continuando questo processo, dopo
passo otteniamo:

(3)

Se almeno uno dei numeri
non è uguale a zero, allora la corrispondente uguaglianza è contraddittoria e il sistema (1) è incoerente. Al contrario, per qualsiasi sistema di numerazione congiunto
sono uguali a zero. Numero non è altro che il rango della matrice del sistema (1).