Teorema.

Esistono infiniti numeri primi.

Prova.

Supponiamo che non sia così. Cioè, supponiamo che ci siano solo n numeri primi, e che questi numeri primi siano p 1, p 2, ..., p n. Mostriamo che possiamo sempre trovare un numero primo diverso da quelli indicati.

Consideriamo il numero p uguale a p 1 ·p 2 ·…·p n +1. È chiaro che questo numero è diverso da ciascuno dei numeri primi p 1, p 2, ..., p n. Se il numero p è primo il teorema è dimostrato. Se questo numero è composto, allora in virtù del teorema precedente esiste un divisore primo di questo numero (lo denotiamo p n+1). Mostriamo che questo divisore non coincide con nessuno dei numeri p 1, p 2, ..., p n.

Se così non fosse allora, secondo le proprietà di divisibilità, il prodotto p 1 ·p 2 ·…·p n sarebbe diviso per p n+1. Ma il numero p è divisibile anche per p n+1, pari alla somma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Ne consegue che p n+1 deve dividere il secondo termine di questa somma, che è uguale a uno, ma questo è impossibile.

Pertanto è stato dimostrato che è sempre possibile trovare un nuovo numero primo che non sia compreso tra nessun numero primo predeterminato. Pertanto i numeri primi sono infiniti.

Quindi, poiché esiste un numero infinito di numeri primi, quando compili tabelle di numeri primi, ti limiti sempre dall'alto a un numero, solitamente 100, 1.000, 10.000, ecc.

Setaccio di Eratostene

Ora discuteremo come creare tabelle di numeri primi. Supponiamo di dover creare una tabella dei numeri primi fino a 100.

Il metodo più ovvio per risolvere questo problema è controllare in sequenza gli interi positivi, iniziando da 2 e terminando con 100, per la presenza di un divisore positivo maggiore di 1 e minore del numero da testare (dalle proprietà di divisibilità che conosciamo che il valore assoluto del divisore non superi il valore assoluto del dividendo, diverso da zero). Se tale divisore non viene trovato, il numero da testare è primo e viene inserito nella tabella dei numeri primi. Se viene trovato un divisore di questo tipo, il numero da testare è composto e NON viene inserito nella tabella dei numeri primi. Successivamente si passa al numero successivo, sul quale viene controllata in modo simile la presenza di un divisore.

Descriviamo i primi passi.

Iniziamo dal numero 2. Il numero 2 non ha divisori positivi diversi da 1 e 2. Pertanto è semplice, quindi lo inseriamo nella tabella dei numeri primi. Qui va detto che 2 è il numero primo più piccolo. Passiamo al numero 3. Il suo possibile divisore positivo diverso da 1 e 3 è il numero 2. Ma 3 non è divisibile per 2, quindi 3 è un numero primo e deve essere incluso anche lui nella tabella dei numeri primi. Passiamo al numero 4. I suoi divisori positivi diversi da 1 e 4 possono essere i numeri 2 e 3, controlliamoli. Il numero 4 è divisibile per 2, quindi 4 è un numero composto e non necessita di essere incluso nella tabella dei numeri primi. Tieni presente che 4 è il numero composto più piccolo. Passiamo al numero 5. Controlliamo se almeno uno dei numeri 2, 3, 4 è il suo divisore. Poiché 5 non è divisibile per 2, 3 o 4, allora è primo e deve essere scritto nella tabella dei numeri primi. Poi c'è il passaggio ai numeri 6, 7 e così via fino a 100.

Questo approccio alla compilazione di una tabella di numeri primi è tutt’altro che ideale. In un modo o nell'altro, ha il diritto di esistere. Nota che con questo metodo di costruzione di una tabella di numeri interi, puoi utilizzare i criteri di divisibilità, che accelereranno leggermente il processo di ricerca dei divisori.

Esiste un modo più conveniente per creare una tabella di numeri primi, chiamato. La parola "setaccio" presente nel nome non è casuale, poiché le azioni di questo metodo aiutano, per così dire, a "setacciare" numeri interi e unità grandi attraverso il setaccio di Eratostene per separare quelli semplici da quelli compositi.

Mostriamo il crivello di Eratostene in azione durante la compilazione di una tabella di numeri primi fino a 50.

Per prima cosa, scrivi i numeri 2, 3, 4, ..., 50 in ordine.

Il primo numero scritto, 2, è primo. Ora, dal numero 2, ci spostiamo in sequenza verso destra di due numeri e cancelliamo questi numeri fino a raggiungere la fine della tabella dei numeri in fase di compilazione. In questo modo verranno cancellati tutti i numeri multipli di due.

Il primo numero dopo il 2 che non è barrato è 3. Questo numero è primo. Ora, dal numero 3, ci spostiamo in sequenza a destra di tre numeri (tenendo conto dei numeri già cancellati) e li cancelliamo. In questo modo verranno cancellati tutti i numeri multipli di tre.

Il primo numero dopo il 3 che non viene cancellato è 5. Questo numero è primo. Ora dal numero 5 ci spostiamo costantemente a destra di 5 numeri (prendiamo in considerazione anche i numeri cancellati in precedenza) e li cancelliamo. Questo cancellerà tutti i numeri che sono multipli di cinque.

Successivamente, cancelliamo i numeri che sono multipli di 7, poi multipli di 11 e così via. Il processo termina quando non ci sono più numeri da cancellare. Di seguito la tabella completa dei numeri primi fino a 50, ottenuta utilizzando il crivello di Eratostene. Tutti i numeri non barrati sono primi e tutti i numeri barrati sono composti.

Formuliamo e dimostriamo anche un teorema che accelererà il processo di compilazione di una tabella di numeri primi utilizzando il crivello di Eratostene.

Teorema.

Il più piccolo divisore positivo di un numero composto a diverso da uno non supera , dove proviene da a .

Prova.

Indichiamo con la lettera b il più piccolo divisore di un numero composto a diverso da uno (il numero b è primo, come segue dal teorema dimostrato all'inizio del paragrafo precedente). Allora esiste un intero q tale che a=b·q (qui q è un intero positivo, che segue dalle regole della moltiplicazione degli interi), e (per b>q la condizione che b sia il minimo divisore di a è violata , poiché q è anche un divisore del numero a per l'uguaglianza a=q·b ). Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per un positivo e un numero intero maggiore di uno (questo è consentito), otteniamo , da cui e .

Cosa ci dà il teorema dimostrato riguardo al crivello di Eratostene?

In primo luogo, cancellando i numeri compositi che sono multipli di un numero primo b dovrebbe iniziare con un numero uguale a (questo deriva dalla disuguaglianza). Ad esempio, i numeri multipli di due dovrebbero iniziare con il numero 4, i multipli di tre con il numero 9, i multipli di cinque con il numero 25 e così via.

In secondo luogo, compilare una tabella dei numeri primi fino al numero n utilizzando il crivello di Eratostene può essere considerato completo quando tutti i numeri composti che sono multipli di numeri primi non superiori a . Nel nostro esempio n=50 (poiché stiamo facendo una tabella di numeri primi fino a 50) e, quindi, il crivello di Eratostene dovrebbe eliminare tutti i numeri composti che sono multipli dei numeri primi 2, 3, 5 e 7 che non non superare la radice quadrata aritmetica di 50. Cioè non abbiamo più bisogno di cercare e cancellare i numeri che sono multipli dei numeri primi 11, 13, 17, 19, 23 e così via fino a 47, poiché saranno già cancellati come multipli dei numeri primi più piccoli 2 , 3, 5 e 7 .

Questo numero è primo o composto?

Alcuni compiti richiedono di scoprire se un dato numero è primo o composto. In generale, questo compito è tutt'altro che semplice, soprattutto per i numeri la cui scrittura è composta da un numero significativo di caratteri. Nella maggior parte dei casi, devi cercare un modo specifico per risolverlo. Cercheremo comunque di dare una direzione al filone di pensiero per casi semplici.

Naturalmente puoi provare a utilizzare i test di divisibilità per dimostrare che un dato numero è composto. Se, ad esempio, qualche test di divisibilità mostra che un dato numero è divisibile per un intero positivo maggiore di uno, allora il numero originale è composto.

Esempio.

Dimostra che 898.989.898.989.898.989 è un numero composto.

Soluzione.

La somma delle cifre di questo numero è 9·8+9·9=9·17. Poiché il numero pari a 9·17 è divisibile per 9, allora per divisibilità per 9 possiamo dire che anche il numero originale è divisibile per 9. Pertanto è composito.

Uno svantaggio significativo di questo approccio è che i criteri di divisibilità non consentono di dimostrare l’primità di un numero. Pertanto, quando si prova un numero per vedere se è primo o composto, è necessario procedere diversamente.

L'approccio più logico è provare tutti i possibili divisori di un dato numero. Se nessuno dei possibili divisori è un vero divisore di un dato numero, allora questo numero sarà primo, altrimenti sarà composto. Dai teoremi dimostrati nel paragrafo precedente consegue che i divisori di un dato numero a vanno ricercati tra i numeri primi non superiori a . Pertanto, un dato numero a può essere diviso in sequenza per i numeri primi (che sono convenientemente presi dalla tabella dei numeri primi), cercando di trovare il divisore del numero a. Se viene trovato un divisore, il numero a è composto. Se tra i numeri primi non superiori a , non esiste alcun divisore del numero a, allora il numero a è primo.

Esempio.

Numero 11 723 semplice o composto?

Soluzione.

Scopriamo fino a quale numero primo possono essere i divisori del numero 11.723. Per fare questo, valutiamo.

È abbastanza ovvio , poiché 200 2 =40.000 e 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью confronto di numeri). Pertanto, i possibili fattori primi di 11.723 sono inferiori a 200. Già questo rende il nostro compito molto più semplice. Se non lo sapessimo, dovremmo esaminare tutti i numeri primi non fino a 200, ma fino al numero 11.723.

Se lo desideri, puoi valutare in modo più accurato. Poiché 108 2 =11.664 e 109 2 =11.881, allora 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Pertanto, qualsiasi numero primo inferiore a 109 è potenzialmente un fattore primo del numero dato 11.723.

Ora divideremo in sequenza il numero 11.723 nei numeri primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Se il numero 11.723 viene diviso per uno dei numeri primi scritti, sarà composto. Se non è divisibile per nessuno dei numeri primi scritti, allora il numero originale è primo.

Non descriveremo l'intero processo di divisione monotono e monotono. Diciamo subito che 11.723

La divisione dei numeri naturali in numeri primi e composti è attribuita all'antico matematico greco Pitagora. E se segui Pitagora, l'insieme dei numeri naturali può essere diviso in tre classi: (1) - un insieme composto da un numero - uno; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – insieme di numeri primi; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – un insieme di numeri composti.

Il secondo set nasconde molti misteri diversi. Ma prima, scopriamo cos'è un numero primo. Apriamo il "Dizionario enciclopedico matematico" (Yu. V. Prokhorov, casa editrice "Enciclopedia sovietica", 1988) e leggiamo:

“Un numero primo è un intero positivo maggiore di uno, che non ha divisori diversi da se stesso e uno: 2,3,5,7,11,13,

Il concetto di numero primo è fondamentale nello studio della divisibilità dei numeri naturali; vale a dire, il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero positivo tranne 1 può essere scomposto in modo univoco in un prodotto di numeri primi (l'ordine dei fattori non viene preso in considerazione). Esistono infiniti numeri primi (questa proposizione, chiamata teorema di Euclide, era nota agli antichi matematici greci; la sua dimostrazione si trova nel libro 9 degli Elementi di Euclide). P. Dirichlet (1837) stabilì che nella progressione aritmetica a + bx per x = 1. ,2,c con interi coprimi a e b contiene anche infiniti numeri primi.

Per trovare i numeri primi da 1 a x, è noto dal 3 ° secolo. AVANTI CRISTO e. Metodo del crivello di Eratostene. Un esame della sequenza (*) dei numeri primi da 1 a x mostra che all'aumentare di x diventa, in media, più raro. Ci sono segmenti arbitrariamente lunghi di una serie di numeri naturali, tra i quali non c'è un solo numero primo (Teorema 4). Allo stesso tempo, esistono numeri primi, la cui differenza è pari a 2 (i cosiddetti gemelli). Non è ancora noto (1987) se l'insieme di tali gemelli sia finito o infinito. Le tabelle dei numeri primi compresi nei primi 11 milioni di numeri naturali mostrano la presenza di gemelli molto grandi (ad esempio, 10.006.427 e 10.006.429).

Scoprire la distribuzione dei numeri primi nella serie naturale dei numeri è un problema molto difficile nella teoria dei numeri. È formulato come lo studio del comportamento asintotico di una funzione che denota il numero di numeri primi che non supera un numero positivo x. Dal teorema di Euclide è chiaro che quando. L. Euler introdusse la funzione zeta nel 1737.

Lo ha anche dimostrato quando

Dove la somma viene effettuata su tutti i numeri naturali e il prodotto è preso su tutti i numeri primi. Questa identità e le sue generalizzazioni giocano un ruolo fondamentale nella teoria della distribuzione dei numeri primi. Su questa base L. Euler dimostrò che la serie e il prodotto rispetto al primo p divergono. Inoltre, L. Euler ha stabilito che esistono “molti” numeri primi, perché

E allo stesso tempo, quasi tutti i numeri naturali sono composti, poiché at.

e, per qualsiasi (cioè, ciò che cresce come funzione). Cronologicamente, il prossimo risultato significativo che affina il teorema di Chebyshev è il cosiddetto. la legge asintotica della distribuzione dei numeri primi (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), che stabiliva che il limite del rapporto a è uguale a 1. Successivamente, notevoli sforzi dei matematici furono diretti a chiarire la distribuzione asintotica dei numeri primi legge della distribuzione dei numeri primi. Le questioni sulla distribuzione dei numeri primi vengono studiate utilizzando sia metodi elementari che metodi di analisi matematica.

Qui ha senso fornire una dimostrazione di alcuni dei teoremi forniti nell’articolo.

Lemma 1. Se mcd(a, b)=1, allora esistono interi x, y tali che.

Prova. Siano a e b numeri relativamente primi. Consideriamo l'insieme J di tutti i numeri naturali z, rappresentabili nella forma, e scegliamo il numero d più piccolo in esso contenuto.

Dimostriamo che a è divisibile per d. Dividi a per d con resto: e sia. Avendo la forma, quindi,

Lo vediamo.

Poiché assumiamo che d sia il numero più piccolo in J, otteniamo una contraddizione. Ciò significa che a è divisibile per d.

Proviamo allo stesso modo che b è divisibile per d. Quindi d=1. Il lemma è dimostrato.

Teorema 1. Se i numeri a e b sono coprimi e il prodotto bx è divisibile per a, allora x è divisibile per a.

Dimostrazione1. Dobbiamo dimostrare che ax è divisibile per b e mcd(a,b)=1, quindi x è divisibile per b.

Per il Lemma 1, esistono x, y tali che. Allora ovviamente è divisibile per b.

Dimostrazione 2. Considera l'insieme J di tutti i numeri naturali z tali che zc sia divisibile per b. Sia d il numero più piccolo in J. È facile vederlo. Similmente alla dimostrazione del Lemma 1, si dimostra che a è divisibile per d e b è divisibile per d

Lemma 2. Se i numeri q,p1,p2,pn sono primi e il prodotto è divisibile per q, allora uno dei numeri pi è uguale a q.

Prova. Innanzitutto notiamo che se un numero primo p è divisibile per q, allora p=q. Ciò segue immediatamente l'enunciato del lemma per n=1. Per n=2 segue direttamente dal Teorema 1: se p1p2 è divisibile per un numero primo q e, allora p2 è divisibile per q(i.e).

Dimostreremo il lemma per n=3 come segue. Dividiamo p1 p2 p3 per q. Se p3 =q allora tutto è dimostrato. Se, allora secondo il Teorema 1, p1 p2 è divisibile per q. Abbiamo quindi ridotto il caso n=3 al caso già considerato n=2.

Allo stesso modo, da n=3 possiamo passare a n=4, poi a n=5, e in generale, assumendo che l'enunciato n=k del lemma sia dimostrato, possiamo dimostrarlo facilmente per n=k+ 1. Questo ci convince che il lemma è vero per tutti i n.

Teorema fondamentale dell'aritmetica. Ogni numero naturale può essere scomposto in modo unico.

Prova. Supponiamo che ci siano due scomposizioni del numero a in fattori primi:

Poiché il lato destro è divisibile per q1, il lato sinistro dell'uguaglianza deve essere divisibile per q1. Secondo il Lemma 2, uno dei numeri è uguale a q1. Cancelliamo entrambi i membri dell'uguaglianza con q1.

Facciamo lo stesso ragionamento per q2, poi per q3, per qi. Alla fine tutti i fattori a destra si annulleranno e rimarrà 1. Naturalmente a sinistra non rimarrà altro che uno. Da ciò concludiamo che le due espansioni e possono differire solo nell'ordine dei fattori. Il teorema è stato dimostrato.

Il teorema di Euclide. La serie dei numeri primi è infinita.

Prova. Supponiamo che la serie dei numeri primi sia finita e denotiamo l'ultimo numero primo con la lettera N. Componiamo il prodotto

Aggiungiamo 1. Otteniamo:

Questo numero, essendo un intero, deve contenere almeno un fattore primo, cioè deve essere divisibile per almeno un numero primo. Ma tutti i numeri primi, per ipotesi, non superano N, e il numero M+1 non è divisibile senza resto per nessuno dei numeri primi minori o uguali a N - ogni volta che il resto è 1. Il teorema è dimostrato.

Teorema 4. Le sezioni di numeri composti tra numeri primi possono avere qualsiasi lunghezza. Dimostreremo ora che la serie è composta da n numeri compositi consecutivi.

Questi numeri vengono uno dopo l'altro nella serie naturale, poiché ogni successivo è 1 in più del precedente. Resta da dimostrare che sono tutti compositi.

Primo numero

Pari, poiché entrambi i suoi termini contengono un fattore 2. E ogni numero pari maggiore di 2 è composto.

Il secondo numero è composto da due termini, ciascuno dei quali è multiplo di 3. Ciò significa che questo numero è composto.

Allo stesso modo stabiliamo che il numero successivo è multiplo di 4, ecc. In altre parole, ogni numero della nostra serie contiene un fattore diverso dall'unità e da se stesso; è quindi composito. Il teorema è stato dimostrato.

Dopo aver studiato le dimostrazioni dei teoremi, continuiamo la nostra considerazione dell'articolo. Il suo testo menzionava il metodo del crivello di Eratostene come un modo per trovare i numeri primi. Leggiamo di questo metodo dallo stesso dizionario:

“Il crivello di Eratostene è un metodo sviluppato da Eratostene che permette di separare i numeri compositi dalle serie naturali. L'essenza del setaccio di Eratostene è la seguente. L'unità è barrata. Il numero due è primo. Vengono cancellati tutti i numeri naturali divisibili per 2. Numero 3 – il primo numero non cancellato sarà primo. Successivamente, vengono cancellati tutti i numeri naturali divisibili per 3. Il numero 5, il successivo numero non cancellato, sarà primo. Continuando calcoli simili, puoi trovare un segmento arbitrariamente lungo di una sequenza di numeri primi. Il crivello di Eratostene come metodo teorico per lo studio della teoria dei numeri fu sviluppato da V. Brun (1919).

Ecco il numero più grande attualmente noto come primo:

Questo numero ha circa settecento cifre decimali. I calcoli con cui è stato stabilito che questo numero è primo sono stati eseguiti su computer moderni.

“La funzione zeta di Riemann, funzione -, è una funzione analitica di variabile complessa, per σ>1 determinata in modo assoluto ed uniforme da una serie di Dirichlet convergente:

Per σ>1 vale la rappresentazione sotto forma di prodotto di Eulero:

(2) dove p attraversa tutti i numeri primi.

L'identità della serie (1) e del prodotto (2) è una delle proprietà principali della funzione zeta. Permette di ottenere varie relazioni che collegano la funzione zeta con le più importanti funzioni della teoria dei numeri. Pertanto, la funzione zeta gioca un ruolo importante nella teoria dei numeri.

La funzione zeta fu introdotta come funzione di una variabile reale da L. Euler (1737, publ. 1744), che ne indicò la collocazione nel prodotto (2). Quindi la funzione zeta fu considerata da P. Dirichlet e con particolare successo da P. L. Chebyshev in connessione con lo studio della legge di distribuzione dei numeri primi. Tuttavia, le proprietà più profonde della funzione zeta furono scoperte dopo il lavoro di B. Riemann, che per la prima volta nel 1859 considerò la funzione zeta come una funzione di una variabile complessa; introdusse anche il nome “funzione zeta” e la denominazione “””.

Ma sorge spontanea la domanda: quale applicazione pratica può avere tutto questo lavoro sui numeri primi? In effetti, non hanno quasi alcuna utilità, ma c'è un'area in cui i numeri primi e le loro proprietà vengono utilizzati ancora oggi. Questa è la crittografia. Qui i numeri primi vengono utilizzati nei sistemi di crittografia senza trasferimento di chiavi.

Sfortunatamente, questo è tutto ciò che sappiamo sui numeri primi. Rimangono ancora molti misteri. Ad esempio, non è noto se l'insieme dei numeri primi rappresentabili come due quadrati sia infinito.

"PRIMI DIFFICILI".

Ho deciso di fare una piccola ricerca per trovare risposta ad alcune domande sui numeri primi. Innanzitutto ho compilato un programma che produce tutti i numeri primi consecutivi inferiori a 1.000.000.000 e inoltre un programma che determina se il numero inserito è primo. Per studiare i problemi dei numeri primi, ho costruito un grafico che indica la dipendenza del valore di un numero primo dal numero ordinale.Come ulteriore piano di ricerca, ho deciso di utilizzare l'articolo di I. S. Zeltser e B. A. Kordemsky “Interesting storms of prime numeri." Gli autori hanno individuato i seguenti percorsi di ricerca:

1. 168 posti nei primi mille numeri naturali sono occupati da numeri primi. Di questi, 16 numeri sono palindromi - ciascuno è uguale al suo inverso: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Esistono solo 1061 numeri primi di quattro cifre e nessuno di essi è palindromo.

Esistono molti numeri palindromi primi a cinque cifre. Includono tali bellezze: 13331, 15551, 16661, 19991. Indubbiamente, ci sono stormi di questo tipo: ,. Ma quanti esemplari ci sono in ciascuno di questi stormi?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Si può vedere che la somma delle cifre dei numeri è divisibile per 3, quindi anche questi numeri sono divisibili per 3.

Per quanto riguarda i numeri della forma, tra questi i numeri primi sono 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Nei primi mille numeri ci sono cinque “quartetti” costituiti da numeri primi consecutivi, le cui ultime cifre formano la sequenza 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Quanti quartetti di questo tipo ci sono tra i primi di n cifre per n›3?

Utilizzando il programma che ho scritto, è stato trovato un quartetto sfuggito agli autori: (479, 467, 463, 461) e quartetti per n = 4, 5, 6. Per n = 4 ci sono 11 quartetti

3. Uno stormo di nove numeri primi: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 è attraente non solo perché rappresenta una progressione aritmetica con una differenza di 210, ma anche perché può essere inserito in nove celle in modo che si formi un quadrato magico con una costante pari alla differenza di due numeri primi: 3119 – 2:

Anche il successivo decimo termine della progressione in esame, 2089, è un numero primo. Se rimuovi il numero 199 dallo stormo, ma includi 2089, anche in questa composizione lo stormo può formare un quadrato magico: un argomento da cercare.

Va notato che esistono altri quadrati magici costituiti da numeri primi:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

La piazza proposta è interessante perché

1. È un quadrato magico 7x7;

2. Contiene un quadrato magico 5x5;

3. Il quadrato magico 5x5 contiene un quadrato magico 3x3;

4. Tutti questi quadrati hanno un numero centrale comune: 3407;

5. Tutti i 49 numeri inclusi in un quadrato 7x7 terminano con il numero 7;

6. Tutti i 49 numeri compresi in un quadrato 7x7 sono numeri primi;

7. Ciascuno dei 49 numeri compresi in un quadrato 7x7 può essere rappresentato come 30n + 17.

I programmi utilizzati sono stati scritti da me nel linguaggio di programmazione Dev-C++ e fornisco i loro testi in appendice (vedi file con estensione . srr). Oltre a tutto quanto sopra, ho scritto un programma che scompone i numeri naturali consecutivi in ​​fattori primi (vedi Divisori 1. срр) e un programma che scompone solo il numero inserito in fattori primi (vedi Divisori 2. срр). Dato che questi programmi occupano troppo spazio in forma compilata, ne vengono forniti solo i testi. Tuttavia, chiunque può compilarli se ha il programma giusto.

BIOGRAFIE DEGLI SCIENZIATI COINVOLTI NEL PROBLEMA DEI PRIMI

EUCLIDE

(330 a.C. circa – 272 a.C. circa)

Sono state conservate pochissime informazioni affidabili sulla vita del matematico più famoso dell'antichità. Si ritiene che abbia studiato ad Atene, il che spiega la sua brillante padronanza della geometria, sviluppata dalla scuola di Platone. Tuttavia, a quanto pare, non aveva familiarità con le opere di Aristotele. Insegnò ad Alessandria, dove ottenne grandi elogi per le sue attività di insegnamento durante il regno di Tolomeo I Sotere. C'è una leggenda secondo cui questo re gli chiese di scoprire un modo per raggiungere un rapido successo in matematica, alla quale Euclide rispose che non esistono metodi reali in geometria (una storia simile, tuttavia, è raccontata anche su Menchem, a cui sarebbe stato chiesto di lo stesso di Alessandro Magno). La tradizione ha conservato il ricordo di Euclide come persona benevola e modesta. Euclide è autore di trattati su vari argomenti, ma il suo nome è associato principalmente a uno dei trattati chiamato Gli Elementi. Si tratta di una raccolta di opere di matematici che lavorarono prima di lui (il più famoso fu Ippocrate di Kos), i cui risultati portò alla perfezione grazie alla sua capacità di generalizzazione e al duro lavoro.

Eulero Leonard

(Basilea, Svizzera 1707 – San Pietroburgo, 1783)

Matematico, meccanico e fisico. Nato nella famiglia di un povero pastore, Paul Euler. Ricevette la sua educazione prima da suo padre e nel 1720–24 presso l'Università di Basilea, dove frequentò le lezioni di matematica di I. Bernoulli.

Alla fine del 1726 Eulero fu invitato all'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo e nel maggio 1727 arrivò a San Pietroburgo. Nell'accademia appena organizzata, Eulero trovò condizioni favorevoli per l'attività scientifica, che gli permisero di iniziare immediatamente a studiare matematica e meccanica. Durante i 14 anni del primo periodo della sua vita a San Pietroburgo, Eulero preparò circa 80 opere per la pubblicazione e ne pubblicò oltre 50. A San Pietroburgo studiò la lingua russa.

Eulero ha partecipato a molte aree di attività dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo. Tenne conferenze agli studenti dell'università accademica, partecipò a vari esami tecnici, lavorò alla compilazione di mappe della Russia e scrisse un "Manuale di aritmetica" disponibile al pubblico (1738–40). Su istruzioni speciali dell'Accademia, Eulero preparò per la pubblicazione “Scienze nautiche” (1749), un'opera fondamentale sulla teoria della costruzione navale e della navigazione.

Nel 1741 Eulero accettò l'offerta del re prussiano Federico II di trasferirsi a Berlino, dove avrebbe avuto luogo la riorganizzazione dell'Accademia delle Scienze. All'Accademia delle Scienze di Berlino, Eulero prese la carica di direttore della classe di matematica e membro del consiglio, e dopo la morte del suo primo presidente P. Maupertuis, per diversi anni (dal 1759) guidò effettivamente l'accademia. Durante i 25 anni della sua vita a Berlino, ha preparato circa 300 opere, tra cui numerose grandi monografie.

Mentre viveva a Berlino, Eulero non smise di lavorare intensamente per l'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, mantenendone il titolo di membro onorario. Ha condotto un'ampia corrispondenza scientifica e scientifico-organizzativa, in particolare ha corrisposto con M. Lomonosov, che apprezzava molto. Eulero curò il dipartimento di matematica dell'organismo scientifico accademico russo, dove durante questo periodo pubblicò quasi tanti articoli quanti nelle "Memorie" dell'Accademia delle Scienze di Berlino. Ha partecipato attivamente alla formazione dei matematici russi; I futuri accademici S. Kotelnikov, S. Rumovsky e M. Sofronov furono inviati a Berlino per studiare sotto la sua guida. Eulero fornì grande assistenza all'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, acquistando letteratura scientifica e attrezzature, negoziando con i candidati per posizioni presso l'accademia, ecc.

17 luglio (28), 1766 Eulero e la sua famiglia tornarono a San Pietroburgo. Nonostante la sua età avanzata e la cecità quasi totale che lo colpì, lavorò produttivamente fino alla fine della sua vita. Durante i 17 anni del suo secondo soggiorno a San Pietroburgo, preparò circa 400 opere, tra cui diversi libri di grandi dimensioni. Eulero continuò a partecipare al lavoro organizzativo dell'accademia. Nel 1776 fu uno degli esperti del progetto di un ponte ad arco singolo sulla Neva, proposto da I. Kulibin, e dell'intera commissione fu l'unico a fornire un ampio sostegno al progetto.

I meriti di Eulero come grande scienziato e organizzatore della ricerca scientifica furono molto apprezzati durante la sua vita. Oltre alle accademie di San Pietroburgo e Berlino, fu membro delle più grandi istituzioni scientifiche: l'Accademia delle Scienze di Parigi, la Royal Society di Londra e altre.

Uno degli aspetti distintivi del lavoro di Eulero è la sua eccezionale produttività. Solo durante la sua vita furono pubblicati circa 550 dei suoi libri e articoli (l'elenco delle opere di Eulero contiene circa 850 titoli). Nel 1909 la Società svizzera di scienze naturali iniziò a pubblicare l'opera completa di Eulero, che fu completata nel 1975; si compone di 72 volumi. Di grande interesse è anche il colossale carteggio scientifico di Eulero (circa 3.000 lettere), finora pubblicato solo parzialmente.

La gamma di attività di Eulero era insolitamente ampia e copriva tutti i dipartimenti della matematica e della meccanica contemporanee, teoria dell'elasticità, fisica matematica, ottica, teoria musicale, teoria delle macchine, balistica, scienze marine, assicurazioni, ecc. Circa 3/5 delle opere di Eulero riguardano alla matematica, i restanti 2/5 principalmente alle sue applicazioni. Lo scienziato ha sistematizzato i suoi risultati e quelli ottenuti da altri in una serie di monografie classiche, scritte con sorprendente chiarezza e fornite di preziosi esempi. Questi sono, ad esempio, "La meccanica, o scienza del movimento, presentata analiticamente" (1736), "Introduzione all'analisi" (1748), "Calcolo differenziale" (1755), "Teoria del movimento del corpo rigido" (1765), “Aritmetica universale” (1768–69), che ha avuto circa 30 edizioni in 6 lingue, “Calcolo integrale” (1768–94), ecc. Nel XVIII secolo. , e in parte nel XIX secolo. Le "Lettere su varie questioni fisiche e filosofiche, scritte a una certa principessa tedesca", disponibili al pubblico, divennero estremamente popolari. "(1768–74), che ha avuto oltre 40 edizioni in 10 lingue. La maggior parte del contenuto delle monografie di Eulero fu poi inclusa nei libri di testo per le scuole superiori e parzialmente secondarie. È impossibile elencare tutti i teoremi, i metodi e le formule di Eulero ancora in uso, di cui solo pochi compaiono in letteratura sotto il suo nome [ad esempio, il metodo della linea spezzata di Eulero, le sostituzioni di Eulero, la costante di Eulero, le equazioni di Eulero, le formule di Eulero, Funzione di Eulero, numeri di Eulero, formula di Eulero - Maclaurin, formule di Eulero–Fourier, caratteristica di Eulero, integrali di Eulero, angoli di Eulero].

In Meccanica, Eulero delineò per primo la dinamica di un punto utilizzando l'analisi matematica: il libero movimento di un punto sotto l'influenza di varie forze sia nel vuoto che nel mezzo con resistenza; movimento di un punto lungo una determinata linea o superficie; movimento sotto l'influenza di forze centrali. Nel 1744 formulò per primo correttamente il principio meccanico di minima azione e ne mostrò le prime applicazioni. Nella Teoria del moto del corpo rigido, Eulero sviluppò la cinematica e la dinamica di un corpo rigido e fornì le equazioni per la sua rotazione attorno a un punto fisso, ponendo le basi per la teoria dei giroscopi. Con la sua teoria della nave Eulero diede preziosi contributi alla teoria della stabilità. Le scoperte di Eulero furono significative nella meccanica celeste (ad esempio, nella teoria del moto della Luna), nella meccanica del continuo (le equazioni fondamentali del moto di un fluido ideale nella forma di Eulero e nelle cosiddette variabili di Lagrange, oscillazioni del gas nei tubi , eccetera.). In ottica, Eulero fornì (1747) la formula per una lente biconvessa e propose un metodo per calcolare l'indice di rifrazione di un mezzo. Eulero aderì alla teoria ondulatoria della luce. Credeva che colori diversi corrispondessero a diverse lunghezze d'onda della luce. Eulero propose metodi per eliminare le aberrazioni cromatiche delle lenti e fornì metodi per calcolare i componenti ottici di un microscopio. Eulero dedicò una vasta serie di lavori, iniziati nel 1748, alla fisica matematica: problemi di vibrazione di una corda, di una piastra, di una membrana, ecc. Tutti questi studi stimolarono lo sviluppo della teoria delle equazioni differenziali, metodi approssimati di analisi e tecniche speciali . funzioni, geometria differenziale, ecc. Molte delle scoperte matematiche di Eulero sono contenute in queste opere.

Il lavoro principale di Eulero come matematico fu lo sviluppo dell'analisi matematica. Gettò le basi di numerose discipline matematiche, che erano solo nella loro forma rudimentale o erano del tutto assenti nel calcolo degli infinitesimi di I. Newton, G. Leibniz e dei fratelli Bernoulli. Pertanto, Eulero fu il primo a introdurre funzioni di argomento complesso e ad indagare le proprietà delle funzioni elementari di base di una variabile complessa (funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche); in particolare derivò formule che collegavano funzioni trigonometriche con funzioni esponenziali. Il lavoro di Eulero in questa direzione gettò le basi per la teoria delle funzioni di una variabile complessa.

Eulero fu l'ideatore del calcolo delle variazioni, esposto nell'opera “Metodo per trovare linee curve che abbiano le proprietà di massimo o minimo. "(1744). Il metodo con cui Eulero nel 1744 derivò la condizione necessaria per l'estremo di un funzionale - l'equazione di Eulero - fu il prototipo dei metodi diretti del calcolo delle variazioni del XX secolo. Eulero creò la teoria delle equazioni differenziali ordinarie come disciplina indipendente e pose le basi per la teoria delle equazioni differenziali parziali. Qui è responsabile di un gran numero di scoperte: il metodo classico per risolvere equazioni lineari a coefficienti costanti, il metodo di variazione di costanti arbitrarie, il chiarimento delle proprietà di base dell'equazione di Riccati, l'integrazione di equazioni lineari a coefficienti variabili utilizzando serie infinite, criteri per soluzioni speciali, la dottrina del fattore integrativo, vari metodi approssimati e una serie di tecniche per risolvere equazioni alle derivate parziali. Eulero raccolse una parte significativa di questi risultati nel suo “Calcolo integrale”.

Eulero arricchì anche il calcolo differenziale e integrale nel senso stretto del termine (ad esempio, la dottrina dei cambiamenti di variabili, il teorema sulle funzioni omogenee, il concetto di integrale doppio e il calcolo di molti integrali speciali). In "Calcolo differenziale", Eulero espresse e sostenne con esempi la sua convinzione nell'opportunità di utilizzare serie divergenti e propose metodi per la somma generalizzata delle serie, anticipando le idee della moderna teoria rigorosa delle serie divergenti, creata a cavallo tra il XIX e il XX secolo. 20° secolo. Inoltre, Eulero ottenne molti risultati concreti nella teoria delle serie. Ha scoperto il cosiddetto. la formula di sommatoria di Eulero-Maclaurin, propose la trasformazione delle serie che porta il suo nome, determinò le somme di un numero enorme di serie e introdusse importanti nuovi tipi di serie nella matematica (ad esempio, le serie trigonometriche). Ciò include anche la ricerca di Eulero sulla teoria delle frazioni continue e altri processi infiniti.

Eulero è il fondatore della teoria delle funzioni speciali. Fu il primo a considerare seno e coseno come funzioni e non come segmenti di un cerchio. Ottenne quasi tutte le classiche espansioni delle funzioni elementari in serie e prodotti infiniti. I suoi lavori hanno creato la teoria della funzione γ. Ha studiato le proprietà degli integrali ellittici, delle funzioni iperboliche e cilindriche, della funzione ζ, di alcune funzioni θ, del logaritmo integrale e di importanti classi di polinomi speciali.

Secondo P. Chebyshev, Eulero gettò le basi per tutta la ricerca che costituisce la parte generale della teoria dei numeri. Pertanto, Eulero dimostrò una serie di affermazioni fatte da P. Fermat (ad esempio il piccolo teorema di Fermat), sviluppò i fondamenti della teoria dei residui di potenza e della teoria delle forme quadratiche, scoprì (ma non dimostrò) la legge di reciprocità quadratica, e studiò una serie di problemi nell'analisi diofantea. Nei suoi lavori sulla divisione dei numeri in termini e sulla teoria dei numeri primi, Eulero utilizzò per primo metodi di analisi, diventando così l'ideatore della teoria analitica dei numeri. In particolare, introdusse la funzione ζ e dimostrò la cosiddetta. L'identità di Eulero che collega i numeri primi con tutti i numeri naturali.

Eulero ottenne grandi risultati anche in altri settori della matematica. In algebra, ha scritto lavori sulla risoluzione di equazioni di grado superiore nei radicali e su equazioni con due incognite, nonché le cosiddette. L'identità dei quattro quadrati di Eulero. Eulero fece avanzare significativamente la geometria analitica, in particolare la dottrina delle superfici del secondo ordine. Nella geometria differenziale studiò in dettaglio le proprietà delle linee geodetiche, fu il primo ad applicare le equazioni naturali delle curve e, soprattutto, gettò le basi della teoria delle superfici. Introdusse il concetto di direzioni principali in un punto di una superficie, dimostrò la loro ortogonalità, derivò una formula per la curvatura di una qualsiasi sezione normale, iniziò lo studio delle superfici sviluppabili, ecc.; in un'opera pubblicata postuma (1862), anticipò parzialmente le ricerche di K. Gauss sulla geometria interna delle superfici. Eulero si occupò anche di alcune questioni di topologia e dimostrò, ad esempio, un importante teorema sui poliedri convessi. Il matematico Eulero è spesso caratterizzato come un brillante “calcolatore”. In effetti, era un maestro insuperabile di calcoli e trasformazioni formali; nelle sue opere, molte formule matematiche e simbolismo ricevettero un aspetto moderno (ad esempio, possedeva la notazione per e e π). Tuttavia, Eulero ha anche introdotto nella scienza una serie di idee profonde, che ora sono rigorosamente documentate e servono come esempio della profondità di penetrazione nell'oggetto della ricerca.

Secondo P. Laplace, Eulero fu il maestro dei matematici nella seconda metà del XVIII secolo.

DIRICHLET PIETRO GUSTAV

(Düren, oggi Germania, 1805 - Gottinga, ibid., 1859)

Studiò a Parigi e mantenne rapporti amichevoli con matematici eccezionali, in particolare con Fourier. Dopo aver conseguito il titolo accademico, fu professore presso le università di Breslavia (1826 - 1828), Berlino (1828 - 1855) e Gottinga, dove divenne capo del dipartimento di matematica dopo la morte dello scienziato Carl Friedrich Gauss. Il suo contributo più notevole alla scienza riguarda la teoria dei numeri, principalmente lo studio delle serie. Ciò gli permise di sviluppare la teoria delle serie proposta da Fourier. Creò la sua versione della dimostrazione del teorema di Fermat, usò funzioni analitiche per risolvere problemi aritmetici e introdusse criteri di convergenza per le serie. Nel campo dell’analisi matematica perfezionò la definizione e il concetto di funzione; nel campo della meccanica teorica si concentrò sullo studio della stabilità dei sistemi e sul concetto di potenziale di Newton.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Matematico russo, fondatore della scuola scientifica di San Pietroburgo, accademico dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo (1856). Le opere di Chebyshev gettarono le basi per lo sviluppo di molti nuovi rami della matematica.

I lavori più numerosi di Chebyshev riguardavano il campo dell'analisi matematica. In particolare, gli fu dedicata una dissertazione per il diritto di tenere conferenze, in cui Chebyshev indagò sull'integrabilità di alcune espressioni irrazionali in funzioni algebriche e logaritmi. Chebyshev dedicò anche una serie di altri lavori all'integrazione delle funzioni algebriche. In uno di essi (1853) fu ottenuto un noto teorema sulle condizioni di integrabilità nelle funzioni elementari di un binomio differenziale. Un'importante area di ricerca in analisi matematica è costituita dal suo lavoro sulla costruzione di una teoria generale dei polinomi ortogonali. Il motivo della sua creazione è stata l'interpolazione parabolica utilizzando il metodo dei minimi quadrati. La ricerca di Chebyshev sul problema dei momenti e delle formule di quadratura è adiacente a questa stessa gamma di idee. Al fine di ridurre i calcoli, Chebyshev propose (1873) di considerare formule di quadratura con coefficienti uguali (integrazione approssimativa). La ricerca sulle formule di quadratura e la teoria dell'interpolazione erano strettamente legate ai compiti affidati a Chebyshev nel dipartimento di artiglieria del comitato scientifico militare.

Nella teoria della probabilità, a Chebyshev viene attribuito il merito di aver introdotto sistematicamente variabili casuali nella considerazione e di aver creato una nuova tecnica per dimostrare teoremi limite nella teoria della probabilità, la cosiddetta. metodo dei momenti (1845, 1846, 1867, 1887). Ha dimostrato la legge dei grandi numeri in una forma molto generale; Inoltre, la sua dimostrazione colpisce per la sua semplicità ed elementarietà. Chebyshev non ha portato a compimento lo studio delle condizioni per la convergenza delle funzioni di distribuzione delle somme di variabili casuali indipendenti alla legge normale. Tuttavia, attraverso alcune aggiunte ai metodi di Chebyshev, A. A. Markov riuscì a farlo. Senza trarre conclusioni rigide, Chebyshev ha anche delineato la possibilità di chiarire questo teorema limite sotto forma di espansioni asintotiche della funzione di distribuzione della somma di termini indipendenti in potenze di n21/2, dove n è il numero di termini. Il lavoro di Chebyshev sulla teoria della probabilità costituisce una tappa importante nel suo sviluppo; inoltre, furono la base su cui si sviluppò la scuola russa di teoria della probabilità, inizialmente composta dagli studenti diretti di Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Bassa Sassonia, 1826 - Selaska, presso Intra, Italia 66)

Matematico tedesco. Nel 1846 entrò all'Università di Gottinga: ascoltò le lezioni di K. Gauss, molte delle cui idee furono da lui sviluppate in seguito. Nel 1847–49 frequentò le lezioni all'Università di Berlino; nel 1849 tornò a Gottinga, dove si avvicinò al collaboratore di Gauss, il fisico W. Weber, che suscitò in lui un profondo interesse per le questioni di scienza matematica.

Nel 1851 difese la sua tesi di dottorato “Fondamenti della teoria generale delle funzioni di una variabile complessa”. Dal 1854 fu assistente professore privato e dal 1857 fu professore all'Università di Gottinga.

Le opere di Riemann hanno avuto una grande influenza sullo sviluppo della matematica nella seconda metà del XIX secolo. e nel 20° secolo. Nella sua tesi di dottorato Riemann pose le basi per la direzione geometrica della teoria delle funzioni analitiche; introdusse le cosiddette superfici di Riemann, importanti nello studio delle funzioni multivalore, sviluppò la teoria delle mappature conformi e fornì a questo proposito le idee di base della topologia, studiò le condizioni per l'esistenza di funzioni analitiche all'interno di domini di vari tipi (il cosiddetto principio di Dirichlet), ecc. I metodi sviluppati da Riemann furono ampiamente utilizzati nei suoi ulteriori lavori sulla teoria delle funzioni algebriche e degli integrali, sulla teoria analitica delle equazioni differenziali (in particolare, equazioni che definiscono funzioni ipergeometriche), sulla teoria analitica dei numeri (ad esempio, Riemann ha indicato la connessione tra la distribuzione dei numeri primi e le proprietà della funzione ζ, in particolare, con la distribuzione dei suoi zeri nella regione complessa - la cosiddetta ipotesi di Riemann, la la cui validità non è stata ancora dimostrata), ecc.

In numerosi lavori, Riemann studiò la scomponibilità delle funzioni in serie trigonometriche e, in relazione a ciò, determinò le condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità nel senso riemanniano, che era importante per la teoria degli insiemi e delle funzioni di una variabile reale. Riemann propose anche metodi per integrare equazioni differenziali alle derivate parziali (ad esempio, utilizzando i cosiddetti invarianti di Riemann e la funzione di Riemann).

Nella sua famosa conferenza del 1854 “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria” (1867), Riemann diede un’idea generale dello spazio matematico (nelle sue parole, “varietà”), compresi gli spazi funzionali e topologici. Qui considerò la geometria in senso lato come lo studio delle varietà continue n-dimensionali, cioè insiemi di oggetti omogenei e, generalizzando i risultati di Gauss sulla geometria interna di una superficie, diede il concetto generale di elemento lineare ( il differenziale della distanza tra i punti della varietà), definendo così i cosiddetti spazi di Finsler. Riemann esaminò più in dettaglio i cosiddetti spazi riemanniani, generalizzando gli spazi della geometria ellittica euclidea, di Lobachevskij e riemanniana, caratterizzati da un tipo speciale di elemento lineare, e sviluppò la dottrina della loro curvatura. Discutendo l'applicazione delle sue idee allo spazio fisico, Riemann sollevò la questione delle “cause delle proprietà metriche” di esso, come se anticipasse quanto fatto nella teoria generale della relatività.

Le idee e i metodi proposti da Riemann aprirono nuove strade nello sviluppo della matematica e trovarono applicazione nella meccanica e nella teoria della relatività generale. Lo scienziato morì nel 1866 di tubercolosi.

Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per uno.

I restanti numeri sono detti numeri compositi.

Numeri naturali primi

Ma non tutti i numeri naturali sono numeri primi.

I numeri naturali primi sono solo quelli divisibili solo per se stessi e per uno.

Esempi di numeri primi:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Interi primi

Ne consegue che solo i numeri naturali sono numeri primi.

Ciò significa che i numeri primi sono necessariamente numeri naturali.

Ma anche tutti i numeri naturali sono interi.

Pertanto tutti i numeri primi sono interi.

Esempi di numeri primi:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Anche i numeri primi

Esiste un solo numero primo pari: il numero due.

Tutti gli altri numeri primi sono dispari.

Perché un numero pari maggiore di due non può essere un numero primo?

Ma poiché ogni numero pari maggiore di due sarà divisibile per se stesso e non per uno e per due, cioè tale numero avrà sempre tre divisori, e forse di più.